复旦大学数学分析考研试题及答案

数学分析复旦大学

目录
第一章集合
1．1 集合
1．2 数集及其确界
第二章数列极限
2．1 数列极限
2．2 数列极限（续）
2．3 单调数列的极限
2．4 子列
第三章映射Leabharlann 实函数 3．1 映射 3．2 一元实函数
3．3 函数的几何特性
第四章函数极限和连续性
4．1 函数极限
4．2 函数极限的性质
4．3 无穷小量、无穷大量和有界量
第五章连续函数和单调函数
5．1 区间上的连续函数
5．2 区间上连续函数的基本性质
5．3 单调函数的性质
第六章导数和微分
6．1 导数概念
6．2 求导法则
6．3 高阶导数和其他求导法则
6．4 微分
第七章微分学基本定理及应用
7．1 微分中值定理
7．2 Taylor展开式及应用
7．3 LHospital法则及应用
第八章导数的应用
8．1 判别函数的单调性
8．2 寻求极值和最值
8．3 函数的凸性
8．4 函数作图
8．5 向量值函数
第九章积分
9．1 不定积分
9．2 不定积分的换元法和分部积分法
9．3 定积分
9．4 可积函数类R［a，b］
第二十六章 Lebesgue积分
26．1 可测函数
26．2 若干预备定理
26．3 Lebesgue积分
26．4（L）积分存在的充分必要条件
26．5 三大极限定理
26．6 可测集及其测度
26．7 Fubini定理
练习及习题解答

复旦大学数学系陈纪修《数学分析》第二版习题答案ex

− x ≤ sup S ，即 x ≥ − sup S ；同时对任意 ε > 0，存在 y ∈ S ，使得 y > sup S − ε ，
于是 − y ∈ T ，且 − y < − sup S + ε 。所以 − sup S 为集合 T 的下确界，即
inf T = − sup S 。
5. 证明有界数集的上、下确界唯一。证设 sup S 既等于 A ，又等于 B ，且 A < B 。取 ε = B − A > 0 ，因为 B 为
m
可能：
（i）⎜⎛ n ⎟⎞2 < 3 ，由（1）可知存在充分小的有理数 r > 0 ，使得 ⎜⎛ n + r ⎟⎞2 < 3 ，
⎝m⎠
⎝m ⎠
这说明 n + r ∈ S ，与 sup S = n 矛盾；
m
m
（ii） ⎜⎛ n ⎟⎞2 > 3 ，取有理数 r > 0 充分小，使得 4r − r 2 < ⎜⎛ n ⎟⎞2 − 3 ，于是
m +1
n < n < n + 1 ，所以 maxC 与 minC 都不存在。
m+1 m m+1
3. A, B 是两个有界集，证明：
(1) A ∪ B 是有界集；
(2) S = { x + y | x ∈ A, y ∈ B} 也是有界集。证（1）设 ∀x ∈ A ，有 x ≤ M1 ， ∀x ∈ B ，有 x ≤ M 2 ，则 ∀x ∈ A ∪ B ，有
xn+k
= a。
证
设 lim n→∞
xn
=
a
，则 ∀ε
>

数学分析习题集10复旦大学

x0 = 0; x0 = 0;
4 − x2 ，
x −1 ， x0 = 1; x +1 1+ x ⑼ ln ， x0 = 0; 1− x
⑴
⑻ (1+x) ln (1-x), ⑽
e−x , x0 = 0。 1− x
1 , n2 Sn(x) = nx(1 - x)n , x x Sn(x) = ln , n n xn , Sn(x) = 1+ xn Sn(x) = (sin x)n , x2 +
1 n
(ii) x ∈ (1,+∞ ) )； (ii) x ∈ (1,+∞ ) ；
⑽ Sn(x) = (sin x) ,
1. 讨论下列函数序列在指定区间上的一致收敛性。
(i) x ∈ (0,1) ， x ∈ (0,+∞ ) ； (i) x ∈ (−∞,+∞ ) ， (i) x ∈ (0,1) ， x ∈ ( −∞,+∞ ) ； x ∈ [0,1] ； (i) x ∈ (0,1) ， (i) x ∈ (0,1) ， x ∈ [0, π ] ； (i) x ∈ [0,1] ，
3n ⎛ x − 1 ⎞ ⑸ ∑ ⎜ ⎟ ; n =1 n ! ⎝ 2 ⎠
∞
n
ln 2 n n 2 ⑹ ∑ n x ; n=2 n
⑻
∞
⑺ ⑼
n! n x ； ∑ n n =1 n
∞
( n !) 2 n x ; ∑ n =1 ( 2n) !
∞
∑ (2n + 1)!!xn =1 ∞来自∞(2n )!!
n
。
2. 设 a＞b＞0，求下列幂级数的收敛域。
习
1. 求下列幂级数的收敛半径与收敛域。

