2020届全国各地高考试题分类汇编13 立体几何

2020届全国各地高考试题分类汇编

13 立体几何

1.（2020?北京卷）某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（ ）．

A. 6

B. 6+

C. 12+

D. 12+

【答案】D

【解析】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的

正方形，则其表面积为：()1322222sin 60122S ??

=??+?????=+

???

故选：D. 2.（2020?北京卷）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1BB 的中点．

（Ⅰ）求证：1//BC 平面1AD E ；

（Ⅱ）求直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值． 【解析】（Ⅰ）如下图所示：

在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB A B 且11AB A B =，1111//A B C D 且1111A B C D =，

11//AB C D ∴且11AB C D =，所以，四边形11ABC D 为平行四边形，则11//BC AD ， 1BC ?平面1AD E ，1AD ?平面1AD E ，1//BC ∴平面1AD E ；

（Ⅰ）以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系A xyz -，

设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则()0,0,0A 、()10,0,2A 、()12,0,2D

、()0,2,1E ，()12,0,2AD =，()0,2,1AE =，

设平面1AD E 的法向量为(),,n x y z =，由100

n AD n AE ??=??=?，得22020x z y z +=??+=?，

令2z =-，则2x =，1y =，则()2,1,2n =-.111

42

cos ,323

n AA n AA n AA ?<>==-

=-??. 因此，直线1AA

与平面1

AD E 所成角的正弦值为2

3

.

3.（2020?全国1卷）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）

A.

B.

C.

D. 【答案】C

【解析】如图，设,CD a PE b ==，则PO ==，

由题意2

12PO ab =，即22

142a b ab -=，

化简得24()210b b a a -?-=，解得14

b a +=（负值舍去）. 故选：C.

4.（2020?全国1卷）已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC 的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为（ ） A. 64π B. 48π

C. 36π

D. 32π

【答案】A

【解析】设圆

1O 半径为r ，球的半径为R ，依题意，得24,2r r ππ=∴=，ABC 为

等边三角形，

由正弦定理可得2sin 60AB r =?=，1OO AB ∴==，根据球的截面性质1OO ⊥平面ABC ，

11,4OO O A R OA ∴⊥====，∴球O 的表面积

2464S R ππ==.

故选：A

5.（2020?全国1卷）如图，在三棱锥P –ABC 的平面展开图中，AC =1，AB AD ==AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE =30°，则cos ∠FCB =______________.

【答案】14

-

【解析】

AB AC ⊥，AB =1AC =，由勾股定理得2BC ==，

同理得BD =BF BD ∴==

ACE △中，1AC =，AE AD ==，

30CAE ∠=，

由余弦定理得2222cos30132112

CE AC AE AC AE =+-?=+-?=，1CF CE ∴==，

在BCF 中，2BC =，BF =

1CF =，

由余弦定理得2221461

cos 22124

CF BC BF FCB CF BC +-+-∠===-???.故答案为：14-.

6.（2020?全国1卷）如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，

AE AD =．ABC 是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，PO ．

（1）证明：PA ⊥平面PBC ； （2）求二面角B PC E --的余弦值．

【解析】（1）由题设，知DAE △为等边三角形，设1AE =，

则DO =

，1122CO BO AE ===，所以4

PO ==

，

PC PB ==

==

又ABC 为等边三角形，则

2sin 60BA OA =，所以BA =，

2223

4

PA PB AB +=

=，则90APB ∠=，所以PA PB ⊥， 同理PA PC ⊥，又PC PB P =，所以PA ⊥平面PBC ；

（2）过O 作ON ∥BC 交AB 于点N ，因为PO ⊥平面ABC ，以O 为坐标原点，OA 为x 轴，ON 为y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则111(,0,0),((,244E P B C -

--，

1(,444PC =---

，1(,444PB =--

，1(,0,24

PE =--，

设平面PCB 的一个法向量为111(,,)n x y z =，

由00n PC n PB ??=??=?

，得1111110

x x ?---=??-+=??

，令1x =，得111,0z y =-=，

所以(2,0,1)n =-，设平面PCE 的一个法向量为222(,,)m x y z =

由00m PC m PE ??=??=

?

，得22222020

x x ?--=??--=??，令21x

=

，得223z y ==，

所以3

(1,

,3

m =

-

故cos ,5||||

3n m

m

n n m ?<>=

=

=

??

