计算机图形学 曲线曲面参数表示的基础知识
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计算机图形学第七章自由曲线与曲面PPT
axt3 ayt3
bxt2 byt2
cxt cyt
dx dy
，t∈〔0,1〕；
z(t) azt3 bzt2 czt dz
矢量表示：
p(t)a3tb2tc td
t∈〔0,1〕；
矩阵表示：
a
p(t) t 3
t2
t
1
b
c
t∈〔0,d1〕；
7.1.3 拟合和逼近
曲线曲面的拟合：当用一组型值点（插值点） 来指定曲线曲面的形状时，形状完全通过给定 的型值点序列确定，称为曲线曲面的拟合，如 图7-2所示。
曲线曲面的逼近：当用一组控制点来指定曲线 曲面的形状时，求出的形状不必通过控制点， 称为曲线曲面的逼近，如图所示。
图7-2 拟合曲线
图7-3逼近曲线
7.1.4连续性条件
通常单一的曲线段或曲面片难以表达 复杂的形状，必须将一些曲线段连接成 组合曲线，或将一些曲面片连接成组合 曲面，才能描述复杂的形状。为了保证 在连接点处平滑过渡，需要满足连续性 条件。连续性条件有两种：参数连续性 和几何连续性。
7.1.2 曲线曲面的表示形式
曲线曲面的可以采用显式方程、隐 函数方程和参数方程表示：
首先看一下直线的表示形式：已知 直线的起点坐标P1（x1，y1）和终 点坐标P2（x2，y2）,直线的显式方 程表示为：
yy1yx22 xy11(xx1)
直线的隐函数方程表示为：
f(x)yy1y x2 2 x y1 1(xx1)0
7.1 基本概念
7.1.1 样条曲线曲面 7.1.2 曲线曲面的表示形式 7.1.3 拟合和逼近 7.1.4 连续性条件
7.1.1 样条曲线曲面
在汽车制造厂里，传统上采用样条绘制 曲线的形状。绘图员弯曲样条（如弹性细木条） 通过各型值点，其它地方自然过渡，然后沿样 条画下曲线，即得到样条曲线（Spline Curve)。 在计算机图形学中，样条曲线是指由多项式曲 线段连接而成的曲线，在每段的边界处满足特 定的连续性条件，而样条曲面则可用两组正交 样条曲线来描述。
计算机图形学第五章曲线与曲面
2015/9/25
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第五章：曲线与曲面
2015/9/25
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第五章：曲线与曲面
2015/9/25
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第五章：曲线与曲面
2015/9/25
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第五章：曲线与曲面
双三次参数曲面的代数形式
双三次参数曲面片: 由两个三次参数变量(u, w)定义的曲面片，最常用。
其代数形式、矩阵表示分别是:
最简单的参数曲线，P(t)=P1+(P2-P1)t t∈[0, 1]; 端点为P1、P2
圆
第一象限内的单位圆弧的非参数方程表示为：
y 1 x2
其参数形式可表示为：
0 x 1
1 t2 x (t ) , 2 1 t
y (t )
2t 1 t 2
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推导略
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第五章：曲线与曲面
参数曲面的定义
一张矩形域上的参数曲面片
一张矩形域上由曲线边界包围具有一定连续性的点集面片，用双参数的
单值函数表示式为：x=x(u, w), y=y(u, w), z=z(u, w) u,w€[0,1] u,w为参 数。并可记为：p(u, w)=[x(u, w), y(u, w), z(u, w)]
