人教B数学理一轮复习精品训练 第8章 平面解析几何2 含解析

[命题报告·教师用书独具]一、选择题1．(2013年滨州模拟)当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k 得两直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k k －1，2k －1k －1，因为0<k <12，所以kk －1<0，2k －1k －1>0，故交点在第二象限．答案：B2．(2013年茂名模拟)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13 C ．－32D.23解析：设P (x P ，y P )，由题意及中点坐标公式，得x P ＋7＝2，解得x P ＝－5，∴P(－5,1)，∴直线l的斜率k＝1－(－1)－5－1＝－13.答案：B3．(2013年武汉模拟)已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为()A.79B．－13C．－79或－13 D.79或13解析：由题意及点到直线的距离公式得|－3a－4＋1|a2＋1＝|6a＋3＋1|a2＋1，解得a＝－1 3或－79.答案：C4．(2013年广州模拟)直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是()A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0解析：由题意得直线x－2y＋1＝0与直线x＝1的交点坐标为(1,1)．又直线x－2y＋1＝0上的点(－1,0)关于直线x＝1的对称点为(3,0)，所以由直线方程的两点式，得y－01－0＝x－31－3，即x＋2y－3＝0.答案：D5．(2013年成都模拟)在直角坐标系中，A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后，再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是()A．210 B．6C．3 3 D．2 5解析：如图，设点P关于直线AB，y轴的对称点分别为D，C，易求得D(4,2)，C (－2,0)，则△PMN 的周长＝|PM |＋|MN |＋|PN |＝|DM |＋|MN |＋|NC |.由对称性，D ，M ，N ，C 共线，∴|CD |即为所求，由两点间的距离公式得|CD |＝40＝210.答案：A 二、填空题6．若点(1,1)到直线x cos α＋y sin α＝2的距离为d ，则d 的最大值是________． 解析：依题意有d ＝|cos α＋sin α－2| ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－2. 于是当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1时，d 取得最大值2＋ 2.答案：2＋ 27．若两平行直线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c ＋2a 的值为________．解析：由题意得，36＝－2a ≠－1c ， ∴a ＝－4且c ≠－2， 则6x ＋ay ＋c ＝0可化为 3x －2y ＋c2＝0， 由两平行线间的距离， 得21313＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪c 2＋113，解得c ＝2或c ＝－6，所以c ＋2a ＝±1.答案：±18．(2013年安庆模拟)从点(2,3)射出的光线沿与直线x －2y ＝0平行的直线射到y 轴上，则经y 轴反射的光线所在的直线方程为________．解析：由题意得，射出的光线方程为y －3＝12(x －2)， 即x －2y ＋4＝0，与y 轴交点为(0,2)， 又(2,3)关于y 轴的对称点为(－2,3)， ∴反射光线所在直线过(0,2)，(－2,3)． 故方程为y －2＝3－2－2x ，即x ＋2y －4＝0.答案：x ＋2y －4＝09．(2013年绍兴模拟)已知0<k <4，直线l 1：kx －2y －2k ＋8＝0和直线l 2：2x ＋k 2y －4k 2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k 值为________．解析：由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,4)，直线l 1的纵截距为4－k ，直线l 2的横截距为2k 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(4－k )＋12×4×(2k 2＋2)＝4k 2－k ＋8，故面积最小时，k ＝18.答案：18 三、解答题10．直线l 被两条直线l 1：4x ＋y ＋3＝0和l 2：3x －5y －5＝0截得的线段的中点为P (－1,2)，求直线l 的方程．解析：设直线l 与l 1的交点为A (x 0，y 0)，由已知条件，得直线l 与l 2的交点为B (－2－x 0,4－y 0)，并且满足⎩⎪⎨⎪⎧4x 0＋y 0＋3＝0，3(－2－x 0)－5(4－y 0)－5＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4x 0＋y 0＋3＝0，3x 0－5y 0＋31＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2，y 0＝5， 因此直线l 的方程为y －25－2＝x －(－1)－2－(－1)，即3x ＋y ＋1＝0.11．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点， (1)点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值．解析：(1)经过两已知直线交点的直线系方程为 (2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0， 即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0， ∴|10＋5λ－5|(2＋λ)2＋(1－2λ)2＝3.解得λ＝2或λ＝12.∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，得P (2,1)．如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离，则d ≤|P A |(当l ⊥P A 时等号成立)． ∴d max ＝|P A |＝10.12．(能力提升)(1)在直线l ：3x －y －1＝0上求一点P ，使得P 到A (4,1)和B (0,4)的距离之差最大；(2)在直线l ：3x －y －1＝0上求一点Q ，使得Q 到A (4,1)和C (3,4)的距离之和最小．解析：(1)如图甲所示，设点B 关于l 的对称点为B ′，连接AB ′并延长交l 于P ，此时的P 满足|P A |－|PB |的值最大．设B ′的坐标为(a ，b )，则k BB ′·k l ＝－1， 即b －4a ·3＝－1. ∴a ＋3b －12＝0.①又由于线段BB ′的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b ＋42，且中点在直线l 上， ∴3×a 2－b ＋42－1＝0，即3a －b －6＝0.②①②联立，解得a ＝3，b ＝3，∴B ′(3,3)． 于是AB ′的方程为y －13－1＝x －43－4，即2x ＋y －9＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y －1＝0，2x ＋y －9＝0.得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5，即l 与AB ′的交点坐标为P (2,5)．(2)如图乙所示，设C 关于l 的对称点为C ′，连接AC ′交l 于点Q ，此时的Q 满足|QA |＋|QC |的值最小．设C ′的坐标为(x ′，y ′)，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ′－4x ′－3·3＝－1，3·x ′＋32－y ′＋42－1＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝35，y ′＝245.∴C ′⎝ ⎛⎭⎪⎫35，245.由两点式得直线AC ′的方程为 y －1245－1＝x －435－4， 即19x ＋17y －93＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧19x ＋17y －93＝0，3x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝117，y ＝267.∴所求点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫117，267.[因材施教·学生备选练习]1．(2013年武汉调研)点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y ＝x＋2的最短距离为()A.22 B. 2C．2 2 D．2解析：当点P为直线y＝x＋2平移到与曲线y＝x2－ln x相切的切点时，点P 到直线y＝x＋2的距离最短．设点P(x0，y0)，f(x)＝x2－ln x，则f′(x0)＝1.∵f′(x)＝2x－1x，∴2x0－1x0＝1.又x0>0，∴x0＝1.∴点P的坐标为(1,1)，此时点P到直线y＝x＋2的距离为22＝ 2.答案：B2．(2013年武汉模拟)已知A(－2,0)，B(2,0)，C(0,2)，E(－1,0)，F(1,0)，一束光线从F点出发射到BC上的D点经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE 上(不含端点)，则直线FD斜率的取值范围为________．解析：从特殊位置考虑．∵点A(－2,0)关于直线BC：x＋y＝2的对称点为A1(2,4)，∴kA1F＝4.∵点E(－1,0)关于直线AC：y＝x＋2的对称点为E1(－2,1)，点E1(－2,1)关于直线BC：x＋y＝2的对称点为E2(1,4)，此时直线E2F的斜率不存在，∴kA1F＜k FD，即k FD∈(4，＋∞)．答案：(4，＋∞)。