， 设二面角B PC E --的大小为θ，则cos θ=

7.（2020?全国2

卷）如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为（ ）

A. E

B. F

C. G

D. H

【答案】A

【解析】根据三视图，画出多面体立体图形，

14D D 上的点在正视图中都对应点M ,直线34B C 上的点在俯视图中对应的点为N,

∴在正视图中对应M ,在俯视图中对应N 的点是4D ,线段34D D ,上的所有点在侧试图中都对应E ,∴点4D 在侧视图中对应的点为E .故选：A

8.（2020?全国2卷）已知△ABC O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ）

A.

B.

32

C. 1

D.

【答案】C

【解析】

设球O 的半径为R ，则2416R ππ=，解得：2R =.

设ABC 外接圆半径为r ，边长为a ，

ABC

212a ∴=，解得：3a =，2233r ∴===，

∴

球心O 到平面ABC 的距离1d ===.

故选：C.

9.（2020?全国2卷）如图，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点，过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F .

（1）证明：AA 1∥MN ，且平面A 1AMN ⊥EB 1C 1F ；

（2）设O 为△A 1B 1C 1的中心，若AO ∥平面EB 1C 1F ，且AO =AB ，求直线B 1E 与平面A 1AMN 所成角的正弦值. 【解析】（1）

,M N 分别为BC ，11B C 的中点，1//MN BB ∴,又11//AA BB ,1//MN AA ∴,

在ABC 中，M 为BC 中点，则BC AM ⊥,又

侧面11BB C C 为矩形，

1BC BB ∴⊥,1//MN BB ,MN BC ⊥,由MN AM M ?=，,MN AM ?平面1A AMN , ∴BC ⊥平面1A AMN ,又

11//B C BC ，且11B C ?平面ABC ，BC ?平面ABC ，

11//B C ∴平面ABC ,又11B C ?平面11EB C F ，且平面11EB C F ?平面ABC EF =,

11//B C EF ∴ ,

//EF BC ∴,又

BC ⊥平面1A AMN ,∴EF ⊥平面1A AMN ,EF ?平面11EB C F ,

∴平面11EB C F ⊥平面1A AMN ,

（2）连接NP ,

//AO 平面11EB C F ，平面AONP ?平面11EB C F NP =,∴//AO NP ,

根据三棱柱上下底面平行，其面1A NMA ?平面ABC AM =，面1A NMA ?平面

1111A B C A N =,

∴//ON AP ,故：四边形ONPA 是平行四边形,设ABC 边长是6m (0m >),

可得：ON AP =，6NP AO AB m ===,

O 为

111A B C △的中心，

且111A B C △边长为6m ,

∴1

6sin 603

ON =???=,故：ON AP ==,

//EF BC ,∴

AP EP

AM BM

=,

∴

3EP

=,解得：EP m =,在11B C 截取1B Q EP m ==，故2QN m =, 1B Q EP =且1//B Q EP ,∴四边形1B QPE 是平行四边形，∴1//B E PQ ,

由（1）11B C ⊥平面1A AMN ,故QPN ∠为1B E 与平面1A AMN 所成角,

在Rt QPN △，根据勾股定理可得：PQ ==

=

sin

10

QN QPN PQ ∴∠=

==

∴直线1B E 与平面1A AMN

10.（2020?全国3卷）下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）

【答案】C

【解析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形

根据立体图形可得：1

2222

ABC ADC CDB S S S ===??=△△△

根据勾股定理可得：AB AD DB ===

∴

ADB △是边长为

根据三角形面积公式可得：211sin 6022ADB S AB AD =

???==△

∴该几何体的表面积是：632=?++故选：C.

11.（2020?全国3卷）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．

【解析】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示， 其中2,3BC AB AC ===，且点M 为BC 边上的中点，设内切圆的圆心为O ，

由于AM ==1

22

S =

??=△ABC 设内切圆半径为r ，则：ABC AOB BOC AOC

S S S S =++△△△△111

222

AB r BC r AC r =??+??+??

()1

3322

r =?++?=2

r ，其体积：343V r π==.

.

