离散数学期末复习

求出下图的一棵最小生成树，并计算其权。
1 2
9
8
7
5
6
4
3
10
f 5
a 1
5
b
2e
8 7
h 66
6 d
3
4c
求最优二元树及其权 例 求以 1,3,4,5,6 为权的最优 2 元树，要求写出步骤并计算它的权。
例 (1) 求以 2,3,5,7,8,9为权的最优 2 元树 T ，(2) 求 W (T ) ，（3) 求 T 的高度 h ( T ) ， (4) 求 T 的树叶有多少？ (5) 求 T 的 2 度顶点， 3 度顶点， 4 度顶点各有多少？
例 设 A={a，b，c} ，R是 A 幂集上的包含关系，说明 R 是偏序关系并画出 R 的哈 斯图。
例 求集合 A={1,2,3} 的幂集， R是 A 幂集上的包含关系，说明 R是偏序关系并画
出 R 的哈斯图。
例 设 S={1，2, … ,10}, 是 S 上的整除关系，画出 <S, >的哈斯图。 例 画出集合 A ＝{2,3,4,6,7,8,9} 上整除关系的哈斯图。 例 设集合 A={0,1,2,3,4,5} ，
(1) 求 R1-1
(2) 求 R2 R1
2={<2,2>,<2,3>,<3,4>}, (3)R1 是函数吗？
例 设集合 A={a,b,c,},B={b,c,d},C={d,e,f},R
1={<1,2>,<2,2>,<2,3>,<3,3>},
R2={<2,2>,<2,3>,<3,4>} ， 求(1) A B ，(2)A ⊕B， (3) R1-1 ，(4) R1 R2
R={<0,0>,<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<2,3>,<3,1>,<3,2>,<3,3>,<4,4>,<4,5>,<5, 4>,<5,5>} ，试用关系图验证 R 是 A 上的等价关系。
10 0
例 A={1,2,3} ， R 为 A 上关系，关系矩阵为 1 1 0 ，
根据以上事实，推断谁是盗窃犯。 （在命题逻辑中构造推理证明。 ） 例 如果今天是周一，则要进行离散数学或 C 语言程序设计两门课中一门课的考 试。如果 C 语言程序设计课的老师有会，则不考 C语言程序设计。今天是周一， C语言程序设计课的老师有会，所以进行离散数学课的考试。 例 若明天是星期一或星期三，我就有课。若有课，今天必须备课。我今天没备 课。所以，明天不是星期一和星期三。 例 若明天是周一或周二，小华就要考试。若要考试，今天必须复习。小华今天 没复习。所以，明天不是周一和周二。 例 如果 A 工作努力， B 或 C 将生活愉快。如果 B 生活愉快，那么 A 将不努力 工作。如果 D 愉快，则 C 将不愉快。所以，如果 A 工作努力， D 将不愉快。
（ 1）画出图 G并说出此图有几条边。
（ 2）v1 到 v3，v4 到 v2 长为 3 的通路有多少条？ v1 到自身长为 3 的回路有多少 条？
（ 3）此图是强连通还是单向连通图？
哈密尔顿图的充分条件及其简单应用 例 一次会议有 10 人参加，其中每个人都在其中有不下 6 个朋友。这 10 人围成 一圆桌入席。有没有可能使任意相邻而坐的两个人都是朋友？为什么？
例 已知 A＝{ a , b , c , d , e } ，在 A 上定义二元关系 R：
R={ a , b , b, a , a, c , b, d , b , e d , a , e, a , e, c }
（ 1）试画出 R 的关系图； （ 2）求 R 的自反闭包和对称闭包。
例 R1={<1,2>,<1,3>,<2,3>,<3,3>}, R
离散数学内容总结
第一篇 数理逻辑
第 1 章 命题逻辑 求命题公式的主析取范式及主合取范式 例 求 p q r p 的主析取范式及主合取范式。 例 求 (P→Q) R 的主析取范式及主合取范式。 例 求命题公式 ( P Q ) R 的主析取范式和主合取范式。
例 求公式 A=( p q) r 的主析取范式与主合取范式。 例 求 p q r 的主析取范式。
例 具有四个节点的有向图 G如下图所示 :
