初中有理数的巧算
有理数计算的六个技巧
有理数计算的六个技巧有理数计算是数学中一个重要的部分，掌握一些技巧可以帮助我们更快速、更准确地完成计算。
以下是六个有理数计算的技巧：1. 分母有理化：对于形如$\frac{a}{b}$的有理数，如果b是平方数（例如4、9、16等），则可以将分母进行有理化处理，即将分子和分母都乘以b的平方根。
例如，$\frac{1}{4} = \frac{1 \times 2}{4 \times 2} = \frac{2}{8}$。
2. 乘法分配律：对于任意三个有理数a、b和c，有$a \times (b + c) = a\times b + a \times c$。
这个技巧可以用于简化复杂的乘法运算。
3. 提取公因数：对于多个有理数的乘法，如果存在公因数，可以先提取公因数，再进行其他运算。
例如，$2 \times 3 \times 4 = 2 \times (3 \times 4) = 2 \times 12$。
4. 利用绝对值的性质：对于有理数的绝对值，如果知道某个数的范围，可以利用绝对值的性质来简化计算。
例如，如果知道$a < b$，则可以得出$-b< a < b$。
5. 利用等差数列的性质：对于等差数列中的有理数，可以利用等差数列的性质来简化计算。
例如，对于等差数列$a, b, c, d$，有$b = \frac{a +c}{2}$和$d = \frac{a + d}{2}$。
6. 利用近似值：对于一些复杂的计算，如果不需要精确结果，可以利用近似值来快速得到一个接近真实值的结果。
例如，对于$\sqrt{2}$，我们知道$ < \sqrt{2} < $，所以可以取或作为$\sqrt{2}$的近似值。
这些技巧可以帮助我们更快速、更准确地完成有理数计算。
在掌握这些技巧的基础上，通过多做练习题来提高自己的计算能力和熟练度。
初一有理数加减法做题技巧
初一有理数加减法做题技巧
有理数的加减法其实没那么可怕啦，就像是玩游戏一样，有一些小技巧可以轻松搞定哦。
1. 同号相加
同号的有理数相加的时候，就像是好朋友手拉手。
比如说都是正数，那就直接把数字相加，符号还是正号就好啦。
像3 + 5 = 8，很简单吧。
要是都是负数呢，也是把数字相加，不过符号就是负号啦，例如-3 + (-5)，就相当于3 + 5 = 8，然后加上负号，结果就是-8。
2. 异号相加
这就有点像拔河比赛啦。
把绝对值大的那个数当成是力气大的一方。
先算出两个数的绝对值，然后用大的绝对值减去小的绝对值，符号就跟着绝对值大的那个数。
比如说5 + (-3)，5的绝对值是5，3的绝对值是3，5比3大，那就用5 - 3 = 2，5是正数，所以结果就是2。
再比如-5 + 3，5的绝对值还是比3大，5 - 3 = 2，但是-5是负数，所以结果就是-2。
3. 减法变加法
这个可是个超级实用的技巧哦。
有理数的减法其实可以变成加法来做。
只要把减数变成它的相反数就好啦。
比如3 - 5，就可以变成3 + (-5)，然后按照异号相加的方法来做，结果就是-2。
再比如-3 - (-5)，就变成-3 + 5，结果就是2。
只要把这些小技巧记住，有理数加减法的题目就会变得超级简单，就像吃小蛋糕一样轻松愉快啦。
有理数的巧算含答案
2
=
(“祖冲之杯”邀请赛试题)
2
11
=2( - )
(3)
52003 5
4
提示:设 s=5+52+53+…+52002,则 5s=52+53+…+52003.
