2021高考数学课标版文数一轮复习讲义+提能作业：第二章第三节 函数的奇偶性与周期性 Word版含解析

第三节 函数的奇偶性与周期性结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.1.函数的奇偶性 奇偶性定义图象特点偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有① f(-x)=f(x) ,那么函数f(x)是偶函数关于② y 轴 对称奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有③ f(-x)=-f(x) ,那么函数f(x)是奇函数关于④ 原点 对称 ▶提醒 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件. 2.周期性(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x 取定义域内的任何值时,都有⑤ f(x+T)=f(x) ,那么就称函数y=f(x)为周期函数,T 为这个函数的周期.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期. 知识拓展1.奇(偶)函数定义的等价形式(1)f(-x)=f(x)⇔f(-x)-f(x)=0⇔f(-x)f(x)=1⇔f(x)为偶函数,其中f(x)≠0. (2)f(-x)=-f(x)⇔f(-x)+f(x)=0⇔f(-x)f(x)=-1⇔f(x)为奇函数,其中f(x)≠0. 2.函数奇偶性的常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.(3)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.3.函数周期性的常用结论对f(x)定义域内任意自变量x:(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0).(2)若f(x+a)=1f(x),则T=2a(a>0).(3)若f(x+a)=-1f(x),则T=2a(a>0).1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1)若函数f(x),g(x)为定义域相同的奇函数,则F(x)=f(x)+g(x)是偶函数.()(2)函数具备奇偶性的必要条件是函数的定义域在x轴上是关于坐标原点对称的.()(3)若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0或f(0)无意义.()(4)若对于任意的实数x,都有f(x)=-1f(x+2),则2是函数f(x)的一个周期.()(5)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.()(6)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.()答案(1)✕(2)√(3)√(4)✕(5)√(6)√2.下列函数中为偶函数的是()A.y=x2sinxB.y=x2cosxC.y=|lnx|D.y=2-x答案B3.已知f(x)=ax2+bx(a≠0)是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是()A.-13B.13C.12D.-12答案B4.已知f(x)在R上是奇函数,且满足f(x+4)=f(x),当x∈(0,2)时,f(x)=2x2,则f(2015)=()A.-2B.2C.8D.-8 答案 A5.函数f(x)在R 上为奇函数,且当x>0时,f(x)=x+1,则当x<0时,f(x)= . 答案 x-16.设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],若当x ∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)<0的解集为 .答案 (-2,0)∪(2,5]函数的奇偶性典例1 已知函数f(x)=x 3+sinx+1(x ∈R ),若f(a)=2,则f(-a)的值为( )A.3 B .0 C.-1D.-2答案 B典例2 判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=2x +12x -1;(2)f(x)=log 2(1+4x )-x; (3)f(x)=log 2(√9x 2+1-3x).解析 (1)因为f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),其关于原点对称, 且f(-x)=2-x +12-x -1=12x +112x -1=1+2x1-2x =-f(x),所以f(x)为奇函数.(2)因为f(x)的定义域为R ,且f(-x)=log 2(1+4-x)+x=log 21+4x 4+x=log 2(1+4x )-log 24x +x=log 2(1+4x )-x=f(x),所以f(x)为偶函数.