(1) 写出此图的邻接矩阵。 （ 3 分） (2) G是单向连通还是强连通？（ 3 分） (3) 长为 4 的通路共有多少条 ?其中有多少条回路 ?（4 分）
例 已知有向图 G 的邻接矩阵为
01 01 0 011
A=
11 0 0 11 1 0
（ 1）画出图并说出此图有几条边。 （ 2） v4 到 v2 长为 3 的通路有多少条？ v1 到自身长为 3 的回路有多少条？ （ 3）此图是强连通还是单向连通图？ 例 G 是具有四个节点的有向图，它的邻接矩阵表示如下
((A (B－C)) A) (B－(B－ A)) ＝A。 例 设 A 、B、C 是任意三个集合，证明： ((A (B－ C)) A) (B－(B－ A)) ＝A 例 设 A，B，C 为集合，证明： A∩(B－ C)=(A－C)∩(B－ C)
例 已知 A∩B=A∩ C，且 A ∩B=A ∩C，证明 B=C。
到 A？
第 4 章 关系
第 5 章 函数 例 设集合 A={1,2,3,4,5} ，A 上的关系 R和 S 为：
R={<x,y>|x+y=5,x,y A},S={<x,y>|x<y ,x,y 例 设 A={0,1,2,3} ， A 上的两个关系：
A} ，求 R S。
R = {(a,b)︱a=b+1 或 a=b/2} ， S = {(a,b)︱b=a+2 }，求 (1)R S，(2) S R。 例 设 B={1,2,3,4} ， B 上的关系 R＝{ 〈1,2 〉, 〈2,1 〉 , 〈 2,3 〉 , 〈 3,4 〉｝， 求 (1)R R (2) R -1 例 设 A={a,b,c,d} ， A 上的关系 R＝{<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d> ｝，求 (1)R R (2)R -1
10 1
(1) 画出关系图。 (2) 求 R R，R-1 。 (3) 求 r(R)，s(R)， t(R)； (4) 指出 R 具有的性质。 (5) R 是偏序关系吗？若是画出哈斯图。
连通性判断，通路数的计算 例 有向图 G如下图所示：
第三篇 图论
(1) 写出此图的邻接矩阵表示。 （ 4 分） (2)v1 到 v3 长为 3 的通路有多少条？ v1 到自身长为 3 的回路有多少条？ （ 4 分） (3)G 中长为 3 的通路共有多少条？其中回路多少条？（ 4 分）
0101 0 0 11 0101 010 0
画此图并说明该图共有几条边？ G是单向连通还是强连通？ 分别求出从 v4 到 v4 长度小于 4 的回路条数及从 v1 到 v2、 从 v1 到 v3、 v1 到 v4 长度是 3 的通路数。
例 已知有向图 G的邻接矩阵为
0 101 0 0 11
A=
11 0 0 111 0
R1 R2
例 R1={<1,2>,<1,3>,<2,3>,<3,3>} , R2={<2,2>,<2,3>,<3,4>} ,
(1) 求 R1-1 (2) 求 R2 R1
(3) R1 是函数吗？
例 设 A={a,b,c,d} ， R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>} ，求 r(R) ，s(R) ，t(R) 。
计算 例 已知无向图 G有 12 条边， 1 度顶点有 2 个，2 度、3 度、5 度顶点各 1 个，其
余顶点度数均为 4，求 4 度顶点的个数。 例 一棵树有两个结点度数为 2，一个结点度数为 3，三个结点度数为 4，其余结 点度数均为 1，问它有几个度数为 1 的结点？ 例 已知无向树 T 中，有 1 个 3 度顶点， 2 个 2 度顶点，其余顶点全是树叶。试 求树叶数。 例 无向树 T 有 8 片树叶，2 个 3 度分支点， 其余的分支点都是 4 度顶点， 问 T 有 几个 4 度分支点？
在命题逻辑中构造下面推理的证明： 例 如果小张守第一垒并且小李向 B 队投球，则 A 队获胜。或者 A 队未获胜，
或者 A 队成为联赛的第一名。小张守第一垒。 A 队没有成为联赛的第一名。因
此小李没有向 B 队投球。