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第五章：曲线与曲面
位置矢量、切矢量、法矢量、曲率和挠率
参数表示的三维曲线
有界点集，可写成一个带参数的、连续的、单值的数学函数x=x(t)，
y=y(t)，z=z(t)，0≤t≤1
位置矢量
图5.1.1所示，曲线上任一点的位置矢量可表示为P(t)=[x(t), y(t), z(t)]；其
（4条消息）曲线曲面基本理论
（4条消息）曲线曲面基本理论一、曲线曲面基本理论计算机图形学三大块内容：光栅图形显示、几何造型技术、真实感图形显示。
光栅图形学是图形学的基础，有大量的思想和算法。
几何造型技术是一项研究在计算机中，如何表达物体模型形状的技术。
描述物体的三维模型有三种 :线框模型、曲面模型和实体模型线框模型用顶点和棱边来表示物体曲面模型只描述物体的表面和表面的连接关系，不描述物体内部的点的属性实体模型不但有物体的外观而且也有物体内点的描述。
二、曲线曲面基础1 、显示、隐式和参数表示曲线和曲面的表示方程有参数表示和非参数表示之分，非参数表示又分为显式表示和隐式表示。
对于一个平面曲线，显式表示一般形式是：y = f（x）。
在此方程中，一个x值与一个y值对应，所以显式方程不能表示封闭或多值曲线。
如果一个平面曲线方程，表示成 f（x，y）= 0 的形式，称之为隐式表示。
隐式表示的优点是易于判断一个点是否在曲线上。
2、显式或隐式表示存在的问题（1）与坐标轴相关（2）用隐函数表示不直观，作图不方便（3）用显函数表示存在多值性（4）会出现斜率为无穷大的情形3、参数方程为了克服以上问题，曲线曲面方程通常表示成参数的形式，假定用t表示参数，平面曲线上任一点P可表示为：p ( t ) = [ x ( t ), y ( t ) ]空间曲线上任一三维点P可表示为：p ( t ) = [ x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ]它等价于笛卡儿分量表示：p ( t ) = x ( t ) i + y ( t ) j + z ( t ) k这样，给定一个t值，就得到曲线上一点的坐标。
假设曲线段对应的参数区间为[a,b]，即a≤t≤b。
为方便期间，可以将区间[ a,b ]规范化成[ 0,1 ]，参数变换为：该形式把曲线上表示一个点的位置矢量的各个分量合写在一起当成一个整体，考虑的是曲线上点之间的相对位置关系而不是它们与所取坐标系之间的相对位置关系。
计算机图形学 曲线和曲面
不规则曲线或曲面：不能确切给出描述整个曲线或曲面的方程，是由实际测量中得到的一系列离散数据 点用拟合方法来逼近的。一般采用分段的多项式参数方程来表示，由此形成一条光滑连续的曲线或曲面， 称为样条曲线或曲面。比如Hermite样条曲线或曲面、Bezier样条曲线或曲面、B样条曲线或曲面等。
4.1.1 规则曲线或曲面的表示法
Q
P2’
P2 t=0.5
P1
P3
t=0
A
t=1
4.2.1 二次插值样条曲线的数学表达式
根据以上设定的三个独立条件，可以列出方程组：
t = 0： P(0) = A1 = P1 t = 1： P(1) = A1+ A2+ A3 = P3 t = 0.5：P(0.5) = A1+0.5A2+0.25A3 = P2
4.1.2 参数样条曲线或曲面的常用术语
5．参数连续性与几何连续性 设计一条复杂曲线时，经常通过多段曲线组合而成，这需要解决曲线段之间光滑连接的问题。为保证分段参 数曲线从一段到另一段平滑过渡，可以在连接点处要求各种参数连续性条件。
4.1.2 参数样条曲线或曲面的常用术语
0阶参数连续性：记作C0连续，是指曲线相连，即前一个曲线段的终点与后一个曲线段的起点相同。 P(1)=Q(0) 一阶参数连续性：记作C1连续，是指两个相邻曲线段在连接点处有相同的一阶导数。P’(1)=Q’(0) 二阶参数连续性：记作C2连续，是指两个相邻曲线段在连接点处有相同的一阶和二阶导数。P’(1)=Q’(0)且 P’’(1)=Q’’(0)
