复旦版数学分析答案全解ex6-1
《复变函数与积分变换复旦大学修订版》全部_习题答案
复变函数与积分变换（修订版）主编：马柏林（复旦大学出版社）——课后习题答案习题一1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数π/43513;;(2)(43);711i i e i i i i i-++++++.①解i 4πππe cos isin 44-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭②解： ()()()()35i 17i 35i 1613i 7i 11+7i 17i 2525+-+==-++-③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解： ()31i 1335=i i i 1i 222-+-+=-+2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy )(z a a z a -∈+); 33311;;;.22n z i ⎛⎛-+-- ⎝⎭⎝⎭①： ∵设z =x +iy则()()()()()()()22i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y -++-⎡⎤⎡⎤+--+-⎣⎦⎣⎦===+++++++ ∴()22222Re z a x a y z a x a y ---⎛⎫= ⎪+⎝⎭++,()222Im z a xyz a x a y-⎛⎫=⎪+⎝⎭++． ②解： 设z =x +iy ∵()()()()()()()()323222222223223i i i 2i i 22i33iz x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++⎡⎤=--+-+⎣⎦=-+- ∴()332Re 3z x xy =-,()323Im 3z x y y =-．③解：∵(()(){}33232111313188-+⎡⎤⎡⎤==--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭． ④解：∵()()(()2332313131i 8⎡⎤--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎣⎦=⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭． ⑤解： ∵()()1,2i 211i,kn kn k k n k ⎧-=⎪=∈⎨=+-⋅⎪⎩． ∴当2n k =时，()()Re i 1kn=-，()Im i 0n=；当21n k =+时，()Re i 0n =，()()Im i 1kn =-．3.求下列复数的模和共轭复数12;3;(2)(32);.2ii i i +-+-++①解：2i -+==2i 2i -+=--②解：33-=33-=-③解：()()2i 32i 2i 32i ++=++=()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+⋅+=-⋅-=-④解：1i 1i 22++==()1i 11i222i ++-⎛⎫== ⎪⎝⎭4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数．证明：若z z =，设i z x y =+，则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0 ∴z =x 为实数．若z =x ，x ∈ ，则z x x ==． ∴z z =．命题成立．5、设z ,w ∈ ，证明： z w z w ++≤证明∵()()()()2z w z w z w z w z w +=+⋅+=++()()22222Re z z z w w z w wz zw z w w z wz w =⋅+⋅+⋅+⋅=++⋅+=++⋅()2222222z w z wz w z w z w ++⋅=++⋅=+≤∴z w z w ++≤．6、设z ,w ∈ ，证明下列不等式． ()2222Re z w z z w w +=+⋅+ ()2222Re z w z z w w -=-⋅+()22222z w z w z w++-=+并给出最后一个等式的几何解释．证明：()2222Re z w z z w w +=+⋅+在上面第五题的证明已经证明了．下面证()2222Re z w z z w w -=-⋅+．∵()()()()222z w z w z w z w z w z z w w z w-=-⋅-=--=-⋅-⋅+()222Re z z w w =-⋅+．从而得证．∴()22222z w z w z w ++-=+几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和．3352π2π;;1;8π(1);.cos sin 7199i i i i +⎛⎫--+ ⎪+⎝⎭ ①解：()()()()35i 17i 35i 7i 117i 17i +-+=++-3816i 198i e 5025i θ⋅--==其中8πarctan 19θ=-．②解：e i i θ⋅=其中π2θ=．π2e i i =③解：ππi i 1e e -==④解：()28π116ππ3θ-+==-.