2014高中数学 第二章 圆锥曲线 双曲线第一课时教案 北师大版选修1-1
高中数学 2.3.2 双曲线的简单性质教案 北师大选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程2.3.2 双曲线的简单性质一、复习引入：1．范围、对称性由标准方程12222=-by a x 可得22a x ≥，当a x ≥时，y 才有实数值；对于y 的任何值，x都有实数值这说明从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心 2．顶点顶点：()0,),0,(21a A a A - 特殊点：()b B b B -,0),,0(21实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长 虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长讲述：结合图形，讲解顶点和轴的概念，在双曲线方程12222=-by a x 中，令y=0得a x ±=，故它与x 轴有两个交点()0,),0,(21a A a A -，且x 轴为双曲线12222=-bya x 的对称轴，所以()0,),0,(21a A a A -与其对称轴的交点，称为双曲线的顶点(一般而言，曲线的顶点均指与其对称轴的交点)，而对称轴上位于两顶点间的线段21A A 叫做双曲线12222=-by a x 的实轴长，它的长是2a.在方程12222=-by a x 中令x=0得22b y -=，这个方程没有实数根，说明双曲线和Y 轴没有交点。
但Y 轴上的两个特殊点()b B b B -,0),,0(21，这两个点在双曲线中也有非常重要的作用 把线段21B B 叫做双曲线的虚轴，它的长是2b 要特别注意不要把虚轴与椭圆的短轴混淆 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异 3．渐近线过双曲线12222=-by a x 的两顶点21,A A ，作y 轴的平行线a x ±=，经过21,B B 作x 轴的平行线b y ±=，四条直线围 成一个矩形 矩形的两条对角线所在 直线方程是x a b y ±=（0=±bya x ）， 这两条直线就是双曲线的渐近线 分析：要证明直线x ab y ±=（0=±bya x ） 是双曲线12222=-by a x 的渐近线，即要证明随着X 的增大，直线和曲线越来越靠拢 也即要证曲线上的点到直线的距离｜MQ ｜越来越短，因此把问题转化为计算｜MQ ｜ 但因｜MQ ｜不好直接求得，因此又把问题 转化为求｜MN ｜ 最后强调，对圆锥曲线 而言，渐近线是双曲线具有的性质22||||a x a b x a b MN MQ --=< ＝)(22a x x ab-- 22ax x ab -+=（||MQ 0−−→−∞→x ） 4．等轴双曲线a=b 即实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线结合图形说明：a=b 时，双曲线方程变成222a y x =-(或)2b ，它的实轴和都等于2a(2b)，这时直线围成正方形，渐近线方程为x y ±= 它们互相垂直且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角5．共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为x a b y ±=)0(>±=k x kakb，那么此双曲线方程就一定是：)0(1)()(2222>±=-k kb y ka x 或写成λ=-2222b y a x6．双曲线的草图利用双曲线的渐近线，可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线 三、讲解范例：例1 求双曲线1422=-y x 的顶点坐标、焦点坐标，实半轴长、虚半轴长和渐近线方程，并作出草图分析：只要紧扣有关概念和方法，就易解答解：把方程化为标准方程1212222=-y x由此可知，实半轴长a ＝1，虚半轴长b ＝2． 顶点坐标是（－1，0），（1，0）5212222=+=+=b a c 焦点的坐标是(－5，0)，(5，0)．渐近线方程为021=±yx ，即x y 2±= 例2 求与双曲线191622=-y x 共渐近线且过)3,33(-A 的双曲线的方程 分析：因所求的双曲线与已知双曲线共渐近线，故可先设出双曲线系，再把已知点代入，求得K 的值即可解：设与1342222=-y x 共渐近线且过)3,33(-A 的双曲线的方程为λ=-222234y x则 λ=--22223)3(4)33( ，从而有1611=λ 所求双曲线的方程为199161122=-y x 四、课堂练习：1．下列方程中，以x±2y=0为渐近线的双曲线方程是12)(12)(1164)(1416)(22222222=-=-=-=-y x D y x C y x B y x A答案：A2 .过点(3,0)的直线l 与双曲线4x 2-9y 2=36只有一个公共点,则直线l 共有 (A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条 答案：C3 .若方程ak 4y a k 3x 22-++=1表示双曲线，其中a 为负常数，则k 的取值范围是( )(A)(3a ,-4a ) (B)(4a ,-3a ) (C)(-3a ,4a ) (D)(-∞,4a )∪(-3a,+∞) 答案：B4 .中心在原点，一个焦点为(3，0)，一条渐近线方程2x-3y=0的双曲线方程是(A)138********x y -= (B)13361381122x y -=(C)536554122x y -= (D)554536122x y -=答案：A5 .与双曲线x y 22916-=λ有共同的渐近线，且一顶点为(0，9)的双曲线的方程是（ ） (A)x y 22144811-= (B)--=x y 22144811 (C)x y 221691-= (D)-+=x y 22274811(/) 答案：D6 .一双曲线焦点的坐标、离心率分别为(±5，0)、32，则它的共轭双曲线的焦点坐标、离心率分别是 （ ） (A)(0，±5)，35 (B)(0，±532)， (C)(0，±532)， (D)(0，±535)，答案：A7 .双曲线2kx 2-ky 2=1的一焦点是F(0，4)，则k 等于 ( ) (A)-3/32 (B)3/32 (C)-3/16 (D)3/16 答案：A五、小结 ：双曲线的范围、对称性、中心、顶点、实轴和虚轴、实轴长、虚轴长、渐近线方程、等轴双曲线；双曲线草图的画法；双曲线12222=-by a x 的渐近线是x a b y ±=，但反过来此渐近线对应的双曲线则是)0(1)()(2222>±=-k kb y ka x 或写成λ=-2222b y a x六、课后作业： 七、板书设计（略） 八、课后记：。
高中数学课件-圆锥曲线与方程2
数学 选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程
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方法二：设所求双曲线的方程为 mx2＋ny2＝1(mn＜0)． 将点 M(1,1)，N(－2,5)代入上述方程，得
m＋n＝1， 4m＋25n＝1，
解得mn＝＝－87，17.
