2018学年高中数学选修1-1课件：第2章 圆锥曲线与方程 2.5 精品
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2018高中数学选修1-1课件：第二章圆锥曲线与方程章末复习课(共48张PPT)
为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0). (3) 定量 —— 由题设中的条件找到 “ 式 ” 中待定系数的等量 关系，通过解方程得到量的大小.
知识点五 三法求解离心率
1.定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)
cb2＝c2) 的焦点在x轴上还是y轴上，都有关系式a2－b2＝c2(a2＋
2
(2)焦点三角形的周长 L＝2a＋2c.
知识点三 双曲线及渐近线的设法技巧
1.由双曲线标准方程求其渐近线方程时，最简单实用的办法是：把标准 x2 y2 方程中的 1 换成 0， 即可得到两条渐近线的方程.如双曲线 2－ 2＝1(a>0， a b b 2 2 2 2 ±x x y y x b>0)的渐近线方程为 2－ 2＝0(a>0，b>0)，即 y＝ a ；双曲线 2－ 2 a b a b a 2 2 ±x y x ＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为 2－ 2＝0(a>0，b>0)，即 y＝ b . a b x2 y2 x y 2－ 2 2.如果双曲线的渐近线方程为 ± ＝0，它的双曲线方程可设为 a b a b
图形
封闭图形
无限延展，没
b a 线 y＝±ax 或 y＝±bx 有渐近线
变量 范围 对称 性
|x|≤a，|y|≤b
或|y|≤a， |x|≥a或|y|≥a
x≥0或x≤0或 y≥0或y≤0 无对称中心 一条对称轴
|x|≤b
对称中心为原点 两条对称轴
顶点
离心 率 决定 形状 的 因素
四个
c e＝ ， a 且 0<e<1
两个
c e＝ ，且 e>1 a
一个
e＝1
知识点五 三法求解离心率
1.定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)
cb2＝c2) 的焦点在x轴上还是y轴上，都有关系式a2－b2＝c2(a2＋
2
(2)焦点三角形的周长 L＝2a＋2c.
知识点三 双曲线及渐近线的设法技巧
1.由双曲线标准方程求其渐近线方程时，最简单实用的办法是：把标准 x2 y2 方程中的 1 换成 0， 即可得到两条渐近线的方程.如双曲线 2－ 2＝1(a>0， a b b 2 2 2 2 ±x x y y x b>0)的渐近线方程为 2－ 2＝0(a>0，b>0)，即 y＝ a ；双曲线 2－ 2 a b a b a 2 2 ±x y x ＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为 2－ 2＝0(a>0，b>0)，即 y＝ b . a b x2 y2 x y 2－ 2 2.如果双曲线的渐近线方程为 ± ＝0，它的双曲线方程可设为 a b a b
图形
封闭图形
无限延展，没
b a 线 y＝±ax 或 y＝±bx 有渐近线
变量 范围 对称 性
|x|≤a，|y|≤b
或|y|≤a， |x|≥a或|y|≥a
x≥0或x≤0或 y≥0或y≤0 无对称中心 一条对称轴
|x|≤b
对称中心为原点 两条对称轴
顶点
离心 率 决定 形状 的 因素
四个
c e＝ ， a 且 0<e<1
两个
c e＝ ，且 e>1 a
一个
e＝1
2018学年高中数学选修1-1课件：第2章 圆锥曲线与方程2.2.2.1 精品
ay22－bx22＝1(a>0，b>0)
图形
焦点
焦距
范围
性 对称性
质
顶点
轴长
离心率
渐近线
__(_±__c,_0_)__
__(0_，__±__c)_
__2c__
__x≥__a_或_x_≤__－__a _
__y_≥_a_或__y_≤_－__a_
_____关__于_x_轴__，_y_轴__对_称__，__关_于__原__点_中__心__对_称____
―→
求出离心率
设 F1(c,0)，将 x＝c 代入双曲线的方程得
ac22－by22＝1，那么 y＝±ba2.
3分
由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°，知|PF1|＝|F1F2|，
∴ba2＝2c，∴b2＝2ac.
6分
∴c2－2ac－a2＝0，∴ac2－2×ac－1＝0. 即 e2－2e－1＝0，∴e＝1＋ 2或 e＝1－ 2(舍去).
(2)设双曲线方程为ax22－by22＝1(a，b>0)，不妨设一个焦点为 F(c,0)，虚轴端点为 B(0，b)，则 kFB＝－bc.