∴()2πi 38π116πe--+=⋅⑤解：32π2πcos isin 99⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 解：∵32π2πcosisin 199⎛⎫+= ⎪⎝⎭．∴322πi π.3i 932π2πcos isin 1e e 99⋅⎛⎫+=⋅= ⎪⎝⎭8.计算：(1)i 的三次根；(2)-1的三次根；(3)的平方根.⑴i 的三次根． 解：()13ππ2π2πππ22cos sin cosisin 0,1,22233++⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭k k i k∴1ππ1cosisin i 662=+=+z ．2551cos πisin πi 662=+=+z3991cos πisin πi 662=+=-z ⑵-1的三次根 解：()()132π+π2ππcos πisin πcosisin 0,1,233k k k ++=+=∴1ππ1cos isin 332=+=z 2cos πisin π1=+=-z3551cos πisin π332=+=-z的平方根． 解：πi 4e ⎫⎪⎪⎝⎭∴)()1π12i 44ππ2π2π44e6cos isin 0,122k k k ⎛⎫++ ⎪=⋅+= ⎪⎝⎭∴π11i 8441ππ6cos isin 6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z911πi 8442996cos πisin π6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z ． 9.设2πe,2inz n =≥. 证明：110n z z -+++=证明：∵2πi e nz ⋅= ∴1n z =，即10n z -=．∴()()1110n z z z --+++=又∵n ≥2． ∴z ≠1 从而211+0n z z z -+++=11.设Γ是圆周{:},0,e .i z r r a c r z c α=>=+-令:Im 0z a L z b β⎧-⎫⎛⎫==⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭, 其中e i b β=.求出L β在a 切于圆周Γ的关于β的充分必要条件. 解：如图所示．因为L β={z : Im z a b -⎛⎫⎪⎝⎭=0}表示通过点a 且相切，则CA ⊥L β．过C 作直线平行L β，则有∠BCD =β，∠ACB =90° 故α-β=90°所以L β在α处切于圆周T 的关于β的充要条件是α-β=90°．12.指出下列各式中点z 所确定的平面图形，并作出草图.(1)arg π;(2);1(3)1|2;(4)Re Im ;(5)Im 1 2.z z z z i z z z z ==-<+<>><且解：(1)、argz =π．表示负实轴．(2)、|z -1|=|z |．表示直线z =12．(3)、1<|z +i|<2解：表示以-i 为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。
数学分析_复旦_欧阳光中陈传璋第三版3版上下册课后习题答案解析(下)
(4) b•
ê§ lim
x→∞
xb eax
=
lim
x→∞
bxb−1 aeax
=
··· =
lim
x→∞
b! abeax
=0
bؕ
ê§K[b]
b
<
[b]+1§u´
|x|[b] eax
|x|b eax
<
|x|[b]+1 eax (|x|
> 1)§
þ¡®y²§‚ 4••0§Ïd§¥m 4•••0.
l
§é?¿a, b§þk lim
lim
+
=
x→0
24
24
1
6
ax − bx
ax ln a − bx ln b
a
(9) lim
= lim
= ln a − ln b = ln (a = 0, b = 0)
x→0 x
x→0
1
b
x−1
1
(10) lim
x→1
ln x
= lim
x→1
1
=1
x
(11) lim ax − xa = lim ax ln a − axa−1 = aa(ln a − 1)
(x2 − 1) sin x
(4) lim x→1 ln
1 + sin π x
2
)µ
x2 sin 1
1
1
2x sin − cos
1 cos
(1) Ï
x ©f!©1Óžéx¦ ê§
x
x§
x x → 0ž4•Ø•3§Ïdâ
sin x
cos x
cos x
复旦大学数学系陈纪修《数学分析》 第二版 习题答案ex
⑻
⎧1
⎨ ⎩
n
−1+ n +1
1 n+2
−
+ (−1)n
1
⎫ ⎬
。
2n ⎭
证
（1） ∀ε
(0 < ε
< 2) ，取 N
=
⎡2⎤ ⎢⎣ε ⎥⎦
，当
n
>
N
时，成立
0
<
n +1 n2 +1
<
2 n
<
ε
。
（2）
∀ε
(0
<
ε
<
1)
，取
N
=
⎡ lg ε ⎤
⎢ ⎣
lg
0.99
⎥ ⎦
，当
n
>
N
时，成立
lg ε
(−1)n (0.99)n < (0.99)lg0.99 = ε 。
n
（2） 3 + 2 不是有理数。若 3 + 2 是有理数，则可写成既约分数
3 + 2 = m ，于是 3 + 2 6 + 2 = m2 ， 6 = m2 − 5 ，即 6 是有理数，与
n
n2
2n2 2
（1）的结论矛盾。
2. 求下列数集的最大数、最小数，或证明它们不存在：
A = {x|x ≥ 0}；
>
N
，成立
xn
−a
<
ε
，所以 lim n→∞
xn
=
a
。
5.
