《二倍角的三角函数》示范公开课教学PPT课件【高中数学必修4(北师大版)】
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高中数 二倍角的三角函数课件 北师大必修
选择题
已知$costheta = frac{1}{3}$， 且$theta in (0,frac{pi}{2})$， 则$sin2theta =$？
填空题
已知$tantheቤተ መጻሕፍቲ ባይዱa = frac{1}{2}$， 则$cos2theta =$？
解答题
已知$sintheta = frac{3}{5}$， 求$cos2theta$的值。
图像的变换
平移变换
翻转变换
通过平移二倍角三角函数的图像，可 以得到其他三角函数的图像。
通过翻转二倍角三角函数的图像，可 以得到其他形式的三角函数图像。
伸缩变换
通过伸缩二倍角三角函数的图像，可 以得到其他形式的三角函数图像。
05
习题与解答
习题
判断题
若$sin2theta = frac{1}{3}$， 则$cos^2theta = frac{1}{3}$。
答案与解析
• 判断题解析：若$\sin2\theta = \frac{1}{3}$，则根据二倍角公式，我们有 $2\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{3}$。平方两边得到${(2\sin\theta)}^{2} + {(2\cos\theta)}^{2} - 2 \times 2\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{9}$，化 简得到$4 - 4\sin2\theta = \frac{1}{9}$，解得$\sin^2\theta = \frac{10}{9}$，所以$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = \frac{1}{9}$，故 判断题错误。
在研究函数性质中的应用
利用二倍角公式研究函数的周期性
已知$costheta = frac{1}{3}$， 且$theta in (0,frac{pi}{2})$， 则$sin2theta =$？
填空题
已知$tantheቤተ መጻሕፍቲ ባይዱa = frac{1}{2}$， 则$cos2theta =$？
解答题
已知$sintheta = frac{3}{5}$， 求$cos2theta$的值。
图像的变换
平移变换
翻转变换
通过平移二倍角三角函数的图像，可 以得到其他三角函数的图像。
通过翻转二倍角三角函数的图像，可 以得到其他形式的三角函数图像。
伸缩变换
通过伸缩二倍角三角函数的图像，可 以得到其他形式的三角函数图像。
05
习题与解答
习题
判断题
若$sin2theta = frac{1}{3}$， 则$cos^2theta = frac{1}{3}$。
答案与解析
• 判断题解析：若$\sin2\theta = \frac{1}{3}$，则根据二倍角公式，我们有 $2\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{3}$。平方两边得到${(2\sin\theta)}^{2} + {(2\cos\theta)}^{2} - 2 \times 2\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{9}$，化 简得到$4 - 4\sin2\theta = \frac{1}{9}$，解得$\sin^2\theta = \frac{10}{9}$，所以$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = \frac{1}{9}$，故 判断题错误。
在研究函数性质中的应用
利用二倍角公式研究函数的周期性
【高中课件】高中数学北师大版必修4二倍角的正弦、余弦和正切导学课件ppt.ppt
(3)(sin5������ +cos5������ )(sin5������ -cos5������ );
12
12
12
12
【解析】(1)原式=4sin ������ cos ������ cos ������ =2sin ������ cos ������ =sin ������=������.
sin ������ cos ������ 的值为( A
12
12
).
A.1
B. 3
C.1
D. 3
4
4
2
2
【解析】sin ������ cos ������ =������(2sin ������ cos ������ )=������sin(2× ������ )=������sin ������=������.
直接利用二倍角、半角等公式进行化简或求值
将下列三角函数式进行化简或求值:
(1)8sin ������ cos ������ cos ������ cos ������ ;
48 48 24 12
(2) 1 - 1 ;
1-������������������������ 1+������������������������
D.sin 1-cos 1
【解析】∵0<1<������,∴cos 1>0,
������
∴ ������ + ������������������������= ������ + (������������������������������������-������)= ������������������������������������= ������cos 1.
北师大版必修4高中数学3.3.1《二倍角的三角函数》ppt课件
tan
1 2
1 3
1 2
5. 6
方法二：
sin2
2sincos sin2 cos2Biblioteka 2tan 1 tan2
,
cos2
cos2 sin2 sin2 cos2
1 1
tan 2 tan 2
,
2tan
原式
＝ sin2 1 cos2
【规范解答】由2α +β ＝π知，β =π-2α ， 所以y＝cos(π-2α)-6sinα =-cos2α-6sinα =2sin2α-6sinα-1 …………………………………………4分 令t＝sinα则t∈[-1,1]，原题变为求y＝2t2-6t-1在区间 [-1,1]上的最值． ………………………………………… 6分
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
sin20
1 sin40cos40cos80 2
sin20
1 sin80cos80 4
1 sin160 8
1.
sin20
sin20 8
方法二： 原式 sin40 g sin80 gsin160 1gsin160 1 .
