图像识别与理解
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A={a(u, x)}，B={b(v,y)} 通常选择A=B 。
二维酉变换
A=B时，二维酉变换正变换表示为
N 1 n1
F (u, v) a(u, x) f (x, y)a(v, y) x0 y0
用矩阵表示：
F=AfAT 类似的，对于M×N的二维函数f(x,y)
F AM f MN ANT f AM * FMN AN*T
傅立叶变换有两的好处： 1）可以得出信号在各个频率点上的
强度。 2）可以将卷积运算化为乘积运算。
傅立叶积分
• 调谐信号：
e jt cos(t) j sin(t)
• 傅立叶积分：
其中j2=-1
H ( f ) h(t)e j2ft dt
其中t代表时间，f代表频率
傅立叶变换的定义(一维)
f(x)为连续可积函数，其傅立叶变换定义为：
图像变换
问题的提出： 在图像处理中，对图像信息进行变换
的目的是：简化处理，因此必须满足以 下三个要求： 1）变换必须是可逆的。 2）变换必须是有好处的。 3）变换算法必须是不复杂的。
什么是图像变换
❖ 将图像看成是线性叠加系统 ❖ 图像在空域上相关性很强 ❖ 图像变换是将图像从空域变换到其它域如频
域的数学变换 ❖ 常用的变换：傅立叶变换、离散余弦变换、
则F(u,v)的协方差为：Leabharlann Baidu
F E (F F )(F F )*T AE ( f f )( f f )*T
A f A*T
酉变换的性质(3)
5. 其他性质： (1) A为酉阵，则其行列式值|A|=1 (2) 若a为向量，则作酉变换后向量 模保持不变：b=Aa，则|b|=|a|。
酉变换、正交变换与信号分析
❖ 正交变换是酉变换的特例 ❖ 它们都可以用于信号分析 ❖ 用于信号分析的基函数集合和正交矩阵都应
满足正交性和完备性
二维酉变换
❖ N×N二维函数可以类似于一维用正交序列展开 和恢复
N 1 N 1
F (u, v)
f ( x, y)au,v ( x, y)
x0 y0
N 1 N 1
小结
❖ 连续函数集合的正交性和完备性 ❖ 一维正交变换和酉变换 ❖ 二维酉变换 ❖ 基图像 ❖ 酉变换的性质
余弦型变换
❖ 余弦型变换是指将信号分解为基波 为不同频率的余弦信号的线形组合。 由于这是时—频变换的设计思想， 所以又称为时—频变换。
傅立叶变换
❖ 傅立叶变换是最早研究与应用的酉变换 ❖ 60年代出现快速傅立叶变换 ❖ 傅立叶变换域也称为频域
f (x) anun (x)
n0
对任意小的ε＞0，存在充分大的N，
t0 T
2
f (x) f (x) dx
t0
其中
N 1
f (x) anun (x)
，则称函数U集合是完备的。
n0
离散情况
❖ n个正交向量
a11
a1
a21
,
an1
a12
a2
a22
,
,
an
2
a1n
an
a
反变换
基图像
N 1 N 1
f (x, y)
F (u, v)au*,v ( x, y) 0 x, y N
u0 v0
au*,v (x, y) －－看成是基图像
F(u,v) －－权因子 图像f(x,y)可以用N2个基图像的加权和来表示
酉变换的性质
1. 酉矩阵是正交阵
AA*T=A*TA=IN×N 2. A为酉阵，则A-1和AT都是酉阵
4
2
0
2
4
1
f( t)
5
0
5
1 t
1.299
2
5
t
5
把一个信号的波形分解为许多 不同频率正弦波之和。
0.5
g( t)
5
0
5
0.5 t
一维傅立叶变换举例
方波信号：
经过傅立叶 变换后：
一维离散傅立叶变换(DFT)
一维离散傅立叶变换公式为：
F (u)
1
N 1
j 2ux
f (x)e N
u 0,1, , N 1
3. 酉变换是能量保持的变换
对于一维酉变换F=Af, 有||F||=||f||
二维情况下，则有：
N 1 N 1
N 1 N 1
F (u, v) 2 f (x, y) 2
u0 v0
x0 y0
酉变换的性质(2)
4. 均值和方差
