2反滤波处理1地震勘探 教学课件

m
2[a()x(t)d(k)R(tk)]x(ts)0
t0 0
k0
(S=0,1,2,…m)
由此得出
m m n
m n
a () x ( t ) x ( t s ) z ( t) x ( t s )( s 0 ,1 ,2 ......m )
0 t 0
t 0
因为
mn
x(t )x(t s) rxx( s)
❖ (二)地震勘探反滤波
❖ 地震勘探反滤波主要反的是大地滤 波，研究反滤波就是要设计一个滤波 器去抵消另一个滤波器的作用。
通常用两种方法设计反滤波器，确定 性方法和统计方法，式（4.4-4）是确 定性方法-代数方法。但用此方法必须 事先知道大地滤波因子，这很难作到. 。
❖ 从理论上讲，反滤波因子a(t)是一个 无穷序列，实际中只能取有限项，所 以反滤波因子只能近似地确定或截断， 其结果不一定好，所以只能用统计方 法求取最佳的滤波因子。下面介绍常 用的统计反滤波方法。
n
n
E [ b()R (t)n(t)] [b(k)R (tlk)n(tl)]
0
k0
❖ 根据(4.4-10)式,和考虑到n(t)与R(t) 互不相关,对上式进行化简,
❖ 得到
❖rxx(l)=rbb(l)+rnn(l) (4.4.11) ❖ rbb(l)和rnn(l)分别表示地震子波的自
相关和噪声n(t)的自相关函数.
输入，y(t)为输出，见图4.4-1则有
y(t)=x(t)*h(t) (4.4.1) 现在要设计一个滤波器，使得当y(t)作为输 入时，输出是x(t),见图4.4-1即
x(t)=y(t)*a(t) (4.4.2) 于是则a(t)是h(t)的反滤波。将（4.4.2）代 入（4.4.1）,得到
y(t)=y(t)*a(t)*h(t)
图4.4-1 反滤波的概念
根据函数理论，有
y(t)=y(t)*(t)
因此 a(t)*h(t)=(t)
上式即滤波因子h(t)与反滤波因子a(t) 之间的关系。在频率域中，
A()H()=1
则 A()=1/ H() (4.4.3)
用Z变换形式表示
Hale Waihona Puke Baidu
A(Z)=1/H(Z)
(4.4.4)
式 (4.4.4)是一个有理分式形式的Z 变换，H(z)为一个多项式。显然 A(z)=l/H(z)一般是一个无穷级数， a(t)是一个无穷序列。
t0
mn
z(t)x(t s) rzx(s)
t0
其中rxx(-s)是时间延迟为(-s)的地 震记录的自相关，rzx是时间延迟为 s的地震记录与期望输出的互相关。 （4.4.8）式可写为
m a ()r x x( s) r zx(s),(s 0 ,1 ,2 ,m ) (4 .4 .9 )
0
计算地震记录的自相关，假设反射 系数序列是随机的白噪序列，它满 足
❖ 其中
n
rbb(l) b(k)b(k l) , k0
rnn(l) E[n(t)n(t l)]
分别表示地震记录的自相关和噪声 n(t)的自相关函数
❖ 如果假设随机干扰n(t)也是白噪声，即
E[n(s)n(t)]e0
ts ts
其中e是表示噪声干扰水平的一个常
数。则
e rn n(l) 0
l 0 l 0
❖ 反滤波即反褶积。即用一个反滤波器与 信号进行褶积。
❖ 由于地层对地震波的高频成分有严重 的吸收作用，使得由震源激发的尖脉冲 变成有一定延续时间的地震子波。由多 个反射界面形成的地震记录道g(t)
所谓反滤波，仍然是一个滤波过
程，但它恰好与某个其他滤波过程
的作用相反。 设x(t)是时间函数h(t)的滤波器的
❖ 最小平方反滤波的作用是将 记录中的地震子波压缩成尖脉 冲，提高垂向分辨率。
❖ 设地震子波为b(t),反射系数序列为R(t)， 地震噪声为n(t)，则地震记录x(t)为
❖ x(t)=b(t)*R(t)+n(t) (4.4.5)
❖ 现在要设计一个反滤波器a(t), ❖ a(t)=[a(0),a(1),…a(m)] ❖ 使地震子波b(t)变成窄脉冲 ❖ d(t)=[d(0),d(1),…d(n)] ❖ 同时使干扰波n(t)受到压制。 ❖ 地震记录x(t)经反滤波器a(t)作用后的
判断实际输出与期望输出是否最佳接近，
当二者的误差平方和为最小时，求出滤 波因子h(t)，此时用h(t)对输入信号进 行滤波，称最小平方滤波
若再设计一个滤波器，x(t)是该滤波 器的输出，而期望输出y(t)是该滤波器 的输入，
❖ 按此思路求得的滤波因子a(t)即 为最小平方反滤波因子，用它 进行的滤波是最小平方反滤波。
E[R(t)]0 1 ts
E[R(s)R(t)]0 ts
(4.410)
随机噪声n(t)与反射系数R(t)不相 关，即满足,E[n(t)R(s)]=0
❖ 在上述假设条件下，地震记录x(t)的自 相关函数可表示为地震子波b(t)的自相 关函数和噪声n(t)的自相关之和，即
❖
rx(xl)E [x(t)x(tl) ]
实际输出为c(t)
c (t) a (t) x (t) m a ()x (t ) 0
(4 .4 6 )
期望输出的是是一系列窄脉冲z(t) ，
m
z(t) d (t) R (t) d (k )R (t k ) k 0
(4 .4 7 )
根据最小平方反滤波的思想，信号经 反滤波作用后的输出应是实际输出c(t) 与期望输出z(t)在最小平方误差意义下 的最佳接近的输出。即使
m n
m nm
m
Q [ c ( t) z ( t) ] 2[ a ()x ( t )d ( k ) R ( t k ) ] 2 mi
t 0
t 0 0
k 0
为选取合适的反滤波因子a(t),令
Q
mn m
m
[ a()x(t) d(k)R(tk)]2
a(s) a(s)t0 0
k0
mn m
(一)最小平方反滤波的基本原理
❖ 最小平方滤波的思想在于设计一个滤 波算子，用它把已知的输入信号转换为 与给定的期望输出信号在最小平方误差 的意义下是最佳接近的输出。
❖
❖ 设输入信号为x(t)，使它与待求的滤波 因子h(t)褶积得到实际输出
❖ y(t)= x(t)*h(t)。
❖设期望输出为 yˆ ( t，) 用最小平方误差准则
❖ 因而式（4.4-11）可写为