又渐近线的斜率为±ba， 所以由直线垂直关系得－bc·ba＝－1(－ba显然不符合)，
②与双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程可表 示为ax22－by22＝λ(a>0，b>0，λ≠0)；与双曲线ay22－bx22＝1(a>0，b>0) 共渐近线的双曲线方程可表示为ay22－bx22＝λ(a>0，b>0，λ≠0)．
2．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)实轴长为 16，离心率为54； (2)顶点间的距离为 6，渐近线为 y＝±32x.
2018学年高中数学选修1-1课件：第2章 圆锥曲线与方程2.3.2.1 精品
抛物线几何性质的应用
已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x 轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积 为4，求此抛物线的标准方程．
[思路点拨] 求A，B的坐标 ―→ 求出弦长|AB| ―→ 写出△AOB的面积，利用面积列方程解
由题意，抛物线方程为 y2＝2mx(m≠0)，焦
解析： 抛物线 y2＝10x 的焦点在 x 轴上，所以①不正确； 又抛物线 y2＝10x 的准线为 x＝－52，横坐标为 1 的点到焦点的距 离为：1＋52＝72≠6，所以③不正确；抛物线的通径长为：2p＝ 10≠5，所以④不正确．
设垂足为 C(2,1)，则 kOC＝12－ －00＝12，而连接垂足和焦点的斜 率为：052－ －12＝－2，由 2×－12＝－1 可知两者垂直，适合题意．
合作探究 课堂互动
抛物线的标准方程与性质
对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件： ①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线的横坐标为1 的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径长为5；⑤由原点向 过焦点的某条直线作垂线，垂足为(2,1)． 适合抛物线y2＝10x的条件是________．(要求填写合适条 件的序号) [思路点拨] 本题主要考查抛物线的简单几何性质，根据 抛物线的几何性质，用排除法解决问题．
解析： (1)焦点是 F(－8,0)，准线是 x＝8，表明抛物线顶点 在原点，焦点在 x 轴负半轴，故抛物线的标准方程可设为 y2＝－ 2px(p>0)，所以 p＝16.因此所求抛物线的标准方程为 y2＝－32x.
(2)依题意，|OB|＝8 3，∠BOy＝30°. 设 B(x，y)，则 x＝|OB|sin 30°＝4 3，y＝|OB|cos 30°＝12. 因为点 B(4 3，12)在 x2＝2py 上， 所以(4 3)2＝2p×12，解得 p＝2. 故抛物线 E 的方程为 x2＝4y.
2018学年高中数学选修1-1课件：第2章 圆锥曲线与方程2.2.1 精品
方法二：(定义法) 由题意知双曲线的两个焦点分别为 F1(0，－3)，F2(0,3)且 A(4， －5)在双曲线上， 则 2a＝||AF1|－|AF2||＝| 20－ 80|＝2 5， ∴a＝ 5，∴b2＝c2－a2＝9－5＝4. 即双曲线的标准方程为y52－x42＝1.
(2)方法一：若焦点在 x 轴上， 设双曲线的标准方程为ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)． 因为 M(1,1)，N(－2,5)在双曲线上，
合作探究 课堂互动双曲线定源自的应用如图所示，在△ABC 中，已知|AB|＝4 2，且三内角 A， B，C 满足 2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点 C 的轨迹方程．
[思路点拨] 条件中给出了角的关系，根据正弦定理，将 角 的 关 系 转 化 为 边 的 关 系 ． 由 于 A ， B 可 视 为 定 点 ， 且 |AB| ＝ 4，从而可考虑用定义法求轨迹方程．
4．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a＝3，c＝4，焦点在x轴上； (2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A(－5,6)．
解析： (1)由题设知，a＝3，c＝4， 由 c2＝a2＋b2 得，b2＝c2－a2＝42－32＝7. 因为双曲线的焦点在 x 轴上， 所以所求双曲线的标准方程为x92－y72＝1.