(3)因为f(x)的定义域为R ,且f(-x)=log 2(√9x 2+1+3x)=log 2√2=-f(x),所以f(x)为奇函数. 规律方法判断函数奇偶性的两个必备条件(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域; (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系.在判断函数奇偶性的过程中,可以将问题转化为f(x)+f(-x)或f(x)-f(-x)的形式,看f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否成立.利用函数的奇偶性可解决的4个问题(1)求函数值:将待求函数值利用奇偶性转化到已知区间上求函数值. (2)求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出.(3)求解析式中的参数:利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于参数的恒等式,由系数的对等性得参数的方程或方程组,进而得出参数的值.(4)画函数图象:利用奇偶性可画出其函数在另一对称区间上的图象.1-1 (1)若函数f(x)=(k-2)x 2+(k-1)x+2是定义在[a,b]上的偶函数,则k+a+b= .(2)已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则g(1)= . 答案 (1)1 (2)3 1-2 判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=3x+3-x;(2)f(x)=12x -1+12;(3)f(x)={x 2+x,x <0,-x 2+x,x >0;(4)f(x)=x 3sinx.解析 (1)因为f(x)的定义域为R ,且f(-x)=3-x +3x =f(x),所以f(x)为偶函数. (2)因为f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),其关于原点对称, 且f(-x)=12-1+12=2x1-2+12,f(-x)+f(x)=0,所以f(x)为奇函数. (3)显然函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),其关于原点对称. ∵当x<0时,-x>0,则f(-x)=-(-x)2-x=-x 2-x=-f(x);当x>0时,-x<0,则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x).综上可知,对于定义域内的任意x,总有f(-x)=-f(x),∴函数f(x)为奇函数.(4)奇函数乘奇函数为偶函数,易知f(x)为偶函数.函数的周期性典例3已知f(x)是定义在R上的偶函数,并且f(x+2)=-1f(x),当2≤x≤3时,f(x)=x,则f(105.5)=.答案 2.5解析由已知,可得f(x+4)=f[(x+2)+2]=-1f(x+2)=-1-1f(x)=f(x).故函数f(x)的周期为4.∴f(105.5)=f(4×27-2.5)=f(-2.5)=f(2.5).∵2≤2.5≤3,∴f(2.5)=2.5.∴f(105.5)=2.5.方法技巧函数周期性的判断与应用(1)判断:判断函数的周期性只需证明f(x+T)=f(x)(T≠0),便可得函数是周期函数,且周期为T.(2)应用:根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数整体的性质,在解决具体问题时,要注意结论:若T是函数的周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期.2-1(1)设定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[0,2)时,f(x)=2x-x2,则f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2016)=.(2)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,f(x)=x3-x,则函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为.答案(1)1008(2)7解析(1)∵f(x+2)=f(x),∴函数f(x)的周期T=2,又当x∈[0,2)时,f(x)=2x-x2,所以f(0)=0,f(1)=1,所以f(0)=f(2)=f(4)=…=f(2016)=0,f(1)=f(3)=f(5)=…=f(2015)=1.故f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2016)=1008.