设 lim n→∞
x2n
= lim n→∞
x2n+1
复旦大学数学系《数学分析》(第3版)(下册)章节题库-多变量微积分学-含参变量的积分和反常积分【圣才
时
从而
于是不等式 p≤α＜p＋1，蕴含 I（p）≥I（α）＞I（p＋1），I（p＋1）≥I（α＋1）＞I（p＋2），
由此推出
因为
所以由上式可得
在此式中用 α＋n 代 α（因而 p＋n≤α＋n＜p＋n＋1，亦即相应地用 p＋n 代 p），即 得
由此可知当 n→∞时，数列 f（α＋n）（n＝1，2，…）有极限 π/2．但上面已证 f（x）以 1 为周期，所以
（2）证明如下： 因为在上面步骤②中已证 I（α）是 α 的减函数，所以 I（α）＞I（α＋1）＞I（α＋2），
由此可知
（最后一步用到上面步骤①中的结果），即 I（α＋1）/I（a）介于 l 和（α＋2）
2 / 44
圣才电子书
/（α＋1）之间，从而
十万种考研考证电子书、题库视频学习平 台
这蕴含 f（α＋1）＝（α＋2）I（α＋1）I（α＋2）＝（α＋1）I（α）I（α＋1）＝f（α）．
因此 f 是周期函数（周期为 1），从而若 p 为一个整数，则
1 / 44
圣才电子书
十万种考研考证电子书、题库视频学习平
台
②因为当 0＜x＜π/2 时 0＜sinx＜1，所以当
由 分
F（y）= 而，更有
易知 f（x，y）是 0≤x≤1，0≤y≤1 上的连续函数．从而，积
是 0≤y≤1 上的连续函数，因此，
．从
9．设：
其中 a<b 及 f（y）为可微分的函数，
8 / 44
圣才电子书
求 F''（x）．
十万种考研考证电子书、题库视频学习平 台
解：当 x∈（a，b）时，由于
于是，得
（3）利用对称性知，所求的体积为
ex6-1
习 题 6.1⒈ 求下列不定积分：⑴ ()x x x dx3225+-⎰; ⑵ (sin e )x dx x +⎰3; ⑶ ()x a dxax +⎰;⑷ ⎰+dxx )cot 2(2;⑸ ⎰-dxx x x )tan sec csc 2(2;⑹ ()x dx 232-⎰;⑺ ()x x dx+⎰12;⑻ ⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛++dx xxx 111132;⑼ ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+dxx x2312; ⑽ 23523⋅-⋅⎰x xxdx;⑾ cos cos sin 2x x xdx-⎰; ⑿ ⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+dx x x221312;⒀ ()12-⎰x x x dx;⒁ cos cos sin 222x x xdx⎰.解（1）332324321210(225433xx dx xdx x dx x x x C+-=+-=+-+⎰⎰⎰⎰。
（2）(sin e )x dx x +⎰3=sin 3cos 3x x xdx e dx x e C +=-++⎰⎰。
（3）()x a dxax +⎰=11(1)1ln xaxa axdx adx xC a a a++=++≠+⎰⎰。
（4）⎰+dxx )cot 2(2=2(1csc )cot x dx x x C +=-+⎰。
（5）⎰-dxx x x )tan sec csc 2(2=22csc sec tan 2cot sec xdx x xdx x x C -=--+⎰⎰。
（6）()x dx 232-⎰=64275316(6128)4875x x x dx x x x x C-+-=-+-+⎰。
