第六章-定积分习题(期末)
微积分练习题(含答案)
练习题第六章 定积分1．1()(2(0)xF x dt x =->⎰的单调增加区间为_____. 1(,)4+∞2． 函数0()xt F x te dt -=⎰在点x =____处有极值. 03．设sin 201()sin ,()sin 2x f x t dt g x x x ==-⎰，则当0x →时有( A ). (A) ()~()f x g x (B) ()f x 与()g x 同阶，但()f x 不等价于()g x (C) ()(())f x o g x = (D) ()(())g x o f x =4．计算3523220sin sin 2sin cos . []3515x x x xdx ππ⋅-=⎰5．计算21e ⎰1)6.求函数dt t t x x I )ln 1(1)(-=⎰在],1[e 上的最大值与最小值. 最大值()3412-e ，最小值07.设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥=<<-+01 2cos 110 )(2x xx xe x f x ，计算⎰-41)2(dx x f .()11tan 214-+e 8.2sin ()xt dt tπ'=⎰( C ) (其中2x π>).(A)sin x x (B)sin xC x+ (C)sin 2x x π- (D) sin 2x C x π-+ 9. 设()f x 是连续函数,且3()x f t dt x =⎰,则(8)f =_____.11210. xdt t x x cos 1)sin 1ln(lim-+⎰→=___1__ ；)1ln(cos lim202x tdtx x +⎰→=__1__ .11. 设()()()bad d I f x dx f x dx f x dx dx dx '=+-⎰⎰⎰存在,则(C ). (A) ()I f x = (B) ()I f x C =+ (C) I C = (D) 0I =12. 已知1(2),(2)02f f '==，及20()1f x dx =⎰，则120(2)x f x dx ''⎰ = 0__ .13. 若sin 0()cos xf t dt x x =+⎰(0)2x π<<，则()f x ___.第五章 不定积分1. 若()()F u f u '=,则(sin )cos f x xdx =⎰__ _. (sin )F x C +2. 若()sin 2,f x dx x C =+⎰则()f x =__ _. 2cos 2x3.2()1xf x dx C x =+-⎰,则sin (cos )xf x dx =⎰_ __. 2cos sin x C x-+ 4. 若()()f u du F u C =+⎰.则211()f dx x x⋅=⎰__ _. 1()F C x -+5.求sin cos sin cos x xdx x x -=+⎰_____. ln sin cos x x C -++6. 求ln(ln )x dx x ⎰. ln (ln ln 1)x x C -+7. 已知()f x 的一个原函数为xe -,求(2)xf x dx '⎰. 211()22x e x C--++8.计算⎰+dx xx2cos 12. tan ln cos x x x C ++9.求dx ex⎰-11. ln 1xx e C --+10.计算⎰+dx x xe x2)1(. 1xx xe e C x -+++ 11.计算 ⎰++dx x xx )1(21222. 1arctan x C x-++ 12.求⎰dx x x 2sin 2cos 2. 12sin 2Cx -+13.求ln(x x C -+第四章 导数应用1.计算极限 （1）0ln lim ln sin x xx+→=___1___. （2） cot20lim(1)xx x →+ =___2e ___(3) 01lim(ln )xx x +→=___1___ (4) sin 0lim(cot)x x +→ =__1__(5) +1ln(1)lim arccot x x x →∞+=___1___2. 函数()(1)(2)(3)(4)f x x x x x x =----的二阶导函数有_____个零点. 33. 下列极限计算中,不能使用罗必塔法则的是( B ). (A) 111lim xx x-→ (B)201sinlimsin x x x x→(C) limx lim ln x x ax x a→+∞-+4. 设()y f x =满足方程sin 0xy y e'''+-=,且0()0f x '=,则()f x 在( A ).(A) 0x 处取得极小值 (B) 0x 处取得极大值 (C) 0x 的某个邻域内单调增加 (D) 0x 的某个邻域内单调减少 5. 若()f x 与()g x 可导，lim ()lim ()0x ax af xg x →→==，且()lim()x af x Ag x →=，则( C ). (A)必有()lim()x af x Bg x →'='存在，且A B = (B) 必有()lim()x af x Bg x →'='存在，且A B ≠ (C) 如果()lim()x af x Bg x →'='存在，则A B = (D) 如果()lim()x af x Bg x →'='存在，不一定有A B = 6. 设偶函数()f x 具有连续的二阶导数，且()0f x ''≠，则0x =( B ). (A) 不是函数()f x 的驻点(B) 一定是函数()f x 的极值点(C) 一定不是函数()f x 的极值点 (D) 是否为函数()f x 的极值点还不能确定7.求曲线22x y -=的单调区间、极值、拐点并研究图形的凹向.8.求函数32)1()4()(+⋅-=x x x f 的极值和拐点并讨论函数图形的单调性与凹向.9. 证明不等式：13(0)x x≥->.10. 证明方程5510x x -+=在(0,1)内有且仅有一个实根. (提示：设5()51f x x x =-+,利用零点存在定理和罗尔中值定理.) 11. 证明不等式：ln(1)1xx x x<+<+ (0x >). (提示：对()ln(1)f t t =+在[0,]x 上使用拉格朗日中值定理.)第三章 导数1．设函数()f x 依次是,,sin x ne x x ,则()()n fx =____ ,!,sin()2x ne n x π+.2．若直线12y x b =+是抛物线2y x =在某点处的法线,则b =_____.32 3．设)(x f 是可导函数，则220()()limx f x x f x x∆→+∆-=∆( D ).(A) 0 (B) 2()f x (C) 2()f x ' (D) 2()()f x f x '4．若0()sin 20ax e x f x b x x ⎧<=⎨+≥⎩ 在0x = 处可导,则,a b 值应为( A ).(A) 2,1a b == (B) 1,2a b == (C) 2,1a b =-= (D) 1,2a b ==- 5.设函数()y f x =有01()3f x '=,则0x ∆→ 时,该函数在0x x =的微分dy 是( B ).(A) 与x ∆等价的无穷小(B) 与x ∆同价的无穷小,但不是等价无穷小 (C) 比x ∆低阶的无穷小 (D) 比x ∆高阶的无穷小6.曲线21y ax =+在点1x =处的切线与直线112y x =+垂直,则a =__ _. -1 7.设()2xf x =,则0()(0)limx f x f x→''-=____. 2ln 28.)(x f =21sin00x x xx ⎧≠⎪⎨⎪=⎩ 在点x=0处 D .A.连续且可导B.连续，不可导C.不连续D .可导，但导函数不连续9.设()f x ''存在，求函数()f x y e-=的二阶导数. ()2[(())()]f x y ef x f x -'''''=-10.2ln(1)x y e =+，求dy . 2222ln(1)1x xx e x dy e dx dx e⋅'=+=+.11.arctanyxe =确定y 是x 的函数，求导数x y '.第一、二章 函数极限与连续1. )(x f 定义域是[2，3]，则)9(2x f -的定义域是___. ]5,5[-2. 设x x g -=2)(，当1≠x 时，[]1)(-=x xx g f ，则=)23(f _ _. -13. 设函数)(x f 和)(x g ，其中一个是偶函数，一个是奇函数，则必有( D ). (A))()()()(x g x f x g x f -=-+- (B) )()()()(x g x f x g x f +-=-+-(C) )()()()(x g x f x g x f ⋅=-⋅- (D) )()()()(x g x f x g x f ⋅-=-⋅-4．()()()10201521213lim16x x x x →∞+++. 53()25．()()111lim 13352121n n n →∞⎛⎫+++⎪ ⎪••-+⎝⎭. 12 6. 231sin 53limxx x x -∞→. 37. 设⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<+=0sin01)1()(1x e x x x x x x f x ，求)(lim 0x f x →. e8. 0x →512。