【例 4】(1)若按奇偶分类,则 22004+32004+72004+92004 是________数; (2)设 a=355,b=444,c=533,则 a、b、c 的大小关系是_______(用“>”号连接); (3)求证:32002+42002 是 5 的倍数. 思路点拨 乘方运算是一种特殊的乘法运算,解与乘方运算有关问题常用到以下知 识:①乘方意义;②乘方法则;③a2n≥0;④an 与 a 的奇偶性相同;⑤在 n4k+r 中(k,r 为非负整 数,n≠0,0≤r<4),当 r=0 时,n4k+r 的个位数字与 n4 的个位数字相同;当 r≠0 时,n4k+r的个 位数字与 nr 的个位数字相同. 解:(1)奇;(2)a>b>c. (3)因为 32002=34×500+2,42002=44×500+2,所以 32002 与 42002 的个位数字分别与 32、42 的个数 数字相同,即 9、6,从而 32002+42002 的个位数字为 5,因此,32002+42002 是 5 的倍数. 【例 5】有人编了一个程序:从 1 开始,交替地做加法或乘法(第一次可以是加法,也可 以是乘法),每次加法,将上次运算结果加 2 或加 3;每次乘法,将上次运算结果乘 2 或乘 3,
例题求题
【例 1】现有四个有理数 3,4,-6,10,将这 4 个数(每个数用且只用一次)进行加、减、
初中七年级数学培优有理数的巧算含答案
第一讲有理数的巧算有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上;能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此;还要善于根据题目条件;将推理与计算相结合;灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题;从而提高运算能力;发展思维的敏捷性与灵活性．1．括号的使用在代数运算中;可以根据运算法则和运算律;去掉或者添上括号;以此来改变运算的次序;使复杂的问题变得较简单．例1计算：分析中学数学中;由于负数的引入;符号“+”与“-”具有了双重涵义;它既是表示加法与减法的运算符号;也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时;一定要正确运用有理数的运算法则;尤其是要注意去括号时符号的变化．注意在本例中的乘除运算中;常常把小数变成分数;把带分数变成假分数;这样便于计算．例2计算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445．分析直接计算很麻烦;根据运算规则;添加括号改变运算次序;可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算．解原式=211×555+211×445+445×789+555×789=211×555+445+445+555×789=211×1000+1000×789=1000×211+789=1000000．说明加括号的一般思想方法是“分组求和”;它是有理数巧算中的常用技巧．例3计算：S=1-2+3-4+…+-1n+1·n．分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”．如果按照将第一、第二项;第三、第四项;…;分别配对的方式计算;就能得到一系列的“-1”;于是一改“去括号”的习惯;而取“添括号”之法．解S=1-2+3-4+…+-1n+1·n．下面需对n的奇偶性进行讨论：当n为偶数时;上式是n／2个-1的和;所以有当n为奇数时;上式是n-1／2个-1的和;再加上最后一项-1n+1·n=n;所以有例4在数1;2;3;…;1998前添符号“+”和“-”;并依次运算;所得可能的最小非负数是多少分析与解因为若干个整数和的奇偶性;只与奇数的个数有关;所以在1;2;3; (1998)前任意添加符号“+”或“-”;不会改变和的奇偶性．在1;2;3;…;1998中有1998÷2个奇数;即有999个奇数;所以任意添加符号“+”或“-”之后;所得的代数和总为奇数;故最小非负数不小于1．现考虑在自然数n;n+1;n+2;n+3之间添加符号“+”或“-”;显然n-n+1-n+2+n+3=0．这启发我们将1;2;3;…;1998每连续四个数分为一组;再按上述规则添加符号;即1-2-3+4+5-6-7+8+…+1993-1994-1995+1996-1997+1998=1．所以;所求最小非负数是1．说明本例中;添括号是为了造出一系列的“零”;这种方法可使计算大大简化．有这种竞赛讲义一整套小学初中的含答案最新的需要的可以联系我46~8453~607微信13699~77~10742．用字母表示数我们先来计算100+2×100-2的值：100+2×100-2=100×100-2×100+2×100-4=1002-22．这是一个对具体数的运算;若用字母a代换100;用字母b代换2;上述运算过程变为a+ba-b=a2-ab+ab-b2=a2-b2．于是我们得到了一个重要的计算公式a+ba-b=a2-b2;①这个公式叫平方差公式;以后应用这个公式计算时;不必重复公式的证明过程;可直接利用该公式计算．例5计算3001×2999的值．解3001×2999=3000+13000-1=30002-12=8999999．例6计算103×97×10009的值．解原式=100+3100-310000+9=1002-91002+9=1004-92=99999919．例7计算：分析与解直接计算繁．仔细观察;发现分母中涉及到三个连续整数：12345;12346;12347．可设字母n=12346;那么12345=n-1;12347=n+1;于是分母变为n2-n-1n+1．应用平方差公式化简得n2-n2-12=n2-n2+1=1;即原式分母的值是1;所以原式=24690．例8计算：2+122+124+128+1216+1232+1．分析式子中2;22;24;…每一个数都是前一个数的平方;若在2+1前面有一个2-1;就可以连续递进地运用a+ba-b=a2-b2了．解原式=2-12+122+124+128+1×216+1232+1=22-122+124+128+1216+1×232+1=24-124+128+1216+1232+1=……=232-1232+1=264-1．例9计算：分析在前面的例题中;应用过公式a+ba-b=a2-b2．这个公式也可以反着使用;即a2-b2=a+ba-b．本题就是一个例子．通过以上例题可以看到;用字母表示数给我们的计算带来很大的益处．下面再看一个例题;从中可以看到用字母表示一个式子;也可使计算简化．例10计算：我们用一个字母表示它以简化计算．3．观察算式找规律例11某班20名学生的数学期末考试成绩如下;请计算他们的总分与平均分．87;91;94;88;93;91;89;87;92;86;90;92;88;90;91;86;89;92;95;88．分析与解若直接把20个数加起来;显然运算量较大;粗略地估计一下;这些数均在90上下;所以可取90为基准数;大于90的数取“正”;小于90的数取“负”;考察这20个数与90的差;这样会大大简化运算．