高中数学北师大版必修4第3章3《二倍角的三角函数》ppt课件
(5)原式＝coss1in01°－0°co3ss1i0n°10°＝212cossin1100°－°co2s31s0i°n10° ＝4sin30°c2ossin1100°－°cocso1s03°0°sin10°＝4ssiinn320×°－101°0°＝4ssiinn2200°° ＝4. [规律总结] 解答此类题目一方面要注意角的倍数关系， 另一方面要注意函数名称的转化方法，同角三角函数的关系及 诱导公式是常用的方法．
42－12＝
2 4.
3．若sinα2＝ 33，则cosα＝( )
A．－23
B．－13
C．13 [答案] C
D．23
[解析]
本题考查了余弦的二倍角公式．因为sin
α 2
＝
3 3
，
所以cosα＝1－2sin2α2＝1－2( 33)2＝13.
4．函数y＝sin2xcos2x的最小正周期是________，最大值
(1)化简2sicno2sxx·(1＋tanx·tan2x)．
(2)求证：33－ ＋44ccooss22AA＋ ＋ccooss44AA＝tan4A．
[解析] (1)原式＝2s2incxocsoxsx(1＋csoinsxx·1－sincoxsx) ＝sinx(1＋1－cocsoxsx)＝csoinsxx＝tanx.
[规范解答] (1)原式＝sin2×1π2＝sinπ6＝12. (2)原式＝cos(2×750°)＝cos1500°＝cos(60°＋4×360°)＝ cos60°＝12. (3)原式＝tan(2×150°)＝tan300°＝tan(360°－60°)＝－ tan60°＝－ 3. (4)原式＝cos1π2cosπ2－1π2＝cos1π2sin1π2 ＝12·2sin1π2cos1π2＝12sinπ6＝12×12＝14.
高二数学3.3二倍角三角函数 课件 (北师大必修4)
例2.化简
(1ห้องสมุดไป่ตู้(sin
5 5 3 5 5 5 5 2 5 cos2 cos cos )(sin cos ) sin 12 12 6 2 12 12 12 12
4
(2) cos
2
sin
4
2
(cos 2
2
sin 2
2
)(cos 2
2
sin 2
2
) cos
2 tan 1 1 tan 2 (3) 2 1 tan 1 tan 1 tan
(4)1 2cos2 cos 2 2
(5) 1 sin | sin
=
2
cos
2
|
1 sin 8 8
(6)sin cos cos 2 cos 4
例3.已知
5 cos , 是第二象限角，求 sin 2 ,cos 2 , tan 2 的值。 13
例4.要把为R的半圆形木料截成长方形（如右图应怎样截取， 才能使长方形面积最大？
动态分析
7 例5.已知 cos 25
，求
sin
2
, cos
2
, tan
2
的值。
例6.已知
12 3 sin 2 , 2 , 求 tan 13 2
例7.求函数
y cos x cos x sin x
2
的值域.
小结：
sin 2 2sin cos cos 2 cos 2 sin 2 2 cos 1
【数学】3.2《二倍角的三角函数》课件(北师大版必修4)
1 = 2sin cos = sin = 12 12 6 2
π
π
π
例2.化简 2.化简
5π 5π 5π 5π ①． (sin + cos )(sin − cos ) 12 12 12 12 5π 3 2 5π 2 5π = − cos = 解 : 原式 = sin − cos 6 2 12 12
②． cos
1 + cos 2 x 1 y= + sin 2 x 2 2
2 π 1 = sin(2 x + ) + 2 4 2
Q sin(2 x + ) ∈ [ −1,1] 4
2 1 2 1 ∴ y ∈ [− + , + ] 2 2 2 2
π
课堂小结
.二倍角公式 1 .二倍角公式
sin 2α = 2 sin α cos α , cos 2α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − sin 2 α , 2 tan α tan 2α = . 2 1 − tan α
解 : 原式 = 1 + 2 cos 2 θ − 2 cos 2 θ + 1 = 2
例3、已知
12 π sin α = , α ∈ ( , π ) 13 2
:sin2α cos2α tan2α的值. 求:sin2α，cos2α，tan2α的值.