例 一个公安人员审查一件盗窃案，已知下列事实： （ 1）甲或乙盗窃了录像机； （ 2）若甲盗窃了录像机，则作案时间不能发生在午夜前； （ 3）若乙的证词正确，则午夜时屋里灯光未灭； （ 4）若乙的证词不正确，则作案时间发生在午夜前； （ 5）午夜时屋里灯光灭了。
例 设 A={{a,{b}},c,{c},{a,b}} ，B={{a,b},{b}} ，计算 (1)A ∩Ｂ，(2)A ⊕ B，(3)P(B)
集合恒等式的证明 例 设 A、B、C 是三个集合，证明： A B=A (B-A) 例 设 A、B、C 是三个集合，证明： A－ (B C)＝(A－ B)－C 例 设 A、B、C 是三个集合，证明： A (B－C)＝(A B)－ (A C) 例 设 A、B、C 是三个集合，证明： (A－B) (A－ C)=A－ (B C) 例 设 A、B、C 是任意三个集合，证明：
包含排斥原理（即容斥原理）的简单应用 例 假设某班有 20 名学生，其中有 10 人英语成绩为优，有 8 人数学成绩为优， 又知有 6 人英语和数学成绩都为优。问两门课都不为优的学生有几名？ 例 有 100 名程序员，其中 47 名熟悉 C++语言， 35 名熟悉 JAVA 语言， 23 名熟 悉这两种语言。问有多少人对两种语言都不熟悉？ 例 在一个班级的 50 名学生中，有 26 人在第一次考试中得到 A，21 人在第二次 考试中得到 A ，假如有 17 人两次考试都没得到 A，问有多少学生两次考试都得
海南人都不怕热，小赵怕热。所以小赵不是海南人。 无理数都不能表示成分数， 3.1415 能表示成分数。所以 3.1415 不是无理数。 例 鸟都会飞，麻雀是鸟，所以麻雀会飞。 例 乌鸦都不是白色的，北京鸭是白色的。因此，北京鸭不是乌鸦。
第二篇 集合论
计算 例 设A
1, 2, 3 , B
第 3 章 集合 2, 3, 4, 5 , Z 2, 3 , 求 （ A B） Z .
第 2 章 谓词逻辑
求谓词公式的前束范式
例 求谓词公式 Biblioteka BaiduP ( x)
xQ ( x ) 的前束范式
例 求公式 ? x F(x)∧ ? x G(x)的前束范式。
证明 例 证明：﹁ x(A(x) ∧ B(x))
x(A(x) →﹁ B(x))
在一阶逻辑中符号化下述命题，并推证之。 例 凡人必有一死，苏格拉底是人，所以苏格拉底会死的。 凡人都会犯错，小王是人，所以小王会犯错。 所有三角形其内角和为 180 度。△ ABC 是三角形。 所以△ ABC 内角和为 180 度。 所有的有理数均可以表示成分数。 0.3 是有理数。所以 0.3 可以表示成分数。 偶数都可以被 2 整除， 6 是偶数。所以 6 可以被 2 整除。 哲学家都善于思考。柏拉图是哲学家。所以，柏拉图善于思考。 例 东北人都不怕冷，王国端怕冷。所以王国端不是东北人。 非洲人都不怕热，玛丽怕热。所以玛丽不是非洲人。 凡奇数均不能被 2 整除， 8 能被 2 整除。所以 8 不是奇数。 凡奇数均不能被 2 整除， 36 能被 2 整除。所以 36 不是奇数。 英语系学生都不学离散数学，小刘学离散数学。因此，小刘不是英语系学生。
判断公式类型 例 用等值演算法判断公式 q ( p q)的类型 例 判断下列命题公式的类型（永真式、永假式、可满足式）
，方法不限。
(1)
(2) 证明 例 证明： p q r
pr qr
例 证明： p ( q r ) ( p q ) r
例 推证： Q∧(P→Q) P
例 前提： p r , q s, p q ，结论： r s 。该结论是否有效？请说明原因。
例 设集合 A ＝{ 2,4,6,8,10,12} ，B={2,4,6} ，从 A 到 B 的关系 R＝{<x,y> |x=2y} ， 求 R 和 R-1
例 设集合 A＝｛1,2,3,4,5,6 ｝，B={1,2,3} ，从 A 到 B 的关系 R＝｛〈x,y 〉|x=2y ｝， 求 (1)R,(2)R -1 例 设 R1={<1,2>,<2,2>,<2,3>,<3,3>} , R2={<2,2>,<2,3>,<3,4>} ，求 (1) R1-1 ， (2)