所以总分为90×20+-3+1+4+-2+3+1+-1+-3+2+-4+0+2+-2+0+1+-4+-1+2+5+-2=1800-1=1799;平均分为90+-1÷20=89.95．例12计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．分析观察发现：首先算式中;从第二项开始;后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000;于是可有如下解法．解用字母S表示所求算式;即S=1+3+5+…+1997+1999．①再将S各项倒过来写为S=1999+1997+1995+…+3+1．②将①;②两式左右分别相加;得2S=1+1999+3+1997+…+1997+3+1999+1=2000+2000+…+2000+2000500个2000=2000×500．从而有S=500000．说明一般地;一列数;如果从第二项开始;后项减前项的差都相等本题3-1=5-3=7-5=…=1999-1997;都等于2;那么;这列数的求和问题;都可以用上例中的“倒写相加”的方法解决．例13计算1+5+52+53+…+599+5100的值．分析观察发现;上式从第二项起;每一项都是它前面一项的5倍．如果将和式各项都乘以5;所得新和式中除个别项外;其余与原和式中的项相同;于是两式相减将使差易于计算．解设S=1+5+52+…+599+5100;①所以5S=5+52+53+…+5100+5101．②②—①得4S=5101-1;说明如果一列数;从第二项起每一项与前一项之比都相等本例中是都等于5;那么这列数的求和问题;均可用上述“错位相减”法来解决．例14计算：分析一般情况下;分数计算是先通分．本题通分计算将很繁;所以我们不但不通分;反而利用如下一个关系式来把每一项拆成两项之差;然后再计算;这种方法叫做拆项法．解由于所以说明本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项;这种方法在有理数巧算中很常用．练习一1．计算下列各式的值：1-1+3-5+7-9+11-…-1997+1999；211+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100；31991×1999-1990×2000；44726342+4726352-472633×472635-472634×472636；61+4+7+ (244)2．某小组20名同学的数学测验成绩如下;试计算他们的平均分．81;72;77;83;73;85;92;84;75;63;76;97;80;90;76;91;86;78;74;85．。
七年级数学上册1.2有理数有理数巧算“十字诀”素材新人教版(new)
有理数巧算“十字决”一．“归”：将同类数（如正数或负数）归类计算。
例1 计算（－13）＋(＋28）＋（－17）＋（＋50）解：本题运用加法交换律和结合律,将正数和负数分别求和。
原式＝（28＋50)＋(－13－47）＝78＋（－60）＝18二．“消”：将相加得0的数（如互为相反数）对消。
例2 计算（－错误!）＋2。
3＋（－0.1）－2.2＋错误!＋3。
5解：本题运用加法交换律和结合律，将互为相反数的两个数对消。
原式＝［(－错误!）＋错误!]＋[2.3＋3.5－0.1－2。
2]＝0＋［2。
3－0。
1－2.2＋3.5]＝0＋3。
5＝3。
5三．“凑”：将相加可得整数的数凑整。
例3 计算(＋错误!)＋（－错误!)＋1.75＋（－错误!)＋1。
05＋2。
2解：本题运用加法交换律和结合律,将可得整数的数凑整.原式＝（－错误!－错误!）＋（1.75＋1。
05＋2。
2)＋（＋错误!）＝－1＋5＋错误!＝4错误!四．“合”:将不同类数（如分母相同或易于通分的数）分别组合.例4 计算1－错误!＋错误!＋错误!－1错误!－错误!解：本题运用加法交换律和结合律，将不同类数（如分母相同或易于通分的数）分别组合。
原式＝(1错误!－1错误!）＋（错误!－错误!）＋（错误!－错误!）＝－错误!－错误!－错误!＝－1错误!五．“分”:将一个数分解成几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式工.例5 计算19错误!×15解:本题运用凑整法将一个数分解成几个数之和的形式然后运用乘法分配律解决.原式＝（20－错误!）×15＝300－错误!=299错误!例6 计算(－18）×0。
25×（－96）×错误!解:本题运用拆项法将一个数分解成几个数之积的形式然后运用乘法交换律和结合律解决原式＝（错误!×8)×（0.25×4）×(3×错误!）＝1×1×1＝1六．“化”：将小数与分数或乘法与除法相互转化。
有理数巧算“十字诀”
有理数巧算“十字诀”一、“归”：将同类数（如正数或负数）归类计算.[例1]计算（-13）+（+28）+（-47）+（+50）.解：原式=（28+50）+（-13-47）二、“消”：将相加得0的数（如互为相反数的数）对消.[例2]（-107）++（）+107+. 解：原式=[(-107)+107]+[+、”凑”将相加可得整数的数凑整, [例3]计算 (+54)+(-31)++(-32)++. 解：原式=(-31-32)++++( +54) =-1+5 +54 =454 4、“合”：将不同类数（如分母相同或易于通分的数）别离组合.[例4]计算1-125+51+121-2039-1513. 解：原式=（1-2039）+（121-125）+（51-1513） =-2019－31－32 =-2039. 五、“分”：将一个数分解成几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式.[例5]计算171619×15. 解：原式=（20-171）×15 =300-1715 =172299.[例6]计算（-81）××(-96) ×31. 解：原式=(81×8) ××4) ×(3×31) =1×1×1=1.六、“化”：将小数与分数或乘法与除法彼此转化.[例7]计算-3-[-5+（×53）÷（-2）]. 解：原式=-3-[-5+（1-51×53）÷（-2）] =-3-[-5+2522×(-21)] =-3-[-5-2511] =2561. 7、“变”：利用运算定律把运算顺序改变，从而简化计算.[例8]计算（47-87-127）×（-78）. 解：原式=47×（-78）-87×（-78）-127×（-78 ） =-2+1+32 =-31.八、“约”：将互为倒数的数或有因数和倍数关系的数约简.[例9]计算（）·（+1225）·（-43）·（）. 解：原式=-10012×1225×43×1016=-103. 九、“逆”：正难那么反，逆用运算律以简化运算.[例10]计算（-125）÷17+（+315）÷17-（-166）÷17-（-171）. 解：原式=（-125+315+166+1）÷17=357÷17=21.10、“观”：依照0和1在运算中的特性，注意观看算式特点，可收到事半功倍的成效.[例11]计算-2006÷×2032+(-1)2006+(-1)2007. 解：原式=0+1-1=0。