设f(x,y)的均值和协方差为μf和Σf 则F(u,v)的均值为：
F E(Af ) AE( f ) A f
以上过程称为正交变换。
酉变换
若A为复数矩阵，正交的条件为：
A1 A*T
其中A*为A的复数共轭矩阵，满足这 个条件的矩阵为酉矩阵。对于任意 向量f的运算称为酉变换：
g Af f A*T g
N 1
g(k) a(k, n) f (n) n0 N 1
f (n) a*(k, n)g(k) k 0
小波变换、离散K-L变换
连续函数集合的正交性
❖ 正交函数集合 U {u0 (t),u1(t), }
t0 T
C if m n
t0 um (t)un (t)dt 0 其它
当C=1时，称集合为归一化正交函数集合
正交函数集合的完备性
• 若f(x)是定义在t0和t0+T区间的实值信号， 平方可积。可以表示为：
2n
ann
n
C i j
akiakj
k 1
0
i j
当C=1时，称归一化正交
a11 a12 a1n
A a21 a22
a2
n
an1 an2
ann
满足：
AT A AAT I
一维正交变换
对于一向量f，用上述正交矩阵进行 运算：
g = Af
若要恢复f，则
f A1g AT g
f (x, y)
F (u, v)au*,v ( x, y)
u0 v0
0 u, v N 0 x, y N
正变换核
反变换核
变换核的可分离性
au,v (x, y) au (x)bv ( y) a(u, x)b(v, y)
其中{au(x), u=0,1,…,N-1}, {bv(y), v=0,1,…,N-1} 为一维完备正交基向量的集合。用矩阵表示：
N x0
逆变换为：
N 1
j 2ux
f (x) F (u)e N x 0,1, , N 1
u0
二维傅立叶变换
二维傅立叶变换由一维傅立叶变换推广而来：
F (u) f (x)e j2uxdx
其反变换为：
f ( x) F (u)e j 2uxdu
F(u)=R(u)+jI(u)
1
幅度谱： F (u) R2 (u) I 2 (u) 2
相位谱： (u) arctan[I (u) / R(u)]
变换分析的直观说明
1
2 1.299
1
h( t)
二维酉变换
A=B时，二维酉变换正变换表示为
N 1 n1
F (u, v) a(u, x) f (x, y)a(v, y) x0 y0
用矩阵表示：
F=AfAT 类似的，对于M×N的二维函数f(x,y)
F AM f MN ANT f AM * FMN AN*T
傅立叶变换有两的好处： 1）可以得出信号在各个频率点上的
强度。 2）可以将卷积运算化为乘积运算。
傅立叶积分
• 调谐信号：
e jt cos(t) j sin(t)
• 傅立叶积分：
其中j2=-1
H ( f ) h(t)e j2ft dt
其中t代表时间，f代表频率
傅立叶变换的定义(一维)
f(x)为连续可积函数，其傅立叶变换定义为：
图像变换
问题的提出： 在图像处理中，对图像信息进行变换
的目的是：简化处理，因此必须满足以 下三个要求： 1）变换必须是可逆的。 2）变换必须是有好处的。 3）变换算法必须是不复杂的。
什么是图像变换
❖ 将图像看成是线性叠加系统 ❖ 图像在空域上相关性很强 ❖ 图像变换是将图像从空域变换到其它域如频
域的数学变换 ❖ 常用的变换：傅立叶变换、离散余弦变换、
则F(u,v)的协方差为：Leabharlann Baidu
F E (F F )(F F )*T AE ( f f )( f f )*T
A f A*T
酉变换的性质(3)
5. 其他性质： (1) A为酉阵，则其行列式值|A|=1 (2) 若a为向量，则作酉变换后向量 模保持不变：b=Aa，则|b|=|a|。
酉变换、正交变换与信号分析
❖ 正交变换是酉变换的特例 ❖ 它们都可以用于信号分析 ❖ 用于信号分析的基函数集合和正交矩阵都应
满足正交性和完备性
二维酉变换
❖ N×N二维函数可以类似于一维用正交序列展开 和恢复
N 1 N 1
F (u, v)
f ( x, y)au,v ( x, y)
x0 y0
N 1 N 1
小结