[x(t) y(t)] = [t2 t 1]
2 4 2 x1 y1
3
4
1
x2
4.1.1 规则曲线或曲面的表示法
Q
P2’
P2 t=0.5
P1
P3
t=0
A
t=1
4.2.1 二次插值样条曲线的数学表达式
根据以上设定的三个独立条件，可以列出方程组：
t = 0： P(0) = A1 = P1 t = 1： P(1) = A1+ A2+ A3 = P3 t = 0.5：P(0.5) = A1+0.5A2+0.25A3 = P2
4.1.2 参数样条曲线或曲面的常用术语
5．参数连续性与几何连续性 设计一条复杂曲线时，经常通过多段曲线组合而成，这需要解决曲线段之间光滑连接的问题。为保证分段参 数曲线从一段到另一段平滑过渡，可以在连接点处要求各种参数连续性条件。
4.1.2 参数样条曲线或曲面的常用术语
0阶参数连续性：记作C0连续，是指曲线相连，即前一个曲线段的终点与后一个曲线段的起点相同。 P(1)=Q(0) 一阶参数连续性：记作C1连续，是指两个相邻曲线段在连接点处有相同的一阶导数。P’(1)=Q’(0) 二阶参数连续性：记作C2连续，是指两个相邻曲线段在连接点处有相同的一阶和二阶导数。P’(1)=Q’(0)且 P’’(1)=Q’’(0)
[x(t) y(t)] = [t2 t 1]
2 4 2 x1 y1
3
4
1
x2
曲面与曲线知识点总结
曲面与曲线知识点总结一、曲线与曲面的基本概念曲线是在平面上的点按照特定的规则所组成的图形，而曲面则是在三维空间内的点按照特定的规则所组成的图形。
在数学上，我们可以用函数来描述曲线和曲面，从而研究它们的性质和特点。
1.1 曲线的性质曲线可以是直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线等不同类型的图形。
我们可以通过曲线的方程以及参数方程来描述它的形状和位置。
曲线的长短、曲率、切线、法线等性质对于描述曲线的形态和特点至关重要。
1.2 曲面的性质曲面可以是球面、圆柱面、圆锥面、双曲面、抛物面等不同类型的图形。
我们可以用二元函数或者参数方程来描述曲面的形状和位置。
曲面的曲率、切线、法线等性质是研究曲面形态的重要工具。
1.3 直角坐标系和参数方程在研究曲线和曲面的性质时，我们可以使用直角坐标系、参数方程和极坐标系等不同的数学工具来描述它们的形态和位置关系。
不同的描述方法可以帮助我们更好地理解曲线和曲面的性质。
二、曲线的方程与性质曲线方程是研究曲线性质的重要工具，通过曲线方程我们可以得到曲线的形状、位置、长度、曲率等重要信息。
2.1 一元曲线的方程一元曲线的方程可以用直角坐标系的方程或者参数方程来表示。
常见的一元曲线包括直线、圆和椭圆、抛物线、双曲线等。
这些曲线都有各自的特点和性质，通过曲线方程我们可以了解它们的形状和位置关系。
2.2 二元曲线的方程二元曲线的方程可以用参数方程或者隐式方程来表示。
常见的二元曲线包括螺线、双曲线、阿基米德螺线等。
通过曲线方程我们可以了解二元曲线的性质和特点。
2.3 曲线的性质曲线的性质包括长度、曲率、切线、法线等重要内容。
通过曲线方程和导数的求解，我们可以求得曲线的长度、曲率和切线、法线等相关信息，从而了解曲线的形态和特点。
三、曲面的方程与性质曲面方程是研究曲面性质的重要工具，通过曲面方程我们可以得到曲面的形状、位置、曲率等重要信息。
3.1 一元曲面的方程一元曲面的方程可以用隐式方程或者参数方程来表示。
计算机图形学第8讲曲线曲面
P P(t )
t
t [0,1]
可以表示时间、角度等量
9
曲线的表示形式
如：直线方程的矢量表示
P(t) P0 0
t x x0 x1 x0
P1
P P0 ( P1 P0 )t
t [0,1] t [0,1]
x x0 ( x1 x0 )t y y0 ( y1 y0 )t
记为Cn
22
参数连续性与几何连续性
几何连续性
直观的、易于交互控制的连续性 0阶几何连续
称曲线P=P(