所以所求双曲线的标准方程为x72－y72＝1. 8
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程． 题．
1．理解双曲线的定义、几何图形和原则方程的推导过
2．掌握双曲线的原则方程． 3．会运用双曲线的定义和原则方程解决简朴的应用问
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第二章 圆锥曲线与方程
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我海军“马鞍山”舰和“千岛湖”舰构成第四批护航编 队远赴亚丁湾，在索马里流域执行护航任务．
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(3)当且仅当双曲线的中心在原点，其焦点在坐标轴上时，双 曲线的方程才具有标准形式．
(4)双曲线的标准形式的特征是数xⅠ2 ＋数yⅡ2 ＝1，数Ⅰ与数Ⅱ 异号，因此双曲线的方程又可写为 mx2＋ny2＝1(m·n<0)，这种形 式是焦点所在的坐标轴不易判断时的统一写法．
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(2)由已知得 c＝6，且焦点在 y 轴上，因为点 A(－5,6)在双 曲线上，所以点 A 与两焦点的距离的差的绝对值是常数 2a，即 2a＝| －5－02＋6＋62－ －5－02＋6－62|
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修1-1 3.1双曲线及其标准方程》1
《双曲线及其标准方程》教学设计江西省新建区第一中学陶勇华一．教学内容课题：双曲线及其标准方程教材：普通高中课程标准试验教科书北师大版《选修1-1》第二章第三节第一课时二．教学目标：⒈知识与技能：理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义，会用双曲线的定义解决问题；了解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用方法．⒉过程与方法：通过定义及标准方程的挖掘与探究，使学生进一步体验类比、数形结合等思想方法的运用，提高学生的观察与探究能力，数据处理能力．⒊情感、态度与价值观：通过教师指导下学生的交流探索活动，激发学生的学习兴趣，培养学生用联系的观点认识问题，通过教学中和合作渗透团结合作的意识。
三．教材分析：本节课是高中数学选修1-1第二章第三节第一课时的内容，前面有椭圆知识及学习方法的铺垫，所以本节课教学难点——根据双曲线的概念推导双曲线的标准方程及区别焦点位置就有了较好的基础和参照。
在教学过程中要时刻注意运用类比的方法，让学生充分的类比体会椭圆与双曲线的异同点，使得椭圆与双曲线的学习能相互促进。
四．学情分析：学生已较好地掌握了椭圆的曲线，并且对于椭圆的建系设点求方程的探究方法有了一定的了解，运用类比学习双曲线的方程困难不大；另外，高二年级的学生思维较活跃，并具有一定类比、转换及分析问题的能力，但是对于复杂问题的处理还不够灵活，因此在课堂上要注重发挥学生的主体作用，体现教师的点拨引领效果；五．教学的重点和难点：重点：双曲线的定义及标准方程的推导，焦点位置。
难点：双曲线标准方程的推导过程及根据条件求双曲线的方程六．教学准备多媒体课件：展示相关资料，图片，例题及习题。
几何画板：展现双曲线的产生过程，让学生对曲线的轨迹的产生过程有更加直观的了解。
学案：引导学生学习的资料，例题。
总共活动时间：3分钟2．课题引入1、设问：若将椭圆定义中的“之和”改为“之差”，结果会如何呢？师生活动：让学生理问题，产生探究兴趣2、实验探究（1）取一条拉链（2）如图把它固定在板子上的两点（3）拉动拉链问：你画出来的是什么图形？师生活动：让学生分组实验，展示成果3、教师提问：（1）在画双曲线的过程中，拉链两端的位置是固定的还是个运动的？（2）在画图的过程中，什么是变化的？什么是不变的？说明双曲线上的点和两定点间有什么关系？（3）如果把两定点间的距离拉大，还能画出双曲线吗？师生活动：教师借助几何画板工具向学生动态展示双曲线的形成过程，学生动手操作，思考教师提出的问题总共活动时间：12分钟1由和变差，由之前椭圆的探究过程让学生产生类比的思想，激发学生求知欲，引入新课．2．让学生分组实验，培养学生的自主探究能力和团结合作能力3．让学生类比椭圆的探究过程，体会数学知识之间的相互联系和类比的数学思想注意：正确引导，注意类比椭圆的探究过程。
第2章《圆锥曲线与方程》章综合(北师大版选修1-1)
第二章 圆锥曲线与方程
在直角三角形 PF1F2 中， |PF1|· |PF2|＝|F1F2|· y＝32， 16 3 41 所以 y＝ 5 ，代入双曲线的方程，得 x＝ 5 ， 即点 P
3 在第一象限的坐标是
41 16 ，再根据双曲线的对 ， 5 5
称性得点 P 的坐标还可以是
2
3 同时 b ＝ . 4
2
4 2 故所求双曲线方程为 4x －3y ＝1
2
第二章 圆锥曲线与方程
四、直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、平面几何 等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称范围、线段的
长度等多种问题，是解析几何部分综合性较强问题，也是以往
高考的重点和热点问题．高考中，大多是以解答题的形式出现 且难度较大，往往成为体现试题区分度的题目．
第二章 圆锥曲线与方程
二、圆锥曲线定义的应用 对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的 意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．如： (1) 在求轨迹
方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲
线的定义，写出所求的轨迹方程； (2) 涉及椭圆、双曲线上的点 与两个焦点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知 识来解决； (3) 在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到 焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意
第二章 圆锥曲线与方程
(2)设直线与椭圆交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由(1)知，5x2＋2mx＋m2－1＝0， 2m 1 2 由韦达定理，得 x1＋x2＝－ ，x1x2＝ (m －1)． 5 5 所以 d＝ x1－x22＋y1－y22＝ 2x1－x22 ＝ 2[x1＋x22－4x1x2] ＝
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修1-1 3.1双曲线及其标准方程》
北师大版高中数学选修1-1教学设计第二章 圆锥曲线双曲线及其标准方程赣州市南康区第三中学 谢志坚2021年11月9日如图（B），类比椭圆，归纳双曲线的定义掉常数的范围，这个问题暂时保留，下一个环节来解决。