(2)当0≤x<2时,令f(x)=x3-x=x(x2-1)=0,所以y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x1=0,x2=1.当2≤x<4时,0≤x-2<2,又f(x)的最小正周期为2,所以f(x-2)=f(x),所以f(x)=(x-2)(x-1)(x-3),所以当2≤x<4时,y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x3=2,x4=3.同理可得,当4≤x<6时,y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x5=4,x6=5.当x7=6时,也符合要求.综上可知,共有7个交点.函数性质的综合应用命题方向一函数的单调性与奇偶性的综合问题典例4(1)已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,f(1)=-1,若f(2x-1)≥-1,则x的取值范围是()A.(-∞,-1]B.[1,+∞)C.[0,1]D.(-∞,0]∪[1,+∞)(2)已知函数f(x)=e x-e-x+x3,则不等式f(2x+1)+f(4-x)<0的解集为.答案(1)C (2)(-∞,-5)解析(1)由题意可得f(2x-1)≥f(1),∵函数f(x)为偶函数,∴f(|2x-1|)≥f(1),又函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,∴|2x-1|≤1,解得0≤x≤1.故选C.(2)由题意得f(x)的定义域为R,且f(-x)=e-x-e x-x3=-f(x),所以函数f(x)是奇函数,因为f'(x)=e x+e-x+3x2>0,所以函数f(x)是定义域上的增函数,所以由f(2x+1)<-f(4-x)=f(x-4),得2x+1<x-4,所以x<-5.命题方向二函数的周期性与奇偶性典例5(2018课标全国Ⅱ,12,5分)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=()A.-50B.0C.2D.50答案C解析∵f(x)是定义域为R的奇函数,∴f(0)=0,且f(-x)=-f(x),①又∵f(1-x)=f(1+x),∴f(-x)=f(2+x),②由①②得f(2+x)=-f(x),③∴f(4+x)=-f(2+x),④由③④得f(x)=f(x+4),∴f(x)的最小正周期为4,对于f(1+x)=f(1-x),令x=1,得f(2)=f(0)=0;令x=2,得f(3)=f(-1)=-f(1)=-2;令x=3,得f(4)=f(-2)=-f(2)=0.故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×0+f(1)+f(2)=0+2+0=2.故选C.命题方向三函数的周期性与对称性典例6(1)已知定义在R上的偶函数f(x)满足:当x∈(-1,0]时,f(x)=2x,且f(x+1)的图象关于原点对称,则f(20192)=()A.√22B.√2 C.-√22D.-√2(2)函数y=f(x)满足对任意x ∈R 都有f(x+2)=f(-x)成立,且函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,f(1)=4,则f(2016)+f(2017)+f(2018)的值为 .答案 (1)C (2)4解析 (1)由题意可知函数f(x)的图象关于直线x=0和点(1,0)对称,所以函数f(x)的周期为4,则f (20192)=f (4×252+32)=f (32) =-f (12)=-f (-12)=-2-12=-√22,故选C. (2)∵y=f(x-1)的图象关于(1,0)对称, ∴y=f(x)的图象关于(0,0)对称, ∴f(x)为奇函数. 又∵f(x+2)=f(-x), ∴f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=f(x),∴y=f(x)是以4为周期的周期函数.∴f(2016)=f(504×4)=0,f(2017)=f(504×4+1)=f(1)=4,f(2018)=f(504×4+2)=f(2)=-f(0)=0.故答案为4. 规律总结函数性质的综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性的综合.注意函数单调性及奇偶性的定义,以及奇、偶函数图象的对称性.(2)周期性与奇偶性的综合.此类问题多考查求值问题,常利用函数的奇偶性及周期性进行变换.(3)单调性、奇偶性与周期性的综合.解决此类问题时通常先利用周期性转化自变量所在的区间,然后利用奇偶性和单调性求解.3-1 (1)已知f(x)是定义在R 上的奇函数,且满足f(x)=f(2-x),当x ∈[0,1]时,f(x)=4x -1,则 f (212)=( )A.0 B .1 C.-1 D.-12(2)已知f(x+2)是偶函数,f(x)在(-∞,2)上单调递减,f(0)=0,则f(2-3x)>0的解集是( ) A.(-∞,23)∪(2,+∞)B.