解: ∵ sin α =
12 π , α ∈ ( ,π ) 13 2
于是 sin4α = 2sin2α cos2α = 2×
；
5 12 120 × − = − 13 13 169
2
5 119 cos 4α = 1 − 2sin2 2α = 1 − 2 × = 13 169
高中数学北师大版必修四 二倍角的三角函数(一)ppt课件(50张)
§3
二倍角的三角函数(一)
二倍角公式及其变形
2sinα cosα
sinα cosβ+cosα sinβ
2cos2α -1 cosα cosβ-sinα sinβ 1-2sin2α
tan tan 1 tan tan
1．判一判 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)sin 2α =2sin α .( ) ) )
【探究提示】1.利用降幂公式得 cos 2 ( ) 1 sin 2 . 2.由已知求得tan α后用正切二倍角公式求解. 3.cos 2x=
4
2
sin( 2x) 2sin( x)cos( x), 2 4 4 cos( x) sin[ ( x)] sin( x). 4 2 4 4
【解析】(1)原式= sin sin( ) sin cos
12
2 12
12
12
= 2sin
答案：
sin cos 12 12 6 1 . 2 2 4
1 (2)原式＝ 4 cos(2〓750°)＝cos 1 500°＝cos(4〓360°＋
60°)＝cos 60°＝ 答案： .
3 3
【题型示范】
类型一
用二倍角公式解决给值求值问题
【典例1】 (1)(2013·新课标全国Ⅱ)已知sin 2α = =( )
2 ， cos 2 ( ) 3 4
则
1 A. 6
1 B. 3
1 C. 2
2 D. 3
(2)(2013·四川高考)设sin 2α =-sin α ，α ∈ ( , )，则 tan 2α 的值是_________． (3)已知
二倍角的三角函数(一)
二倍角公式及其变形
2sinα cosα
sinα cosβ+cosα sinβ
2cos2α -1 cosα cosβ-sinα sinβ 1-2sin2α
tan tan 1 tan tan
1．判一判 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)sin 2α =2sin α .( ) ) )
【探究提示】1.利用降幂公式得 cos 2 ( ) 1 sin 2 . 2.由已知求得tan α后用正切二倍角公式求解. 3.cos 2x=
4
2
sin( 2x) 2sin( x)cos( x), 2 4 4 cos( x) sin[ ( x)] sin( x). 4 2 4 4
【解析】(1)原式= sin sin( ) sin cos
12
2 12
12
12
= 2sin
答案：
sin cos 12 12 6 1 . 2 2 4
1 (2)原式＝ 4 cos(2〓750°)＝cos 1 500°＝cos(4〓360°＋
60°)＝cos 60°＝ 答案： .
3 3
【题型示范】
类型一
用二倍角公式解决给值求值问题
【典例1】 (1)(2013·新课标全国Ⅱ)已知sin 2α = =( )
2 ， cos 2 ( ) 3 4
则
1 A. 6
1 B. 3
1 C. 2
2 D. 3
(2)(2013·四川高考)设sin 2α =-sin α ，α ∈ ( , )，则 tan 2α 的值是_________． (3)已知
《二倍角公式》示范公开课教学课件【高中数学北师大】
．
余弦的二倍角公式还有哪些变形？
由cos 2α＝2cos2α－1 升幂变形得: 1＋cos 2α＝2cos2α
升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α 1－cos 2α＝2sin2α
观察一下二倍角余弦公式中项的次数，可以做怎样变形？
相应的，我们也可对其作降幂变形：
由cos 2α＝1－2sin2α 升幂变形得：1－cos 2α＝2sin2α
解：2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝ ；
cos215°－sin215°＝cos 30°＝ ；
2sin215°＝1－cos 30°＝1－ ；
sin215°＋cos215°＝1，
故选 B .