P＝{M|__||_M__F_1|_－__|M__F_2_||_＝__2_a__,0<2a<|F1F2|}
双曲线的标准方程
标准方程 焦点坐标 a，b，c 关系
焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
ax22－by22＝1
ay22－bx22＝1
(c,0)，(－c,0)
(0，c)，(0，－c)
c2＝___a_2＋__b_2___
18学年高中数学第二章圆锥曲线与方程本章整合课件新人教A版选修1_1
4 2
专题1
专题2
专题3
解:(1)由 e= ������ = 2 , 得3a2=4c2. 再由 c2=a2-b2,解得 a=2b. 由题意可知 2 × 2������ × 2������ = 4, 即ab=2. ������ = 2������, 解方程组 得a=2,b=1. ������������ = 2,
2 ������1 = 4������������1 , 2 ������2 = 4������������2 ,②
①
依题意,有
������1 ������2 · ������1 ������2
= -1,③ = -1,④
������-������1 ������-������1
������ ������1 -������2 · ������ ������1 -������2 ������1 -������2 ������1 -������2
第二章 圆锥曲线与方程 本章整合
定义:|������������1 | + |������������2 | = 2������ > |������1 ������2 | = 2������ 标准方程
������2 ������2 焦点在������轴上: ������2 + 2 ������ ������2 ������2 焦点在������轴上: 2 + 2 ������ ������
= 5 . 整理得 32k4-9k2-23=0,即(k2-1)(32k2+23)=0. 解得 k=± 1.则直线 l 的倾斜角为 或
π 4 3π . 4
4 1+������ 4 2 ,得 2 5 1+4������
4 2
专题1
专题2
专题3
解:(1)由 e= ������ = 2 , 得3a2=4c2. 再由 c2=a2-b2,解得 a=2b. 由题意可知 2 × 2������ × 2������ = 4, 即ab=2. ������ = 2������, 解方程组 得a=2,b=1. ������������ = 2,
2 ������1 = 4������������1 , 2 ������2 = 4������������2 ,②
①
依题意,有
������1 ������2 · ������1 ������2
= -1,③ = -1,④
������-������1 ������-������1
������ ������1 -������2 · ������ ������1 -������2 ������1 -������2 ������1 -������2
第二章 圆锥曲线与方程 本章整合
定义:|������������1 | + |������������2 | = 2������ > |������1 ������2 | = 2������ 标准方程
������2 ������2 焦点在������轴上: ������2 + 2 ������ ������2 ������2 焦点在������轴上: 2 + 2 ������ ������
= 5 . 整理得 32k4-9k2-23=0,即(k2-1)(32k2+23)=0. 解得 k=± 1.则直线 l 的倾斜角为 或
π 4 3π . 4
4 1+������ 4 2 ,得 2 5 1+4������
4 2
2018学年高中数学选修1-1课件：第2章 圆锥曲线与方程2.3.2.2 精品
8分
从而 A(1，－2 2)，B(4,4 2)，
设O→C＝(x3，y3)＝(1，－2 2)＋λ(4,4 2)＝(1＋4λ，－2 2＋
4 2λ)，又因为 y23＝8x3，即[2 2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，
即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得 λ＝0 或 λ＝2.
10 分
综上：λ＝0 或 λ＝2.
4．斜率为1的直线经过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线相 交于两点A，B，求线段AB的长．
解析： 方法一：如图，由抛物线 的标准方程可知，抛物线的焦点坐标为 F(1,0)，所以直线 AB 方程为 y＝x－1
①
将方程①代入抛物线方程 y2＝4x， 得(x－1)2＝4x. 化简得 x2－6x＋1＝0. 解得 x1＝3＋2 2，x2＝3－2 2. 将 x1，x2 的值代入方程①中，得 y1＝2＋2 2， y2＝2－2 2，即 A，B 的坐标分别是 (3＋2 2，2＋2 2)，(3－2 2，2－2 2)． ∴|AB|＝ 4 22＋4 22＝8.
由yy＝ 2＝k8xx－4＋1， 消去 x 并整理，得
ky2－8y－32k＋8＝0
①
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得 y1＋y2＝8k， 又∵Q 是 AB 中点，∴y1＋2 y2＝1.
∴8k＝2，∴k＝4，此时①中，Δ>0. ∴弦 AB 所在的直线方程为 4x－y－15＝0.
12 分
直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类 是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦．解决弦的问题，大多涉 及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率．常用的办法是将直线 与抛物线联立，转化为关于x或y的一元二次方程，然后利用根 与系数的关系，这样避免求交点．尤其是弦的中点问题，还应 注意“点差法”的运用．
高中数学北师大版选修1-1 第2章 圆锥曲线与方程 本章整合 课件(43张)
的倾斜角为 π-∠MAB, 同理,可得 x
2
������2 - =1(x>1,y<0). 3
2
综上,所求点 M 的轨迹方程为 x
������2 - =1(x>1)和 3
y=0(-1<x<2).