（7）()x x dx+⎰12=232111(2)23xdx x x Cxx++=+-+⎰。
（8）⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛++dx xxx 111132=(22dx x C+++=-+⎰。
（9）⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+dxx x2312=⎰⎪⎭⎫⎝⎛+⋅+dxx x x91)32(24122114()ln 4ln 2ln 33ln 99xx xC =+-+-。
复旦大学数学系陈纪修数学分析(第二版)习题答案ex2-3,4
一解 a = 0 舍去），因此
lim
n→∞
xn
=
2。
（3）首先有 x1 =
2 > −1，设 xk > −1，则 xk+1 =
−1 > −1 ，由数学
2 + xk
25
归纳法可知 ∀n ，xn
> −1。由 xn+1
− xn
=
−1 2 + xn
− xn
=
−
(xn + 1)2 2 + xn
< 0 ，可知{xn}
)n
= 0。
证（1）设
lim
n→∞
an
=
+∞ ，则 ∀G
>
0, ∃N1
>
0, ∀n
>
N1
: an
>
3G
。对固定的
N1 ，
∃N > 2N1,∀n > N :
a1 + a2 + " + aN1 n
< G ，于是
2
a1 + a2 + " + an ≥ aN1+1 + aN1+2 + " + an − a1 + a2 + " + aN1 > 3G − G = G 。
n→∞ ⎝ n ⎠
⑴ lim ⎜⎛1 − 1 ⎟⎞n ;
n→∞ ⎝ n ⎠
⑵ lim ⎜⎛1 + 1 ⎟⎞n ;
n→∞ ⎝ n + 1⎠
⑶ lim ⎜⎛1 + 1 ⎟⎞n ;
n→∞ ⎝ 2n ⎠
复旦大学数学分析答案
复旦大学数学分析答案【篇一：复旦大学2009年数学分析考研真题】s=txt>一．填空题xln(1?x)=_____x?01?cosxy(1?x)(2)微分方程y=的通解是____,这是变量可分离方程x（1）lim（3）设?是锥面(0?z?1)的下侧，则???xdyd?z2ydz?d3x(?1z)d?xdy____(4)点（2，1，0）到平面3x+4y+5z=0的距离d=____ (5)设a=? ?21??,2阶矩阵b满足ba=b+2e,则b=____??12?(6)设随机变量x与y相互独立,且均服从区间?0,3?上的均匀分布，则p{max(x,y)?1}?____ 一、选择题（1）设函数y?f(x)具有二阶导数，且f(x)?0，f(x)?0，?x为自变量x在x，处的增量，?y与dy分别为f(x)在点x处对应的增量与微分，若?x?0，则（）（a）0?dx??y （b）0??y?dy （c）?y?dy?0 （d）dy??y?0 （2）设f(x,y)为连续函数，则（a）（c）??d??f(rcos?,rsin?)rdr等于（）1nxf(x,y)dy（b）0f(x,y)dy f(x,y)dx0yf(x,y)dx（d）0（3）若级数?an?1??收敛，则级数（）（a）?an?1?n收敛（b）?(?1)a收敛nnn?1??（c）?anan?1收敛（d）?n?1an?an?1收敛 2n?1（4）设f(x,y)和?(x,y)均为可微函数，且?y(x,y)?0，已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件?