12.（2020?全国3卷）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别在棱11,DD BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．

（1）证明：点1C 在平面AEF 内；

（2）若2AB =，1AD =，13AA =，求二面角1A EF A --的正弦值． 【解析】（1）在棱1CC 上取点G ，使得11

2

C G CG =

，连接DG 、FG 、1C E 、1C F ，

在长方体1111ABCD A B C D -中，//AD BC 且AD BC =，11//BB CC 且11BB CC =，

112C G CG =，12BF FB =，1122

33

CG CC BB BF ∴===且CG BF =，

所以，四边形BCGF 为平行四边形，则//AF DG 且AF DG =，

同理可证四边形1DEC G 为平行四边形，1//C E DG ∴且1C E DG =，

1//C E AF ∴且1C E AF =，则四边形1AEC F 为平行四边形，

因此，点1C 在平面AEF 内；

（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系1C xyz -，

则()2,1,3A 、()12,1

,0A 、()2,0,2E 、()0,1,1F ， ()0,1,1AE =--，()2,0,2AF =--，()10,1,2A E =-，()12,0,1A F =-，

设平面AEF 的法向量为()111,,m x y z =，

由0

m AE m AF ??=???=??，得11110220y z x z --=??--=?取11z =-，得111x y ==，则()1,1,1m =-， 设平面1A EF 的法向量为()222,,n x y z =，

由1100

n A E n A F ??=???=??，得22222020y z x z -+=??-+=?，取22z =，得21x =，24y =，则()1,4,2n =，

cos ,3m n m n m n

?<>=

=

=?

? 设二面角1A EF A

--的平面角为θ

，则cos 7θ=

，sin

7

θ∴

==

. 因此，二面角1A EF A --的正弦值为

7

.

13.（2020?江苏卷）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半轻为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.

【答案】2

π

【解析】正六棱柱体积为2

62?,圆柱体积为21()222ππ?=

所求几何体体积为2

π

,故答案为： 2

π

14.（2020?江苏卷）在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．

（1）求证：EF ∥平面AB 1C 1； （2）求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．

【解析】（1）由于,E F 分别是1,AC B C 的中点，所以1//EF AB . 由于EF ?/平面11AB C ,1AB ?平面11AB C ，所以//EF 平面11AB C . （2）由于1B C ⊥平面ABC ，AB

平面ABC ，所以1B C AB ⊥.

由于1,AB AC AC B C C ⊥?=，所以AB ⊥平面1AB C , 由于AB

平面1ABB ，所以平面1AB C ⊥平面1ABB .

15.（2020?新全国1山东）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为（ ）

A. 20°

B. 40°

C. 50°

D. 90°

【答案】B

【解析】画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线；l 是点A 处的水平面的截线，依题意可知OA l ⊥；AB 是晷针所在直线.m 是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，

根据平面平行的性质定理可得可知//m CD 、根据线面垂直的定义可得AB m ⊥.. 由于40,//AOC m CD ∠=?，所以40OAG AOC ∠=∠=?，

由于90OAG GAE BAE GAE ∠+∠=∠+∠=?，

所以40BAE OAG ∠=∠=?，也即晷针与点A 处的水平面所成角为40BAE ∠=?. 故选：B

16.（2020?新全国1山东）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂足为C ，

tan ∠ODC =3

5

，BH DG ∥，

EF =12 cm ，DE=2 cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7 cm ，圆孔半径为1 cm ，则图中阴影部分的面积为________cm 2．

【答案】542

π+

【解析】设==OB OA r ，由题意7AM AN ==，12EF =，所以5NF =， 因为5AP =,所以45AGP ?∠=，因为//BH DG ，所以45AHO ?∠=，

因为AG 与圆弧AB 相切于A 点，所以OA AG ⊥，即OAH △为等腰直角三角形；

在直角OQD △中，52OQ r =-

，72

DQ =-，

因为3

tan 5OQ ODC DQ ∠=

=，所以2125=，解得r =

等腰直角OAH △的面积为11

42

S =

?=；扇形AOB 的面积(2

213324

S π

π=??=，

所以阴影部分的面积为1215422S S ππ+-

=+.故答案为：542

π+.