-7-
专题一
专题二
专题三
专题四
专题二 圆锥曲线的定义、性质 椭圆、抛物线、双曲线的定义、标准方程、几何图形及简单的 几何性质是本章的基础. 对于圆锥曲线的有关问题,要有运用圆锥曲线的定义解题的意 识,“回归定义”是一种重要的解题策略.如(1)在求轨迹时,若所求轨 迹符合某种圆锥曲线的定义,则根据圆锥曲线的方程写出所求的轨 迹方程;(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问 题时,常用定义结合解三角形的知识来解决;(3)在求有关抛物线的 最值问题时,常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离,结 合几何图形利用几何意义去解决.
-5-
专题一
专题二
专题三
专题四
当∠MBA=90°时,△MAB 为等腰直角三角形,点 M 的坐标为 (2,3). ������ 当∠MBA≠90°时,tan(π-2α)=kMB= .
������-2
①当点 M 在 x 轴上方时,α≠90°,tan α=kMA=������+1,
������
∴tan(π-2α)=-tan 2α=
-8-
专题一
专题二
专题三
专题四
应用1 抛物线y2=2px(p>0)上有A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)三点,F是 它的焦点,若|AF|,|BF|,|CF|成等差数列,则( ) A.x1,x2,x3成等差数列B.y1,y2,y3成等差数列 C.x1,x3,x2成等差数列D.y1,y3,y2成等差数列 解析:如图,由抛物线定义, 得|AF|=|AA'|,|BF|=|BB'|,|CF|=|CC'|. ∵2|BF|=|AF|+|CF|, ∴2|BB'|=|AA'|+|CC'|.
2
������2 - =1(x>1,y<0). 3
2
综上,所求点 M 的轨迹方程为 x
������2 - =1(x>1)和 3
y=0(-1<x<2).
-7-
专题一
专题二
专题三
专题四
专题二 圆锥曲线的定义、性质 椭圆、抛物线、双曲线的定义、标准方程、几何图形及简单的 几何性质是本章的基础. 对于圆锥曲线的有关问题,要有运用圆锥曲线的定义解题的意 识,“回归定义”是一种重要的解题策略.如(1)在求轨迹时,若所求轨 迹符合某种圆锥曲线的定义,则根据圆锥曲线的方程写出所求的轨 迹方程;(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问 题时,常用定义结合解三角形的知识来解决;(3)在求有关抛物线的 最值问题时,常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离,结 合几何图形利用几何意义去解决.
-5-
专题一
专题二
专题三
专题四
当∠MBA=90°时,△MAB 为等腰直角三角形,点 M 的坐标为 (2,3). ������ 当∠MBA≠90°时,tan(π-2α)=kMB= .
������-2
①当点 M 在 x 轴上方时,α≠90°,tan α=kMA=������+1,
������
∴tan(π-2α)=-tan 2α=
-8-
专题一
专题二
专题三
专题四
应用1 抛物线y2=2px(p>0)上有A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)三点,F是 它的焦点,若|AF|,|BF|,|CF|成等差数列,则( ) A.x1,x2,x3成等差数列B.y1,y2,y3成等差数列 C.x1,x3,x2成等差数列D.y1,y3,y2成等差数列 解析:如图,由抛物线定义, 得|AF|=|AA'|,|BF|=|BB'|,|CF|=|CC'|. ∵2|BF|=|AF|+|CF|, ∴2|BB'|=|AA'|+|CC'|.
2018高中数学人教A版选修1-1课件：第二章 圆锥曲线与方程 2-1-2-2
������2 0)或 ������2
+
������2 ������
2
= 1(������ > ������ > 0),
直线与椭圆的两个交点为A(x1,y1),B(x2,y2),
M 目标导航
则|AB|= =
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
= 1 + ������ 2 · |x1-x2|= 1 + ������ 2 · (������1 + ������2 )2 -4������1 ������2 , 或者|AB|= = 1+
1 ������
(������1 -������2 )2 + (������1 -������2 )2 = 1+
M 目标导航
1 2
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
1.直线与椭圆的位置关系 直线 y=kx+m
������2 ������2 与椭圆 ������2 + 2 ������
= 1(������ > ������ > 0)
12 2
设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=− 7 , 8 x1· x2= ,
7
∴|AB|=
答案:B
(1 + ������ 2 )[(������1 + ������2 )2 -4������1 ������2 ] =
16 . 7
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我还有这些不足： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________
4.椭圆x42＋y32＝1 上一点 P 到其焦点的距离为 2，则点 P 到对应的准线的距离 为________.