(x,y)?0下的一个极值点，下列选项正确的是（）（a）若fx(x0,y0)?0，则fy(x0,y0)?0（b）若fx(x0,y0)?0，则fy(x0,y0)?0 （c）若fx(x0,y0)?0，则fy(x0,y0)?0 （d）若fx(x0,y0)?0，则fy(x0,y0)?0（5）设?1,?2,?,?s都是n维向量，a是m?n矩阵，则（）成立（Ａ）若?1,?2,?,?s线性相关，则a?1,a?2,?a?s线性相关（Ｂ）若?1,?2,?,?s线性相关，则a?1,a?2,?a?s线性无关（Ｃ）若?1,?2,?,?s线性无关，则a?1,a?2,?a?s线性相关（Ｄ）若?1,?2,?,?s线性无关，则a?1,a?2,?a?s线性无关（６）设Ａ是３阶矩阵，将a的第2列加到第1列上得b，将b的第一列的?1倍加到?110???第2列上得c，记p??010?，则（）?001???（a）c?pap（b）c?pap （c）c?pap（d）c?pap（7）设a，b为随机事件，p(b)?0，p?a|b??1,则必有（）（a）p?a?b??p(a)（b）p?a?b??p(b) （c）p(a?b)?p(a)（d）p(a?b)?p(b)2（8）设随机变量x服从正态分布n(?1,?1)，y服从正态分布n(?2,?2)，且2tt?1?1p{x??1?1}?py??2?1}，则（）（a）?1??2 （b）?1??2 （c）?1??2 （Ｄ）?1??2三、简答题（1）设区域d?{(x,y)|x2?y2?1,x?0}，计算二重积分i?1?xy22??1?x?yd（2）设数列{xn}满足0?x1??,xn?1?sinxn（n=1,2?）,求：（i）证明limxn存在，并求之x??1（ii）?xn?1?xn2计算lim?? x???xn?（3）设函数f(u)在（0，?）内具有二阶导数，且z?f满足等式?2?0 2?x?y（i）f(u)?0 验证f(u)?u（ii）若f(1)?0,f(1)?1，求函数f(u)的表达式（4）设在上半平面d?{(x,y)|y?0}内，函数f(x,y)是有连续偏导数，且对任意2的t?0都有f(tx,ty)?tf(x,y)证明：对l内的任意分段光滑的有向简单闭曲线Ｌ，都有?lyf(x,y)dx?xf(x,y)dy?0（5）已知非齐次线性方程组?x1?x2?x3?x4??1??4x1?3x2?5x3?x4??1有３个线性无关的解?ax?x?3x?bx?134?12（Ｉ）证明方程组系数矩阵Ａ的秩 r(a)?2 （ii）求 a , b 的值及方程组的通解（6）设3阶实对称矩阵a的各行元素之和均为3，向量?1?(?1,2,?1)t，?2?(0,?1,1)t实线性方程组ax?0的两个解，（i）求a的特征值与特征向量（ii）求：正交矩阵Ｑ与对角矩阵Ａ，使得qaq?at?1?2,?1?x?0??1（7）随机变量x的概率密度为fx(x)??,0?x?2令y?x2,f(x,y)为二维随机变?4?0,其他??量(x,y)的分布函数（Ｉ）求Ｙ的概率密度fy(y) (ii)f???1???,0?x?1?(8)设总体x的概率密度f(x,0)??1??,1?x?2其中?实未知参数（0???1），?0,其他?x1,x2,?,xn为来自总体x的简单随即样本，记n为样本值x1,x2,?,xn中小于1的个数，求?的最大似然估计【篇二：复旦《数学分析》答案第四章1、2节】题 4.1 微分和导数⒈半径为1cm的铁球表面要镀一层厚度为0.01cm的铜，试用求微?43?r3，每只球镀铜所需要铜的质量为2m???v?4??r?r?1.12g。
数学分析教材习题全解(复旦版)数学分析教材习题
