高等数学--函数的概念
高等数学(微积分学)专业术语名词、概念、定理等英汉对照
高等数学(微积分学)专业术语名词、概念、定理等英汉对照高等数学(微积分学)是研究变化和运动的数学学科。
它研究的对象包括函数、极限、导数、积分等。
作为一门复杂而抽象的学科，它涉及了大量的专业术语、名词、概念和定理。
本文将对其中的一些重要术语进行英汉对照解释。
微积分学主要研究函数和它们的变化规律。
其中的一些重要概念包括：1. 函数(Function)：函数是一种映射关系，它将一个或多个输入值映射到一个输出值。
函数通常用符号 f(x) 或 y=f(x) 表示，其中 x 是自变量，y 是因变量。
2. 极限(Limit)：极限是一个函数在某一点或无穷远处的稳定趋势。
它描述了函数在逼近某一数值时的行为。
极限通常用符号 lim 表示。
3. 导数(Derivative)：导数描述了函数在某一点的变化率。
它可以用来计算函数在不同点的斜率，以及函数的最大值和最小值。
导数通常用符号 f'(x) 或 dy/dx 表示。
4. 积分(Integral)：积分是导数的逆过程。
它可以用来计算函数在一定范围内的累积量，如曲线下的面积。
积分通常用符号∫ 表示。
微积分学中的一些重要定理包括：1. 中值定理(Mean Value Theorem)：中值定理描述了函数在某一区间内存在一点，其导数等于整个区间的平均斜率。
它是微积分学中最重要的定理之一。
2. 泰勒定理(Taylor's Theorem)：泰勒定理将一个函数表示为多项式的形式，并利用函数在某一点的导数来逼近函数的值。
它在数值计算和近似求解中有广泛应用。
3. 柯西—黎曼方程(Cauchy-Riemann Equation)：柯西—黎曼方程描述了复数函数的解析性条件。
它是复变函数论的基础。
4. 应用于定积分的换元法(Substitution Rule for Definite Integrals)：换元法是计算定积分的一种常用技巧。
它将一个变量替换为另一个变量，以便简化积分计算。
高等数学知识点
第1章 集合与函数小结一、函数的概念1.函数()y f x =的定义域()D f 及其求法.2.函数的两个基本要素：定义域和对应法则.3.分段函数：一个函数在其定义域的不同子集上用不同的表达式来表示，即一个函数由两个或两个以上的式子表示.4．熟练掌握绝对值函数：,0,,<0x x y x x x ≥⎧==⎨-⎩的定义、图像及性质二、函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性三、复合函数5．由函数()y f u =与()u g x =复合而成的复合函数()()y f g x =的概念.（难点：复合函数分解为若干个简单函数，与后续章节的复合函数求导、微分、积分的联系）四、基本初等函数和初等函数6．五种基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数（以sin y arc x =，cos y arc x =为主）的性质及其图形. （加强点：幂函数的根式、分式转换；指数、对数的运算性质 ）7．初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合而构成，并能用一个解析式表示的函数. 五、常用经济函数第二章 极限与连续 知识点归纳一、极限的概念 1．极限的定义（1）lim n n x A →∞=. （2）()lim x f x A →∞= 、()lim x f x A →+∞=、()lim x f x A →-∞= （3）()0lim x x f x A →= 、左极限()()000lim x x f x f x A -→-==、右极限()()000lim x xf x f x A +→+== 2．极限的基本性质（1）唯一性：若()lim f x A =（或lim n n x A →∞=），()lim f x B =（或lim n n x B →∞=）则A B =. （2）有界性：收敛数列必有界.（3）保号性：若函数极限为正（或负），则在极限变化某过程中函数也为正（或负）. （4）()lim x f x A →∞=⇔()()lim lim x x f x f x A →+∞→-∞==.（5）()0lim x xf x A →=⇔()()0lim lim x x x x f x f x A -+→→==.二、无穷小量1. 无穷小（量）：0)(lim )(=⇔x f x f2. 