高数定积分习题
211第6章 定 积 分§6。
1 定积分的概念与性质1．概念 定积分表示一个和式的极限1()lim ()nb i iai f x dx f x λξ→==∆∑⎰[],1lim ()na b n i i n i f x ξ→∞=∆∑等分其中：{}n x x x ∆∆∆=,,,m ax 21 λ，1--=∆i i i x x x ；[]1,i i i x x ξ-∈；几何意义：表示()y f x =，0y =，x a =，x b =所围曲边梯形面积的代数和 可积的必要条件：()f x 在区间[]b a ,上有界 可积的充分条件：（可积函数类） （1）若()f x 在[]b a ,上连续,则()b af x dx ⎰必存在；(2）若()f x 在[]b a ,上有界，且只有有限个第一类间断点,则()b af x dx ⎰必存在；(3）若()f x 在[]b a ,上单调、有界，则()b af x dx ⎰必存在。
2. 性质 （1） (())0b af x dx '=⎰； ()()bbaaf x dx f t dt =⎰⎰（2） ()()baabf x dx f x dx =-⎰⎰； ()0aaf x dx =⎰(3)()b akdx k b a =-⎰; b adx b a =-⎰(4） []()()()()bbba aaf xg x dx f x dx g x dx αβαβ+=+⎰⎰⎰(5)()()()b cbaacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰(6)若()()f x g x ≤，[]b a x ,∈, 则()()b baaf x dxg x dx ≤⎰⎰推论1：若()0f x ≥，[]b a x ,∈， 则()0b af x dx ≥⎰推论2：()()b b aaf x dx f x dx ≤⎰⎰(7）若()m f x M ≤≤，[]b a x ,∈, 则()()()b am b a f x dx M b a -≤≤-⎰ （8）若()f x 在[]b a ,上连续,()g x 在[]b a ,上不变号，存在一点(,)a b ξ∈212()()()()b baaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰特别地，若()1g x =,则至少存在一点[],a b ξ∈,或(,)a b ξ∈，使得()()()b af x dx f b a ξ=-⎰⇒ 1()()b a f f x dx b aξ=-⎰ （9)若()f x 在[]b a ,上连续，则其原函数()()x ax f t dt ϕ=⎰可导，且()(())()x adx f t dt f x dx ϕ'==⎰ （10)若()f x 在[]b a ,上连续，且()()F x f x '=，则()()()()bb aaf x dx F x F b F a ==-⎰§6. 2 定积分的计算1。
定积分典型习题
第六章 定积分第一节 定积分的概念思考题：1. 如何表述定积分的几何意义？根据定积分的几何意义推出下列积分的值： （1）⎰-x x d 11, （2）⎰--x x R R R d 22, （3）⎰x x d cos 02π, （4）⎰-x x d 11.解：若[]⎰≥∈x x f x f b a x ab d )(,0)(,,则时在几何上表示由曲线)(x f y =，直线b x a x ==,及x 轴所围成平面图形的面积. 若[]b a x ,∈时，⎰≤x x f x f ab d )(,0)(则在几何上表示由曲线)(x f y =，直线b x a x ==,及x 轴所围平面图形面积的负值.（1）由下图（1）所示，0)(d 1111=+-=⎰-A A x x .（2）由上图（2）所示，2πd 2222R A x x R R R==-⎰-.（3）由上图（3）所示，0)()(d cos 5353543π20=--++=+-+=⎰A A A AA A A x x .( 2)( 1 )( 3 )(4)（4）由上图（4）所示，1112122d 611=⋅⋅⋅==⎰-A x x . 2. 若当b x a ≤≤，有)()(x g x f ≤，下面两个式子是否均成立，为什么？（1）x x g x x f ba b a d )(d )(⎰≤⎰, （2）x x g x x f d )(d )(⎰≤⎰.答：由定积分的比较性质知（1）式成立，而不定积分的结果表示一族函数，x x f d )(⎰与x x g d )(⎰不能比较大小，故（2）式不成立.3. n 个数的算术平均值与连续函数在闭区间上的平均值有何区别与联系？答：二者均反映了多个数的平均值大小，后者是前者的推广，但n 个数的算术平均值是有限个数的平均值，而连续函数在闭区间上的平均值反映的是无限个数的平均值，前者计算公式是∑=ni i a n 11,后者计算公式是⎰-b a x x f a b d )(1.习作题：1. 用定积分的定义计算定积分⎰bax c d ,其中c 为一定常数.解：任取分点b x x x x a n =<<<<= 210,把],[b a 分成n 个小区间],[1i i x x -)2,1(n i =，小区间长度记为∆i=i x -1-i x )2,1(n i =,在每个小区间[]i i x x ,1-上任取一点i ξ作乘积i i x f ∆⋅)(ξ的和式：∑∑==--=-⋅=∆⋅n i ni i iiia b c x xc x f 111)()()(ξ,记}{max 1i n i x ∆=≤≤λ, 则)()(lim )(lim d 0a b c a b c x f x c ni i i b a-=-=∆⋅=∑⎰=→→λλξ.2. 利用定积分的估值公式，估计定积分⎰-+-1134)524(x x x d 的值.解：先求524)(34+-=x x x f 在[]1,1-上的最值，由0616)(23=-='x x x f , 得0=x 或83=x . 比较 7)1(,102427)83(,5)0(,11)1(=-===-f f f f 的大小，知 11,102427max min =-=f f ，由定积分的估值公式，得[])1(1d )524()]1(1[max 1134min --⋅≤+-≤--⋅⎰-f x x x f ,即 22d )524(512271134≤+-≤-⎰-x x x . 3. 求函数21)(x x f -=在闭[-1，1]上的平均值.解：平均值⎰-=⋅⋅=---=11224π21π21d 1)1(11x x μ.4. 利用定积分的定义证明⎰-=b aa b x d .证明：令1)(=x f ,则⎰⎰=b ab a x x f x d )(d ，任取分点10x x a <=…b x n =<,把[]b a ,分成n 个小区间[]i i x x ,1-，并记小区间长度为),2,1(1n i x x x i i i ⋅⋅⋅⋅=-=∆-，在每个小区间[]i i x x ,1-上任取一点i ξ，作乘积⋅)(i f ξi x ∆的和式a b x x f n i ni i i i -=∆=∆⋅∑∑==11)(ξ,记}{max 1i ni x ∆=≤≤λ, 则 a b a b x f x x ni i i ba -=-=∆⋅=→=→∑⎰)(lim )(lim d 01ξλ.