中考数学专题讲练 有理数的巧算(解析版)
有理数的巧算一．结合律加法结合律：三个数相加，先把前面两个数相加，再加第三个数，或者先把后面两个数相加，再和第一个数相加，它们的和不变．乘法结合律：三个数相乘,先把前面两个数相乘,先乘第三个数,或者先把后面两个数相乘,再和第一个数相乘,它们的积不变．二．分配律乘法分配律：两个数的和同一个数相乘,等于把两个加 数分别同这个数相乘,再把两个积加起来,结果不变.三．裂项法在一些题型中，需要运用拆项法（也称裂项法）进行简便运算，运用拆项法使得拆项后的一些数能够互相抵消，达到简化运算的目的．常用拆项公式：（1）()11111n n n n =-++； （2）()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭； （3）()()()()()1111122112n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦，或()()()()()21112112n n n n n n n =-+++++；（4）11a ba b a b+=+⨯，11b aa b a b-=-⨯．四．换元法我们经常会遇到一些数据大、关系复杂的计算题，令人望而生畏，无从下手．这时，如果我们仔细观察数据特点，探究数据规律，巧妙利用字母代替数字（换元法），能够达到化繁为简，化难为易的效果．探索算式的结构往往是解决这类问题的突破口，其步骤大致分为三步：（1）比对观察：寻找并发现题目中的结构与规律；（2）总结归纳：把数字转化为字母，化繁为简；（3）代数计算：利用代数的方法，仔细地将冗长的题目化难为易，解决问题．一．考点：结合律、分配律、裂项法、换元法．二．重难点：裂项法、换元法．三．易错点：裂项法要注意相邻两数之差是多少．题模一：结合律例1.1.1151515 8124292929⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-+⨯--⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】0【解析】该题考查的是有理数巧算．观察该题，发现都含有共同的因数1529-．因此先提取公因数 原式()15812429⎛⎫=-+-⨯- ⎪⎝⎭， 15029⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭ 0=例1.1.2 计算：()()()3.2289 3.7729 1.59⨯-+-⨯--⨯【答案】 49.5- 【解析】 ()()()3.2289 3.7729 1.59⨯-+-⨯--⨯ 3.2289 3.7729 1.59=-⨯-⨯+⨯ ()3.228 3.772 1.59=--+⨯5.59=-⨯49.5=-．题模二：分配律例1.2.1 计算：1﹣24×（﹣311836+-）． 【答案】 6．【解析】 原式=1+9﹣8+4=6．例1.2.2 阅读下列材料： 计算（﹣130）÷（23﹣110+16﹣25） 解法①：原式=（﹣130）÷23﹣（﹣130）÷110+（﹣130）÷16﹣（﹣130）÷25=﹣120+13﹣15+112=16解法②：原式=（﹣130）÷[（23+16）﹣（110+25）]=（﹣130）÷（56﹣12）=﹣130×3=﹣110 解法③：原式的倒数为（23﹣110+16﹣25）÷（﹣130）=（23﹣110+16﹣25）×（﹣30）=﹣20+3﹣5+12=﹣10故原式=﹣110（1）上面得出的结果不同，其中肯定有错误的解法，你认为解法_____是错误的．在正确的解法中，你认为解法_____最简便，该解法运用的运算律是_____．（2）请计算：（﹣142）÷（16﹣314+23﹣37）． 【答案】 （1）①；③；乘法分配律（2）﹣18【解析】 （1）上面得出的结果不同，有错误的解法，我认为解法①是错误的．在正确的解法中，我认为解法③最简便，该解法运用的运算律是乘法分配律．（2）∵（16﹣314+23﹣37）÷（﹣142） =（16﹣314+23﹣37）×（﹣42） =16×（﹣42）﹣314×（﹣42）+23×（﹣42）﹣37×（﹣42） =﹣7+9﹣28+18=﹣8 ∴（﹣142）÷（16﹣314+23﹣37）=﹣18题模三：裂项求和例1.3.1 已知220ab a -+-=，求()()()()()()1111112220132013ab a b a b a b ++++++++++的值．【答案】 20142015【解析】 由220ab a -+-=知，2a =，1b =． 原式11111111111201411223342014201522334201420152015=++++=-+-+-++-=⨯⨯⨯⨯ 例1.3.2 计算：15791113151261220304256-+-+-+ 【答案】 98 【解析】 15791113151261220304256-+-+-+ 1223344556677812233445566778+++++++=-+-+-+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111111111111112233445566778⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++-+++-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111111111111112233445566778=+--++--++--++ 118=+ 98=． 题模四：换元法例1.4.1 计算：11111111111111232012232011232012232011⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++-+++++++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【答案】 12012【解析】 设111232012a =+++，111232011b =+++．则原式()()1112012a b b a a ab b ab a b =+-+=+--=-=．随练1.1 计算：()()()32419151515171717-⨯+-⨯--⨯ 【答案】 15-【解析】 提取公因数．()()()32419324191515151515171717171717⎛⎫-⨯+-⨯--⨯=-⨯+-=- ⎪⎝⎭． 随练1.2 3571491236⎛⎫--+÷ ⎪⎝⎭ 【解析】 该题考查的是实数的混合运算． 3571491236⎛⎫--+÷ ⎪⎝⎭ 357364912⎛⎫=--+⨯ ⎪⎝⎭()395473=-⨯-⨯+⨯272021=--+26=-随练1.3 计算：1517()(36)126369-+--⨯- 【答案】 2【解析】 该题考查的是有理数的综合运算．