保留常数的范围这一问题，由学生自己发现，方能印象更加深刻四齐思共想，推导方程回顾椭圆的标准方程的推导步骤，推导双曲线的标准方程标准方程为其中.,00>>ba椭圆的标准方程有两种，双曲线的方程在推导时也可以换一种建系方式，得到另一种形式的方程：.12222=-bxay其中.,00>>ba两种形式的标准方程，应该如何判断焦点所在轴？学生思考并做答：在等式右边是1或其它正常数时，焦点在系数为正数的轴上这与椭圆判断焦点所在轴的方法也不一样，同样要给学生强调1.类比椭圆标准方程的建立过程，如何求双曲线的标准方程呢2.如何建系化简？3.为何可222c a b-=？4.a和b有没有大小关系？5.椭圆中a和b谁大？6.椭圆分焦点在轴上，和轴上两种？双曲线是否也有类似情况？7.焦点在轴上的双曲线的标准方程如何求？学生说明自己的思路，具体推导由学生课后完成。
本环节不断刺激学生回顾椭圆的标准方程的推导过程，类比说明双曲线的标准方程推导的关键步骤。
体会椭圆与双曲线的的区别与联系，同时强化求曲线方程的一般步骤。
培养学生的运算能力师生问答积极评价.12222=-byax。
高中数学选修2-1《圆锥曲线》教案
4. 待定系数法求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求. 例4 已知抛物线y2=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲曲线方程.分析：因为双曲线以坐标轴为对称轴，实轴在y轴上，所以可设双曲线方ax2-4b2x+a2b2=0•••抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因此方程ax2-4b 2x+a2b2=0 应有等根.•••△ =1664-4Q4b2=0,即卩a2=2b.(以下由学生完成)由弦长公式得：即a2b2=4b2-a 2.(三)巩固练习用十多分钟时间作一个小测验，检查一下教学效果•练习题用一小黑板给出.1 .△ ABC-边的两个端点是B(0 , 6)和C(0 , -6)，另两边斜率的2. 点P与一定点F(2 , 0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1 : 2,求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？3. 求抛物线y2=2px(p >0)上各点与焦点连线的中点的轨迹方程. 答案：义法)由中点坐标公式得:(四)小结求曲线的轨迹方程一般地有直接法、定义法、相关点法、待定系数法，还有参数法、复数法也是求曲线的轨迹方程的常见方法，这等到讲了参数方程、复数以后再作介绍.五、布置作业1. 两定点的距离为6,点M到这两个定点的距离的平方和为26,求点M的轨迹方程.2. 动点P到点F1(1 , 0)的距离比它到F2(3 , 0)的距离少2,求P点的轨迹.3. 已知圆x2+y2=4上有定点A(2 , 0)，过定点A作弦AB,并延长到点P,使3|AB|=2|AB|，求动点P的轨迹方程.作业答案：1. 以两定点A、B所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，得点M的轨迹方程x2+y2=4 2. v |PF2|-|PF|=2 ，且|F1F2| • P点只能在x轴上且x V 1，轨迹是一条射线六、板书设计教学反思：4斜率之积为4,9程.分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a,b,c .引导学生用其他方法来解.另解：设椭圆的标准方程为2 25 31 a b 0，因点一，一在椭圆上,a b2 225 9 则 4a 2 4b 22 2a b 4；10<6例2如图，在圆x 24上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段 PD , D 为垂足•当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么?分析： 点P 在圆x 2 y 2 4上运动，由点 P 移动引起点 M 的运动，则称点 M 是点P 的伴随点，因点M 为线段 PD 的中点，则点 M 的坐标可由点P 来表示，从而能求点 M 的轨迹方程.引申： 设定点2xA 6,2 , P 是椭圆x252y1上动点，求线段 AP 中点M 的轨迹方程.9解法剖析：①（代入法求伴随轨迹）设M x, y , P x 1,y 1 :②（点与伴随点的关系）： M为线段AP 的中点,X i y i2x 6;③（代入已知轨迹求出伴随轨迹）2y 22..X 1 '252y11 , •••点M9x的轨迹方程为一25④伴随轨迹表示的范围.例3如图，设A , B 的坐标分别为 5,0 , 5,0 .直线 AM , BM 相交于点M ，且它们的分析：若设点x, y ,则直线AM,BM 的斜率就可以用含 x, y 的式子表示，由于直线AM ,BM 的斜率之积是4 ，因此，可以求出9x, y 之间的关系式，即得到点M 的轨迹方程.解法剖析：设点M x, y ,则 k AM-^― x 5 , k BMx 5 ；x 5x 5代入点M 的集合有4-，化简即可得点 M 的轨迹方程. 9引申：如图，设△ ABC 的两个顶点 A a,0 , B a,0，顶点C 在移动，且k AC k BC k , 且k 0,试求动点C 的轨迹方程.引申目的有两点：①让学生明白题目涉及问题的一般情形；②当 色也是从椭圆的长轴T 圆的直径T 椭圆的短轴.练习：第45页1、2、3、4、 作业：第53页2、3、k 值在变化时，线段 AB 的角求点M 的轨迹方程.分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究，培养学生的分析问题和解决 问题的能力.思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问 题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能 力.实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力.创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的 一般的思想、方法和途径.♦过程与方法目标(1 )复习与引入过程引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中不仅要注意通过对 椭圆的标准方程的讨论， 研究椭圆的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的培养.①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先 定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④通过 题，探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率. 〖板书〗§ 2. 1. 2椭圆的简单几何性质.(2) 新课讲授过程(i )通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质. 提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、 从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质.(ii )椭圆的简单几何性质2x一2 0，进一步得：a xax 代x ，且以 y 代y 这三个方面来研究椭圆的标准 y 轴为对称轴，原点为对称中心；即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆 锥曲线的顶点.