第二节 微积分基本公式思考题：1. ='⎰)d sin (d d 1xt t t ?答：因为⎰x t t 1d sin 是以x 为自变量的函数，故⎰xt t t1d sin d d =0. 2. ?)d )((21='⎰x x f答：因为⎰21d )(x x f 是常数，故0)d )((21='⎰x x f .3.=⎰ba x x f xd )(d d ？ 答：因为⎰b ax x f d )(的结果中不含x ，故=⎰ba x x f xd )(d d 0. 4. =⎰xax t x d cos d d 2？ 答：由变上限定积分求导公式，知=⎰x ax t x d cos d d 22cos x .5.=⎰1d e d d 2xt t x ？ 答：=⎰1d e d d 2x t t x 22e )d e (d d 1x x t t x-=-⎰. 6. 若⎰=2d sin )(2x xt t x f ，则)(x f '=？答：)(x f '=242222sin sin 2sin )sin()(x x x x x x -=-'.7. 当)(x f 为积分区间],[b a 上的分段函数时，问如何计算定积分⎰b ax x f d )(？试举例说明.答：分段函数的定积分应采用定积分关于积分区间的分割性质，将⎰b ax x f d )(分解为部分区间上的定积分来计算.例如：若⎩⎨⎧<≤-≤≤=,01,,10,)(2x x x x x f 则x x f d )(11⎰-=x x d 01⎰-+x x f d )(11⎰-=1301232x x +-=61-.8. 对于定积分，凑微分法还能用吗？为什么？答：能用.因为定积分是通过被积函数的原函数来计算，而凑微分法所得原函数不须作变量置换.习作题：1. 计算下列定积分（1）⎰-20d |1|x x , （2）⎰-122d ||x x x , （3）⎰π20d |sin |x x .解：（1）⎰-20d |1|x x =⎰-1d )1(x x +⎰-21d )1(x x=212122)1(2)1(-+--x x =2121+=1.（2）⎰-122d ||x x x =⎰--023d )(x x +⎰103d x x=1402444x x +--=4+41741=. （3）⎰π20d |sin |x x =⎰π0d sin x x +⎰-π2πd )sin (x x=π2ππ0cos )cos (xx +-=2+2=4.2. 求极限x tt x x πcos 1d πsin lim11+⎰→.解：此极限是“0”型未定型，由洛必达法则，得x tt x x πcos 1d πsin lim11+⎰→=)πcos 1()d πsin (lim11'+'⎰→x t t xx =π1)π1(lim πsin ππsin lim11-=-=-→→x x x x3. 计算下列各题： （1）⎰10100d x x ， （2）⎰41d x x ， （3）⎰1d e x x , （4）x xd 10010⎰,（5）x x d sin 2π0⎰, （6）x x x d e 210⎰, （7）x x d )π2sin(2π0+⎰,（8）x x d )4π4cos(π+⎰, （9）x x x d 2ln e 1⎰, （10）⎰+102100d x x , （11）⎰4π02d cos tan x xx, （12）⎰10d sh x x , （13）⎰10d ch x x .解：（1）⎰10100d x x =101110110101=x .（2）⎰41d x x =314324123=x. （3）1e ed e 1010-==⎰xx x .（4）x xd 10010⎰=100ln 99100ln 10010=x .（5）1cos d sin 2π02π0=-=⎰x x x .（6）21e 2e )(d e 21d e 121010222-==⎰=⎰x x x x x x . （7）x x d )π2sin(2π0+⎰=)π2(d )π2sin(212π++⎰x x =2π0)π2cos(21+-x =1-. （8）x x d )4π4cos(π+⎰=)4π4d()4π4cos(4π0++⎰x x =π0)4π4sin(4+x =224-.(9)x x x d 2ln e 1⎰=)d(ln ln 21e 1x x ⎰=41ln 41e12=x .(10) ⎰+102100d x x=⎰+102)10(1d 1001x x =1010arctan 101x =101arctan 101.（11）⎰4π02d cos tan x x x =⎰4π0)tan d(tan x x =4π022)(tan x =21. （12）⎰⎰--=1010d 2e e d sh x x x x x =12e e xx -+=11ch 12e e 1-=-+-. （13）⎰10d ch x x =⎰-+10d 2e e x x x =12e e xx --=1sh 2e e 1=--.第三节 定积分的积分方法思考题：1. 下面的计算是否正确，请对所给积分写出正确结果：（1）x x x d cos cos 2π2π3⎰--=x x x d sin )(cos 2π2π21⎰-=)cos d()(cos 2π2π21x x ⎰--=0cos 322π2π23=--x .（2）⎰⎰---=-111122)sin d()(sin 1d 1t t x x=⎰-⋅11d cos cos t t t=⎰-112d )(cos t t =2⎰12d )(cos t t=22sin 211)2sin 21(d 22cos 11010+=+=+⎰t t t t . 答：（1）不正确，应该为：x x x x x x d sin )(cos 2d cos cos 212π2π2π3⎰⎰-=-=34cos 34)cos d()(cos 22π0232π021=-=-⎰x x x .（2）不正确，应该为：⎰⎰⎰---=-=-112π2π2π2π222d )(cos )sin d()(sin 1d 1t t t t x x=2=+=+=⎰⎰2π02π02π02)2sin 21(d 22cos 12d )(cos t t t t t t 2π.2. 定积分与不定积分的换元法有何区别与联系？答：定积分与不定积分的换元法的区别在于：不定积分换元积分后要作变量回代，定积分在换元时要同时变换积分限，而不用作变量回代. 联系在于：二者均要求置换的变元)(t x ϕ=单调可导，且选择变元)(t x ϕ=的规律相同.3. 利用定积分的几何意义，解释奇偶函数在对称区间上的积分所具有的规律. 答：如图, 设)(x f 在[]a ,0上满足)(x f ≥0，则⎰a x x f 0d )(表示由曲线)(x f y =，直线0=x ，a x =及x 轴所围图形的面积，不妨记为A ，则当)(x f 为偶函数时，⎰⎰==-aaa x x f A x x f 0d )(22d )((如下图(1)所示)，当)(x f 为奇函数时，0)(d )(=+-=⎰-A A x x f aa(如下图(2)所示).（1）习作题:1. 计算下列定积分:(1)x x d 16402⎰-, (2)⎰+12d 41x x .解：（1）令x =t sin 4, 则t t x t x d cos 4d ,cos 4162==-,当x = 0 时，t = 0 ; 当x = 4 时，2π=t ， 于是 x x d 16402⎰-=π4)2sin 48(d )2cos 1(8d cos 4cos 42π02π020=+=+=⋅⎰⎰t t t t t t t π.（2）⎰+102d 41x x =⎰+12)2d()2(1121x x =21arctan 212arctan 2110=x . 2. 计算下列定积分： （1）x x xd e )15(405⎰+, （2）x x d )12ln(e21⎰+,（3）x x xd πcos e10π⎰, （4）x x x x x d )e 3(1033⎰++.