【解析】 由题意知 a＝2，c＝1，∴e＝12，所以 p 到准线的距离为 2÷12＝4. 【答案】 4
5.椭圆1x020＋3y62 ＝1 上有一点 P，它到椭圆的左准线的距离为 10，求点 P 到椭 圆的右焦点的距离.
2.注意：椭圆、双曲线有两条准线，而抛物线只有一条准线，应区别对待.
[再练一题] 1.求下列圆锥曲线的焦点坐标和准线方程： (1)3x2＋4y2＝12；(2)2x2－y2＝4. 【解】 (1)化方程为标准形式：x42＋y32＝1. 焦点在 x 轴上，a2＝4，b2＝3，c2＝1，c＝1. ∴焦点坐标为(±1,0)，准线方程为 x＝±ac2＝±4.
[小组合作型] 求焦点坐标及准线方程
求下列曲线的焦点坐标和准线方程： (1)x2－y2＝2； (2)4y2＋9x2＝36； (3)x2＋4y＝0； (4)3x2－3y2＝－2.
【导学号：24830053】
【精彩点拨】 把方程化为标准形式后，确定焦点的位置、利用公式求解. 【自主解答】 (1)化方程为标准形式：x22－y22＝1. 焦点在 x 轴上，a2＝2，b2＝2，c2＝4，c＝2.
(2)化方程为标准形式：x22－y42＝1.
焦点在 x 轴上，a2＝2，b2＝4，c2＝6，c＝ 6.
∴焦点坐标为(±
6，0)，准线方程为
x＝±ac2＝±
26＝±
6 3.
利用圆锥曲线的定义求距离
点的距离.
双曲线x92－1y62 ＝1 上有一点 P，它到右准线的距离为151，求它到左焦
【精彩点拨】 首先判定点 P 在双曲线的左支还是右支上，然后利用性质把 到准线的距离转化为到焦点的距离求解.
学业分层测评(十二) 点击图标进入…
【自主解答】 双曲线x92－1y62 ＝1 的左准线和右准线分别为 x＝－95和 x＝95，若 点 P 在双曲线的左支上，则点 P 到右准线的最小距离为95－(－3)＝254＞151，故点 P 不可能在左支上，而在右支上，所以点 P 到右焦点的距离为151e＝131，再根据双曲 线的定义知 PF1－PF2＝6，即 PF1＝6＋PF2＝6＋131＝239.
义得，P 到右焦点的距离为 2a－258＝10－258＝252.
[探究共研型] 利用圆锥曲线的定义求最值
探究 1 根据椭圆(双曲线)的共同性质，椭圆(双曲线)上一点 P 到其焦点 F 的 距离 PF，与点 P 到对应准线的距离 d 有什么关系？
【提示】 PdF＝e，即 PF＝de(e 为椭圆或双曲线的离心率).
是一个 常数e .
这个 常数e 叫做圆锥曲线的离心率， 定点F
就是圆锥曲线的焦
点， 定直线l 就是该圆锥曲线的准线.
2.圆锥曲线离心率的范围： (1)椭圆的离心率满足 0＜e＜1 ， (2)双曲线的离心率满足 e＞1 ， (3)抛物线的离心率满足 e＝1 . 3.椭圆和双曲线的准线方程： 根据图形的对称性可知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点 在 x 轴上的椭圆或双曲线，准线方程都是 x＝±ac2.
【答案】 x＝± 2
3.若椭圆的焦点坐标为(1,0)，准线方程是 x＝12，则该椭圆的方程是________.
【解析】 易知椭圆的焦点在 x 轴上，且 c＝1，故准线方程是 x＝ac2＝a2＝12， 则 b2＝a2－c2＝11，故椭圆方程是1x22 ＋1y12 ＝1.
【答案】 1x22 ＋1y12 ＝1
1.椭圆x32＋y22＝1 的准线方程是________. 【解析】 由方程可知 a2＝3，b2＝2，c2＝1，∴c＝1，则准线方程为 x＝±ac2＝ ±3.
【答案】 x＝±3
2.双曲线 y2－x2＝－4 的准线方程是________.
【解析】 把双曲线方程化为x42－y42＝1，∴a2＝4，b2＝4，c2＝8，即 c＝2 2， 故准线方程是 x＝±ac2＝±242＝± 2.
2.椭圆2x52 ＋1y62 ＝1 上有一点 P，它到椭圆的左准线的距离为238，求点 P 到椭圆
的右焦点的距离.