原式()()()()151736363636126369=-⨯-+⨯--⨯--⨯- 330128=-++=2随练1.4 计算：()()999812512412161616⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯---⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【答案】 91216- 【解析】 ()()999812512412161616⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯---⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()91285416⎛⎫=-⨯---+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ 912116⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭ 91216=-．随练1.5 阅读材料：计算：12112()()3031065-÷-+- 解法1：原式＝1211215111()()()()()3303610530623010⎡⎤-÷++--=-÷-=-⨯=-⎢⎥⎣⎦； 解法2：原式的倒数为：()21121211230310653031065⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-÷-=-+-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭20351210=-+-+=-， 故原式＝110-。
第一讲 七年级有理数的巧算
第一讲 有理数（1）一、知识提要1、 整数和分数统称为有理数。
2、 有理数还可以这样定义：形如mp（其中m 、p 均为整数，且m ≠0）的数是有理数。
这种表达形式常被用来证明或判断某个数是不是有理数。
3、 有理数的数系表：正整数 正整数 整数 零 正有理数负整数 正分数 有理数 正有限小数 或 有理数 零正分数 负整数 正无限循环小数 负有理数分数 负分数负有限小数负分数负无限循环小数 4、 有理数可以用数轴上的点表示。
5、 零是正数和负数的分界点；零不是正数也不是负数。
6、 如果两个数的和为0，则称这两个数互为相反数。
如果两个数的积为1，则称这两个数互为倒数。
7、 有理数的运算法则： （1）、加法：两数相加，同号的取原来的符号，并把绝对值相加；异号的取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，绝对值相等时，和为0；一个数与0相加，仍得这个数。
（2）、减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。
（3）、乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；一个数与0相乘， 积为0. 乘方：求n 个相同因数a 的积的运算称为乘方，记为na 。
（4）、除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数。
8、有理数的运算律：加法交换律：a b b a +=+；加法结合律：)()(c b a c b a ++=++； 乘法交换律：c b b a ⨯=⨯；乘法结合律：)()(c b a c b a ⨯⨯=⨯⨯； 乘法分配律：c b c a c b a ⨯+⨯=⨯+)(；9、有理数具有以下性质①对于任意两个有理数a , b ,在a < b , a = b ,a > b 三种关系中，有且只有一种成立。
②如果a < b , 那么b > a 。
③如果a < b , b < c , 那么 a < c ④如果a = b , b = c , 那么 a = c ⑤如果a = b , 那么 b = a⑥任意一对有理数，对应的和、差、积、商（除数不为零）仍是有理数。
七年级数学上册有理数难题巧算方法讲解归纳
七年级数学上册有理数难题巧算方法讲解归纳【知识要点】1．乘法分配律法2．约分法3．倒写相加法4．裂项相消法有些求若干个分数之和的计算题，我们可以把其中的每个加数，根据()11111+-=+n n n n 的原理，分裂为两个分数之差，这样算式中除首、尾两项之外，其余各分数均加、减相消，可巧妙求出整个算式的和，这种巧解思路，称为裂项相消法．下面给出五类常见的裂项公式：(1）()11+n n 型裂项公式：()11111+-=+n n n n ． （2）)(1k n n +型裂项公式：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+k n n k k n n 111)(1 （3）)(k n n k +型裂项公式：kn n k n n k +-=+11)(． （4）)2)((1k n k n n ++型裂项公式： )2)((1k n k n n ++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+)2)((1)(121k n k n k n n k （5）)2)((2k n k n n k ++型裂项公式：()()()k n k n k n n k n k n n k 211)2)((2++-+=++ 5.错位相减法6．整体换元法【典型例题】1．乘法分配律法例1 计算：① .21825.3825.325.0825.141825.3⨯+⨯+-⨯② 103451194911994199411949145199414511949+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⎪⎭⎫⎝⎛-⨯2．约分法 * 例2 ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+1719116191319121911911917118171317121711713．倒写相加法例3 设n 为正整数，计算：43424131323332312122211+++++++++++.1112141424344nn n n n n n n n ++-++-+++++++++4．裂项相消法例4 计算201120081191611613113101⨯--⨯-⨯-⨯-* 例51111232349899100+++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯* 例6:⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++199911411311211199914113112114131121131211215.错位相减法* 例7 200843220081200812008120081200811++++++6．整体换元法例8 计算)20071......3121()20081......31211()20081......3121()20071......31211(+++⨯-----+++⨯----1．