数学分析习题集5复旦大学

习
⒈ 对于
题
5.2
x→a +
lim
f ′( x ) = +∞ 或 − ∞ g ′( x )
⒉
的情况证明 L'Hospital 法则。求下列极限： ⑴ lim
x→0
e x − e− x ; sin x
⑶ lim π
x→ 2
ln(sin x ) ; ( π − 2 x )2
sin 3 x ; tan 5 x xm − am ; lim n ⑷ x →a x − a n
x →+∞
26．设 f ( x ) 在 ( a , + ∞ ) 上可导，并且 lim f ′( x ) = 0 ，证明 lim
x →+∞
27．设 f ( x ) 在 [ a , b] 连续，在 ( a, b) 二阶可导，证明存在 η ∈ ( a , b ) ，成立
2
f (x) = 0。 x
a+b ⎛b−a⎞ f (b) + f (a ) − 2 f ( )=⎜ ⎟ f " (η ) 。 2 ⎝ 2 ⎠ b−a ⎡a + b ⎤ （提示：在区间 ⎢ ） )。 , b ⎥ 上考虑函数 g ( x) = f ( x) − f ( x − 2 ⎦ ⎣ 2
⑴ 1） (1 + x) ln (1 + x) < x ；
2 2
1 1 1 1 −1 < − < 。 ln 2 ln(1 + x) x 2 14．对于每个正整数 n （ n ≥ 2 ），证明方程 n x + x n −1 + " + x 2 + x = 1 在 (0,1) 内必有唯一的实根 x n ，并求极限 lim x n 。

数学分析(复旦大学版)课后题答案40-45

1 0
§udÃF¼êPÂÈ©§y{'4Gª§& 1 ln xy dx9uy Q[ , b ](b > 1)þÂñ. b
+∞ a A
ln
0
b dx x
Âñ
#f (x, y)Q[ a, +∞; c, d ]ë§é[ c, d)þzy§ f (x, y) dxÂñ§¢È©Qy = duÑ. y²ùÈ©Q[ c, d ]Âñ. y²µd f (x, d) dxuÑ§&∃ε > 0, ∀A > a, ∃A , A A §¦ f (x, d) dx ε
dx [ p1 , p2 ]
Q
ë
2−p
dx [ p1 , p2 ]
Q
ë
6.
π −1 p 2−p 1 2 1 p π π −1 p 2−p p 2−p p1 2−p1 1 2 1−p1 x→π −0 1 p1 2−p1 p1 π 1 π −1 p−1 2−p1 π π −1 p 2−p 1 2 π p 2−p 1 2 π −1 p 1 2 π 0 p 2−p +∞ +∞
2−p
π −1 1 p 2−p
1 π −1 π sin x sin x sin x sin x dx = dx + dx + dx p (π − x)2−p p (π − x)2−p p (π − x)2−p p (π − x)2−p x x x x 0 0 1 π −1 1 sin x dx p 2−p 0 x (π − x) sin x sin x (0 x 1, 0 < p1 p p2 < 2) p 2 − p p 2 x (π − x) x (π − x)2−p2 sin x 1 lim xp2 −1 p = 2−p 2 − p 2 2 2 x→+0 x (π − x) π 1 sin x p2 < 2 p2 − 1 < 1 dx p2 (π − x)2−p2 x 0 1 sin x dx p ∈ [ p1 , p2 ] p (π − x)2−p x 0 1 sin x sin x (0 , 1 ] × [ p , p ] dx [ p1 , p2 ] 1 2 p (π − x)2−p xp (π − x)2−p x 0 π

数学分析习题集7复旦大学

∫
a
0
f ( x)dx +
∫0
b
f −1 ( y )dy ≥ ab
（ a > 0, b > 0 ）。
lim ∫a | f h ( x ) − f ( x )| dx = 0 。
h→ 0
b
12．设 f ( x ) 和 g ( x ) 在 [a , b] 上都可积，证明不等式 (1) （Schwarz 不等式） ⎡
f ( x) g ( x)dx ⎤ ≤ ∫ f 2 ( x)dx ⋅ ∫ g 2 ( x)dx ； ⎥ a a ⎦
b b
2
2
( x)dx
} + {∫ g ( x)dx}
1 2 b 2 a
1 2
。
lim ∫ [ f ( x)] g ( x)dx
n →∞ a
{
b
} = max f ( x)
7.3
⑵ F(x) =
⑴ 6.
⑵
⎧ − 1, x为有理数, f (x) = ⎨ x为无理数; ⎩1,
x ≠ 0, ⎧ sgn(sin π x ), = ⑷ f (x) ⎨ x = 0. ⎩ 0,
1 在 f ( x)
设 f ( x ) 在 [a , b] 上可积，且在 [a , b] 上满足 | f ( x ) |≥ m > 0 （ m 为常数），证明
⑴ lim⎜
n→∞
8.
求下列定积分： ⑴ ⑶ (5)
∫0 cos n xdx ; ∫0 ( a 2 − x 2 ) n dx ;
1 ∫0 x
π 2
π
⑵ ⑷
∫−π sin n x dx ;
∫0 x
e
1 2