【解】
பைடு நூலகம்
椭圆2x52 ＋1y62 ＝1
中，a2＝25，b2＝16，则
【导学号：24830054】 a＝5，c＝3，故离心率为 e
＝35.
由圆锥曲线的性质得点 P 到椭圆的左焦点的距离为238e＝258，再根据椭圆的定
1.判断正误： (1)到定点 F 与定直线 l 的距离之比为常数的点的轨迹是圆锥曲线.( ) (2)离心率 e＝1 时不表示圆锥曲线.( ) (3)椭圆的准线为 x＝±ac2(焦点在 x 轴上)，双曲线的准线为 x＝±ca2(焦点在 x 轴 上).( )
【解析】 (1)×.定点 F 不在定直线 l 上时才是圆锥曲线. (2)×.当 e＝1 时表示抛物线是圆锥曲线. (3)×.双曲线的准线也是 x＝±ac2.
阶
阶
段
段
一
三
2.5 圆锥曲线的共同性质
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1.了解圆锥曲线的共同性质.(重点) 2.能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题.(难点)
[基础·初探]
教材整理 圆锥曲线的共同性质
阅读教材 P53 至思考以上部分，完成下列问题. 1.圆锥曲线的共同性质：
圆锥曲线上的点到一个定点 F 和到一条定直线 l(F 不在定直线 l 上)的距离之比
【答案】 (1)× (2)× (3)×
2.离心率为12，准线为 x＝±4 的椭圆方程为________. 【解析】 由题意知 a＝2，c＝1，b2＝3，∴椭圆方程为x42＋y32＝1. 【答案】 x42＋y32＝1
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1：________________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________________ 疑问 2：________________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________________ 疑问 3：________________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________________
(4)化方程为标准形式y22－x22＝1，a2＝23，b2＝23，c＝ 33
0，±23
3.
2
准线方程为
y＝±ac2＝±2
3
3＝±
3 3.
3
23＋23＝2 3 3，故焦点为
1.已知圆锥曲线方程求焦点坐标、准线方程的一般思路是：首先确定圆锥曲线 的类型，其次确定其标准方程的形式，然后确定相关的参数值 a，b，c 或 p，最后 根据方程的特征写出相应的焦点坐标、准线方程.
即点 P 到左焦点的距离为239.
解决这类圆锥曲线上点到焦点和准线的距离问题的一般思路有两种：(1)先利 用统一定义进行曲线上点到焦点与相应准线距离之间的相互转化，再利用对应的 圆锥曲线定义进行曲线上点到两不同焦点距离之间的转化来解决；(2)把思路(1)的 两步过程交换先后顺序来解决.
[再练一题]
求距离和的最小值的关键在于把折线变成直线，此过程需借助于圆锥曲线的 统一定义进行等价转化，体现了数形结合与等价转化的数学思想.
[再练一题] 3.如图 2-5-1 所示，已知 F 是双曲线x42－1y22 ＝1 的左焦点，定点 A 的坐标为(3,1)， P 是双曲线右支上的动点，则12PF＋PA 的最小值为多少？
探究 2 设椭圆x42＋y32＝1 内一点 A(1,1)，P 为椭圆上一点，过 P 作椭圆的准线 x＝4 的垂线，垂足为 D，则 PA＋PD 的最小值是什么？
【提示】 过 A 作直线 x＝4 的垂线交椭圆于 P，垂足为 D，则 PA＋PD 最小， 最小值为 AD＝4－1＝3.
探究 3 设椭圆x42＋y32＝1 外一点 M(1,3)，F 为其右焦点，P 为椭圆上一点，P 到椭圆的准线 x＝4 的距离为 PD，则 PA＋12PD 的最小值是什么？
图 2-5-1
【解】 由x42－1y22 ＝1 知 a＝2，c＝4，e＝2.设点 M 是点 P 在左准线上的射影. 则 PM 是 P 到左准线 x＝－1 的距离，则PPMF ＝2. 所以12PF＝PM，所以12PF＋PA＝PM＋PA. 显然当 A，P，M 三点共线时，12PF＋PA 的值最小， 即12PF＋PA 的最小值为点 A 到双曲线左准线的距离：3＋ac2＝3＋44＝4.故12PF ＋PA 的最小值为 4.
∴焦点为(±2,0)，准线方程为 x＝±22＝±1.
(2)化方程为标准形式：y92＋x42＝1. 焦点在 y 轴上，a2＝9，b2＝4，c＝ 5. ∴焦点坐标为(0，± 5)，准线方程为 y＝± 95＝±95 5.