因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较 短的叫做短轴；c④离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比e 叫做椭圆的离心率(0 e 1 ),a当 e1 时，c a ,,b0.； 椭圆图形越扁(iii )例题讲解与引申、扩展400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.分析：由椭圆的方程化为标准方程，容易求出a,b,c •弓I 导学生用椭圆的长轴、短轴、离心率、 焦点和顶点的定义即可求相关量.确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并掌握利用信息技术探 究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能.♦能力目标(1)(3) (4)大小和位置.要巳8的思考冋①范围：由椭圆的标准方程可得,y 2 b 2b y b ，即椭圆位于直线x② 对称性：由以 x 代x ，以 方程发生变化没有，从而得到椭圆是以③ 顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，y 代y 和 x 轴和 a ，同理可得:b 所围成的矩当 e 0 时，c 0,b a 椭圆越接近于圆例4求椭圆I6x 225y 2/Tn扩展：已知椭圆血5y2 5m m 0的离心率为e—，求m的值.解法剖析：依题意，m0,m 5，但椭圆的焦点位置没有确定, 应分类讨论: ①当焦点在x轴上，即0 m 5时，有a品 b 丽,c 75 ~m，二_—:得m 3；②当焦点在y轴上，即m例5如图,応b 岳c J m 5 , ••• J：5V m一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分.过对对称的截口5时，有a105253BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上, 由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BC F1F2，RB 2.8cm，F1F24.5cm .建立适当的坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程.解法剖析：建立适当的直角坐标系，设椭圆的标准方程为1，算出a,b,c的值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于a,b,c的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定.引申：如图所示，“神舟”截人飞船发射升空，进入预定轨道开始巡天飞行，其轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆，近地点A距地面200km，远地点B距地面350km，已知地球的半径R 6371km •建立适当的直角坐标系，求出椭圆的轨迹方程.例6如图，设M x, y与定点F 4,0的距离和它到直线I : 兰的距离的比是常数4点M的轨迹方程./ 2 2 「亠「■25匚亠2MF(x 4 y ,到直线I:x 的距离d x44分析：若设点M x, y，则则容易得点M的轨迹方程.引申：（用《几何画板》探究）若点M x, y与定点F c,0的距离和它到定直线l :c距离比是常数e aac 0 ,则点M 的轨迹方程是椭圆.其中定点F c,0是焦点,2x —相应于F的准线;c由椭圆的对称性, 另一焦点F c,0 ,相应于F的准线l :练习：第52页1、作业：第53页4、教学反思：2、3、4、5、6、75ac4，求52a的c定直线l :类比椭圆：设参量b的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、的几何意义.2 类比：写出焦点在y轴上，中心在原点的双曲线的标准方程召b (iii )例题讲解、引申与补充例1已知双曲线两个焦点分别为F15,0 , F25,0，双曲线上一点绝对值等于6，求双曲线的标准方程.分析：由双曲线的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a,b,c的关系有明显P到R , F2距离差的2x2a1 a 0,b 0 . a,b, c.补充：求下列动圆的圆心M 的轨迹方程：① 与O C :2 22 y 2内切，且过点 A 2,0 :②与O C 1 : x 2 y 12 21 和O C2 : x y 4都外切；③与O C i :2 y 9外切，且与O C 2: x 223 y 1内切.解题剖析 半径为r :这表面上看是圆与圆相切的问题， 实际上是双曲线的定义问题•具体解: 设动圆•/ O C 与O M 内切，点A 在O C 外,• MC| r /2 MA,因此有MA 2x 2 •••点 MC 2，•点M 的轨迹是以C 、 A 为焦点的双曲线的左支，即M 的轨迹方程是MC i •••O M 与O c 1、O C 2 均外切，•••|MC 1| r 1, MC 2 r 2,因此有的轨迹是以C 2、C i 为焦点的双曲线的上支，• M 的轨迹方程是4y••• e M MC 2MC 24x 2 3MC i 1 ,与eG 外切，且e M 与e C 2内切，•- MC j4，•点M 的轨迹是以C i 、C 2为焦点的双曲线的右支，• MC 2r 1，因此M 的轨迹方程是例2已知A , B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在 B 地晚2s ，且声速为340m / s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程. 分析：首先要判断轨迹的形状，由声学原理：由声速及 A , B 两地听到爆炸声的时间差，即可知A , B 两地与爆炸点的距离差为定值•由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程. 扩展：某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告：正西、正北两个观察点同时听 到了一声巨响，正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚 4s .已知各观察点到该中心的 距离都是1020m •试确定该巨响发生的位置（假定当时声音传播的速度为 340m/s ;相关点均在 同一平面内）• 解法剖析：因正西、正北同时听到巨响，则巨响应发生在西北方向或东南方向，以因正东比正西晚 4s ，则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上. 如图，以接报中心为原点 0，正东、正北方向分别为 x 轴、y 轴方向，建立直角坐标系，设 B 、C 分别是西、东、北观察点，则 A 1020,0 , B 1020,0 , C 0,1020 • 设P x,y 为巨响发生点，•/ A 、C 同时听到巨响，•OP 所在直线为y x ……①，又因B 点比A 点晚4s 听到巨响声，• PB PA 4 340 1360 m •由双曲线定义知，a 680 ,2 2c 1020 ,••• b 340^5 ,••• P点在双曲线方程为X 2y2 1 x 680……②.联立680 5 340①、②求出P点坐标为P 680 ;5,680 ,'5 •即巨响在正西北方向680、、10m处.探究：如图，设A，B的坐标分别为5,0，5,0 •直线AM，BM相交于点M，且它们4的斜率之积为，求点M的轨迹方程，并与§ 2. 1.例3比较，有什么发现？