福建省安溪第八中学2010届高考模拟试题(理科)

2 1 ，负的概率为 ，客场胜、平、负是等可能 的。假定各场比赛相互之间不 3 12
受影响。在前三轮中求： (Ⅰ)山东鲁能两胜一平的概率； (Ⅱ)山东鲁能积分的数学期望。
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(18)(本小题满分 13 分) 直 四 棱 柱 ABCD − A1 B1C1 D1 中 ， 底 面 ABCD 为 菱 形 ， 且
⎡2 ⎣1
0⎤ ，求矩阵 M 的特征值及其相应的特征向量． 1⎥ ⎦
选修 4—4：坐标系与参数方程
π ( ρ ∈ R ) ，以极点为原点，极轴为 x 轴的正 3 ⎧ x = 2 cos α , 半轴建立平面直角坐标系，曲线 C 的参数方程为 ⎨ （ α 为参数） ，求直线 l 与曲 ⎩ y = 1 + cos 2α 线 C 的交点 P 的直角坐标.
(5)已知直线 l , m, 平面 α、β , 且 l ⊥ α , m ⊂ β , 给出下列四个命题： ①若 α //β , 则 l ⊥ m; ②若 l ⊥ m, 则 α //β ; ③若 α ⊥ β , 则 l //m; ④若 l //m, 则 α ⊥ β ; 其中真命题是 (A)①②
(B)①③
(C)①④
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(D)②④
(6)设 a 为函数 y = sin x + 3 cos x ( x ∈ R ) 的最大值，则二项式 ( a x −
1 6 ) 的展开式中含 x
x 2 项的系数是
(A)192 (B)182 (C)-192 (D)-182 (7)某器物的三视图如图所示，根据图中数据可知该器物的表 面积为 (A) 4π (B) 5π (C) 8π (D) 9π (8)数列 {an } 中， a3 = 2, a5 = 1, 如果数列 {
2
π 。 2 (Ⅰ)求 m 的值；
(Ⅱ)若点 A( x0 , y0 ) 是 y = f ( x ) 图象的对称中心，且 x0 ∈ [0,
π ] ，求点 A 的坐标。 2
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(17)(本小题满分 13 分) 2010 年亚冠联赛，山东鲁能、广岛三箭、阿德莱德联、浦项制铁分在同一组进行循环赛， 已知规则为每轮胜得 3 分，平得 1 分，负得 0 分。第一轮在 2 月 24 日的比赛中，山东鲁能客 场 l:0 战胜广岛三箭；第二轮主场对阵阿德莱德联；第三轮客场对阵浦项制铁。若山东鲁能 主场胜的概率为
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(19) (本小题满分 13 分) 已知抛物线 C1 的方程是 y = ax 2 (a > 0), 圆 C2 的方程是
x 2 + ( y + 1)2 = 5, 直线 l : y = 2 x + m( m < 0) 是 C1 , C2 的公切
线， F 是 C1 的焦点． (Ⅰ)求 m 与 a 的值； (Ⅱ)设 A 是抛物线 C1 上的一动点，以 A 为切点作 C1 的 切线交 y 轴于点 B ，若 FM = FA + FB ，则点 M 在一定直线上，试证明之。
(A) [
3 2 , ] 3 2
(B) [ ,
2 3
2 ] 2
(C) [
3 3 ,, ] 3 2
第Ⅱ卷(共 100 分)
注意事项： 第Ⅱ卷共 2 页。考生必须使用 0.5 毫米黑色签字笔在指定答题区域内作答，填空题请直 接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分。 (11)按如图所示的程序框图运行程序后，输出的结果是 63，则判断 框中的整数 H 的值是 。
2
2 对应的点所在象限是 1+ i
(B)二 (C)三
2 0
(D)四
∫
2
0
xdx, b = ∫ e x dx, c = ∫ sin xdx, 则 a、b、c 大小关系是
0
2
(A) a < c < b (B) a < b < c (C) c < b < a (D) c < a < b (3)某校园有一椭圆型花坛，分成如图四块种花，现有 4 种不同颜色的花 可供选择，要求每块地只能种一种颜色，且有公共边界的两块不能种 同一种颜色，则不同的种植方法共有 (A)48 种 (B)36 种 (C)30 种 (D)24 种 (4)某企业三月中旬生产 A、B、C 三种产品共 3000 件，根据分层抽样的结 果，企业统计员制作 了如下的统计表格。由于不小心，表格中 A、C 产 品的有关数据己被污染看不清楚，统计员记得 A 产品的样本容量比 C 产品的样本容量多 10 件，根据以上信息，可得 C 产品的数量是 产品类别 产品数量（件） 样本容量（件） (A)900 件 (B)800 件 (C)90 件 A B 1300 1300 (D)80 件 C
主场胜，第三轮客场平：或第二轮主场平，第三轮客场胜，
2 1 1 1 2 1 11 × + × = + = …………………………………………………5 分 3 3 4 3 9 12 36 11 所以山东鲁能两胜一平的概率为 …………………………………………………………6 分 36