臵连续，即
记为：G0
t ) 在 t=t0 处0阶几何连续，如果它在 t0 处位
P( t 0 ) P( t 0 )
1阶几何连续
称曲线 P=P(t) 在 t = t0 处1阶几何连续，如果它在 t0处 GC0 ，并且切矢量方向连续，即
Frenet–Serret 公式
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参数连续性与几何连续性
参数连续性
传统的、严格的连续性 曲线 P = P(t)在 t＝t0 处n阶参数连续，如果它在 t0 处n 阶左右导数存在，并且满足
d k P(t ) d k P(t ) , k 0,1,, n k k dt t t0 dt t t0
参数曲线基础 参数多项式曲线 三次Hermite曲线 Bezier曲线 Bezier曲面 OpenGL相关函数
26
参数多项式曲线
为什么采用参数多项式曲线？
表示最简单 理论和应用最成熟
n次多项式曲线
n x ( t ) x x t x t 0 1 n n y ( t ) y y t y t 0 1 n z (t ) z z t z t n 0 1 n
计算机图形学(第五章曲线曲面 [恢复])
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3
早期手工绘图
4
工业产品的形状大致上可分为两类： • 一类是仅由初等解析曲面例如平面、圆柱 面、圆锥面、球面、圆环面等组成，大多 数机械零件属于这一类。 • 第二类以复杂方式自由地变化的曲线曲面 即所谓自由曲线曲面组成，如飞机、汽车、 船舶的外形零件。自由曲线曲面因不能由 画法几何与机械制图表达清楚，成为摆在 工程师面前首要解决的问题。
22
Bezier曲线
23
Bezier曲线生成
• Bezier定义
– 在空间给定n+1个点P0,P1,P2,…,Pn，称下列参数 曲线为n次的Bezier曲线
BEZi ,n ( t ) C t ( 1 t )
i i n
n i
,t [ 0,1 ]
n! C i !( n i )!
第三章 曲线与曲面
1
曲线曲面
• 从卫星的轨道、导弹的弹道，到汽车和飞 机等的外形，直至日常生活中的图案和花 样设计
2
一类是曲线可以用一个标准的解析式来表示，称为 曲线的方程等。 第二类曲线的特点是，不能确切给出描述整个曲线 的方程，它们往往是由一些从实际测量得到的一系列 离散数据点来确定。这些数据点也称为型值点。
两点的直线段的参数
x x0 ( x1 x0 )t , P P0 ( P1 P0 )t y y0 ( y1 y0 )t ,
t 0,1
参数表示比非参数表示更优越
更大的自由度
参数方程的形式不依赖于坐标系的选取，具有形
状不变性；
在参数表示中，变化率以切矢量表示，不会出现
5
• 对于复杂曲线和曲面的绘制方法
先确定一些满足条件的、位于曲线上的坐标点 ，然后借用曲线板把这些点分段光滑地连接成曲 线。绘出的曲线的精确程度，则取决于所选择的 数据点的精度和数量，坐标点的精度高，点的数 量取得多，则连成的曲线愈接近于理想曲线。
早期手工绘图
4
工业产品的形状大致上可分为两类： • 一类是仅由初等解析曲面例如平面、圆柱 面、圆锥面、球面、圆环面等组成，大多 数机械零件属于这一类。 • 第二类以复杂方式自由地变化的曲线曲面 即所谓自由曲线曲面组成，如飞机、汽车、 船舶的外形零件。自由曲线曲面因不能由 画法几何与机械制图表达清楚，成为摆在 工程师面前首要解决的问题。
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Bezier曲线
23
Bezier曲线生成
• Bezier定义
– 在空间给定n+1个点P0,P1,P2,…,Pn，称下列参数 曲线为n次的Bezier曲线
BEZi ,n ( t ) C t ( 1 t )
i i n
n i
,t [ 0,1 ]
n! C i !( n i )!