9探究方法：若设点M x,y，则直线AM , BM的斜率就可以用含x, y的式子表示，由于直线AM , BM的斜率之积是4，因此，可以求出x, y之间的关系式，即得到点M的轨迹方程.9练习：第60页1、2、3、作业：第66页1、2、2 . 3. 2双曲线的简单几何性质♦知识与技能目标了解平面解析几何研究的主要问题：(1)根据条件，求出表示曲线的方程；(2 )通过方程，研究曲线的性质.理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题；通过例题和探究了解双曲线的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术进一步见识圆锥曲线的统一定义♦过程与方法目标(1 )复习与引入过程引导学生复习得到椭圆的简单的几何性质的方法，在本节课中不仅要注意通过对双曲线的标准方程的讨论，研究双曲线的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的进一步地培养.①由双曲线的标准方程和非负实数的概念能得到双曲线的范围；②由方程的性质得到双曲线的对称性；③由圆锥曲线顶点的统一定义，容易得出双曲线的顶点的坐标及实轴、虚轴的概念；④应用信息技术的《几何画板》探究双曲线的渐近线问题；⑤类比椭圆通过F56的思考问题，探究双曲线的扁平程度量椭圆的离心率. 〖板书〗§ 2. 2. 2双曲线的简单几何性质.(2) 新课讲授过程(i )通过复习和预习，对双曲线的标准方程的讨论来研究双曲线的几何性质.提问：研究双曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？通过对双曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置.要从范围、对称性、顶点、渐近线及其他特征性质来研究曲线的几何性质.(ii )双曲线的简单几何性质2 2①范围：由双曲线的标准方程得， 1 0，进一步得：x a ，或xa .这说b a明双曲线在不等式 x a ，或x a 所表示的区域；② 对称性：由以 x 代x ，以y 代y 和 x 代x ，且以 y 代y 这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心；③ 顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线 的顶点.因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴， 焦点不在的对称轴叫做虚轴；c⑤ 离心率：双曲线的焦距与实轴长的比 e —叫做双曲线的离心率(e 1).a④渐近线：直线ybx 2x 叫做双曲线一 aa 2yb 2 1的渐近线;y 轴上的渐近线是扩展：求与双曲线x 2 162y —1共渐近线，2. 3, 3点的双曲线的标准方及离心率.解法剖析 :双曲线2x16291的渐近4x .①焦点在x 轴上时，设所求的双曲2线为X 216k 2 2 y 9k 2A 2；3, 3点在双曲线上，••• k 21，无解;4②焦点在y 轴上时，设所求的双曲线2x 16k 229：2 1，―A2 3, 3点在双曲线上，• k21，因此，所求双曲线42的标准方程为y9 41，离心率e5.这个要进行分类讨论，但只有一种情形有解，事实上, 3可直接设所求的双曲线的方程为2x162y一 mm R,m 0 .9(iii )例题讲解与引申、扩展例3求双曲线9y2 16x2 144的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程.分析：由双曲线的方程化为标准方程，容易求出a,b,c.引导学生用双曲线的实半轴长、虚半轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在例4双曲线型冷却塔的外形，半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m .试选择适当的坐标系，求出双曲线的方程(各长度量精确到1m).是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图(1),它的最小解法剖析：建立适当的直角坐标系，设双曲线的标准方程为2 2七七 1，算出a,b,c的值;a b此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于 精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定.引申：如图所示，在 P 处堆放着刚购买的草皮，现要把这些草皮沿着道路 PA 或PB 送到呈矩形的足球场 ABCD 中去铺垫，已知|Ap 150m ，|Bp 100m，| BC| 60m ， APB 60o •能否在足球场上画一条 “等距离”线，在“等距离”线的两侧的区域应该选择怎样的线路？说明理由.解题剖析：设M 为“等距离”线上任意一点，则|PA |AM点M 的轨迹方程.♦情感、态度与价值观目标在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教 学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生 创新.必须让学生认同和掌握：双曲线的简单几何性质，能由双曲线的标准方程能直接得到双曲线 的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系 的两个原则，①充分利用图形对称性，②注意图形的特殊性和一般性；必须让学生认同与熟悉：取 近似值的两个原则：①实际问题可以近似计算，也可以不近似计算，②要求近似计算的一定要按要 求进行计算，并按精确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并 掌握利用信息技术探究点的轨迹问题， 培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能.♦能力目标(1) 分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究 ，培养学生的分析问题和解决 问题的能力.(2)思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问 题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能MF I 1 ^2 2 .16 ,16 J X 5y ,到直线l:x 一的距离dx — 15 5分析：若设点M x, y ，则a,b,c 的近似值，原则上在没有注意PB BM ,即BM | |AM | |Ap |Bp 50 （定值），“等距离”线是以A 、B 为焦点的双曲线的左支上的2部分，容易“等距离”线方程为x y1 35 x 625 375025,0 y 60 .理由略.例5如图，设M x, y 与定点F 5,0的距离和它到直线 15的距离的比是常数5，求4则容易得点M 的轨迹方程. 引申：《几何画板》探究点的轨迹：双曲线x, y 与定点 F c,0 的距离和它到定直线2a——的距离 c比是常数0，则点M 的轨迹方程是双曲线. 其中定点F c,02是焦点，定直线l : x —相c应于F 的准线; 另一焦点 F c,0，相应于F 的准线I : xx2力.(3) 实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力.(4)创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的 一般的思想、方法和途径.练习：第66页1、2、3、4、5 作业：第3、4、6补充：3.课题:双曲线第二定义教学目标：1•知识目标：掌握双曲线第二定义与准线的概念，并会简单的应用。
