反比例函数26

《反比例函数》一、选择题（8小题，每题4分，共32分）1．点A（–2，5）在反比例函数y=（k≠0）的图象上，则k的值是（D）A. 10B. 5C. –5D. –102．已知电流I（安培）、电压U（伏特）、电阻R（欧姆）之间的关系为I=，当电压为定值时，I关于R的函数图象是（C）A. B. C. D.3．已知反比例函数下列结论正确的是（B）A. 图像经过点（-1，1）B. 图像在第一、三象限C. y 随着x 的增大而减小D. 当x > 1时，y < 14．函数y x m=+与( B )【答案】B5．如图，在x轴的上方，直角绕原点O按顺时针方向旋转，若的两边分别与函数，的图象交于B、A两点，则的值的变化趋势为（ D ）A. 逐渐变小B. 逐渐变大C. 时大时小D. 保持不变6．若、、)三点都在函数的图象上，则、、的大小关系为（ A ）A. B. C. D.7．设函数与的图象的交点坐标为（，），则的值为（A）．A. B. C. D.8．如图，与均为正三角形，且顶点、均在双曲线上，点、试卷第1页，总7页在轴上，连结交于点，则的面积是（ C ）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先根据△AOB和△ACD均为正三角形可知∠AOB=∠CAD=60°，故可得出AD∥OB，所以S△ABP=S△AOP，故S△OBP=S△AOB，过点B作BE⊥OA于点E，由反比例函数系数k的几何意义即可得出结论．详解：∵△AOB和△ACD均为正三角形，∴∠AOB=∠CAD=60°，∴AD∥OB，∴S△ABP=S△AOP，∴S△OBP=S△AOB，过点B作BE⊥OA于点E，则S△OBE=S△ABE=S△AOB，∵点B在反比例函数y=的图象上，∴S△OBE=×4=2，∴S△OBP=S△AOB=2S△OBE=4．故选C．二、填空题（4小题，每题4分，共16分）9．a为常数）的图像上有两点()11,y 、那么函数值1y__＞___2y．（填“＜”、“=”或“＞”）10．如图，反比例函数y1＝和正比例函数y2＝k2x的图象交于A(－1，－3)，B(1，3)两点．若＞k2x，则x的取值范围是_____ x＜－1或0＜x＜1_______________ .11．如图，在平面直角坐标系中，OA=AB，∠OAB=90°，反比例函数x＞0）的图象经过A，B两点．若点A的坐标为（n，1），则k的值为．试卷第3页，总7页12．在反比例函数y(x ＞0)的图象上，有一系列点A 1，A 2，A 3，…，A n ，A n ＋1，若A 1的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2.现分别过点A 1，A 2，A 3，…，A n ，A n ＋1作x 轴与y 轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为S 1，S 2，S 3，…，S n ，则S 1＝___55_____，S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n ＝用含n 的代数式表示)．【解析】因为点1231,,,,n n A A A A A +⋯在反比例函数,且每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2,又因为点1A 的横坐标为2,所以()12,5A ,由图象可得:所以图中阴影部分的面积是:所以三、解答题13．如图，反比例函数y=（k≠0）的图象与一次函数y=﹣x+1的图象交于A （﹣2，m ），B （n，﹣1）两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）连接OA ，OB ，求△AOB 的面积．解：（1）因为点A（﹣2，m）在一次函数y=﹣x+1的图象上，∴m=﹣×（﹣2）+1=2即点A（﹣2，2）∵点A（﹣2，2）在反比例函数y=（k≠0）的图象上，∴k=（﹣2）×2=﹣4．所以反比例函数解析式为：y=﹣；（2）∵点B（n，﹣1）在反比例函数y=﹣，∴n×（﹣1）=4，∴点B的坐标为（4，﹣1）设一次函数y=﹣x+1的图象与x轴的交点为C，当y=0时，﹣x+1=0，解得x=2．∴点C的坐标为（2，0）所以S△AOB=S△AOC+S△BOC=×2×2+×2×1=3．14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与反比例函数y＝(m≠0)的图象相交于A（2，），B（-1，1）两点．(1)分别求出反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据图象写出：当x为何值时，一次函数值大于反比例函数值？