解：（1）x x xd e )15(405⎰+=5ed )15(540xx ⎰+=⎰+-+10515)15(d 5e )15(5e x x x x=5155e 5e 51e 6=--x.(2)x x d )12ln(e21⎰+=()())12ln d(12ln e21e21+-+⎰x x x xx x xd 1223ln )1e 4ln(e 2e21⎰+--+= --+=3ln )1e 4ln(e 2x x )d 1211(e 21⎰+---+=3ln )1e 4ln(e 2()e21)12ln 21(+-x x()1e 23ln 231e 4ln )21e 2(+--++=.(3) x x xd πcose 10π⎰=ππsin d e 10πx x ⎰x x x x πde ππsin πsin e π11010π⎰-= =0x x x d πsin e 10π⎰-=)ππcos d(e 10πx x--⎰ xx x x πde ππcos πcos e π11010π⎰-= =-+-)1e (π1πx x x d πcos e 10π⎰移项合并得x x x d πcos e 10π⎰)1e (π21π+-=. （4）x x x xxd )e 3(1033⎰++)e 313ln 34(d 3104xx x x ++=⎰ ⎰++-++=1034134d )e 313ln 34()e 313ln 34(x x x x xx x x=4514e 923ln 23ln 3)e 913ln 320(e 313ln 3413213253++-=++-++x x x .第四节 广义积分思考题:1. 下列解法是否正确？为什么？2ln 1ln 2ln ||ln d 12121=-==--⎰x x x .答：不正确.因为x1在[1-，2]上存在无穷间断点0=x ，⎰-21d 1x x 不能直接应用Leibniz Newton -公式计算，事实上，⎰-21d 1x x =⎰-01d 1x x +⎰20d 1x x =⎰--→+1110d 1lim εεx x +⎰+→2022d 1lim εεx x=[]1110)ln(lim εε--→-+x +[]222ln lim εεx +→=10ln lim 1εε+→+-2ln 202lim εε+→不存在,故⎰-21d 1x x 发散.2. 指出下面广义积分的计算错误:101)e 1(lim elim d e lim d e 0=-=-=-==-∞→-∞→-∞→∞⎰⎰b b bx b bxb xx x .答：本题计算错误在于0e lim =-∞→bb ，因为0e lim =-+∞→b b ，而-∞=--∞→b b e lim ，故bb -∞→elim 不存在，从而⎰∞0d e x x 发散.习作题：1. 研究广义积分⎰∞+02d 1x x 的敛散性. 解：⎰∞+02d 1x x =+∞=-=-+∞→→+∞+x x x x x 1lim 1lim )1(00,∴⎰∞+02d 1x x 发散. 2. 计算广义积分x x d )4(6032⎰--.解：x x d )4(6032⎰-- =x x d )4(6432⎰--+x x d )4(4032⎰--=)42(3430023)4(3)4(3333340316431+=--+-⋅=-+-x x .3. 计算广义积分x x d e 1100⎰∞+-.解：x xd e1100⎰∞+-=1001001100e 1001)100e (0100e --+∞-=--=-x .4. 计算广义积分⎰∞++02100d xx. 解： ⎰∞++02100d x x =20π10arctan 1010=+∞x .。
第六章 定积分
第六章定积分基本要求一、理解定积分的概念和基本性质，了解积分中值定理，掌握牛顿—莱布尼兹公式，以及定积分的换元积分法和分部积分法。
二、理解变上限积分定义的函数，并会求它的导数。
三、会利用定积分计算平面图形的面积和旋转体的体积，会利用定积分求解一些简单的经济应用题。
四、了解广义积分收敛与发散的概念，掌握计算广义积分的基本方法。
习题六2、利用定积分的性质证明下列不等式：（1）⎰⎰≤402403sin sin ππxdx xdx x ；证明：∵]4,0(π∈x ∴x x x 23sin sin ,1sin 0≤<<.当0=x 时，0sin sin 23==x x∴⎰⎰≤402403sin sin ππxdx xdx x □（2）3sin 626ππππ≤≤⎰xdx .证明：∵]2,6[ππ∈x ∴1sin 21≤≤x ∴⎰⎰⎰≤≤26262621ππππππdx xdx dx ，即3sin 626ππππ≤≤⎰xdx □3、估计下列定积分的值： （1）⎰-202dx e xx；解：∵]2,0[∈x 令41)21(22--=⇒-=x y x x y ，即函数有最小值41-=y又∵2,020====x x y y ∴函数有最大值2=y∴22412222412222e dx e edx e dx edx e xxxx ≤≤⇒≤≤⎰⎰⎰⎰----（2）⎰4342sin ππxdx .解：∵]43,4[ππ∈x ∴1sin 212≤≤x∴⎰⎰⎰≤≤43443424341sin 21ππππππdx xdx dx 即2sin 44342ππππ≤≤⎰xdx4、计算下列函数的导数)(/x g ：（1）⎰=x t tdt x g 1sin )(； 解：xxx g sin )('= （2）⎰=xtdt x g 124sin )(；解：22'4'sin )1(sin )(xxx x x g -=⋅=（3）⎰+-=xx du u u x g 3211)(； 解： 12)12(213)13(3)2(1212)3(1313)('''+--+-=+--+-=x x x x x x x x x x x g （4）⎰+=2tan 411)(x xdt tx g .解; xx xx x x x x x g 428'4'242'tan 1sec 12)(tan )(tan 11)()(11)(+-+=+-+=4、求曲线⎰++=x dtt y t 0211的凹向区间：解：由题知曲线定义域为ℜ∈x∵2'11x x y ++=令0)1(2122''=+++-=x x x y 得21-=x∴曲线在)2,(--∞上凹，在),2(+∞-下凹6、计算下列定积分： (1)⎰-+-0324)1465(dx x x ；解：原式231)1436(0325=+-=-x x x(2)⎰-3142)11(dt tt ； 解：原式8128)311(313=+-=t t(3)()()⎰-+-11231dx x x ；解：原式2)22()23(1123112=--=--=--⎰x xx dx x x (4)⎰--9111dx x x ；解：原式9123239191])1([32)1()1)(1(1-+=-+=-+---+=⎰⎰x x dx x x dx x x x x x x )2813(34+=(5)⎰--212||dx x x ；解：令1,00212==⇒=-x x x x ， ∴原式⎰⎰⎰-+---=-21212012)()()(dx x x dx x x dx x x611)23()23()23(212310230123=-+---=-x x x x x x (6)⎰--+-252411dx x x .