第9章向量与空间解析几何

b a+b
a+b
b
a
a
向 量 加 法 的 三 角 形 法 则 ： 把 b的 起 点 放 到 向 量 a
的 终 点 上 , 把 自 a的 起 点 的 到 向 量 b 的 终 点 的 向 量 为
a b .
向 量 加 法 运 算 规 律 ：
交 换 律 ： abba；
结 合 律 ： (ab)ca(bc). （ 2 ） 向 量 与 数 的 乘 法
z
zO x平 面
yOz平 面
y
O
xOy 平 面
x
坐 标 面 ： 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 ,每 两 轴 所 确 定 的 平
面 称 为 坐 标 平 面 ,简 称 坐 标 面 .即 xO坐 y标 面 、 yO坐 z标
面 和 zO坐 x标 面 .
卦限：在空间直角坐标系中,坐标面把空间分为八个
P的坐标,x,y,z分别称为x坐标, y坐标和z坐标.
二、向量的基本概念及线性运算
1 . 向 量 的 基 本 概 念 向 量 ： 既 有 大 小 又 有 方 向 的 量 称 为 向 量 （ 或 矢 量 ） .
向 量 一 般 用 黑Fra Baidu bibliotek体 小 写 字 母 表
示 ,如 a,b,c等 .有 时 也 用 ar,b r,cr等
N
表 示 向 量 .几 何 上 ,也 常 用 有 向 线
段 来 表 示 向 量 ,起 点 为 M,终 点 为
uuuur
N的 向 量 记 为MN.
M
向量的模：向量的大小称为向量的模.用|a|， uuur
|b|，|c|，或AB表示向量的模.
单位向量：模为1的向量称为单位向量.
零 向 量 ： 模 为 0 的 向 量 称 为 零 向 量 , 记 为 0 . 规 定 零 向 量 的 方 向 为 任 意 方 向 .
定 义 3 =-1时 ,记 (1)aa,则 a与 a的 方 向
相 反 ,模 相 等 ,称 a为 a的 负 向 量 （ 也 称 其 为a的 逆 向 量 ） .
向 量 的 减 法 ： 向 量 a的 b的 差 规 定 为 a ba ( b ).
向 量 减 法 的 三 角 形 法 则 ：
把a与b的 起 点 放 在 一 起 ,即ab是 以b的
终 点 为 起 点 ,以 a的 终 点 为 终 点 的 方 向 向 量.
三、向量的坐标表示
1.向 径 及 其 坐 标 表 示
向 径 ：起 点 在 坐 标 原
点 O ,终 点 为 M 的 向 量
u u u ur
OM 称 为 点 M 的 向 径 ,记
b
u u u ur
a-b a
-b
为 r(M )或 O M .
定义2 设 为一实数,向量a 与数 的乘积是一 个向量,记为a,并且规定：(1)|a||||a|；(2)当 0 时, a与a同向；当0时, a与a 反向；(3)当 =0
时,a0（零向量）.
向量与数的乘法运算规律： 结合律：(a)()a(a) ;
分配律：()aaa,(ab)ab; 交换律：aa. 同向的单位向量：设a是一个非零向量,则向量 ao a为与向量a同向的单位向量. |a|
于坐标面xOy 的直线得垂足 P ,过 P 分别与x轴,y轴垂
直且相交的直线,过 P 作与z轴垂直且相交的直线,依次
得 x, y, z 轴 上 的 三 个 垂 足 M , N , R. 设 x, y, z 分 别 是
M , N , R 点在数轴上的坐标.这样空间内任一点 P 就确
定了惟一的一组有序的数组 x, y, z ,用 (x, y, z) 表示.
部分,每一个部分称为一个卦限.在xOy坐标面上方有四
个卦限,下方有四个卦限.含x 轴,y 轴和z 轴正向的卦限 称为第Ⅰ卦限,然后逆着轴 z 正向看时,按逆时针顺序依 次为Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ卦限,对于分别位于Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ ,Ⅳ卦限下 面的四个卦限,依次为第Ⅴ,Ⅵ,Ⅶ,Ⅷ卦限.
z
Ⅲ
Ⅱ
Ⅳ
Ⅰ
O Ⅶ
xⅧ
Ⅴ
y Ⅵ
点的坐标：设P 为空间的任意一点,过点 P 作垂直
定 义 1如 果 向 量 a 和 b的 大 小 相 等 且 方 向 相 同 , 则 称 向 量 a 与 b 相 等 ， 记 为 a b .
2. 向量的线性运算
(1)加 法 （ 平 行 四 边 形 法 则 ）将 向 量 a 与 b的 起 点 放 在 一 起 ,并 以 a和 b为 邻 边 作 平 行 四 边 形 ,则 从 起 点 到 对 角 顶 点 的 向 量 称 为 向 量 a 和 b 的 和 向 量 ,记 为 a+b.
第九章 向量与空间解析几何
第一节 空间直角坐标系与向量的概念 第二节 向量的点积与叉积 第三节 平面与直线 第四节 曲面与空间曲线 *第五节 矢量函数的微积分
第一节 空间直角坐标系与向量的概念
一、空间直角坐标系 二、向量的基本概念及线性运算 三、向量的坐标表示
一、空间直角坐标系
空间直角坐标系:过空间一个定点 O ，作三 条相互垂直的数轴，它们都以 O 为原点且一般具 有相同单位长度, 这三条数轴分别叫做x轴（横 轴）、y轴（纵轴）和z轴（竖轴）. 一般是将x轴 和y轴放置在水平面上,那么z 轴就垂直于水平面； 它们的方向通常符合右手螺旋法则,即伸出右手, 让四指与大拇指垂直,并使四指先指向x轴,然后 让四指沿握拳方向旋转 90 指向y轴,此时大拇指 的方向即为z轴方向.这样就构成了空间直角坐标 系，O 称为坐标原点.
反 之 ,任 给 出 一 组 有 序
z R
数 组 x, y 和 z ,也 能 确 定 了 空 间 内 惟 一 的 一 个 点 P ,而 x, y 和 z 恰 恰 是 点 P 的 坐 标.
z
O x M
P (x, y,z)
yN y
P'
x
根据上面的法则,建立了空间一点与一组有序数 （x,y,z）之间的一一对应关系.有序数组 (x,y,z)称为点
a+(-b)
基本单位向量： 在坐标轴上分别取与x轴, y轴和z 轴方向
相同的单位向量称为基本单位向量,分别用i , j,k ,
表示.
向径的坐标：
若 点 M 的 坐 标 为 (x, y,z) , 则 向 量
uur uur
uur
OAxi, OByj , OCzk 由向量的加法法则得
uuuur uuuur uuuuur uuur uuur uuur OM=OM+MM=(OA+OB)+OC= xi yj zk ，称其