第5章552均方误差准则MSE和LMS算法

5.5.2均方误差准则（MSE ）和LMS 算法引言：均方误差准则同时考虑ISI 及噪声的影响，使其最小化。

本节讨论问题： 1. 均方误差准则；2. 无限长LMS 均衡器（C (z )，J min ）；3. 有限长LMS 均衡器（C opt ，J min ）；4. LMS 算法；5. 均衡器的操作；6. 递推LMS 算法收敛特性的分析。

一. 均方误差准则其中， 接收数据样本为：k n k n k nf I η-=+∑v ，k η为白噪声。

估计误差：ˆISI k k k kI I εε=-，包括及噪声 定义：估计值2ˆ[]k kI J E ε=的均方误差为均衡器的性能指数。

均方误差准则：使均方误差性能指数J 最小（min J ），此准则同时考虑使ISI 及噪声影响最小。

获得min J 的途径：调整{}j c ，当min J J =时，opt C C =(最佳抽头系数)寻找opt C 的方法：1)根据正交性原理（线性均方估计）：*[]0k k l E l ε-=，所有v 。

（注：与ZF 准则不同的是，这里的输入是经过两个输入滤波器的数据样本k v ，这就包含了噪声）。

即*ˆ[]0k k lE l ε-=，所有I 。

2)求函数极值方法：令?0=→=∂∂opt kJC C 2013年5月3日星期五上午讲于此处，已经是第十次矣。

这两种方法是等价的，证明如下。

证明：求导置零方法与正交性原理等价。

ˆlimKkj k jj k jK j j KI c c ∞--→∞=-∞=-==∑∑vvlim T k K →∞=V c假如均衡器为有限长，则ˆT k kI =V c 其中11Tk k K k K kk K k K v v v v v ++--+-⎡⎤=⎣⎦V ，以及11TKK K K c c c c c --+-⎡⎤=⎣⎦c 。

()2ˆˆ[][()()]k k k k kJ E E I I I I ε**==--c *[()]T k k k E I ε=-V c故{}k k J E ε*∂=-∂V c另一种方法：()22*ˆˆ[][()()] {()()}[][][][]k k k k k k i k i k j k j ijk i k k i j k k j i j k i k j ijijJ E E I I I I E I c I c E I c E I c E I c c E ε*****--****----==--=--=--+∑∑∑∑∑∑c v v v v v v2*[][][][]k i k k i j k k j i j k i k j ijijE I c E I c E I c c E ****----=--+∑∑∑∑v v v v可见，()J c 是{}j c 的平方函数（二次型）。

求导置零可得：*0k k l j k l k j jl J E I c E c **---∂⎡⎤⎡⎤=-+=⎣⎦⎣⎦∂∑v v v 即，***0, k j k j k l j l J E I c l c --⎧⎫⎡⎤∂⎪⎪=--=-∞<<∞⎨⎬⎢⎥∂⎪⎪⎣⎦⎩⎭∑v v ()()**00k k i k k i E E εε--∴==，或v v ，i -∞<<∞{}k k J E ε*∂=-∂V c11Tk k Kk K kk K k K v v v v v ++--+-⎡⎤=⎣⎦V结论：求导方法与正交性原理是等价的，满足正交条件，就可以获得最小MSE 。

二、无限长LMS 均衡器（()min J z C ，性能）1. 求()z C ：从正交原理出发，()*0k k l E ε-=v(10-2-27)即*[()]0k j k jk l j E I c ∞--=-∞-=∑vv即()()*jk -jk -l k k l j c E E I ∞-=-∞=∑*vv v （*） 正交条件注: k l -v 是收数据样本，其中的噪声已经白化。

在（*）式左边可以得到：{}********0 k j k l n k j n k j m k l m k l n m n m k j n k l m k j k l n m n m k j n k l m ljnmE E f I f I E f f I I f f E I I N ηηηηδ*------------------⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭=+∑∑∑∑∑∑v v式中利用了[]0k n k n k k nf I E ηη-=+=∑，v 。

注：j k jk j k kj j k ,)(δδδδδ==-==-都是Kroenecker 冲激或离散冲激的不同写法。

因此我们有：***,00[]k j k l n m n m l j lj m m l j lj nmmE f f N f f N δδδ--+-+-=+=+∑∑∑v v*00Ln n l j lj n f f N δ+-==+∑0 0,l j lj x N l j L else δ-⎧+-≤⎪=⎨⎪⎩ (A)注：()()(1/)X z F z F z **=，()1F z **-代表了()F z 序列的共轭颠倒序列。