解：原式36)3()1(253252=-=-=----⎰x x dx x7、计算下列定积分： （1）⎰+412111dx xx；1255324)11(32)11(11412341-=+-=++-=⎰xx d x （2）⎰--32232)(13dx x x x ； 解：原式81)(1)()(132332323=--=--=⎰x x x x d x x （3）⎰⋅202cos cos sin πxdx x e x ；解：原式4412cos 412sin 21122cos 202cos 202cos --=-=-==⎰⎰e e e x d e xdx e xx x πππ（4）⎰-+22621sin ππdx xxx ； 解：令621sin x x x y +=，则621sin xxx y +=是奇函数，且该积分为对称区间上的积分 ∴原式0=（5）⎰-211dx x x ；解：原式1516)35(2)(1035102412=+=+=⎰=-=t t dt t t tx tdt dx（6）⎰+130321xdx；解：原式6432331231212332=======⎰=+=t tdt tx dtt dx （7）⎰-2221x x dx ；解：原式1243tan sec tan sec 134sec tan πππππ=-=⋅⋅======⎰==tdt t t t tx dtset dx （8）⎰242csc ππxdx x ；解：原式2ln 214sin ln 4cot cot )cot (24242424+=+=+-=-⎰⎰ππππππππππx xdx x x x xd *(9)⎰23212arcsin dx xx ； 解：原式⎰⎰-+-=-=232122321232111arcsin 1)1(arcsin dx x x x x x d x)332ln(9323cot csc ln 9323csc 33323636sin cos ---==---=++-=====⎰==ππππππππt t tdt tx xdt dx *(10)⎰edx x 1|ln |；解：原式1ln ln 111=-==⎰⎰eeedx x x xdx*(11)⎰πn dx x x 0|sin |；解：原式 +++-=⎰⎰⎰+ππππππk k xdx x xdx x xdx x 2220sin sin sin+-++-=⎰⎰⎰+ππππππk k x xd x xd x xd 2220cos cos cos++-+-++-=⎰⎰⎰++ππππππππππππk k k k xdx x x xdx x x xdx x x 22222200cos cos cos cos cos cos++++++++++=0]2)12[(0)2(0πππππk kπππππ2])1(2[2n n n =+-+++= *(12)()()⎰+--422114dx x x x .解：原式881ln23)21(23)21(ln32ln 449)21(13)2(214424242242=++-+++=-++++=⎰⎰x x x dx x x d x 8、用阴影表示下列曲线所围成的图形，并求出其面积：(1)x y x y 2,32=-=；解：曲线交点如右图所示332)233(]2)3[(133132=--=--=--⎰x x x dxx x S(2)2,1,5,2=-=+==y y x y x y ；解：曲线交点如右图所示233)523()]5([2123212=+-=--=--⎰y y y dyy y S(3)0,,===x e y e y x；解：曲线交点如(3)图所示1)()(101=-=-=⎰x xe ex dxe e S(4)4,22+-==x y x y ；解：曲线交点如(4)图所示17)624(]2)4[(2432242=--=--=--⎰y y y dy y y S（3）图（4）图2x -x 2(5) y ax 2=；)0(,2>=a x ay ； 解：曲线交点如(5)图所示3)332()(2032312aa x x a dxax ax S aa =-=-=⎰(6) 2,2=+=y x x y ； 解：曲线交点如(6)图所示29)322(])2[(1232122=--=--=--⎰x x x dx x x S (7)2,,1===x x y xy ； 解：曲线交点如(7)图所示2ln 23)ln 2()1(21221-=-=-=⎰x xdxxx S (8)1,,===-x e y e y x x ；解：曲线交点如(8)图所示21)()(101-+=+=-=--⎰ee e e dx e e S x x x x (9))0(ln ,ln ,0,ln >>====a b b y a y x x y ；解：曲线交点如(9)图所示ab edye S b ay bay -===⎰ln ln ln ln* (10)x y x y x y 2,,2===.解：曲线交点如(10)图所示 67)3(2)2()2(21321221212=-+=-+-=⎰⎰x x x dx x x dx x x S*9、求曲线233+-=x x y 在两个极值点范围内的曲线弧段，过两个极值点与x 轴垂直的y =2x =y=lnby直线及x 轴所围成的平面图形的面积. 解：令0332'=-=x y 得驻点1,121=-=x x又∵x y 6''= ∴06,061''1''>=<-==-=x x y y∴11-=x 为极大值点，12=x 为极小值点.如右图得4)2234()23(1124112=+-=+-=--⎰x x x dx x x S .10、求下列诸曲线所围图形绕指定轴旋转所得旋转体的体积：（1） 0,4,1,4====y x x xy ；绕x 轴；解：所谓图形见(1)图阴影部分πππ1216)4(41412=-==⎰xdx x V（2） πxy x y 2,sin ==； 绕x 轴；解：所谓图形见(2)图阴影部分6)342s i n 4121(2]322c o s 1[2])2()[(s i n 220322022222ππππππππππ=--=--=-=⎰⎰x x x dxxx dxxx V（3）4,1,0,====x x y x y ；绕y 轴；解：所谓图形见(3)图阴影部分ππππππ5124531)(112425212212=-=-⨯⨯+⨯⨯=⎰y dy y V*(4)66,10622-+-=+-=x x y x x y ；绕y 轴.解：所谓图形见(4)图阴影部分，（2）图662-+x x106+-xππππ2416)3(2424324])33()33[(23223323222-=---=-=----+=⎰⎰y dyy dy y y V11、已知某产品的边际成本85.1006.0)(2'+-=x x x c ，固定成本150)0(=C 万元，其中x 为产品的件数，求多少万元？解：∵4020'10150)85.1006.0()0()()(⨯++-=+=⎰⎰xxdx x x C dx x C x C423402310150843002.010150)843002.0(⨯++-=⨯++-=x x x x x x x∴生产2000件这种产品的总成本为:6.1451)2000(=C （万元） 12、已知某产品生产x 个单位时，总收益R 的变化率（边际收益）为0,100200)(''≥-==x xx R R（1） 求生产了50个单位时的总收益；（2） 如果已经生产了100个单位，求再生产100个单位时的总收益.解：∵0,100200)(''≥-==x xx R R ∴2002000)200200()0()100200()(2020x x x x R dx x x R xx-=+-=+-=⎰（1）∴5.9987)50(=R （2）设已生产了100个单位，在生产100个单位时的总收益为R ∆. ∴19850)100()200(=-=∆R R R13、某产品的总成本C C （万元）的变化率（边际成本）1'=C ，总收益R （万元）的变化率（边际收益）为生产量x （百台）的函数x x R R -==5)(''. （1） 求生产量等于多少时，总利润C R L -=为最大？（2） 从利润最大的生产量又生产了100台，总利润减少了多少？ 解：14、判断下列广义积分的敛散性.如收敛，则求其值. (1)⎰∞--12)32(1dx x ；解：原式21)3211(lim 21321lim 21)32()32(1lim 21112=----=--=--=-∞→-∞→-∞→⎰a x x d x a a a a a∴该积分收敛. (2)()()⎰∞+++0321dxx x ；解：原式0)32ln 32(ln lim 32ln lim )3121(lim 00=-++=++=+-+=+∞→+∞→+∞→⎰b b x x dx x x b bb bb∴该积分收敛.