高中数学开放题赏析

图3

C

B

图2

B 图1

C

B

高中数学开放题赏析

数学开放性问题是近年来高考命题的一个新方向,其解法灵活且具有一定的探索性,这类题型按解题目标的操作模式分为:规律探索型,问题探究型,数学建模型,操作设计型,情景研究型.如果未知的是解题假设,那么就称为条件开放题;如果未知的是解题目标,那么就称为结论开放题;如果未知的是解题推理,那么就称为策略开放题.当然,作为数学高考题中的开放题其“开放度”是较弱的,如何解答这类问题,还是通过若干范例加以讲解.

题目1：如果一个四面体的三个面是直角三角形，那么，第四个面可能是：①直

角三角形；②锐角三角形；③钝角三角形；④等腰三角形；⑤等腰直角三角形；⑥等边三角形。请说出你认为正确的那些序号。

解 分三种情形

第一种情形 从同一顶点出发的三个面都是直角三角形，且都以该顶点为直角顶点，如图1。

设AD 、BD 、CD 的长分别是a 、b 、c ， ∵ ∠ADB=∠ADC=∠BDC=900，

∴ AB ，BC ，AC 的长分别为 222222,,a c c b b a +++

在△ABC 中，由余弦定理

cos ∠BAC=AC

AB BC AC AB •-+22

22

=

AC

AB c b c a b a •+-+++2)

(2

22222

=AC

AB a •2

＞0 ∴ ∠BAC 是锐角，同理∠ABC 、∠ACB 也是锐角

∴ △ABC 是锐角三形。②正确。当a=b=c 时△ABC 是等边三角形，⑥正确。

第二种情形 如图2，∠ADB=∠ADC=∠DBC=900 ∵ AD ⊥BD ，AD ⊥DC ， ∴ AD ⊥面DBC ∴ BD 是AB 在平面DBC 上的射影。

由三垂线定理知，BC ⊥AB

∴ 第四个面△ABC 是直角三角形。①正确。

第三种情形 如图3，∠ADC=∠BDC=∠ACB=900

设AD 、BD 、CD 的长分别为a 、b 、c ， 则AC 2=a 2+c 2，BC 2=b 2+c 2， ∴ AB 2=AC 2+BC 2=a 2+b 2+2c 2 在△ABD 中，由余弦定理得

cos ∠ADB=

ab

c ab c b a b a BD AD AB BD AD 2

222222222)2(2-=++-+=•-+＜0 ∴ ∠ADB ＞900，△ABD 是钝角三角形，③正确。

显然在第二种情形下，AB 和BC 可以相等，所以三角形ABC 可以是等腰直角三角形，⑤正确，从而④也正确。故答案是①②③④⑤⑥。

注 此题是一道高考模拟试题，是一道考查学生空间想象能力、探索能力的好试题。其中第三种情形容易被忽视，标准答案中也没有“钝角三角形”。

（注 第三种情形的存在性可以这样来验证：先作三角形ABD ，使∠ADB 是钝角，然后过D 作直线DC 垂直于面ABD 。以AB 为直径作一球，则D 必在球的内部，设C 是直线DC 与球面的一个交点，则∠ACB 是直角，图3的四面体存在）。

题目2：设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 是其前n 项和。

（I ）证明：

2

lg lg 2

++n n S S ＜lgS n+1 ；

（II ）假设存在常数C ＞0，使得)lg(2

)

lg()lg(12c S c S c S n n n -=-+-++成立？并证

明你的结论。（1995年全国高考题）

解：（I ）证明略(得出S n ·S n+2＜S n+12

)。

（II ）假设存在常数c ＞0，使得

)lg(2

)

lg()lg(12c S c S c S n n n -=-+-++则有

S n －c ＞0 ①

S n+1－c ＞0 ② S n+2－c ＞0 ③

(S n －c)(S n+2－c)=(S n+1－c)2

④ 由④得

(S n S n+2－S n+12= c (S n +S n+2－2S n+1) ⑤ 由重要不等式及①②③④知

S n +S n+2－2S n+1=（S n ―c ）+（S n+2―c ）―2（S n+1―c ） ≥20)(2))((12=----++c S c S c S n n n 因为c ＞0，故⑤式右端非负，即

S n S n+2－S n+12≥0。而由（I ）的证明可知 S n S n+2－S n+12＜0，产生了矛盾。 故不存在常数，c ＞0， 使

)lg(2

)

lg()lg(12c S c S c S n n n -=-+-++

评析 这是一个台阶试题，在求解第（II ）小题时，必然要用到第（I ）题结论，也就是说第（I ）题经过证明之后的结论将在解答第（II ）小题时作为条件使用，而第（II ）小题中究竟中是否存在常数c ＞0？最终要看假设存在之后，是否与第（I ）小题矛盾。

题目3。 设等比数列{}n a 的公比为 q ，前 n 项和为 n S ，是否存在常数 c ，使数列 {}

c S n +也成等比数列？若存在，求出常数c ；若不存在，请 说 明 理 由.

讲解 存在型开放题的求解一般是从假设存在入手, 逐步深化解题进程的. 设存在常数c ， 使数列{}c S n + 成等比数列.

2

12)())((c S c S c S n n n +=++++

211222(++++--=-⋅∴n n n n n n S S S c S S S

(i) 当 1=q 时，1na S n = 代入上式得

()[])2()1((1)2(12

2

12

1+--+=+-+n n n a ca n a n n a 即2

1a =0

但01≠a , 于是不存在常数c ，使{}c S n +成等比数列.

(ii) 当 1≠q 时，q

q a S n n --=1)

1(， 代 入 上 式 得

1,)1()1()1()

1(12122

2

1-=∴--=---q a c q q q ca q q q a n n .