1436.171464.8295135159513518⨯+⨯+⨯-⨯2．求和19993222221+++++= S3201918143213211⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯4．计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++99113112119914113112114131121131211215.计算：.311212311999212000312001212002-++-+-1．填空题（1）4213012011216121-----=________________ （2） 20÷（0.30+0.31+0.32+…+0.69）的值的整数部分是_________（3） 111111123456761220304256++++++=__________________ （4） ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--++-+-10001141131121110201970198019902000 =_____________（5） ()()_____________1541957.0154329417.0=-⨯+⨯+-⨯+⨯； （6）____________19197676767676191919=-；2．计算：（1） 445211789555789445555211⨯+⨯+⨯+⨯（2） ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-110031120021120031120041（3）.1051011171311391951⨯++⨯+⨯+⨯（4）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯751517315151537319315151537319751517537319751517315151（5） 311021983278%12541153881568825.1⨯-⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯（6） 200020001999199919992000⨯-⨯2)6543187(36-+-⨯-（7） 求和20083277771+++++= S3．已知+21+51+81+111+201+411+110116401=1， 求--21-51+81+111+201+411+110116401的值4．若n=7217561542133011209127311+-+-+-，求n 的负倒数5．217665544332217665544332212⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++ ⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++-766554433276655443322116．2001200420002004200120012001200120012001200020002000200020002000个个+++++7．n n n n n n 93186293142842421⋅⋅++⨯⨯+⨯⨯⋅⋅++⨯⨯+⨯⨯ ** 8.求 ++++3227252321共2008项的和.。
初一有理巧算精品
有理数运算中的几个技巧有理数的运算是初中数学中的基础运算，熟练地掌握有关的运算技巧，巧妙地运用有关数学方法，是提高运算速度和准确性的必要保证．下面介绍一些运算技巧．一、 归类运算进行有理数的加减运算时，运用交换律、结合律归类加减，常常可以使运算简捷． 如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等．例1 计算： －(0.5)－(－341) + 2.75－(721)．解法一：－(0.5)－(－341) + 2.75－(721)= (－0.5 + 2.75) + (341－721)= 2.25－441=－2 ．解法二：－(0.5)－(－341) + 2.75－(721)=－0.5 + 341+ 2.75－721= (3 + 2－7 ) + (－0.5 + 41+ 0.75 －21=－2．评析：解法一是小数与小数相结合，解法二整数与整数结合，这样解决了既含分数又含小数的有理数加减运算问题．同学们遇到类似问题时，应学会灵活选择解题方法．二、 凑整求和将相加可得整数的数放在一起进行运算(其中包括互为相反数相加)，可以降低解题难度， 提高解题效率．例2 计算：19＋299＋3999＋49999．解：19＋299＋3999＋49999=20－1＋300－1＋4000－1＋50000－1 = (20＋300＋4000＋50000)－4 = 54320－4 = 54316．在有理数的运算中，为了计算的方便，常把非整数凑成整数，一般凑成整一、整十、 整百、整千等数，这样便于迅速得到答案．三、 变换顺序在有理数的运算中，适当改变运算顺序，有时可以减少运算量，在具体运算过程中，技巧是恰到好处地运用交换率、结合律和分配律等运算律简化运算．例3 计算：[4125＋(－71)]＋[(－72)＋6127]．解：[4125＋(－71)]＋[(－72)＋6127]= 4125＋(－71)＋(－72)＋6127 = [4125＋6127]＋[(－72)＋(－71)]= 11＋(－73)= 1074．评析：在运算前，首先观察、分析参与运算的数的特征、排列顺序等，适当交换一下各数的位置，达到简化运算、快速解题的目的．四、 逆用运算律在处理有理数的数字运算中，若能根据题目所显示的结构、关系特征，对此加以灵活 变形，便可巧妙地逆用分配律，使解题简洁明快． 例4 计算：17.48³37＋174.8³1.9＋8.74³88．解：17.48³37＋174.8³1.9＋8.74³88 =17.48³37＋(17.48³10)³1.9＋17.48³44=17.48³37＋17.48³19＋17.48³44 = 17.48³(37＋19＋44) = 1748．评析：很明显，灵活变形，逆用分配律，减少了运算量，提高了解题效率．五、 巧拆项把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷．例5 计算2005³20042003－1001³10021001．解：2005³20042003－100210011001= (2004＋1)³20042003－(1002－1)³10021001= (2003－1001)＋(20042003＋10021001)=100320042001．评析：对于这些题目结构复杂，长度较大的数，用常规的方法不易解决．解这类问题要根据题目的结构特点，找出拆项规律，灵活巧妙地把问题解决．六、 变量替换通过引入新变量转化命题结构，这样不但可以减少运算过程，还有利于寻找接题思路， 其中的新变量在解题过程中起到桥梁作用．