(23,2) C.(-23,23) D.(-∞,-23)∪(23,+∞) 答案 (1)C (2)D解析 (1)由题意知f(x)的图象关于原点对称,且其对称轴为x=1,故f(x)是周期为4的周期函数,则f (212)=f(2.5+8)=f(2.5)=f(2-2.5)=f(-0.5)=-f(0.5)=-(40.5-1)=-1,所以选C.(2)因为f(x+2)是偶函数,所以f(x)的图象关于直线x=2对称,因此,由f(0)=0得f(4)=0,又f(x)在(-∞,2)上单调递减,所以f(x)在[2,+∞)上单调递增,所以,当2-3x ≥2即x ≤0时,由f(2-3x)>0得f(2-3x)>f(4),所以2-3x>4,解得x<-23; 当2-3x<2即x>0时,由f(2-3x)>0得f(2-3x)>f(0),所以2-3x<0,解得x>23, 因此,f(2-3x)>0的解集是 (-∞,-23)∪(23,+∞).A 组 基础题组1.下列函数为偶函数的是( ) A.f(x)=x-1 B.f(x)=x 2+x C.f(x)=2x -2-x D .f(x)=2x +2-x 答案 D2.已知f(x)为定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f(x)=2x +m,则f(-2)=( )A.-3B.-54 C .54 D.3答案 A 3.已知函数f(x)=e -x -e x x,则其图象( )A.关于x 轴对称 B .关于直线y=x 对称 C.关于原点对称 D .关于y 轴对称 答案 D4.函数f(x)=ax 3+2bx+a-b 是奇函数,且其定义域为[3a-4,a],则f(a)=( ) A.4 B.3 C.2 D.1答案 B 奇函数f(x)的定义域为[3a-4,a],∴3a-4+a=0,得a=1,则f(x)=x 3+2bx+1-b,由f(0)=0,得f(0)=1-b=0,则b=1, 即f(x)=x 3+2x,则f(a)=f(1)=1+2=3, 故选B.5.设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)是( ) A.奇函数,且在(0,1)上是增函数 B.奇函数,且在(0,1)上是减函数 C.偶函数,且在(0,1)上是增函数 D.偶函数,且在(0,1)上是减函数答案 A 由题意得,函数f(x)的定义域为{x|-1<x<1},又f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x) =-[ln(1+x)-ln(1-x)]=-f(x),所以函数f(x)为奇函数, 易知函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)在(0,1)上是增函数,故选A. 6.下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( ) A.y=x 2+sinx B.y=x 2-cosx C.y=2x +12 D.y=x+sin2x答案 A7.定义域为R 的奇函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,且f(2)=2018,则f(2018)+f(2016)=( ) A.4034 B.2020 C.2018 D.2答案 C 因为奇函数f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(x)=f(-x+4),所以f(x+4)=f(-x-4+4)=f(-x)=-f(x),所以f(x+8)=f(x+4+4)=-f(x+4)=f(x),所以函数f(x)的周期是8,所以f(2018)+f(2016)=f(2)+f(0)=2018+0=2018.故选C.8.(2018课标全国Ⅲ,16,5分)已知函数f(x)=ln(√1+x2-x)+1,f(a)=4,则f(-a)=. 答案-2解析易知f(x)的定义域为R,令g(x)=ln(√1+x2-x),则g(x)+g(-x)=0,∴g(x)为奇函数,∴f(a)+f(-a)=2,又f(a)=4,∴f(-a)=-2.9.已知定义在R上的奇函数f(x)满足x>0时,f(x)=x(1-x),则当x≤0时,f(x)=. 答案x(x+1)解析f(x)为定义在R上的奇函数,则f(0)=0,设x<0,则-x>0,则f(-x)=(-x)(1+x),则f(x)=-f(-x)=x(x+1),综上可知,当x≤0时,f(x)=x(x+1).10.已知y=f(x)为定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=e x+1,则f(-ln2)的值为. 答案-311.已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,f(2)=0.若f(x-1)>0,则x的取值范围是. 答案(-1,3)解析∵f(2)=0,f(x-1)>0,∴f(x-1)>f(2),又∵f(x)是偶函数,且在[0,+∞)上单调递减,∴f(|x-1|)>f(2),∴|x-1|<2,∴-2<x-1<2,∴-1<x<3,∴x∈(-1,3).12.