第三章 曲线与曲面
1
曲线曲面
• 从卫星的轨道、导弹的弹道，到汽车和飞 机等的外形，直至日常生活中的图案和花 样设计
2
一类是曲线可以用一个标准的解析式来表示，称为 曲线的方程等。 第二类曲线的特点是，不能确切给出描述整个曲线 的方程，它们往往是由一些从实际测量得到的一系列 离散数据点来确定。这些数据点也称为型值点。
两点的直线段的参数
x x0 ( x1 x0 )t , P P0 ( P1 P0 )t y y0 ( y1 y0 )t ,
t 0,1
参数表示比非参数表示更优越
更大的自由度
参数方程的形式不依赖于坐标系的选取，具有形
状不变性；
在参数表示中，变化率以切矢量表示，不会出现
5
• 对于复杂曲线和曲面的绘制方法
先确定一些满足条件的、位于曲线上的坐标点 ，然后借用曲线板把这些点分段光滑地连接成曲 线。绘出的曲线的精确程度，则取决于所选择的 数据点的精度和数量，坐标点的精度高，点的数 量取得多，则连成的曲线愈接近于理想曲线。
计算机图形学第五章曲线和曲面
T(单位切矢)、N(主法矢)和B(副法矢)构成了曲线上的活动坐标架；N、B构成的平 面称为法平面；N、T构成的平面称为密切平面（它与曲线最贴近）；B、T构成的平 面称为从切平面。 对于一般参数t，有：
T
2）曲线的曲率和挠率
曲率：
B N
由于T’(s)与N平行，令T’(s)= κN, κ(kappa)称为曲率，其几何意义是曲线的单位切矢对弧长的转动率。κ恒为 正，又称为绝对曲率。κ曲率的倒数ρ=1/κ ，称为曲率半径。 挠率： 由B(s)· Ｔ(s)=0，两边求导，可得： B‘(s)· Ｔ(s)=0； 又由|B(s)|2=1，两边求导，可得： B‘(s)· B(s)=0； 所以，B’(s)∥N(s)，再令B’(s)=-τN(s)， τ(tau)称为挠率，其几何意义是副法矢方向对于弧长的转动率。挠率大于0、 等于0和小于0分别表示曲线为右旋空间曲线、平面曲线和左旋空间曲线。 对于一般参数t，可以推导出曲率和挠率的计算公式如下：
在曲线、曲面的表示上，参数方程比显式、隐式方程有更多的优越性， 主要表现在： （1）容易满足几何不变性（与坐标系的选取无关）的要求。 （2）有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。 （3）可对参数方程直接进行几何变换，而不需要逐点变换。 （4）便于处理斜率为无穷大的情形，不会因此而中断计算。 （5）便于把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间中去。 （6）规格化的参数变量t∈[0,1]，使得界定曲线、曲面的范围十分简单。 （7）易于用矢量和矩阵运算，从而大大简化了计算。
④ 修正弦长参数化法 ，在四种方法中效果最好：
t0 0 t j t j 1 K j Pj 1 j 1,2,, n
Pj j 3 Pj 2 j 1 K j 1 Pj 2 Pj 1 Pj 1 Pj 2 j min Pj 1Pj Pj 1 , , P1 Pn 0 2
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曲线曲面的逼近：当用一组控制点来指定曲线曲面的
形状时，求出的形状不必通过控制点列
图8-2
曲线的逼近
求给定型值点之间曲线上的点称为曲线的插值。 将连接有一定次序控制点的直线序列称为控制多边形 或特征多边形
图8-2
曲线的逼近
4 连续性条件
假定参数曲线段pi以参数形式进行描述：
pi pi (t )
2 参数曲线的定义及其 位置矢量、切矢量、法矢量、曲率和挠率
有一空间点A，从原点O到A点的连线表示一个矢 量，此矢量称为位置矢量。 空间一点的位置矢量有三个坐标分量，而空间曲 线是空间动点运动的轨迹，也就是空间矢量端点 运动形成的矢端曲线，其矢量方程为：
C C (u) [ x(u), y(u), z (u)]
第八讲 曲线曲面参数表示的基础知识
1 显式、隐式和参数表示
在工程上，曲线曲面的应用十分广泛。如根据实验、 观测或数值计算获得的数据来绘制出一条光滑的曲线，以 描述事物的各种规律。在汽车、飞机、船舶的等产品的外 形设计中，要用到大量的曲线和曲面来描述其几何形状。 表示曲线和曲面的基本方法有两种：参数法和非参数 法。 （1）非参数法 y=f(x) 显函数(不能表示封闭或多值的曲线） f(x，y)=0 隐函数（方程的根很难求） （2）参数法 x=f(t) y=g(t) 求导很方便，不会出现计算上的困难