例6 计算512769)323417(125.0323417-++⨯+³(0.125＋323417512769+-)． 解：设a =323417+，b = 0.125，c =512769-，则512769)323417(125.0323417-++⨯+³(0.125＋323417512769+-) =c ab a +³(b ＋ac ) =c ab a+³ac ab + = 1．评析：此题横看纵看都显得比较复杂，但若仔细观察，整个式子可分为三个部分：323417+，0.125，512769-，因此，采用变量替换就大大减少了计算量．七、 分组搭配观察所求算式特征，巧妙运用分组搭配处理，可以简化运算． 例7 计算：2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69．解：2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69= (2－3－4＋5)＋(6－7－8＋9)＋…＋(66－67－68＋69) = 0＋0＋0＋…＋0 = 0．评析：这种分组运算的过程，实质上是巧妙地添括号或去括号问题．八、 倒序相加在处理多项式的加减乘除运算时，常根据所求式结构，采用倒序相加减的方法把问题简化．例8 计算 21＋(31＋32)＋(41＋42＋43)＋(51＋52＋53＋54)＋…＋(601＋602＋…＋6058＋6059)．①解：把①式括号内倒序后，得：21＋(32＋31)＋(43＋42＋41)＋(54＋53＋52＋51)＋…＋(6059＋6058＋…＋602＋601)， ② ①＋②得：1＋2＋3＋4＋…＋58＋59 = 1770， ∴21＋(31＋32)＋(41＋42＋43)＋(51＋52＋53＋54)＋…＋(601＋602＋…＋6058＋6059) =21(1770) = 885． 评析：显然，此类问题是不能“硬算”的，倒序相加可提高运算速度，降低复杂程度．九、 添数配对例9 计算11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996＋19999997＋199999998＋1999999999．解：添上9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1，依次与各数配对相加，得：11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996＋19999997＋199999998＋1999999999．= 20＋200＋2³103＋2³104＋…＋2³109－(9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1)= 2222222220－45 = 2222222175．评析：添数配对实质上也是一种凑整运算．十、 整体换元对于较复杂的算式直接运算很困难，若能抓住其特征，运用整体运算的思维，创造性地 加以解决，就能收到事半功倍的效果．例10 计算1－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561．解；设1－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561= x ，①则①³(－21)，得－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561－5121=－21x ， ②① －②，得1＋5121=23x ，解得x =256171，故1－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561=256171．评析：整体换元可以避开局部细节的麻烦，它利用前后项之间的倍数关系，使用的是错位相加法．有理数运算技巧十五招一、归类将同类数（如正数或负数）归类计算。
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实数的巧算
常用运算技巧⑴巧用运算律 ⑵凑整法⑶拆项法（裂项相消） (4)倒写相加法
(5)错位相减法 (6)换元法 (7)观察探究、归纳法
一、公式的巧用
1、1、已知31
1=-=-
b b a a ，且3>+b a ，则33a
b b a -的值是（ ）。
（A ）521（B ）1321（C ）533（D ）1333
2、已知a ＝1999x ＋2000，b ＝1999x ＋2001，c ＝1999x ＋2002，则多项式a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca
的值为 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3
]2)1()1[(2
1211])()()[(2
1
222222222=+-+-=∴=--=--=--+-+-=---++原式 ，， 又，
解：a c c b b a a c c b b a ca bc ab c b a “借一还一”思想在解题中的应用
什么是“借一还一“思想？我们先来看看一个小故事：从前有个牧民，辛苦一辈子所得全部财产是17匹马。
临终前，他把三个儿子叫到身边留下医嘱：”孩子们啊，我把17匹马留给你们，老大得二分之一，老二得三分之一，老三得九分之一，把马分完，但不许把马宰了再分。
“事后，三兄弟在一起商量了很久，始终无法按老人的意图把马分开，他们只好去请教爱动脑筋的邻居老大爷，老大爷认真思考后说：“我借一匹马给你们，共有18匹马，这样就好分了，老大得了二分之一是9匹马，老二得三分之一是6匹马，老三得九分之一是2匹马，你们总共分得了17匹，剩下的一匹马再还给我。
”
在上面的问题中，巧妙的“借一还一”既符合老人的遗嘱，又让三兄弟都满意。
“借一还一”的思想也是解决问题的一种重要的数学思想。
它可以使一些复杂问题变的十分简单，请看如下几例。
例1，已知4个矿泉水空瓶可以换1瓶矿泉水，现有15个矿泉水空瓶，若不找钱，最多可以喝矿泉水（）瓶。
A3B4C5D6
解：解这道题可以先借一个矿泉水瓶，16个空瓶可以换回4瓶矿泉水，喝完后4个空瓶又能换回1瓶矿泉水，待喝完后，再把空瓶还给别人，这样最多可以喝5瓶矿泉水，故应选（C ）。
例2分解因式①4x4+1，②x4+4
解：①4x4＋1=4x4＋4x2＋１－4x4＝(2x2+1)2－(2x)2=(2x2+2x+1)(2x2－2x+1)
②x4+4=x4+4x2+4－4x2=(x2+2)2－4x2=(x2+2x+2)(x2－2x+2)
例4若方程x2+2px －q=0(p ，q 是实数)没有实数根。
（1）求证：p+q ＜1／4（2）试写出上述命题的逆命题。
（3）判断（2）中逆命题是否正确。
（1）解由题意得方程的判别式△=4p2+4q ＜0，得q ＜-p2
∴p+q ＜-p2+q=－（p －1／2）2+1／4≤1／4
∴p+q ＜1／4成立
（2）解：如果p+q ＜1／4，则方程没有实数根。
（3）解：不正确。
如果当p=1，q=-1时，p+q ＜1／4，
5、设a,b 是两个有理数，且a<b,求证：.