北师大版数学高二双曲线及其标准方程二 教案选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1 双曲线及其标准方程教学过程：一、复习引入： 1椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（→线段）两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（→圆）椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关 2.椭圆标准方程：（1）12222=+b y a x （2）12222=+bx a y 其中222b c a +=二、讲解新课：1．双曲线的定义：平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值为常数（小于21F F ）的动点的轨迹叫双曲线 即a MF MF 221=-这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距概念中几个容易忽略的地方：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数小于21F F ” 在同样的差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔（→两条平行线）两定点间距离较短（大于定差），则所画出的双曲线的开口较狭窄（→两条射线）双曲线的形状与两定点间距离、定差有关 2．双曲线的标准方程：根据双曲线的定义推导双曲线的标准方程：推导标准方程的过程就是求曲线方程的过程，可根据求动点轨迹方程的步骤，求出双曲线的标准方程过程如下：（1）建系设点；（2）列式；（3）变换；（4）化简；（5）证明取过焦点21F F ，的直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴 设P （y x ,）为双曲线上的任意一点，双曲线的焦距是2c （0>c ）则 )0,(),0,(21c F c F -，又设M 与)0,(),0,(21c F c F -距离之差的绝对值等于2a （常数），c a 22<{}a PF PF P P 221±=-=∴ 221)(y c x PF ++= 又，a y c x y c x 2)()(2222±=+--++∴，化简，得：)()(22222222a c a y a x a c -=--，由定义c a 22< 022>-∴a c令222b a c =-∴代入，得：222222b a y a x b =-，两边同除22b a 得：12222=-by a x ，此即为双曲线的标准方程它所表示的双曲线的焦点在x 轴上，焦点是)0,(),0,(21c F c F -， 其中222b ac +=若坐标系的选取不同，可得到双曲线的不同的方程，如焦点在y 轴上，则焦点是),0(),,0(21c F c F -，将y x ,互换，得到12222=-bx a y ，此也是双曲线的标准方程 3．双曲线的标准方程的特点：（1）双曲线的标准方程有焦点在x 轴上和焦点y 轴上两种：焦点在x 轴上时双曲线的标准方程为：12222=-b y a x (0>a ,0>b )；焦点在y 轴上时双曲线的标准方程为：12222=-bx a y (0>a ,0>b )(2)c b a ,,有关系式222b a c +=成立，且0,0,0>>>c b a 其中a 与b 的大小关系:可以为b a b a b a ><=,,4.焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母2x 、2y 项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即2x 项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；2y 项的系数是正的，那么焦点在y 轴上 三、讲解范例：例1 判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三量c b a ,,的值①12422=-y x ②12222=-y x③12422-=-y x ④369422=-x y （1232222=-x y ） 分析：双曲线标准方程的格式：平方差，2x 项的系数是正的，那么焦点在x 轴上，2x 项的分母是2a ；2y 项的系数是正的，那么焦点在y 轴上，2y 项的分母是2a 解：①是双曲线，6,2,2===c b a ；② 是双曲线，2,2,2===c b a ； ③是双曲线，6,2,2===c b a ；④是双曲线，13,2,3===c b a例 2 已知双曲线两个焦点的坐标为)0,5()0,5(21F F ，-，双曲线上一点P 到)0,5()0,5(21F F ，-的距离之差的绝对值等于6，求双曲线标准方程解：因为双曲线的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为12222=-by a x (0>a ,0>b ) ∵102,62==c a ∴5,3==c a ∴1635222=-=b所求双曲线标准方程为116922=-y x 四、课堂练习：1．求a =4，b =3，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程2．求a =25，经过点（2，-5），焦点在y 轴上的双曲线的标准方程 3．证明：椭圆22525922=+y x 与双曲线151522=-y x 的焦点相同4．若方程1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在y 轴上的双曲线，则角α所在象限是（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限5．设双曲线191622=-y x 上的点P 到点)0,5(的距离为15，则P 点到)0,5(-的距离是（ ） A ．7 B.23 C.5或23 D.7或23练习答案：1. 191622=-y x ; 2. 1162022=-x y ; 3. 22525922=+y x ⇒)0,4(192522±⇒=+F y x , 151522=-y x ⇒ )0,4(111522±⇒=-F y x ; 4. D.1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在y 轴上的双曲线⇒在第四象限ααα⇒⎩⎨⎧><0cos 0sin ,所以选D. 5. D. =⇒==-d a d 82|15|7或23 五、小结 ：双曲线的两类标准方程是)0,0(12222>>=-b a b y a x 焦点在x 轴上，)0,0(12222>>=-b a bx a y 焦点在y 轴上c b a ,,有关系式222b a c +=成立，且0,0,0>>>c b a 其中a 与b 的大小关系:可以为b a b a b a ><=,,六、课后作业： 七、板书设计（略）八、课后记：。
(选修1-1教案)2.1圆锥曲线