பைடு நூலகம்
B
解： ．
故选 C．
若则．
C
解：
故选 D．
若，则值为（ ）
D
解： ，
．故答案为： ．
设 ，则 的值是________．
解：已知角α是第二象限角，所以sinα＞0．
由二倍角公式，有 ，
同理： ， ．
(寻找角与角之间关系)
(二倍角余弦公式)
(诱导公式)
认真观察题目，已知角和所求角有什么关系？
二倍角公式
第四章 三角恒等变换
相关著名历史人物
两角和的三角函数公式
比鲁尼 (973～1048)是波斯著名科学家、史学家、哲学家．青年时曾到朱尔占师从艾布·纳斯尔·曼苏尔等著名学者．他博览群书，广交学者，学识渊博，富有创造性，对史学、地理、天文、数学和医学均有很深的造诣．比鲁尼的著作《马苏德规律》在三角学方面有创造性的贡献，他给出一种测量地球半径的方法．比鲁尼还证明了正弦公式、和差化积公式、倍角公式和半角公式．
已知 ，则sin2α的值为多少？
余弦的二倍角公式还有哪些变形？
由cos 2α＝2cos2α－1 升幂变形得: 1＋cos 2α＝2cos2α
升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α 1－cos 2α＝2sin2α
观察一下二倍角余弦公式中项的次数，可以做怎样变形？
相应的，我们也可对其作降幂变形：
由cos 2α＝1－2sin2α 升幂变形得：1－cos 2α＝2sin2α
解：2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝ ；
cos215°－sin215°＝cos 30°＝ ；
2sin215°＝1－cos 30°＝1－ ；
sin215°＋cos215°＝1，
故选 B .
பைடு நூலகம்
B
解： ．
故选 C．
若则．
C
解：
故选 D．
若，则值为（ ）
D
解： ，
．故答案为： ．
设 ，则 的值是________．
解：已知角α是第二象限角，所以sinα＞0．
由二倍角公式，有 ，
同理： ， ．
(寻找角与角之间关系)
(二倍角余弦公式)
(诱导公式)
认真观察题目，已知角和所求角有什么关系？
二倍角公式
第四章 三角恒等变换
相关著名历史人物
两角和的三角函数公式
比鲁尼 (973～1048)是波斯著名科学家、史学家、哲学家．青年时曾到朱尔占师从艾布·纳斯尔·曼苏尔等著名学者．他博览群书，广交学者，学识渊博，富有创造性，对史学、地理、天文、数学和医学均有很深的造诣．比鲁尼的著作《马苏德规律》在三角学方面有创造性的贡献，他给出一种测量地球半径的方法．比鲁尼还证明了正弦公式、和差化积公式、倍角公式和半角公式．
已知 ，则sin2α的值为多少？
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北师大版·统编教材高中数学必修4
二倍角的三角函数
一、知识梳理
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin tan tan tan
1 tan tan
当α＝β时
cos cos cos sin sin sin sin cos cos sin tan tan tan
2
44
cos x cos2 x sin2 x 1 2sin2 x 2cos2 x １
2
4
4
4
4
一、知识梳理
理解公式的推导方法
S(α-β) C(α-β) 作 商
T(α-β)
以－β代β
S(α+β) C(α+β)
以－β代β
作 商 T(α+β)
β＝α
S2α
C2α
作 商
β＝α
T2α
一、知识梳理
例1 已知sin 3 ,是第三象限角,求sin 2 , cos 2 ,tan 2 .
2
2tan x 2 cos x
2sin x cos x
sin x
22
sin2 2
x cos2
x
4
sin x cos x sin 2x
总结：注in 2 2sin cos
cos 2 cos2 sin2 1 2sin2
2cos2 1
tan 2
2 tan 1 tan2
24 7
注意：1、符号法则；2、灵活运用公式 。
1 2sin2 2cos2 1
一、知识梳理
例2 不查表求值： （1）2cos105 cos15 ；
（3）1
tan15 tan2 15
；
例3 求证：
（2）5 5 sin2 15 ； 18 9
（4）sin
π 24
cos
π 24
cos
π 12
．
sin 1 sin cos 1 cos sin 1 sin cos 1 cos
sin 2
二、巩固练习
（1）化简
sin sin 2 1 cos cos 2
tan θ
2 （2） 8cos π cos π cos π sin π ____2___
1 2sin2 1 sin 2 (sin cos )2
一、知识梳理
灵活运用公式
sin 2 2sin cos
cos 2 cos2 sin2 1 2sin2 2cos2 1
sin 4 2sin 2 cos 2
sin 2sin cos
22
sin 2sin cos
32 16 8 32
（3）若
f
x
2tan x
2sin2 x 1 2