(3)⎰+∞∞--dx xe x2；解：原式⎰⎰⎰⎰----=+=-+∞→--∞→+∞-∞--b c x b c a x a c x cx x d e x d e dx xe dx xe)(lim 21)(lim 2122222232ln )](lim )(lim [21)lim lim (21222222=-+--=+-=--+∞→---∞→-+∞→--∞→c b b a c a b c x b c axa e e e e e e ∴该积分收敛.(4)⎰-102)12(1dx x ；解：原式∞=+-=-+--=--+--=--+--=+++→+-→-+→⎰⎰⎰⎰εεεεεεεε1lim 211)121121(lim 21])12()12(1)12()12(1[lim 21)12()12(121)12()12(1210121210021012122012122102x x x d x x d x x d x x d x ∴该积分发散.(5)⎰10ln xdx x ；解：原式)2ln (lim 21)ln (lim 21ln lim211220110120εεεεεεεεεx xdx x x xdx --=-==+++→→→⎰⎰ 21)12(lim 2120-=-=+→εε ∴该积分收敛.*(6) ⎰-+40461dx x x . 解：原式]31)21(21([51)3121(5142402040⎰⎰⎰⎰+--+-=+--=dx x dx x dx x dx x x 37ln )2ln lim 2ln lim (51)37ln 2ln lim 2ln lim (51224202+---=--+-=+-+-→→→→b a x x b a b b a a ∵2ln lim 2--→a a 发散 ∴该积分发散.15、计算：（1）)3()4(2)7(ΓΓΓ；解：原式30!2!32!6=⨯⨯=（2）)29()23()3(ΓΓΓ； 解：原式10516)21(21)21(1058)27(27)21(21!2=ΓΓ=ΓΓ⨯=（3）⎰+∞-04dx e x x ；解：原式24!4)5(==Γ= （4）⎰+∞-0222dx e x x解：原式162)23(8282224102102422π=Γ=========⎰⎰∞+-∞+-==du e u du e u u u u x du udx 第六章 单 元 测 验 题1、设dt t x g dt t x f xx g ])sin(1[)(,11)(cos 02)(03⎰⎰+=+=，计算)2('πf .解：∵)]sin(cos 1[sin ))](cos sin(cos 1[)(),()(11)(2'2''3'x x x x x g x g x g x f +-=+=+=且1)0sin 1(1)2(,0)]sin(1[)2('002-=+⨯-==+=⎰ππg dt t g∴1)1(011)2()2(11)2('3'-=-⨯+=+=πππg g f 2、已知)(x f 在1=x 某邻域内可导，且2)(lim ,0)(lim '11==→→x f x f x x ，求 3111)1(])([lim x dtdu u f t xtx -⎰⎰→解：原式)]()(2[lim 61)1(2)]([)(lim 31)1(3)(lim '111211x xf x f x x f x du u f x duu f x x xx x x +=---+-=--=→→→⎰⎰∵2)(lim ,0)(lim '11==→→x f x f x x ∴原式31=3、计算下列积分. （1）⎰+3)1(1dx xx ； 解：原式32arctan 2)(112332π==+=⎰x x d x （2）dx x x ⎰-++112)12(；解：原式⎰⎰⎰⎰++++-=++++-=--120121212)169()12()12()12(dx x x dx x x dx x x dx x x328)33()3(10230123=++++-=-x x x x x x（3）⎰-2141)ln 1(ln e ex x x dx ；解：原式6)1()21()21(11062141sin 21cos 2221412ln ππ=-=======--=-====⎰⎰⎰=--===du dt t dt tt u t ududt tx dte dx t（4）⎰+∞-++131xx e e dx；解：原式bx b bx xb bx x b e e e e e e de e dx e e e e 1122122arctan 21lim 1lim 1lim 1+∞→+∞→+∞→=+=+=⎰⎰ 224)1arctan (arctan lim 1ee e e b b π=-=+∞→ 4、求函数⎰+-=xedt t t t x f 12ln )(2在区间],[2e e 上的最大值. 解：∵12ln )(2'+-=x x x x f ∴函数在],[2e e 无驻点和一阶不可导点 又∵⎰⎰⎰-----=--=+-=e x ex x e xet d t t tt td dt t t t x f )21()21()21(11ln 11ln 12ln )(222xx e e x x e t t x x e ex1ln 1ln 1ln 1121)21(21)21(ln21211ln 11-+-----=+---⨯----=∴⎰=+-=ee dt t t t ef 012ln )(2，ee e ef 1ln 11)(2+++= ∴其最大值为ee e ef 1ln 11)(2+++= 5、过曲线)0(2≥=x x y 上某点A 作一切线，使之与曲线及x 轴围成图形的面积为121，求 （1）切点A 的坐标；（2）过切点A 的切线方程；（3）由上述图形绕x 轴旋转成的旋转体体积V . 解：（1）设切点A 的坐标为),(b a ∴2a b = 切点A 的切线方程为a aby x a x a f b y +-=⇒-=-2))(('- ∴其阴影部分面积为⎰-+-=b dy y a a b y 0)2(121右边⎰-+-=20)22(a dy aba y a y30232121])2(324[2a y ab a y a y a =-+-= ∴11=⇒=b a（2）切线方程为：12-=x y （3）阴影部分及相应交点如右图ππ301))12((121214=--=⎰⎰dx x dx x V。
第六章 定积分的应用
解：方法一，
如图，曲线的参数方程为
⎧ ⎨ ⎩
x y
= =
4 5
cos t + 4sin
t
,
0 ≤ t ≤ 2π ，那么
∫ ∫ 所求旋转体的体积为V =
4π
−4
⋅
y12 ( x)dx
−
4π
−4
⋅
y22 ( x)dx
∫ ∫ = 4π 0 (4sin t + 5)2d cos t − 4π 2π (4sin t + 5)2d cos t
解：如图，
∫ ∫ A =
2π a
ydx =
2π a2 (1− cos t )2 dt
0
0
= 3a2π
3、在[0,1] 上给定函数 y = x 2 ，问 t 取何值时，图中曲边三角形 OACO 与 ADBA 的面积之和最小？
何时最大？
解：设 A(t, t 2 ), (0 ≤ t ≤ 1) ，记曲边三角形 OACO 与 ADBA 的面积 y
这一小块闸门所受压力即压力元素为 dP = ρ gx 50 − x dx ，于是所求压力为 5
∫ P = 20 ρ gx 50 − x dx = 14373 （KN）
0
5
5、设有一长度为 l 、线密度为 μ 的均匀细直棒，在与棒的一端平行距离为 a 单位处有一质量为 m 的质点 M ，试求这细棒对质点的引力。 解：如图，去 y 轴经过细直棒，棒的一端为原点，质点 M 位于 x 轴上，取 y 为积分变量，其变化
62
∫ ∫ S = 2[
π 6
1(
02
2 sinθ )2 dθ +
π 4 π 6
1 2
第6章定积分 - 精品课程网
2、 直径为 20cm，高为 80cm 的圆柱体内充满压强为 10N/ cm2 的蒸气，设温度保持不变，要
使蒸气体积缩小一半，问需要作多少功？
3、 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长 10m 和 6m,高为 20m,较长的底边与水面相齐，计 算闸门的一侧所受的水压力。
⎩x,
当x ∈[0,1)时，求 Φ(x) =
x
f (t)dt 在[0，2]上的表达式，并讨论
当x ∈[1,2]时.