第二章圆锥曲线与方程本章内容在日常生活中，我们接触过许许多多的曲线，有的可能有印象，有的可能没有印象了.例如，油罐汽车上装油罐的截面，其周界就是椭圆；喷泉喷出的水形成的曲线就是抛物线；拉开休闲服的拉链，动点的轨迹就是双曲线.对椭圆、抛物线、双曲线以及我们过去学过的圆，还可以从平面截圆锥的操作过程来认识.用平面去截圆锥，由于截面与圆锥轴的夹角不同，所得截面的周界分别是圆、椭圆、抛物线、双曲线，所以人们通常把圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线.实践证明，圆锥曲线对人类社会的进步和发展是有用的.例如，神州宇宙飞船的运行轨道就是椭圆，发电站的冷却塔的轴截面两侧边沿是双曲线.既然圆锥曲线有用，人类就要研究它们.本章我们将用坐标方法探究椭圆、抛物线和双曲线.高考目标考情考法在这些年的高考中，在全国卷、各省（市、自治区）卷中，每张卷上都能见到围绕圆锥曲线命题的试题，小题、大题都有，小题的难度处在中等水平，大题一般都是把直线与圆锥曲线结合在一起，对往往是压轴题，一题多问，难度都比较大.一个目标：渗透解析几何的基本思想.一条主线：展示背景，形成曲线概念；建立方程，研究曲线性质.2.1 圆锥曲线在广袤无垠的宇宙中有着无数大小不一、形态各异的天体，如太阳、月亮、星星……随着人类逐渐步入璀璨夺目的宇宙，我们已有幸欣赏到有条不紊、翩翩起舞的星球的“舞步”.目前的研究表明，天体数量越多，轨迹的种类也就越多，其中5个天体可能组成的轨迹至少有18种，而其它一些复杂的“太空舞步”竟有799种之多.其中有些天体运行的“舞步”就是我们这一节所要研究的椭圆、双曲线和抛物线.教学目标：知识目标：通过本节的学习，了解圆锥曲线的实际背景，经历从具体情境中抽象出圆锥曲线的过程.能力目标：通过本节的学习，理解三种圆锥曲线的定义，能根据圆锥曲线的定义判断轨迹的形状.情感目标：通过本节的学习，从整体上认识三种圆锥曲线及其内在联系，并感受数学与现实生活的密切联系，激发学习数学的兴趣和信心.教学重点：三种圆锥曲线的定义. 教学难点：三种圆锥曲线的定义理解. 授课类型：新授课.教具准备：多媒体课件. 课时安排：1课时. 教学过程： 一、问题情境圆锥曲线与科研、生产和生活有着密切的关系，早在16与17世纪之交，开普勒就发现行星绕太阳运动的轨道是一个椭圆；探照灯反射镜就是由抛物线绕其对称轴旋转形成的抛物面；发电厂冷却塔的外形线是双曲线；……. 那么，什么是椭圆？什么是双曲线？什么是抛物线？这就是我们这一节所要研究的问题.（引入新课，板书课题）二、建构数学1.圆锥面的概念圆锥面可看成是一条直线绕着与它相交的一条定直线（两条直线不互相垂直）旋转一周所形成的曲面.2.圆锥面的截线的形状多媒体演示；学生用准备好的材料（细绳、图钉、铅笔等）画椭圆，并在此基础上得出椭圆的定义.3.圆锥曲线的定义 （1）椭圆的定义（参见课本P24）.关于椭圆定义的理解.定义中有两个关键词：平面内，常数大于12F F . ①若去掉“平面内”，其余条件不变，则动点的轨迹是空间图形，而不是平面图形. ②常数后加上大于12F F 是为了避免出现两种特殊情况，即轨迹为一条线段或无轨迹.设常数为2a ，122F F c =，则椭圆上的点P 满足集合12{|2, 2>P P PF PF a a =+=12}F F ，其中>0a ，>0c ，且a 、c 均为常数.当2>2a c 时，集合P 为椭圆；当22a c =时，集合P 为线段1F F ； 当2<2a c 时，集合P 为空集. （2）双曲线的定义（参见课本P24）.关于双曲线定义的理解.定义中有两个关键词：平面内，常数小于12F F .①若去掉“平面内”，其余条件不变，则动点的轨迹是空间图形，而不是平面图形. ②注意“距离之差的绝对值”和“122<a F F ”.这两点与椭圆的定义有本质的区别，若12122<PF PF a F F -=，则点P 的轨迹仅为靠近双曲线焦点2F 这一侧的一支；若21122<PF PF a F F -=，则点P 的轨迹仅为靠近双曲线焦点1F 这一侧的一支.而双曲线是由两个分支组成的，故定义中应为“距离之差的绝对值”. （3）抛物线的定义（参见课本P24）.关于抛物线定义的理解.①抛物线定义的实质可归结为“一动三定”，一动，即一个动点，设为P ；三定，即一个定点F ，即抛物线的焦点；一条定直线l ，即抛物线的准线；一个定值，即点P 到定点F 的距离与它到定直线l 的距离相等（定值）.②定点F 不能在直线l 上，否则，动点P 的轨迹就不是抛物线，而是过点F 且垂直于直线l 的一条直线.椭圆、双曲线和抛物线统称为圆锥曲线. 三、数学应用例1 已知动圆P 过定点(3,0)A -，并且在定圆C ：22(3)64x y -+=的内部与定圆C 相切，则动圆的圆心P 的轨迹是什么图形？引导学生分析解题思路：欲确定动圆圆心P 的轨迹，可先确定点P 所满足的几何特征，然后判断其轨迹. 解：（略） 答案：椭圆. 练习：课本P24 练习 第3题.例2 若动点M 到点(3,0)F 的距离等于它到直线3x =-的距离，则动点M 的轨迹是什么图形？解：（略） 答案：抛物线. 练习：课本P24 练习 第2题.备选例题例3 已知1(4,3)F -，2(2,3)F 为定点，动点P 满足122PF PF a -=，当2a =或3a =时，求动点P 的轨迹.引导学生分析，条件中有“12PF PF -”，联想双曲线的定义，分别确定当2a =或3a =时12PF PF -与12F F 的大小关系，进而确定动点P 的轨迹.解：（略） 答案：当2a =时，动点P 的轨迹是双曲线的一支（靠近焦点2F ）；当3a =时，动点P 的轨迹是射线2F P . 四、本节小结：（略） 五、板书设计：（略）六、布置作业：课本P25 习题2.1 第1、2题. 七、教后反思：。
高中数学选修1-1《双曲线》教案
高中数学选修1-1《双曲线》教案【教学目标】1.了解双曲线的定义、基本性质及图像。
2.掌握双曲线的标准方程、一般方程的求法。
3.会用双曲线解决实际问题。
【教学重点】1.理解双曲线的概念及基本性质。
2.掌握双曲线的标准方程、一般方程的求法。
3.会用双曲线解决实际问题。
【教学难点】1.掌握双曲线的一般方程的求法。
2.能够灵活运用双曲线解决实际问题。
【教学方法】1.讲授与实践相结合。
2.形象直观的示范和演示。
3.板书与多媒体辅助教学相结合。
【教学工具】1.多媒体教学工具2.教学板书3.实物模型4.计算器【教学内容与适用范围】适用范围：高一选修一教学内容：1.双曲线的定义及性质(1)定义：平面直角坐标系上的一族点P的轨迹，其到两定点F1、F2的距离之差等于常数2a称为双曲线。
(2)性质：①双曲线的离心率ε>1。
②双曲线有两条渐近线，即它们趋近于x轴的直线y=±a/x。
③双曲线对称于两条渐近线。
④双曲线有两个对称中心，即分别在两个渐近线上。
⑤双曲线分成两支。
2.双曲线的标准方程以坐标原点为焦点，x轴为对称轴的双曲线称为标准双曲线。
(1)标准双曲线的标准方程：x^2/a^2-y^2/b^2=1或y^2/b^2-x^2/a^2=1。
(2)椭圆的一般式——借助平移、旋转。
3.双曲线的一般方程以坐标原点为一个焦点，过点(x0,y0)且不经过另一个焦点的双曲线称为一般双曲线。
(1)一般双曲线的一般方程：Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0。
(2)一般式的求法：配方法和特殊代入。
4.双曲线的应用(1)双曲线可作为信道、机壳等设计及侦察定位中的一种基本形状。
(2)医学中，利用人体的平面剖面双曲线进行功能的研究。
【教学设计】一、导入双曲线是什么？有哪些性质？有哪些应用？请看下面的视频。
二、讲授1.双曲线的定义与性质。
2.双曲线的标准方程及图像。
3.双曲线的一般方程与特殊情况。
三、练习1.按照要求画出双曲线的图像，并写出其标准方程。
2.3.1双曲线及其标准方程(北师大版)
北师大 版·选修1-1
路其修远兮 吾将上下而求索
圆锥曲线与方程
第二章
§3 双曲线
3.例探究 3 课时作业
课前自主预习
1.了解双曲线的定义，会推导双曲线的标准方程． 2．会用待定系数法求双曲线的标准方程.