无穷大（量）：3. 无穷小与无穷大的关系（课本53页例3、55页例9，57页的引理2）4. 两个无穷小的比较5. 重要的等价无穷小当0x →时，sin ~x x ，tan ~x x ，211cos ~2x x -，1~x e x -，()ln 1~x x +1~2x-， (1)1~a x x α+-（α∈R ）. 三、求极限的方法 1. 利用极限的四则运算 例1：求下列极限2213252175763221121(1)lim;(2)lim();;(3)lim;123211421(4)lim(5)lim;(6)lim;116216210(7)lim;31321(8)lim;(9)lim21n n xx x xxx xn n n xn n x xx xx x x xx xx xx xx x→∞→∞→→→-→∞→∞→∞→∞-+++--+-+-+⎛⎫-⎪+-+-⎝⎭-++--++--2. 利用函数的连续性求极限(代入法).3. 两个重要极限和变量替换法并用(1)sinlim1xxx→=，()0sin()lim1()u xu xu x→=.(2) 1lim(1)nnen→∞+=，1lim(1)xxex→∞+=，1lim(1)ettt→+=.例2：求下列极限()1000023(1)lim1;(2)lim1;(3)lim12;1sin3sin3(4)lim;(5)lim;(6)lim;1tan71111(7)lim sin;(8)lim sin;(9)lim sin;(10)lim sinn xxn x xxx x xx x x xxn xx x xx x xx x x xx x x x →∞→∞→→∞→→→∞→→∞→⎛⎫⎛⎫---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎪+⎝⎭4. 利用无穷小的重要性质和等价无穷小代换(1)无穷小的重要性质：有界变量与无穷小的乘积是一个无穷小.(2)等价无穷小代换例3：求下列极限223000200tan71cos4tan sin(1)lim;(2)lim(3)lim;sin221cos1cos(4)lim(5)limln(1)1x x xxx xx x x xx x xx xxe→→→→→----+-四、函数连续性 1. 函数连续的概念(1)若()()00lim x xf x f x →=，称()f x 在点0x 处连续. (2)若()()00lim x xf x f x -→=，称函数()f x 在点0x 左连续； 若()()00lim x xf x f x +→=，称()f x 在点0x 右连续. ()f x 在点0x 连续⇔()f x 在点0x 左连续且右连续.(3)若()f x 在(),a b 内每一点都连续，称函数()f x 在(),a b 内连续. (4)若()f x 在(),a b 内连续，在x a =右连续，在x b =左连续，称()f x 在[],a b 上连续.2. 初等函数的连续性重要结论： 基本初等函数在其定义域内都是连续的。
高等数学上册知识点
高等数学上册知识点
一、函数及其图像：
1、函数的概念及性质：函数是将某种变量与它的值联系在一起的关系，它是一种统一表示结果和变量之间关系的方法，它具有映射和连续性
等特点。
2、函数的图像：函数的图像是把函数的定义域上的变量映射到它的
值域上的一条线或者曲线，可以使用数值的方式把函数的定义域上的点映
射到它的值域上的点，并且可以用图形的方式表示出来。
二、勾股定理及其相关知识：
1、勾股定理：勾股定理是指在一个直角三角形的两个直角顶点距离
的平方相等于其他两点距离的平方和，即a2+b2=c2。
2、直角三角形的等腰性：等腰三角形是指两个直角顶点距离相等，
此时正三角形就是等腰三角形，等腰三角形也是勾股定理成立的条件之一。
3、相似三角形：两个三角形在同一个基准点，角相等时，他们的对
应边都按照一定比例缩放，则他们是相似三角形，这也是勾股定理成立的
必要条件之一。
三、指数函数及其应用：
1、指数函数的概念及性质：指数函数是指使用次方表示的函数，它
具有可导和可微性质，可以用来描述一系列具有指数变化趋势的问题。
2、指数函数的应用：指数函数可以用来描述经济学中的投资回报率、人口增长率和物价水平等问题，也可以用来描。
大学高数第一章函数和极限
x1
x1
x1
x1
3lim x2 2 lim x 1
x1
x1
312 2 11 2
可见，上例求极限，可以直接用定理 1.1 中的(1).