从而 P ( A) = (Ⅱ)(法一)记山东鲁能在第二轮得分为随机变量 X ，则 X 的取值为 3、 1、 0 由已知得 X 的分布列为：
���� �
��� � ��� �
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(20)(本小题满分 14 分) 己知 f ( x) = ln x − ax 2 − bx 。 (Ⅰ)若 a = −1 ，函数 f ( x) 在其定义域内是增函数，求 b 的取值范围； (Ⅱ)当 a = 1, b = −1 时，证明函数 f ( x) 只有一个零点； (Ⅲ) f ( x) 的图象与 x 轴交于 A( x1 , 0), B ( x2 , 0)( x1 < x2 ) 两点 AB 中点为 C ( x0 , 0) ，求证：
1 } 是等差数列，则 a11 = an + 1
(C) −
(A)
1 11
(B) 0
1 13
(D) −
1 7
(9)定义在 R 上的函 数 f ( x) 满足 f (− x) = − f ( x), f ( x − 2) = f ( x + 2), 且 x ∈ ( −1, 0) 时，
1 f ( x) = 2 x + , 则 f (log 2 20) = 5 4 4 (A) 1 (B) (C) −1 (D) − 5 5 (10)从一块短轴长为 2b 的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是 [3b 2 , 4b 2 ] ，则这一椭圆离心率 e 的取值范围是
福建省安溪第八中学 2010 届高考模拟试题 理科数学参考答案及评分标准
一、选择题(每小题 5 分，共 50 分) DDABC CCBCD 二、填空题(每小题 4 分，共 20 分) (11)5； (12) [ , 2] ；
1 2
(13)4； (14)
1 3
(15)②④
2 三、(16)解：(Ⅰ) f ( x) = sin ax − 3 sin ax cos ax
。
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(14) 如图，在矩形 ABCD 中， AB = 1, AC = 2, O 为 AC 中点，抛物线 的一部分在矩形内，点 O 为抛物线顶点，点 B, D 在抛物线上，在矩形 内随机地放一点，则此点落在阴影部分的概率为 .
(15)给出下列四个命题： ①命题 " ∀x ∈ R , x 2 ≥ 0" 的否定是 " ∃x ∈ R , x 2 ≤ 0" ； ②线性相关系数 r 的绝对值越接近于 1 ，表明两个随机变量线性相关性越强； ③若 a, b ∈ [0,1], 则不等式 a + b <
=
1 − cos 2ax 3 π 1 − sin 2ax = − sin(2ax + ) + ， 2 2 6 2
……………………………………3 分
由题意知， m 为 f ( x) 的最大值或最小值，所以 m = − (Ⅱ)由题设知，函数 f ( x) 的周期为 分
1 3 或m = 2 2
………………………6 分
∠BAD = 60� , A1 A = AB, E 为 BB1 延 长 线 上 的 一 点 ， D1E ⊥ 面
D1 AC 。
(Ⅰ)求二面角 E − AC − D1 的大小； (Ⅱ)在 D1 E 上是否存在一点 P ，使 A1 P // 面 EAC ?若存在，求 D1 P : PE 的值，不存在， 说明理由。
x + y − 3 ≥ 0, (12)若 x, y 满足 x − y + 1 ≥ 0, 设 y = kx, 则 k 的取值范围是 3 x − y − 5 ≤ 0,
(13)在 ∆ABC 中，三个内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c, 已知
。
c = 2, C =
π , ∆ABC 的面积等于 3, 则 a + b = 3
在极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 θ = 选修 4－5：不等式选讲
(a + b+ c)2 已知函数 f (x) = (x −a) + (x −b) + (x −c) + （ a , b , c 为实数）的最小值为 m ，若 3 a − b + 2c = 3 ，求 m 的最小值．
2 2 2
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2 2
1 π 成立的概率是 ； 4 4
④函数 || x − 1 | − | x + 1 ||≤ a 恒成立，则实数 a 的取值范围是 [2, +∞) 。 其中真 命题的序号是 。(填上所有真命题的序号) 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。 (16)(本小题满分 13 分) 若函数 f ( x) = sin ax − 3 sin ax cos ax( a > 0) 的图象与直线 y = m 相切， 相邻切点之间 的距离为