0
Φ(x) 在（0，2）内的连续性。
∫ ∫ 8、 设 f(x) 在 [a,b] 上 连 续 且 f(x)>0,F(x)=
x
f (t)dt +
x
dt
, x ∈[a,b]. 证 明 ：
a
b f (t)
∫b) π sin 2 kxdx = π . −π
∫ 5、设 k 及 l 为正整数，且 k ≠ l,证明 π cos kx sin lxdx = 0. −π
∫ 6、设 f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导且 f ′(x) ≤ 0, F (x) = 1
x
f (t)dt. 证明在(a,b)
x−a a
4、 设有一长度为 L，线密度为 ρ 的均匀细直棒，在与棒的一端垂直距离为 a 单位处有一质
量为 m 的质点 M，试求这 的物体从地球表面升高到 h 处所作的功是W = k mMh 其中 k R(R + h).
是引力常数，M 是地球的质量，R 是地球的半径；
积。
2、 证明：由平面图形 0 ≤ a ≤ x ≤ b,0 ≤ y ≤ f (x) 绕 y 轴旋转所成的旋转体的体积为：
∫ V = 2π
第六章 定积分的应用
d
0
2
2a
2
cos
2
2
0
2 a2(1 cos )2 a2 sin2 d 8a 0
24
四、变力沿直线段作功
恒力作功：W F s
设有一变力F(x)随位移x而变，求它把物体由 a 移动到 b 所作
的功。 F(x)
•
••
Oa
bX
取 x为积分变量，它的变化区间为[a, b]，
于是变力F x所做的功为：
20
解 建立直角坐标系如图。
－R
则底圆的方程为：x2 y2 R2
过任意点 x R, R作垂直于 x 轴的
O
Y
截面，截面为一直角三角形，
x x2 y2 R2
它的两条直角边的长分别为 R2 x2 及
RX
R2 x2 tan , 因而截面积为 A( x) 1 (R2 x2 )tan
一、直角坐标系下平面图形的面积
y
1. 由 y f ( x) 0 ,
y f (x)
x a, x b, y 0
所围成的曲边梯形的面积为：
b
A a f ( x) dx
2. 由上、下两曲线 y 1x,
y 2x及 x a , x b
所围成的图形面积为：
o xa
y
xb x
y 2x
y 1x
x
1 x
dx
x2 2
ln
2 x
1
3 2
ln
2
2. y e x , y e x 与直线x 1.
解 如图所示, 所求面积为
A 1 e x e x dx 0
ex ex
1 0
e e1 2
y x
1,1
2020-2021-2高等数学期末复习资料
注：（1）发散级数加括号后可能收敛也可能发散。
（2）收敛级数去括号后可能收敛可能发散。
（3）发散级数去括号后仍然发散。
2.
p
级数
n1
1 np
（
p
1时收敛；
p
1 时发散）
3.
比较判别准则的极限形式:设 un
n1
和 vn
n1
是正项级数，且 lim un v n
n
l ，则
①若 l 为正数（ 0 l ），则级数 un 和 vn 敛散性相同；
x3
1 et2 dt
（6）lim x0
cos x
x2
x ln(1 t)dt
（7） lim 0 x0
x2
（8） lim x0
tan x2
0
sin 2tdt
x
x (1 cos t)dt
（10） lim 0 x0
x3
考点 2.求定积分（第一类换元积分法）
2x
t sin tdt
（9） lim x0
0
ln(1 x3)
考点 2.求幂级数的收敛域及和函数
知识点回顾：
1.幂级数 un x 收敛域的求解方法： n1
第一步：令 lim un1 u n
n
1或 lim n n
un
1 ，可求出 x (a,b)
第二步：端点处敛散性另行判定后，就可以确定收敛域，其中收敛半径为 R b a 。 2
2.（1）求和函数前，必须先求收敛域，即和函数的定义域。
x
S(x)
，先积分再求导。
练习题：
1. 求下列幂级数的收敛域
xn
（1）
n1 n!
（2） nxn1 n1
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③在[x, x dx]上求出微元解析式（积分式）。
④把所求的量表示成定积分
b a
f
( x)dx.