❖ 连续函数集合的正交性和完备性 ❖ 一维正交变换和酉变换 ❖ 二维酉变换 ❖ 基图像 ❖ 酉变换的性质
余弦型变换
❖ 余弦型变换是指将信号分解为基波 为不同频率的余弦信号的线形组合。 由于这是时—频变换的设计思想， 所以又称为时—频变换。
傅立叶变换
❖ 傅立叶变换是最早研究与应用的酉变换 ❖ 60年代出现快速傅立叶变换 ❖ 傅立叶变换域也称为频域
f (x) anun (x)
n0
对任意小的ε＞0，存在充分大的N，
t0 T
2
f (x) f (x) dx
t0
其中
N 1
f (x) anun (x)
，则称函数U集合是完备的。
n0
离散情况
❖ n个正交向量
a11
a1
a21
,
an1
a12
a2
a22
,
,
an
2
a1n
an
a
反变换
基图像
N 1 N 1
f (x, y)
F (u, v)au*,v ( x, y) 0 x, y N
u0 v0
au*,v (x, y) －－看成是基图像
F(u,v) －－权因子 图像f(x,y)可以用N2个基图像的加权和来表示
酉变换的性质
1. 酉矩阵是正交阵
AA*T=A*TA=IN×N 2. A为酉阵，则A-1和AT都是酉阵
4
2
0
2
4
1
f( t)
5
0
5
1 t
1.299
2
5
t
5
把一个信号的波形分解为许多 不同频率正弦波之和。
0.5
g( t)
5
0
5
0.5 t
一维傅立叶变换举例
方波信号：
经过傅立叶 变换后：
一维离散傅立叶变换(DFT)
一维离散傅立叶变换公式为：
F (u)
1
N 1
j 2ux
f (x)e N
u 0,1, , N 1
3. 酉变换是能量保持的变换
对于一维酉变换F=Af, 有||F||=||f||
二维情况下，则有：
N 1 N 1
N 1 N 1
F (u, v) 2 f (x, y) 2
u0 v0
x0 y0
酉变换的性质(2)
4. 均值和方差
设f(x,y)的均值和协方差为μf和Σf 则F(u,v)的均值为：
F E(Af ) AE( f ) A f
以上过程称为正交变换。
酉变换
若A为复数矩阵，正交的条件为：
A1 A*T
其中A*为A的复数共轭矩阵，满足这 个条件的矩阵为酉矩阵。对于任意 向量f的运算称为酉变换：
g Af f A*T g
N 1
g(k) a(k, n) f (n) n0 N 1
f (n) a*(k, n)g(k) k 0
小波变换、离散K-L变换
连续函数集合的正交性
❖ 正交函数集合 U {u0 (t),u1(t), }
t0 T
C if m n
t0 um (t)un (t)dt 0 其它
当C=1时，称集合为归一化正交函数集合
正交函数集合的完备性
• 若f(x)是定义在t0和t0+T区间的实值信号， 平方可积。可以表示为：
2n
ann
n
C i j
akiakj
k 1
0
i j
当C=1时，称归一化正交
a11 a12 a1n
A a21 a22
a2
n
an1 an2
ann
满足：
AT A AAT I
一维正交变换
对于一向量f，用上述正交矩阵进行 运算：
g = Af
若要恢复f，则
f A1g AT g
f (x, y)
F (u, v)au*,v ( x, y)
u0 v0
0 u, v N 0 x, y N
正变换核
反变换核
变换核的可分离性
au,v (x, y) au (x)bv ( y) a(u, x)b(v, y)
其中{au(x), u=0,1,…,N-1}, {bv(y), v=0,1,…,N-1} 为一维完备正交基向量的集合。用矩阵表示：
N x0
逆变换为：
N 1
j 2ux
f (x) F (u)e N x 0,1, , N 1
u0
二维傅立叶变换
二维傅立叶变换由一维傅立叶变换推广而来：
F (u) f (x)e j2uxdx
其反变换为：
f ( x) F (u)e j 2uxdu
F(u)=R(u)+jI(u)
1
幅度谱： F (u) R2 (u) I 2 (u) 2
相位谱： (u) arctan[I (u) / R(u)]
变换分析的直观说明
1
2 1.299
1
h( t)