xx sin cos
，则
f
π 12
___8____
22
二、巩固练习
（3）若
f
x
2tan x
2sin2 x 1 2
sin x cos x
，则
f
π 12
___8____
22
1 2sin2 x
f ( x) 2tan x 2
5
解： sin 3 ,是第三象限角
5
sin 2 2sin cos
cos
1 sin2
1 ( 3 )2 4
5
5
sin 2 2sin cos 2 ( 3) ( 4) 24
5 5 25
cos 2 1 2sin2 1 2 ( 3)2 7
5 25
cos 2 cos2 sin2
tan 2
2 tan 1 tan2
谢谢观看
1 tan tan
一、知识梳理
二倍角公式：
sin 2 2sin cos
S2
cos 2 cos2 sin2 C2
tan 2
2 tan 1 tan2
T2
kπ π，且 kπ π k Z
24
2
一、知识梳理
二倍角公式
sin 2 2sin cos
cos 2 cos2 sin2
1 2sin2
2cos2 1
tan 2
2 tan 1 tan2
公式特点
公式左端的角是右 端角的二倍
公式变形：
cos2 1 sin2
1 cos 2 2cos2
降 (升)
cos 2 cos2 sin2
幂 1 cos 2 2sin2
公 (1 sin2 ) sin2 式 1 sin 2 (sin cos )2
二倍角的三角函数
一、知识梳理
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin tan tan tan
1 tan tan
当α＝β时
cos cos cos sin sin sin sin cos cos sin tan tan tan
2
44
cos x cos2 x sin2 x 1 2sin2 x 2cos2 x １
2
4
4
4
4
一、知识梳理
理解公式的推导方法
S(α-β) C(α-β) 作 商
T(α-β)
以－β代β
S(α+β) C(α+β)
以－β代β
作 商 T(α+β)
β＝α
S2α
C2α
作 商
β＝α
T2α
一、知识梳理
例1 已知sin 3 ,是第三象限角,求sin 2 , cos 2 ,tan 2 .
2
2tan x 2 cos x
2sin x cos x
sin x
22
sin2 2
x cos2
x
4
sin x cos x sin 2x
总结：注in 2 2sin cos
cos 2 cos2 sin2 1 2sin2
2cos2 1
tan 2
2 tan 1 tan2
24 7
注意：1、符号法则；2、灵活运用公式 。
1 2sin2 2cos2 1
一、知识梳理
例2 不查表求值： （1）2cos105 cos15 ；
（3）1
tan15 tan2 15
；
例3 求证：
（2）5 5 sin2 15 ； 18 9
（4）sin
π 24
cos
π 24
cos
π 12
．
sin 1 sin cos 1 cos sin 1 sin cos 1 cos
sin 2
二、巩固练习
（1）化简
sin sin 2 1 cos cos 2
tan θ
2 （2） 8cos π cos π cos π sin π ____2___
1 2sin2 1 sin 2 (sin cos )2
一、知识梳理
灵活运用公式
sin 2 2sin cos
cos 2 cos2 sin2 1 2sin2 2cos2 1
sin 4 2sin 2 cos 2
sin 2sin cos
22
sin 2sin cos
32 16 8 32
（3）若
f
x
2tan x
2sin2 x 1 2
xx sin cos
，则
f
π 12
___8____
22
二、巩固练习
（3）若
f
x
2tan x
2sin2 x 1 2
sin x cos x
，则
f
π 12
___8____
22
1 2sin2 x
f ( x) 2tan x 2
5
解： sin 3 ,是第三象限角
5
sin 2 2sin cos
cos
1 sin2
1 ( 3 )2 4
5
5
sin 2 2sin cos 2 ( 3) ( 4) 24
5 5 25
cos 2 1 2sin2 1 2 ( 3)2 7
5 25
cos 2 cos2 sin2
tan 2
2 tan 1 tan2
谢谢观看
1 tan tan
一、知识梳理
二倍角公式：
sin 2 2sin cos
S2
cos 2 cos2 sin2 C2
tan 2
2 tan 1 tan2
T2
kπ π，且 kπ π k Z
24
2
一、知识梳理
二倍角公式
sin 2 2sin cos
cos 2 cos2 sin2
1 2sin2
2cos2 1
tan 2
2 tan 1 tan2
公式特点
公式左端的角是右 端角的二倍
公式变形：
cos2 1 sin2
1 cos 2 2cos2
降 (升)
cos 2 cos2 sin2
幂 1 cos 2 2sin2
公 (1 sin2 ) sin2 式 1 sin 2 (sin cos )2