设函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x-2)=-f(x)对一切x∈R都成立,又当x∈[-1,1]时,f(x)=x3,则下列四个命题:①函数y=f(x)是以4为周期的周期函数;②当x∈[1,3]时,f(x)=(2-x)3;③函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称;④函数y=f(x)的图象关于(2,0)对称.其中正确的命题是.(只填序号)答案①②③④解析因为函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),且f(0)=0,又f(x-2)=-f(x),所以将x-2代入上式可得f(x-4)=-f(x-2)=f(x),所以函数y=f(x)是以4为周期的周期函数,所以①正确;当x∈[1,3]时,x-2∈[-1,1],所以f(x)=-f(x-2)=-(x-2)3=(2-x)3,所以②正确;将x+1代入f(x-2)=-f(x)可得f(x-1)=-f(x+1),结合f(-x)=-f(x)整理得f(1-x)=f(1+x),所以函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,所以③正确;将x-2代入f(x-2)=-f(x)可得f(x-4)=-f(x-2)=f(x),所以-f(4-x)=f(x),所以f(x)+f(4-x)=f(x)-f(x)=0,所以函数y=f(x)的图象关于(2,0)对称,所以④正确.故填①②③④.B组提升题组1.函数f(x)的定义域为R,且满足:f(x)是偶函数,f(x-1)是奇函数,若f(0.5)=9,则f(8.5)等于()A.-9B.9C.-3D.0答案 B ∵f(x-1)是奇函数,∴f(-x-1)=-f(x-1),即f(-x)=-f(x-2).又∵f(x)是偶函数,∴f(x)=-f(x-2)=f(x-4),故f(x)的最小正周期为4,∴f(8.5)=f(0.5)=9.故选B.2.(2018四川达州模拟)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且在[-1,0]上单调递减,若a=f(-2.8),b=f(-1.6),c=f(0.5),则a,b,c的大小关系是()A.a>b>cB.c>a>bC.b>c>aD.a>c>b答案 D ∵偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),∴函数f(x)的周期为2,c=f(0.5)=f(-0.5).∴a=f(-2.8)=f(-0.8),b=f(-1.6)=f(0.4)=f(-0.4).∵函数f(x)在[-1,0]上单调递减,且-0.8<-0.5<-0.4,∴a>c>b,故选D.3.若f(x)=ln(e 3x +1)+ax 是偶函数,则a= .答案 -32 解析 函数f(x)=ln(e 3x +1)+ax 为偶函数,故f(-x)=f(x),即ln(e -3x +1)-ax=ln(e 3x +1)+ax,故ln e -3x +1e 3x +1=2ax,即lne -3x =2ax,则-3x=2ax,∴a=-32.4.已知函数f(x)=e x -e -x +ln(x+2+1)(其中e ≈2.71828),若对任意的x ∈[2,+∞),f(x 2+2)+f(-2ax)≥0恒成立,则实数a 的取值范围是 .答案 (-∞,32]解析 当x ∈R 时,f(-x)=e -x -e x +ln(-x+√x 2+1)=e -x -e x +ln √x 2+1+x =e -x -e x -ln(x+2+1)=-f(x),∴f(x)为R 上的奇函数.∴f(x 2+2)+f(-2ax)≥0可化为f(x 2+2)≥-f(-2ax)=f(2ax),又易知f(x)在R 上单调递增, ∴x 2+2≥2ax 对任意x ∈[2,+∞)恒成立,即a ≤12(x +2x )对任意x ∈[2,+∞)恒成立,当x ∈[2,+∞)时,12(x +2x )≥12×(2+1)=32,∴a ∈(-∞,32].5.已知函数f(x)=(1a x -1+12)x 3(a>0,且a ≠1).(1)判断f(x)的奇偶性;(2)若f(x)>0在定义域上恒成立,求a 的取值范围.解析 (1)由a x -1≠0,得x ≠0,∴函数f(x)的定义域为{x|x ≠0}.对于定义域内的任意x,有f(-x)=(1a -x -1+12)·(-x)3 =(a x 1-a x +12)(-x)3=(-1-1a x -1+12)·(-x)3=(1a -1+12)x 3=f(x),∴函数f(x)是偶函数.(2)由(1)知f(x)为偶函数,∴只需讨论x>0时的情况,当x>0时,要使f(x)>0,则(1a x-1+12)x3>0,即1a x-1+12>0,即ax+12(a x-1)>0,则a x>1.∵x>0,∴a>1.∴当a∈(1,+∞)时,f(x)>0.。