数学分析习题集9复旦大学

ln n
2
2n 2 ; ⑵ ∑ 3 n =1 n + 3n ∞ 1 ⑷ ∑ ; n =1 n ! ∞ π⎞ ⎛ ⑹ ∑ ⎜1 − cos ⎟ ; n⎠ n =1 ⎝
⑻ ⑽
∞
1
n
∑(
n =1
∞
n
n − 1) ;
n2 ; ∑ n n =1 2
∞
∑n
n =1 ∞ n =1
∞
2
e −n ;
[2 + (−1) n ]n ; ∑ 2 2 n +1 n =1 ∞ 2 n n! ⑿ ∑ n ; n =1 n
1+ 15. 利用级数的 Cauchy 乘积证明： (1)
1 ∞ (−1) n ⋅∑ = 1； ∑ n! n =0 n ! n =0
∞
(2) ⎜
⎛
∞ ⎞ n ⎞ ⎛ q qn ⎟ = ⎟ ⎜ ∑ ∑ ⎝ n =0 ⎠ ⎝ n =0 ⎠ ∞
∑ (n + 1)q
n =0
∞
n
=
1 (｜q｜＜1 ) 。 (1 − q ) 2
12. 已知任意项级数
14. 利用
1 1 1 + + … + - ln n → γ ( n → ∞ )， 2 3 n ∞ (−1) n +1 其中 γ 是 Euler 常数(见例 2.4.8)，求下述 ∑ 的更序级数的和： n n =1 1 1 1 1 1 1 1 1 1+ + + + + - + … 。 3 2 5 7 4 9 11 6
(a＞0)。
2. 利用级数收敛的必要条件，证明： (1) lim
n →∞
(2)

数学分析复旦答案

数学分析复旦答案【篇一：复旦《数学分析》答案第四章1、2节】题 4.1 微分和导数⒈半径为1cm的铁球表面要镀一层厚度为0.01cm的铜，试用求微分的方法算出每只球需要用铜多少克？（铜的密度为8.9g/cm3。

）解球体积v?43?r3，每只球镀铜所需要铜的质量为2m???v?4??r?r?1.12g。

?0⒉用定义证明，函数y点之外都是可微的。

证当x?0时，?y?微。

当x?0时，?y???3x2在它的整个定义域中，除了x这一?x2是?x的低阶无穷小，所以y?x2在x?0不可?x?x?o(?x),所以y?x2在x?0是可微的。

习题 4.2 导数的意义和性质1．设f?(x0)存在，求下列各式的值：⑴⑵⑶lim?x?0f(x0??x)?f(x0) ?x；limx?x0f(x)?f(x0)x?x0；。

f(x0?(??x))?f(x0) (??x)??f(x0)。

limh?0f(x0?h)?f(x0?h) h解 (1)lim⑵⑶f(x0??x)?f(x0) ?xf(x)?f(x0)x?x0?x?0??lim?x?0x?x0lim?limf(x0?(x?x0))?f(x0) x?x0x?x0?0?f(x0)。

limf(x0?h)?f(x0?h) hf(x0?h)?f(x0)hh?0f(x0?h)?f(x0)hh?0?limh?0?lim?2f(x0)。

2．⑴用定义求抛物线y?2x2?3x?1的导函数；⑵求该抛物线上过点(?1,?2)处的切线方程；⑶求该抛物线上过点(?2,1)处的法线方程；⑷问该抛物线上是否有(a,b)，过该点的切线与抛物线顶点与焦点的连线平行？解 (1)因为?y?x?2(x??x)?3(x??x)?1?(2x?3x?1)?xf(x)?lim?y?x?4x?3。

22?4x?3?2?x，所以?x?0(2)由于(3)由于f(?1)??1，切线方程为y??1?[x?(?1)]?(?2)??x?3。

f(?2)??5，法线方程为y??1?5[x?(?2)]?1?x?75。