对于非参数表示形式方式（无论是显式还是隐式）存 在下述问题： 与坐标轴相关； 会出现斜率为无穷大的情形（如垂线）； 对于非平面曲线、曲面，难以用常系数的非参数化函数表 示； 不便于计算机编程。
值得一提的是,隐式方程的优点也很明显.通过将某一点 的坐标代入隐式方程,计算其值是否大于、等于、小于零， 能够容易判断出该点是落在隐式方程所表示的曲线（曲面） 上还是某一侧。利用这个性质，在曲线曲面求交时将会带来 莫大的方便。
（3）对非参数方程表示的曲线、曲面进行变换，必须 对曲线、曲面上的每个型值点进行几何变换；而对参数表 示的曲线、曲面可对其参数方程直接进行几何变换。 （4）便于处理斜率为无穷大的情形，不会因此而中断 计算。 （5）参数方程中，代数、几何相关和无关的变量是完 全分离的，而且对变量个数不限，从而便于用户把低维空 间中曲线、曲面扩展到高维空间去。这种变量分离的特点 使我们可以用数学公式处理几何分量。 （6）规格化的参数变量t∈[0, 1]，使其相应的几何分量 是有界的，而不必用另外的参数去定义边界。 （7）易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算。
2阶参数连续性，
记作C2 连续性，指两个相邻曲线段的方程在相交点
处具有相同的一阶和二阶导数。
(a)0阶连续性
(b)1阶连续性
(c)2阶连续性
2.几何连续性
0阶几何连续性，记作G0连续性，与0阶参数连续性的定
义相同，满足：
pi (ti1 ) p(i 1) (t(i 1) 0 )
1阶几何连续性，记作G1 连续性，指一阶导数在相邻段 的交点处成比例
此式也称为单参数的矢函数。它的参数方程为：
x x (u ) y y (u ), z z (u )
u [u0 , un ]
规范化区间
若t的区间：[a,b]，如果把它转换为[0,1] ，如何做？ 方法（相似性，比例不变）：
t’=(t-a)/(b-a) , 则 t’ [0,1]
2阶几何连续性，记作G2 连续性，指相邻曲线段在交点
处其一阶和二阶导数均成比例。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3 拟合、逼近、插值和光顺 型值点——指通过测量或计算得到的曲线 或曲面上少量描述其几何形状的数据点。 控制点——指用来控制或调整曲线曲面形 状的特殊点，曲线曲面本身不一定通过控 制点。
曲线曲面的拟合：当用一组型值点来指定曲线曲
面的形状时，形状完全通过给定的型值点列。
图8-1
曲线的拟合
其参数形式可表示为：
在曲线、曲面的表示上，参数方程比显式、 隐式方程有更多的优越性，主要表现在：
（1）可以满足几何不变性的要求。 （2）有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。如一条 二维三次曲线的显式表示为： 只有四个系数控制曲线的形状。而二维三次曲线的参 数表达式为：
有8个系数可用来控制此曲线的形状。
在几何造型系统中，曲线曲面方程通常表示成参 数的形式，即曲线上任一点的坐标均表示成给定 参数的函数。 假定用t表示参数，平面曲线上任一点P可表示为： P(t)=[x(t), y(t)]； 空间曲线上任一三维点P可表示为： P(t)=[x(t), y(t), z(t)]；
最简单的参数曲线是直线段，端点为P1、P2的 直线段参数方程可表示为： P(t)=P1+(P2-P1)t t∈[0, 1]; 圆在计算机图形学中应用十分广泛，其在第一 象限内的单位圆弧的非参数显式表示为：
• 参数连续性
t [t i0 , t i1 ]
• 几何连续性
1.参数连续性
0阶参数连续性，记作C0 连续性，是指曲线的
几何位置连接，即
pi (ti1 ) p(i 1) (t(i 1) 0 )
1阶参数连续性
记作C1连续性，指代表两个相邻曲线段的方程在相
交点处有相同的一阶导数：
pi (ti1 ) p(i 1) (t(i 1) 0 ) 且pi (ti1 ) p(i 1) (t( i 1) 0 )