《概率论与数理统计》习题及答案 第六章
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《概率论与数理统计》习题及答案
第 六 章
1.某厂生产玻璃板,以每块玻璃上的泡疵点个数为数量指标,已知它服从均值为λ的泊松分布,从产品中抽一个容量为n 的样本12,,,n X X X L ,求样本的分布.
解 样本12(,,,)n X X X L 的分量独立且均服从与总体相同的分布,故样本的分布为
11221
(,,,)()n
n n i
i i P X k X k X k P X
k =====
=∏L 1
!
i
k
n
i i e k λλ-==∏
112!!!
n
i i n k n e k k k λ
λ=-∑=
L 0,1,i k =L ,1,2,,,i n =L 2.加工某种零件时,每一件需要的时间服从均值为1/λ的指数分布,今以加工时间为零件的数量指标,任取n 件零件构成一个容量为n 的样本,求样本分布。
解 零件的加工时间为总体X ,则~()X E λ,其概率密度为
,0,
()0,0.x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩
于是样本12(,,,)n X X X L 的密度为
1121,0(,,,)0,.n
i
i i
x n
n
x i n i e x f x x x e λλλλ=--=⎧∑⎪>=
=⎨⎪⎩
∏K 其它 1,2,,i n =L 3.一批产品中有成品L 个,次品M 个,总计N L M =+个。今从中取容
量为2的样本(非简单样本),求样本分布,并验证:当,/N M N p →∞→时样本分布为(6.1)式中2n =的情况。 解 总体~(01)X -,即(0),(1)L M
P X P X N N
==== 于是样本12(,)X X 的分布如下 121(0,0)1L L P X X N N -===
⋅
-,12(0,1)1
L M P X X N N ===⋅-
12(1,0)1M L P X X N N ===⋅-,121
(1,1)1
M M P X X N N -===⋅
- 若N →∞时M p N →,则1L
p N
→-,所以
20020
12(0,0)(1)(1)P X X p p p +-==→-=-
0121
12(0,1)(1)(1)P X X p p p p +-==→-=-
1021
12(1,0)(1)(1)P X X p p p p +-==→-=-
21122
12(1,1)(1)P X X p p p +-==→=-
以上恰好是(6.1)式中2n =的情况.
4.设总体X 的容量为100的样本观察值如下:
15 20 15 20 25 25 30 15 30 25 15 30 25 35 30 35 20 35 30 25 20 30 20 25 35 30 25 20 30 25 35 25 15 25 35 25 25 30 35 25 35 20 30 30 15 30 40 30 40 15 25 40 20 25 20 15 20 25 25 40 25 25 40 35 25 30 20 35 20 15 35 25 25 30 25 30 25 30 43 25 43 22 20 23 20 25 15 25 20 25 30
43
35
45
30
45
30
45
45
35
作总体X 的直方图
解 样本值的最小值为15,最大值为45取14.5a =,45.5b =,为保证每个小区间内都包含若干个观察值,将区间[14.5,45.5]分成8个相等的区间。用唱票法数出落在每个区间上的样本值的个数i n ,列表如下:
以组距4为底,以i 为高作矩形即得X 的直方图
5.某射手独立重复地进行20次打靶试验,击中靶子的环数如下:
用X 表示此射手对靶射击一次所命中的环数,求X 的经验分布函数,并画出其图像。
解 设X 的经验分布函数为()n F x 则
0,4,2,45,202,56,206,67,
20
()15,78,2015,89,2018,910,201,
10.
n x x x x F x x x x x ⎧<⎪⎪≤<⎪⎪⎪≤<⎪⎪≤<⎪⎪=⎨
⎪≤<⎪⎪⎪≤
<⎪⎪≤<⎪⎪⎪≥⎩
6.设12,,,n X X X L 是来自总体X 的简单随机样本,已知
(1,2,3,4)k
k EX k α==证明当n 充分大时,随机变量2
1
1n n i i Z X n ==∑近似服从正
态分布,并指出其分布参数.
证 因12,,,n X X X L 独立同分布,所以所以222
12,,,n X X X L 独立同分布,22i EX α=,24222
42()i i i DX EX EX αα=-=-,由独立同分布下的中心极限定
理(列维一林德贝格定理),当n 充分大时
22
2
22211n n
n i i
i n X X n X ααα⎡⎤---⎢⎥==∑∑∑ 近似服从标准正态分布,所以当n 充分大时,近似地有
2
242
1211~(,
)n i X N n n
ααα=-∑ 7.设12,,,n X X X L 是来自总体X 的一个样本,X 服从参数为λ的指数
分布,证明21
2~(2)n
i
i X
n λ
χ=∑.
[证] 12,,,n X X X L 独立同分布,~()i X E λ,今先证
22~(2),1,2,,i X i n λχ=L . 设2i Y X λ=的分布函数为()Y F y 则
()()(2)()2Y i i y F y P Y y P X y P X λλ=≤=≤=≤21,00,0
y e y y λλ-⎧⎪
->=⎨⎪≤⎩
所以Y 的密度为
221
,0,,
0,()22
0,0;
0,0.y y Y e y e y f y y y λλλλ--⎧⎧>>⎪⎪==⎨⎨⎪⎪≤≤⎩⎩
注意到(1)1Γ=,则Y 的概率密度为
21222
21,0
2
()2()
20,
0.
y
Y y e y f y y --⎧>⎪⎪=Γ⎨⎪⎪≤⎩
可见2
2~(2)i X λχ.
由2
χ分布的可加性立即得到 21
2~(2).n
i
i X
n λ
χ=∑