北京市西城区2017届高三数学二模试题文
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北京市西城区2017届高三数学二模试题 文
第Ⅰ卷(选择题 共40分)
一、 选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出
符合题目要求的一项.
1.已知集合{|11}A x x =∈-< (D ){|12}x x ∈-< 2.设向量(2,1)=a ,(0,2)=-b .则与2+a b 垂直的向量可以是 (A )(3,2) (B )(3,2)- (C )(4,6) (D )(4,6)- 3.下列函数中,值域为[0,1]的是 (A )2y x = (B )sin y x = (C )21 1 y x = + (D )y 4.若抛物线2 y ax =的焦点到其准线的距离是2,则a = (A )1± (B )2± (C )4± (D )8± 5.设a ,0b ≠,则“a b >”是“11 a b <”的 (A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件 (C )充要条件 (D )既不充分也不必要条件 6 .在平面直角坐标系中,不等式组,020,0y x y -+⎨⎪⎪⎩ ≤≥≥表示的平面区域的面积是 (A (B (C )2 (D ) 7.某四面体的三视图如图所示,该四面体的体积为 (A ) 43 (B )2 (C ) 83 (D )4 8.函数()||f x x x =.若存在[1,)x ∈+∞,使得(2)0f x k k --<,则k 的取值范围是 (A )(2,)+∞ (B )(1,)+∞ (C )1 (,)2 +∞ (D )1(,)4 +∞ 第Ⅱ卷(非选择题 共110分) 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.在复平面内,复数z 对应的点是(1,2)Z -,则复数z 的共轭复数z =____. 10.执行如图所示的程序框图,输出的S 值为____. 11.在ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c .若π3 A = , a =1 b =,则 c =____. 12.已知圆22 :1O x y +=.圆O '与圆O 关于直线20x y +-=对称,则圆O '的方程是____. 13.函数22, 0,()log , 0. x x f x x x ⎧=⎨>⎩≤则1()4f =____;方程1()2f x -=的解是____. 14.某班开展一次智力竞赛活动,共a ,b ,c 三个问题,其中题a 满分是20分,题b ,c 满 分都是25分.每道题或者得满分,或者得0分.活动结果显示,全班同学每人至少答对一道题,有1名同学答对全部三道题,有15名同学答对其中两道题.答对题a 与题b 的人数之和为29,答对题a 与题c 的人数之和为25,答对题b 与题c 的人数之和为20.则该班同学中只答对一道题的人数是____;该班的平均成绩是____. 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分) 已知函数π ()tan()4 f x x =+. (Ⅰ)求()f x 的定义域; (Ⅱ)设β是锐角,且π ()2sin()4 f ββ=+,求β的值. 16.(本小题满分13分) 某大学为调研学生在A ,B 两家餐厅用餐的满意度,从在A ,B 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人,每人分别对这两家餐厅进行评分,满分均为60分. 整理评分数据,将分数以10为组距分成6组:[0,10),[10,20),[20,30),[30,40), [40,50),[50,60],得到A 餐厅分数的频率分布直方图,和B 餐厅分数的频数分布表: (Ⅰ)在抽样的100人中,求对A 餐厅评分低于30的人数; (Ⅱ)从对B 餐厅评分在[0,20)范围内的人中随机选出2人,求2人中恰有1人评分在 [0,10)范围内的概率; (Ⅲ)如果从A ,B 两家餐厅中选择一家用餐,你会选择哪一家?说明理由. 17.(本小题满分13分) 设{}n a 是首项为1,公差为2的等差数列,{}n b 是首项为1,公比为q 的等比数列.记 n n n c a b =+,1,2,3, n =. (Ⅰ)若{}n c 是等差数列,求q 的值; (Ⅱ)求数列{}n c 的前n 项和n S . B 餐厅分数频数分布表 18.(本小题满分14分) 如图,在几何体ABCDEF 中,底面ABCD 为矩形,//EF CD ,CD EA ⊥,22CD EF ==, ED =M 为棱FC 上一点,平面ADM 与棱FB 交于点N . (Ⅰ)求证:ED CD ⊥; (Ⅱ)求证://AD MN ; (Ⅲ)若AD ED ⊥,试问平面BCF 是否可能与平面ADMN 垂直?若能,求出FM FC 的值; 若不能,说明理由. 19.(本小题满分13分) 已知函数()ln 2 a f x x x = +-,其中a ∈R . (Ⅰ)给出a 的一个取值,使得曲线()y f x =存在斜率为0的切线,并说明理由; (Ⅱ)若()f x 存在极小值和极大值,证明:()f x 的极小值大于极大值. 20.(本小题满分14分) 已知椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率是2,且过点P .直线2y x m = +与椭圆C 相交于,A B 两点. (Ⅰ)求椭圆C 的方程; (Ⅱ)求PAB △的面积的最大值; (Ⅲ)设直线,PA PB 分别与y 轴交于点,M N .判断||PM ,||PN 的大小关系,并加以证明.