17.（2020?新全国1山东）已知直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD =60°．以1D

BCC 1B 1的交线长为________．

【答案】

2

. 【解析】如图：

取11B C 的中点为E ，1BB 的中点为F ，1CC 的中点为G ，

因为BAD ∠=60°，直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均为2，所以△111D B C 为等边三角

形，所以1D E =111D E B C ⊥，

又四棱柱1111ABCD A B C D -为直四棱柱，所以1BB ⊥平面1111D C B A ，所以111BB B C ⊥， 因为1

111BB B C B =，所以1D E ⊥侧面11B C CB ，

设P 为侧面11B C CB 与球面的交线上的点，则1D E EP ⊥，

1D E ，所以||EP ===

所以侧面11B C CB 与球面的交线上的点到E ，

因为||||EF EG ==

11B C CB 与球面的交线是扇形EFG 的弧FG ，

因为114

B EF

C EG π

∠=∠=

，所以2

FEG π

∠=

，

所以根据弧长公式可得2

2

FG π

==

.故答案为：2.

18.（2020?新全国1山东）如图，四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ．设平面P AD 与平面PBC 的交线为l ．

（1）证明：l ⊥平面PDC ；

（2）已知PD =AD =1，Q 为l 上的点，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值． 【解析】（1）证明： 在正方形ABCD 中，//AD BC ，

因为AD ?平面PBC ，BC ?平面PBC ，所以//AD 平面PBC ， 又因为AD ?平面PAD ，平面PAD

平面PBC l =，所以//AD l ，

因为在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，所以,,AD DC l DC ⊥∴⊥ 且PD ⊥平面ABCD ，所以,,AD PD l PD ⊥∴⊥因为CD PD D =所以l ⊥平面PDC ；

（2）如图建立空间直角坐标系D xyz -，

因为1PD AD ==，则有(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(1,1,0)D C A P B ， 设(,0,1)Q m ，则有(0,1,0),(,0,1),(1,1,1)DC DQ m PB ===-， 设平面QCD 的法向量为(,,)n x y z =，则00

DC n DQ n ??=?

?=?，即0

y mx z =??

+=?，

令1x =，则z m =-，所以平面QCD 的一个法向量为(1,0,)n m =-，则

cos ,3n PB n PB n PB

?<>=

=

根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与平面所成角的正弦值等于

|cos ,|n PB <>=

==≤≤=，当且仅当1m =时取等号，

所以直线PB 与平面QCD .

19.（2020?天津卷）若棱长为则该球的表面积为（ ） A. 12π B. 24π

C. 36π

D. 144π

【答案】C

【解析】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，

即

3

R =

=，所以，这个球的表面积为

2244336S R πππ==?=.故选：C.

20.（2020?天津卷）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面

,,2ABC AC BC AC BC ⊥==，13CC =，点,D E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且12,AD CE M ==为棱11A B 的中点．

（Ⅰ）求证：11C M B D ⊥；

（Ⅱ）求二面角1B B E D --的正弦值；

（Ⅲ）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值．

【解析】依题意，以C 为原点，分别以CA 、CB 、1CC 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），

可得()0,0,0C 、()2,0,0A 、()0,2,0B 、()10,0,3C 、

()12,0,3A 、()10,2,3B 、()2,0,1D 、()0,0,2E 、()1,1,3M .

（Ⅰ）依题意，()11,1,0C M =，()12,2,2B D =--，

从而112200C M B D ?=-+=，所以11C M B D ⊥； （Ⅰ）依题意，()2,0,0CA =是平面1BB E 的一个法向量，

()10,2,1EB =，()2,0,1ED =-．设(),,n x y z =为平面1DB E 的法向量，

则100n EB n ED ??=???=??，即2020y z x z +=??-=?，不妨设1x =，可得()1,1,2n =-．

cos ,2C CA n A C n

A n ?<>=

=

=??， 230

sin ,1cos ,CA

n CA n ∴<>=-<>=

．所以，二面角1B B E D --；

（Ⅰ）依题意，()2,2,0AB =-．

由（Ⅰ）知()1,1,2n

=-为平面1DB E 的一个法向量，于是

cos ,22AB n AB n

AB n

?<>=

=

=?．

所以，直线AB 与平面1DB E 21.（2020?浙江卷）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm 3）是（ ）

A.

73

B.

143

C. 3

D. 6

【答案】A

【解析】由三视图可知，该几何体是上半部分是三棱锥，下半部分是三棱柱，

且三棱锥的一个侧面垂直于底面，且棱锥的高为1，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，