三、典型例题
1. 几何应用 定积分的几何应用包括求平面图形的面积、特殊立体的
体积。解决这些问题的关键是确定面积元 素、体积元素。
【例1】求由 x y 0, y x2 2x 所围成图形的面积。
分析：在直角坐标系下,由给定曲线所围成的几何图形
a
f ( x)dx 2
a
f ( x)dx,
0
f ( x)是偶函数
二、积分上限函数与牛顿—莱布尼兹公式
1．积分上限函数：设函数 f ( x)在区间a,b 上连续，则称
x
F ( x) a f (t)dt
2．积分上限函数的微分 dx
(1) dx a f (t)dt f ( x)
(2) d (x) f (t)dt f (( x) ( x).
b
m(b a) a f ( x)dx M (b a)
⑨定积分中值定理：如果函数 f ( x) 在闭区间a,b 上连续,
则至少存在一点 (a,b) ,使下式成立：
b
a f ( x)dx f ( )(b a)
⑩奇偶对称性：若 f ( x)在 a, a上连续，则
a
0，
f ( x)是奇函数
如图所示。 如果取 x为积分变量, 则x [0, 3]. x [0, 3],
设区间[ x, x dx]所对应的曲边梯形面积为A, 则面积元
素 dA就是在 [ x, x dx] 上以“以直代曲”所形成的矩形面积。
解：(1) 确定积分变量和积分区间：
由于曲线 x y 0 和 y x 2 2x
1 x
0
1 0
x2 2
1 1 x2
dx
1 1
1
82
0 (1 1 x2 )dx
1 x arctan x1
82
0
1 (1 ) 1
82 4 42
3
【例10】求定积分
4 3
(1
arctan
x)
1 cos 2xdx
4
分析：由于积分区间为对称区间，可考虑被积函数是否
具有奇偶性或部分具有奇偶性．
1
1
x2 dx 1
ln xd( ) x
1 x
ln
x
1
1 1 x2 dx
lim
x
ln x x
1 x
1
0 lim 1 1 1 x x
【例18】求积分
2 dx 01 x2
分析：被积函数
1
1 x
2
在积分区间0
,2
上不是连续的，
牛顿—莱布尼兹公式失效．这是一个反常积分。x 1
f ( x)dx f (t) (t)dt
a
2．分部积分法：
b
udv
a
uv
b a
b
vdu
a
四、反常积分
1．无穷限的反常积分
t
f ( x)dx lim f ( x)dx
a
t a
b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx
t t
0
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
1
0
0
= 1 x2dx
3
(2 x)dx
0
1
=
x3 3
1 0
2
x
1 2
3
x
2
1
1 3
b
b
【例5】设 f ( x)为连续函数，求a f ( x)dx a f (a b x)dx
解: 令t a b x , 则dt dx ,当 x a 时, t b; 当 x b 时, t a.
2
sin
x
2
2
2
注：当定积分的被积函数中包含绝对值符号时，必须设法将
其去掉，并且要特别注意被积函数的符号．
x 1, x 1
【例3】设
f
(
x)
1 2
x2,
x
1
,求
2
f ( x)dx
0
解:
2
f ( x)dx
1
( x 1)dx
2 1 x2dx
0
0
12
=
x2 2
1 x
0
1 6
x3 x2
dt ,
1 t4
求 du dx
x3 dt
解：因为 u
x2 1 t4
0 dt
x3 dt
x2 1 t4 0 1 t4
x2 dt
x3 dt
0 1 t4 0 1 t4
所以
du 3x2
2x
dx 1 x12 1 x8
【例17】求反常积分
ln x 1 x2 dx
解：
ln x
该积分的瑕点。
解：
2 dx
1 dx
2 dx
0 1 x2 0 1 x2 1 1 x2
因为
1 dx
01 x2
ln
1 1
x 10 x 0
故该积分发散．
注：由于定积分与瑕积分的表达式没有区别，在计算积分时 要特别注意。
常见的错误做法：
2 dx 1 x 2
0
1
x2
ln
1
x
0
ln 3.
错误在于将反常积分误认为定积分。
上的一个原函数，故
b f ( x)dx f ( x) b f (b) f (a) a b
a
a
【例2】求定积分
1 cos 2xdx
0
解： 1 cos 2xdx 2cos2 xdx
0
0
2 0 cos x dx
2 2 cos xdx 0
2 cos xdx
2
2 sin x 2 0
3
3
解: 原式
4 3
1 cos 2xdx
4 3
arctan
x
1 cos 2xdx
4
4
3
3
4 3
1 cos 2xdx 2
4 0
4
3
2 4 2 cos x dx 0
1 cos 2xdx
2
2
2 cos xdx 2
0
2
4
(
cos
x)dx
4
22
2
【例11】设 u
在应用牛顿—莱布尼兹公式计算定积分时，必须注 意其使用条件，即被积函数在积分区间内必须连续．
定积分应用
一、定积分应用的类型
几何应用
平面图形的面积 特殊立体的体积
旋转体的体积
平行截面面积为 已知立体的体积
二、构造微元的基本思想及解题步骤
1. 构造微元的基本思想 无论是几何应用还是物理应用通常采用元素法。 元素法的实质是局部上“以直代曲”、“以不变代变”、
的交点为(0, 0)和 (3, 3),
取 x为积分变量, 则 x [0, 3].
（2）求微元：任取 x [0, 3], [x, x dx] [0, 3].
如果将图形上方直线的纵坐标记为 y2 x ,
将图形下方抛物线的纵坐标记为 y1 x 2 2x,
那么，dA就是区间[ x, x dx]所对应的矩形的面积。因此
则
b
a
a f (a b x)dx b f (t )(dt )
b
b
a f (t)dt a f ( x)dx
故
b
b
a f ( x)dx a f (a b x)dx 0
【例7】求定积分 4 dx
1 1 x
解:设 x u ,则 x u2 , dx 2udu.
4 dx
2 2udu
1 1 x 1 1 u
“以均匀变化代不均匀变化”的方法，其“代替”的原则必须
是无穷小量之间的代替。将局部[ x, x dx] [a, b]上所对
应的这些微元无限积累，通过取极限，把所求的量表示成
定积分 b f ( x)dx ． a
2. 在求解定积分应用问题时，主要有四个步骤： ①选取适当的坐标系；
②确定积分变量和变化范围；
dA ( y2 y1 )dx [ x ( x 2 2x)]dx ( x 2 3x)dx
（3） 求定积分：所求的几何图形的面积表示为
A 3 ( x2 3x)dx 0
计算上面的积分得： A
3
(
x2
3 x )曲线
y
sin x (0
x
)，y
2
1
及x
0围成
t
b
lim f ( x)dx lim f ( x)dx
tc a
tc t
五、典型例题
【例1】设 f ( x)在 a,b上有连续导数，且 f ( x)是 f ( x) 在 a,b上的一个原函数, f (a) b, f (b) a , 求
b
a f ( x)dx
解： 由于 f ( x)在a,b 上连续, 且 f ( x) 是 f ( x)在 a,b
则 f ( x) 在a,b 上可积.
4．定积分的性质
①反号性：
b
a
f
( x)dx
a
b
f ( x)dx
②与积分变量无关性：
b a
f
( x)dx
b
a
f
(t )dt
③线性性质：b a
(k1
f
(
x
)
k2
g(
x))dx
k1
b
a f ( x)dx k2
b
g( x)dx
a
b
c
b