万有引力与航天重点知识归纳及经典例题练习

第五讲万有引力定律重点归纳讲练

知识梳理

考点一、万有引力定律

1.开普勒行星运动定律

（1）第一定律（轨道定律）:所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。

（2）第二定律（面积定律）:对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。

（3）第三定律（周期定律）:所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周

期二次方的比值都相等，表达式: 兰一k。其中k值与太阳有关，与行星无

T2

关。

（4）推广：开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳运转，也适用于

卫星绕地球运转。当卫星绕行星旋转时，兰一k，但k值不同，k与行星有

T2

关，与卫星无关。

（5）中学阶段对天体运动的处理办法：

①把椭圆近似为园，太阳在圆心；②认为v与宀不变，行星或卫星做匀速

圆周运动；

R3

③T2 = k, R――轨道半径。

2.万有引力定律

(1)内容：万有引力F与m i m2成正比，与r2成反比。

(2)公式: G叫万有引力常量，G 二 6.67 10J1N m2 /kg2。

(3)适用条件：①严格条件为两个质点；②两个质量分布均匀的球体，

r

指两球心间的距离；③一个均匀球体和球外一个质点，r指质点到球

心间的

距离。

(4)两个物体间的万有引力也遵循牛顿第三定律。

3.万有引力与重力的关系

(1)万有引力对物体的作用效果可以等效为两个力的作用，一个是重

力mg，另一个是物体随地球自转所需的向心力如图所示。

①在赤道上，F=F 向+mg，即mg虫啤“翔；

R

②在两极F=mg，即G Mm =mg;故纬度越大，重力加速度越大。

R2

由以上分析可知，重力和重力加速度都随纬度的增加而增大。

⑵ 物体受到的重力随地面高度的变化而变化。在地面上，©啤二mg=g二卑；

R R 在地球表面高度为h处：G4 mg h=g h - GM ，所以g _ " g，随高度的(R+h)2(R+h)2 h (R+h)2

增加，重力加速度减小。

考点二、万有引力定律的应用一一求天体质量及密度

2 3

3

T 、r 法：G^-mQlM 二弓，再根据V=4戌宀M

，当r=R 时，

r T GT 3 V GTR

考点三、星体表面及某高度处的重力加速度

1、 星球表面处的重力加速度：在忽略星球自转时，万有引力近似等于

_Mm GM

重力，则G _RT=m g= g 二眉

注意：R 指星球半径。

G Mm 2 = mg= g h - GM 2，

(R h)2

(R h)2

'

向心加速度与重力加速度相等。

1.

GT

2. g 、R 法:

Mm

G R 2 二

mg ： M = R 2g G ，

Mm

2

v

M 二 3. v 、r 法： G 2 二 m- -

r

r

―Mm 2

v —

Mm

4. v 、T 法： G 2 =m _ ,G 2 4wM —d

3 ' V 4GR

2 2

r r (〒“

M P

2G

2、 距星球表面某高度处的重力加速度: (R h)

注意：卫星绕星球做匀速圆周运动，此时的向心加速度

GM (R h)2

r

再根据V 二 2

2 rv G

考点四、天体或卫星的运动参数

我们把卫星（天体）绕同一中心天体所做的运动看成匀速圆周运动，所需

Mm

V

G 2 =m^=m =mr

r r

卫星（天体）圆周运动的有关参数：

Mm

v 2

GM 1 1、 线速度：G —2 m v 「 "，:-

r r

\ r V r

^Mm 2 GM 17

2、角速度：&^时“飞丁十

Mm 2、2

G MT = mr （〒八 T =2V G M

Mm 一 GM

4、向心加速度：G 「2 一 ma n _ a n _ r 2

规律：当r 变大时，“三小” （V 变小,3变小,a n 变小）“一大”（T 变大）。 考点五、地球同步卫星

对于地球同步卫星，要理解其特点，记住一些重要数据。总结同步卫星 的以下“七个一定”。 1、 轨道平面一定：与赤道共面。

2、 周期一定：T=24h ，与地球自转周期相同。

3、 角速度一定：与地球自转角速度相同。

4、

绕行方向一定：与地球自转方向一致。

5、 高度-定：由鬻=咿嚟

Z

10m6R

要的向心力由万有引力提供，

3周期: ，就可以求出

Mm v 2

9 GM gR

6、 线速度大小一定：

G 芥 m ,GMg 民 v = -3 1uh/s (Rh 2

(Rh \Rh 、Rh

1、 对三种宇宙速度的认识：

⑴第一宇宙速度——人造卫星近地环绕速度。大小 V i =7.9km/s 。

第一宇宙速度的算法：

法一：由 G M m =m V ^. v =.GM ，r=R+h ，而近地卫星 h=0，r=R ，则

r r

\ r

2

r --------

G M m 二m v =v=.GM ，代入数据可算得：V i =7.9km/s 。

R R R

2

法二：忽略地球自转时，万有引力近似等于重力，则

mgm V =v= gr ，同理

r

r=R+h ，而近地卫星h=0，=R ,mg=m' : v= gR ，代入数据可算得：v 1=7.9km/s o R

对于其他星球的第一宇宙速度可参照以上两法计算。计算重力加速度

时一般与以下运动结合： ①自由落体运动；②竖直上抛运动；③平抛运动； ④单摆

(2) 第二宇宙速度一一脱离速度。

大小v 2=11.2km/s ,是使物体脱离地球吸引，成为绕太阳运行的行星的最小 发射速度。 (3) 第三宇宙速度一一逃逸速度。

大小v 3=16.7km/s ,是使物体脱离逃逸引力吸引束缚的最小发射速度。

7、 向心加速度一定: 考点六、宇宙速度

= ma,GMgF^- 0.=

GM

(R h)2

gF

(R H

二

Q23rYs 2