双曲线的定义
类比椭圆的定义我们可以给出双曲线的定义 在平面内到两个定点F1、F2距离之__差___的绝对值等于定 值2a(大于0且小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线．这两个定点 叫作双曲线的_焦__点__，两焦点之间的距离叫作双曲线的_焦__距__.
(2)由1x62 ＋2y52 ＝1 知焦点为 F1(0，－3)，F2(0,3)． 设双曲线的方程为ay22－bx22＝1(a>0，b>0)，则有
42a52－b12＝1， ∴a2＝5，b2＝4. a2＋b2＝9. ∴所求的双曲线的方程为y52－x42＝1.
双曲线的定义在解题中的应用
已知双曲线的方程是1x62 －y82＝1，点 P 在双曲线 上，且到其中一个焦点 F1 的距离为 10，点 N 是 PF1 的中点， 求|ON|的大小(O 为坐标原点)．
双曲线的标准方程
1.焦点在x轴上的双曲线的标准方程为_ax_22－__by_22_＝__1_(_a_>_0_，__b_>，0) 焦点在y轴上的双曲线的标准方程为_ay_22_－__bx_22＝__1_(_a_>_0_，__b_>_0_)．
2．在双曲线的标准方程中a、b、c的关系为_a_2_＋__b_2＝__c_2_.
另一个焦点的距离为( )
A．22 或 2
B．7
C．22
D．2
[答案] A
[解析] ∵a2＝25，∴a＝5，由双曲线定义可得||PF1|－|PF2||
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双曲线的标准方程
【教学目标】:
1.知识与技能
掌握双曲线的定义,标准方程,并会根据已知条件求双曲线的标准方程.
2.过程与方法
教材通过具体实例类比椭圆的定义,引出双曲线的定义,通过类比推导出双曲线的标准方程.
3.情感、态度与价值观
通过本节课的学习,可以培养我们类比推理的能力,激发我们的学习兴趣,培养学生思考问题、分析问题、解决问题的能力.
【教学重点】: 双曲线的定义、标准方程及其简单应用
【教学难点】: 双曲线标准方程的推导
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教具】：多媒体、实物投影仪
【教学过程】:
一.情境设置
(1)复习提问：
(由一位学生口答，教师利用多媒体投影)
问题 1：椭圆的定义是什么？
问题 2：椭圆的标准方程是怎样的？
问题3：如果把上述椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会发生什么变化？它的方程又是怎样的呢？
(2)探究新知:
(1)演示：引导学生用《几何画板》作出双曲线的图象，并利用课件进行双曲线的模拟实验，思考以下问题。
(2)设问：①|MF1|与|MF2|哪个大？
②点M到F1与F2两点的距离的差怎样表示？
③||MF1|-|MF2||与|F1F2|有何关系？
（请学生回答：应小于|F1F2| 且大于零，当常数等于|F1F2| 时，轨迹是以F1、F2为端点的两
条射线；当常数大于|F 1F 2| 时，无轨迹） 二.理论建构 1.双曲线的定义
引导学生概括出双曲线的定义：
定义:平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数（小于<|F 1F 2|）的点轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。
（投影）
概念中几个关键词：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数小于21F F ”
2.双曲线的标准方程
现在我们可以用类似求椭圆标准方程的方法来求双曲线的标准方程，请学生思考、回忆椭圆标准方程的推导方法，随即引导学生给出双曲线标准方程的推导（教师使用多媒体演示）
（1）建系
取过焦点F 1、F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系。
(2) 设点
设M （x ,y ）为双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c （c>0），则F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），又设点M 与F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数2a （2a <2c ）.
（3）列式
由定义可知,双曲线上点的集合是P={M|||MF 1|－|MF 2||=2a }. 即:
（4）化简方程
由一位学生板演，教师巡视。
化简，整理得： 移项两边平方得
两边再平方后整理得
由双曲线定义知
()(),
22
22
2a y c x y c x =+--
++()()a
y c x y c x 22
222±=+--++()222y
c x a a cx +-±=-()()
2
2222222
a c a
y a x a c
-=--
这个方程叫做双曲线的标准方程，它所表示的双曲线的焦点在x 轴上，焦点是F 1（-c ，0）、F 2（c ，0），
思考: 双曲线的焦点F 1（0,－c ）、F 2（0,c ）在y 轴上的标准方程是什么?
学生得到: 双曲线的标准方程:)0(,122
22>>=-b a b
x a y .
注:
(1)双曲线的标准方程的特点：
①双曲线的标准方程有焦点在x 轴上和焦点y 轴上两种：
焦点在x 轴上时双曲线的标准方程为：122
22=-b y a x (0>a ,0>b )；
焦点在y 轴上时双曲线的标准方程为：122
22=-b
x a y (0>a ,0>b )
②c b a ,,有关系式2
22b a c +=成立，且,0,0>>>c b a
其中a 与b 的大小关系:可以为a b a b a ><=,,
(2).焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母2x 、2
y 项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴而双曲线是根据
项的正负来判断焦点所在的位置，即2x 项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；2
y 项的系数是正的，那么焦点在y 轴上
三.数学应用
例1、已知双曲线两个焦点的坐标为)0,5()0,5(21F F ，-，双曲线上一点P 到21F F ，的距离之差的绝对值等于8，求双曲线标准方程
解：因为双曲线的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为
122
22=-b
y a x (0>a ,0>b ) ∵102,82==c a ∴5,4==c a ∴452
22=-=b
)
0,0(1)0(,0,2222
2222222>>=->=->-∴>>b a b
y a x b b a c a c a c a c 代入上式整理得设即
所求双曲线标准方程为
116
92
2=-y x 变式1:若|PF 1|-|PF 2|=6呢？
变式2:若||PF 1|-|PF 2||=8呢？
变式3:若||PF 1|-|PF 2||=10呢？
四.课堂小结:
双曲线的两类标准方程是)0,0(122
22>>=-b a b y a x 焦点在x 轴上，
)0,0(122
22>>=-b a b x a y 焦点在y 轴上,c b a ,,有关系式222b a c +=成立，且,0,0>>>c b a 其中a 与b 的大小关系:可以为a b a b a ><=,,。