证明 ∵
∴
即
∴ 又
∴即
二、凑整法
1、当代数式532++x x 的值为7时,求代数式2932
-+x x 的值. 分析：观察两个代数式的系数
由7532
=++x x 得232
=+x x ，利用方程同解原理，得6932
=+x x 整体代人，42932
=-+x x
代数式的求值问题是中考中的热点问题，它的运算技巧、解决问题的方法需要我们灵活掌握，整体代人的方法就是其中之一。
当代数式532
++x x 的值为7时,求代数式2932
-+x x 的值.
2010
20081861641421⨯++⨯+⨯+⨯ 2008
2007
12007200720072222323=+=++=+++=++a a a a a a a 分析：观察两个代数式的系数
由7532
=++x x 得232
=+x x ，利用方程同解原理，得6932
=+x x 整体代人，42932
=-+x x
代数式的求值问题是中考中的热点问题，它的运算技巧、解决问题的方法需要我们灵活掌握，整体代人的方法就是其中之一。
2、已知012
=-+a a ，求200722
3
++a a 的值.
分析：解法一（整体代人）：由012
=-+a a 得 02
3
=-+a a a
所以： 3、
三、拆项法（裂项相消
1、已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值．
()()()()
()()
1111
112220072007ab a b a b a b ++++
++++++
分析：利用绝对值的非负性，我们可以得到：|a b －2|=|a －1|=0，解得：a=1,b=2 于是
()()()()
()()
1111
112220072007ab a b a b a b ++++
++++++
200920082009112009
120081413131212120092008143132121=
-
=-++-+-+=⨯++⨯+⨯+=
在上述分数连加求和的过程中，我们采用了裂项的方法，巧妙得出了最终的结果．同学们可
以再深入思考，
如果题目变成求 值，你有办法求解吗？有兴趣的同学可以在课下继续探究。
一般地，多个分数相加减，如果分子相同，分母是两个整数的积，且每个分母中因数差相同，
可以用裂项相消法求值。
①
111(1)1n n n n =-++ ②
1111
()()n n k k n n k =-++ ③ 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++ ④ 1111
()(1)(1)211
n n n n =--+-+
【例2】（第18届迎春杯）计算：1111248
1024
+++
+
3、已知abc ≠0，且a+b+c ＝0，则代数式ab
c ca b bc a 2
22+
+的值是 （ ）
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
3
)()()()()()(=++=+-+-+-=⋅+-+⋅+-+⋅+-=
c
c
b b a a b c
a c c
b a b
c a b a ab c
b a a
c b c a bc a c b 解：原式
四、倒写相加法
1、已知a 、b 、c 为实数，且51
4131=
+=+=+a c ca c b bc b a ab ，，
求ca bc ab abc
++的值。
(第8届希望杯试题)
五、错位相加减法 1、
解法1 原式
解法2 原式
2、
∵
…
，
∴原式=
或者用下面的“错位相减法”求和。
令，则
将这两式错位相减得
即
再将这两式错位后式减去前式得
∴；
六、观察探究、归纳法
1、
仔细观察分母中涉及到三个连续整数：12345，12346，12347，可设字母n=12346，那么12345=n-1，12347=n+1，于是分母变为，即原式分母的值是1，所以原式=24690。
讲解：这类问题一般都先化简后代值，直接把a
学生在这道题上的错误主要是化简的方向不明确，最后又不会将a2＋a作为整体代入．这里关键是整体代入，抓住这一点，计算可以灵活．比如，由①有
由②－①，得
由③－②并将④代入，得
还可由①得
⑥÷⑤即得所求．
七、换元法
1、
）四个括号中均包含一个共同部分：，我们用一个字母表示以简化计算。
设，则
原式=
2、计算
________________。
提示：含19991998=a，则
原式= 3、计算
令
则原式=。