数学分析教材习题全解（复旦版）数学分析教材习题全解习题 12. 1 偏导数与全微分1( 求下列函数的偏导数:5426222(1); (2); z,x,6xy，yz,xln(x，y)x2z,xy，(3); (4); z,sin(xy)，cos(xy)y2,,xx,,tan(5); (6)z,; z,e(cosy，xsiny),,y,,xyyz,sin,cos(7); (8); z,(1，xy)yxx，yz,ln(x，lny)z,arctan(9); (10); 1,xyy222x(x，y，z)z(11); (12); u,eu,xz1y(13); (14); u,xu,222x，y，znnu,axy,a,a(15)，为常数; (16)为常数。
uax,a,ijijijji,iiii,j,1i,1,z,z54432解 (1) ，,6y,12xy。
,5x,24xy,y,x32,z2x,z2xy22(2) ，。
,,2xln(x，y)，2222,y,xx，yx，y,z1,zx,y，,x,(3) ，。
2,y,xyy,z,z,,(4) ， ,xcos(xy),sin(2xy)。
,y,,cos(xy),sin(2xy),y,x,z,zxx,e(xcosy,siny)(5) ，。
,e(cosy，xsiny，siny),y,x222,,,,,zxx,zxx222,,,,,sec,,sec(6) ，。
2,,,,,xyy,yyy,,,,,z1xyyxyzxxy,1xy,,coscos,coscossinsin,sinsin(7) ，，。
22yyx,,xyyxyxxyxyx1，，,zxy,z2y,1y(8) ， (1)ln(1)。
,y(1，xy),，xy，xy，,,1,x,y，xy，，,z1,z1,,(9) ，。
,yy(x，lny),xx，lny,z1,z1zxy,，arctanarctan(10) 注意，,， ,。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
⑺
∫(x +
1 )2 dx ;
x
⑻ ∫ ⎜⎜⎝⎛
x+ 1 3 x2
+ 1⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛
1 x
+
1⎟⎟⎠⎞dx
;
∫ ⑼
⎜⎛ 2 x ⎝
+
1 3x
⎟⎞2 dx ⎠
;
⑽
2 ⋅ 3x − 5 ⋅ 2x
∫
3x
dx ;
⑾
∫
cos 2x cos x − sin x
dx ;
∫ ⑿
⎜⎜⎝⎛
1
2 +x
2
−
3 1− x2
∫ ∫ （3） ∫ (xa + ax )dx =
xadx +
axdx = 1 xa+1 + ax + C (a ≠ 1) 。
a +1
ln a
（4） ∫ (2 + cot 2 x)dx = ∫ (1+ csc2 x)dx = x − cot x + C 。
（5） ∫ (2 csc2 x − sec x tan x)dx = 2∫ csc2 xdx −∫ sec x tan xdx = −2 cot x − sec x + C 。
x
+
sin
x)dx
=
sin
x
−
cos
x
+
C
。
（12）
∫
⎜⎜⎝⎛
1
2 +x
2
−
3 1−
x2
⎟⎟⎠⎞dx
=
2∫
1
dx +x
2
− 3∫
dx = 2 arctan x − 3arcsin x + C 。
1− x2
∫ （13） ∫ (1 − x2 )
x
x dx =
3
(x4
11
− x 4 )dx =
4
x
7 4
−
⎟⎟⎠⎞dx ;
⒀ ∫ (1 − x 2 ) x x dx ;
⒁
∫
cos 2x cos2 x sin 2
x
dx .