解(1)∵反比例函数y＝(m≠0)的图象经过点，，∴，∴m＝1，∴反比例函数的解析式为y＝，∵一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点A，和点B(－1，－1)，试卷第5页，总7页∴，解得，∴一次函数的解析式为y ＝ x －； (2)由图象，知当x ＞2或－1＜x ＜0时，一次函数值大于反比例函数值．15．如图，一次函数y ＝k 1x ＋b 的图象与反比例函数y ＝(x ＜0)的图象相交于点A (－1，2)、点B (－4，n )．(1)求此一次函数和反比例函数的表达式； (2)求△AOB 的面积；(3)在x 轴上存在一点P ，使△P AB 的周长最小，求点P 的坐标．解：(1)∵反比例 ＝的图象经过点A (—1，2)， ∴ ＝—1×2＝—2，∴反比例函数表达式为： ＝，∵反比例 ＝的图象经过点B (—4，n )，∴—4n ＝—2， ＝，∴B 点坐标为(—4，)，∵直线 ＝ ＋ 经过点A (—1，2)，点B (—4，)， ∴ ＋ ＝＋ ＝， ①—②，得：3 ＝，∴ ＝，把 ＝代入①，得：b ＝，∴一次函数表达式为： ＝＋．(2)如图1所示，分别过点B 作BD ⊥x 轴，垂足为D ，过点A 作AE ⊥y 轴，垂足为E ，则四边形ODFE 为矩形，∵点A (—1，2)，点B (—4，)，∴O D ＝EF ＝4，OE ＝DF ＝2，AE ＝1，BD ＝，∴ 矩形 ＝ ， ＝ ＝ ＝.∵点A ，点B 在函数 ＝的图象上，∴ ＝ ＝ ∴ ＝＝.(3)如图2所示，作点A 关于x 轴的对称点A ′，连接A ′B ，交x 轴于点P ，此时△P AB 的周长最小，∵点A ′和A (—1，2)关于x 轴对称，∴点A ′的坐标为(—1，—2)，设直线A ′B 的表达式为 ＝ ＋∵经过点A ′(—1，—2)，点B (—4，)，∴＋ ＝＋ ＝解得： ＝， ＝. ∴直线A ′B 的表达式为： ＝.当y ＝0时，则x ＝，∴P 点坐标为(，0).16．如图，已知Rt △AOB 的直角边OA 在x 轴上，OA ＝2，AB ＝1，将Rt △AOB 绕点O 逆时针旋转90°得到Rt △COD ，反比例函数y ＝经过点B.(1)求反比例函数解析式；(2)连接BD ，若点P 是反比例函数图象上的一点，且OP 将△OBD 的周长分成相等的两部分，求点P 的坐标．解:（1）∵OA ＝2，AB ＝1，∴B(2，1)． 代B(2，1)于y ＝中，得k ＝2，∴y ＝；（2）设OP 与BD 交于点Q ，∵OP 将△OBD 的周长分成相等的两部分，又OB ＝OD ，OQ ＝OQ ， ∴BQ ＝DQ ，即Q 为BD 的中点，∴Q(，)．设直线OP 的解析式为y ＝kx ，把Q(，)代入y ＝kx ，得＝k ，∴k ＝3.∴直线BD 的解析式为y ＝3x由得∴P 1( ， )，P 2(－，－ )．17．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 为正方形，已知点A （ ，0）、D （ ，3），点B 、C 在第二象限内． （1）点B 的坐标 ；（2）将正方形ABCD 以每秒2个单位的速度沿x 轴向右平移t 秒，若存在某一时刻t ，使在第一象限内点B 、D 两点的对应点B′、D′正好落在某反比例函数的图像上，请求出此时t 的值以及这个反比例函数的解析式；试卷第7页，总7页（3）在（2）的情况下，问是否存在y 轴上的点P 和反比例函数图像上的点Q ，使得以P 、Q 、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点P 、Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点B 作BF ⊥x 轴于点F ，如图1所示．∵四边形ABCD 为正方形， ∴AD=AB ，∠BAD=90°， ∵∠EAD+∠ADE=90°，∠EAD+∠BAF=90°， ∴∠ADE=∠BAF ． 在△ADE 和△BAF 中，＝ ＝ ＝ ＝，∴△ADE ≌△BAF （AAS ），∴DE=AF ，AE=BF ． ∵点A （-6，0），D （-7，3），∴DE=3，AE=1， ∴点B 的坐标为（-6+3，0+1），即（-3，1）．故答案为：（-3，1）． （2）设反比例函数为y=，由题意得：点B′坐标为（-3+t ，1），点D′坐标为（-7+t ，3）， ∵点B′和D′在该比例函数图象上，∴k=（-3+t ）×1=（-7+t ）×3， 解得：t=9，k=6，∴反比例函数解析式为y=．（3）假设存在，设点P 的坐标为（m ，0），点Q 的坐标为（n ，）．以P 、Q 、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形分两种情况： 当B′D′为对角线时， ，， （ ，）当B′D′为边时， ，， （ ，）或 ，， （ ，）。