或者说()1F z **-代表了()F z 的MF(零时延)。

()()(1/)X z F z F z **=()101L L f f z f z --=+++11110()L L L L L z f f z f z f z **-*-+*--⎡⎤++++⎣⎦000LLLLL ijLi j iL jiL j i j i j zfzfzzff z -*-*----======∑∑∑∑00LLLi j iL j i j zff z *---===∑∑00L Ln i i n i n f f z *-===∑∑L Ll n ln l L n ff z *-+=-==∑∑（注：令l i n =-）故*0Ll n n l n x f f +==∑，其支撑为：L l L -≤≤或者说，可以得到*****0LL kk n nlk l l l k n n kn n k lln n x f ff f f f f ff f ----+++===*====∑∑∑∑也可以写为j l j l L n jl n n Ln jl n n x fff f---=-+=-+==∑∑)(0**（*）式右边：,*******, 1(){[]}{}{}k k l n k k l k n k l n k l n k k l n k k l nnc c E I E I f I f E I I E I δηη---------==+=+∑∑v式中，,,10k k l n l n n l n lδδ---=-⎧==⎨≠-⎩，当，当由此可得{}** , 0l k k lf L l E I --⎧-≤≤=⎨⎩v (B)将（A ）、（B ）两式代入（*）式：*0[]jl jlj l j c xN f δ∞--=-∞+=∑上式就是: *0l l l l c x N c f -⊗+=取Z 变换： ()()110[()]()C z F z F z N F z **-**-+= (10-2-31)则MMSE 均衡器 ()110()()()F z C z F z F z N **-**-=+ (10-2-32) 等效MMSE 均衡器： ()()10011()()C z F z F z N X z N **-'==++ (10-2-33)kI ^()z C '2. 求min J （最小均方误差） （1） 时域2*****ˆ[][()][][]k k k k k k k j k jjJ E E I I E I E c εεεε-==-=-∑v 利用正交原理第二项为零，所以2**min ˆ[()][][()]k k k k k j k jjJ E I I I E I E I c -=-=-∑v *[]j k j k j j jjc c E I c c f --=-=-∑∑v （利用(B)式）令信息符号的平均功率为1，则2[]1k c E I ==min 011jj l ll j J cf c f ∞-==-∞=-=-⊗∑{k I ⎭⎬⎫k I ^()z C ()z F ∞Tx ，Ch，MF，WF{}()0min 01b J f c b f cb z b z B b j jj jn j jn nn n n -=∴===↔--∞-∞=-∞-∞=∑∑∑（2）频域通过z 变换及令，T j e z ω=将min J 式的{}关系变换成n f J ~min()()关系ωωH e X J T j ⋅~min全传输系统响应：{}()()()0N z X z X z B b n +=↔ (10-2-35)以z 反变换（留数法）求：()112n-n cb B z z dz j π=⎰()()()1001122ccX z b B z z dz dz j j z X z N ππ-∴==+⎡⎤⎣⎦⎰⎰(10-2-36)j T z e Tωπω=≤令，且，()()()()()0012 2j T Tj T j T j TTj TTj TTX e b e e jT d j X eNX e Td Xe Nωπωωπωωππωωπωπ---=⋅⋅+=+⎰⎰ (10-2-37)代入 min 01J b =-，得 ()0min2T j TTN T J d X eNππωωπ-=+⎰将()j T X e ω以信道折叠谱表示。

因为()()()k t kTx x kT h t h t *===⊗-()()h t h t *⊗-的傅里叶变换为2()H ω，故212()FTk k n n x t kT H T T πδω∞∞=-∞=-∞⎛⎫-←−→+ ⎪⎝⎭∑∑又22()()()j ft j fkT k k k k k k k FT x t kT x t kT e dt x e DTFT x ππδδ∞∞∞∞--=-∞=-∞=-∞-∞⎧⎫-=-==⎨⎬⎩⎭∑∑∑⎰所以()212 j Tn n X e H T T T ωππωω∞=-∞⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭∑， (10-2-18) 所以min2for ISI 0212T Tn T TN J d n H N T T ππωππω-∞=-∞===⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎰∑ (10-2-38)所以，当ISI=0时， 0min min 0011N J J N =<<+， (10-2-39)因k k k I I ˆ-=ε，故ˆk k k I I ε=+,22ˆ[||]||k k k E I E I ε=-，利用正交原理*ˆ[]0k k lE ε-=I ，易证：222ˆ||||||k k k E I E I E ε=+，即2min ˆ[]1k E I J =-。