∫ ∫ ∫ ∫ 解（1） (x3 + 2x2 − 5 x)dx = x3dx + 2 x2dx − 5
xdx
=
1
x4
+
2
x3
−
10
3
x2
+
C
。
43 3
（2） ∫ (sin x + 3ex )dx = ∫ sin xdx + 3∫ exdx = − cos x + 3ex + C 。
4
程为
y
=
3
4
x3
−
x
+
5
。
4
4
171
此文只供参考，写作请独立思考，不要人云亦云，本文并不针对某个人（单位），祝您工作愉快！一是主要精 力要放在自身专业能力的提升上，二是业余时间坚持写作总结，这是一个长期的积累过程，剩下的，不用过于 浮躁，交给时间就好了。 每个人都有自己的爱，不能强迫自己去做。每个人都有自己的意志，不能被强迫。每个人都有自己的命运，而 不是自己的结。放松你的思想，满足于现状。不要控制你的情绪。去吧，依靠你的梦想。成功取决于奋斗。成 长取决于经验。幸福取决于开放。幸福取决于满足。很容易被人看不起。如果你看起来有点肤浅，你可以放心 。往下看，你会很高兴的。敞开心扉，敞开心扉。只有看透了，我们才能成熟。这很容易理解。 为了成功，你需要给生活足够的速度。这是胜利者的态度，也是胜利者的态度。为了实现这个伟大的目标，我 们必须能够忍受别人的嘲笑和独自工作的孤独。有了信念和追求，人就能忍受一切艰难困苦，适应一切环境。 美属于自信，平静属于准备，奇迹属于坚持。 真正的努力，是“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”的积累；是“贵有恒，何必三更眠五更起 ；最无益，只怕一日曝十日寒”的自律；是“千淘万漉虽辛苦，吹尽黄沙始到金”的执着。
+ 1⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛
1 x
+ 1⎟⎟⎠⎞dx
∫= (2 + 1 + 1 + 1 + x )dx = 2x − 6 +33 x + 2 x + 2 x3 + C 。
6 x7 3 x2
x
6x
3
169
∫ ∫ （9）
⎜⎛ 2 x ⎝
+
1 3x
⎟⎞ 2 ⎠
dx
=
⎜⎛ 4 x ⎝
+
2⋅(2)x 3
+
1 9x
标的倒数，求该曲线的方程。
解 由题意，曲线 y = f (x) 在点 (x, y) 处的切线斜率为 dy = 1 ，于是
dx x
y
=
∫
dx x
=
ln
x
+C
，将点 (e,−1)
代入，得
C = −2 ，所以曲线的方程为
y = ln x − 2 。
3．已知曲线 y = f (x) 在任意一点 (x, f (x)) 处的切线斜率都比该点横坐标
的立方根少 1，
（1） 求出该曲线方程的所有可能形式，并在直角坐标系中画出示意
图；
（2） 若已知该曲线经过 (1,1) 点，求该曲线的方程。
解（1）由题意可得
dy = 3 x −1 ，所以
dx
∫ y =
(3
x
−1)dx
=
3
4
x3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
−
x
+
C
，这
4
170
就是所求曲线方程的所有可能形式。
（2）将点 (1,1) 代入上述方程，可得 C = 5 ，所以过点 (1,1) 的曲线方
习 题 6.1
⒈ 求下列不定积分：
⑴ ∫ (x3 + 2x2 − 5 x )dx ;
⑵ ∫ (sin x + 3ex )dx ;
⑶ ∫ (xa + ax )dx ;
⑷ ∫ (2 + cot 2 x)dx ;
⑸ ∫ (2 csc2 x − sec x tan x)dx ;
⑹ ∫ (x2 − 2)3 dx ;
⎟⎞dx ⎠
=
1 ln 4
4x
+
2 (2)x ln 2 − ln 3 3
−
1 ln 9
1 9x
+C
。
（10） ∫
2 ⋅ 3x − 5 ⋅ 2x 3x
dx
=
∫
2dx
−
5∫
(
2 3
)
x
dx
=
2x −
5 ⋅(2)x ln 2 − ln 3 3
+C
。
（11）
∫
cos 2x cos x − sin
x
dx
=
∫
(cos
∫ （6） ∫ (x2 − 2)3 dx = (x6 − 6x4 +12x2 − 8)dx = 1 x7 − 6 x5 + 4x3 − 8x + C 。 75
∫ （7）
∫
(x
+
1 x
)2
dx
=
(x2 + 2 + 1 )dx = 1 x3 + 2x − 1 + C 。
x2
3
x
（8） ∫ ⎜⎜⎝⎛
x+ 1 3 x2
4
15
x4
+C。
7 15
∫ ∫ ∫ （14）
∫
cos 2x cos2 x sin 2
x
dx
=
cos2 x − sin 2 x dx =
cos2 x sin 2 x
csc2 xdx −
sec2 xdx
= − cot x − tan x + C = −2csc 2x + C 。
⒉ 曲线 y = f (x) 经过点 (e,−1) ，且在任一点处的切线斜率为该点横坐