只须将 x x0 之 x0 代入函数中的 x 处运算即可。
例 求 limx(x 2) x2 x2 1
解：lx im 2 x(xx2 12)
limx(x2) xl i2m (x2 1)
必经过点(0,1)
f(x)log2 x
f (x)log0.5 x
正弦、余弦函数基本性质
解析式: ysinx/cosx
基本特征:定义域为实数集R，值域为[-1,1]，最小正
周期T为 2
正切、余切函数基本性质
解析式: ytanx/cotx
基本性质:正切函数定义域为 {x|x2k,,余kZ}
医用高等数学
第1章 函数和极限
1.1 函数 1.1.1函数的概念
定义 1.1 设 X ,Y 是非空数集，对于集合 X 中的任意一个数 x ， 在集合 Y 中均有确定值 y 与其对应，则称 y 是 x 的函数，记为：
y f (x) ，其中 x 称为自变量， y 称为因变量，
其中，集合 X 称为定义域，集合 Y 称为值域。
无界的。
如:函数 y sin x ，在 ,内有界,且：| y | 1
1.1.3复合函数
定义 1.2 如变量 y 是变量 u 的函数，变量 u 又是 变量 x 的函数，即： y f (u)， u (x) ， 且 u (x) 的值域与 y f (u) 的定义域有公共部分， 则称 y 是 x 的复合函数，记作： y f [(x)]
例 讨论函数 f (x) | x | 当 x 0 时的极限. x
高等数学：函数的基本概念
函数的基本概念在现实世界中，一切事物都在一定的空间中运动着。
17世纪初，数学首先从对运动（如天文、航海问题等）的研究中引出了函数这个基本概念。
在那以后的二百多年里，这个概念在几乎所有的科学研究工作中占据了中心位置。
本节将介绍函数的概念、函数关系的构建与函数的特性。
1.1.1邻域定义1.1.1 设a 与δ是两个实数,且0>δ,数集}|{δδ+<<-a x a x 称为点a 的δ邻域,记为}|{),(δδδ+<<-=a x a x a U其中点a 叫做该邻域的中心,δ叫做该邻域的半径。
(见图111-- )图111--由于δδ+<<-a x a 相当于δ<-||a x ，因此}|||{),(δδ<-=a x x a U若把邻域),(δa U 的中心去掉，所得到的邻域称为点a 的去心δ邻域，记为),ˆ(δaU ，即}||0|{),ˆ(δδ<-<=a x x aU 更一般地，以a 为中心的任何开区间均是点a 的邻域。
当不需要特别辨明邻域的半径时，可简记为)(a U 。
为了使用方便，有时把开区间),(a a δ-称为点a 的左δ邻域，把开区间),(δ+a a 称为点a 的右δ邻域。
1.1.2 函数的概念1. 函数的定义定义1.1.2 设D 为一个非空实数集合，若存在确定的对应法则f ，使得对于数集D 中的任意一个数x , 按照f 都有唯一确定的实数y 与之对应，则称f 是定义在集合D 上的函数，记作)(x f y =，D x ∈其中，x 称为自变量，y 称为因变量，数集D 称为该函数的定义域，也记为f D ，即D D f =如果对于自变量x 的某个确定的值0x ，因变量y 能够得到一个确定的值，那么就称函数f 在0x 处有定义，其因变量的值或函数f 的函数值记为)( )(,000x f x f y x x x x 或== 当自变量遍取D 的所有数值时，对应的函数值的全体构成的集合称为函数f 的值域，记为f R 或)(D f ，即}),(|{)(D x x f y y D f R f ∈===注：函数的定义域和对应法则称为函数的两个要素。
大一上高数知识点总结公式
大一上高数知识点总结公式本文旨在对大一上学期学习的高等数学知识点进行总结，并列出相关公式。
以下是各个知识点的概述及相关公式：1. 函数与极限函数概念：函数是一种关系，它将一个集合的元素对应到另一个集合的元素。
函数的表示：y = f(x), 其中 f(x) 表示函数的表达式，x 表示自变量，y 表示因变量。
极限概念：函数在某点无限逼近某值的过程。
极限的表示：lim(x→a) f(x) = L, 表示当 x 无限逼近 a 时，f(x)无限逼近 L。
2. 导数与微分导数概念：函数在某点的变化率，表示函数曲线在该点附近的切线斜率。
导数的表示：f'(x) 或 dy/dx，表示函数 f(x) 关于自变量 x 的导数。
微分概念：函数在某点附近的值变化量与自变量变化量的乘积。
微分的表示：df = f'(x)dx，其中 df 表示微分，dx 表示自变量的变化量。
3. 积分学不定积分概念：函数的反导数，表示函数的原函数。
不定积分的表示：∫f(x)dx，其中∫ 表示积分，f(x) 表示被积函数，dx 表示自变量。
定积分概念：表示函数在某区间上的面积或弧长。
定积分的表示：∫[a,b]f(x)dx，其中 [a,b] 表示积分区间，f(x) 表示被积函数，dx 表示自变量。
4. 一元函数的应用极值与最值：函数在某个区间内取得的最大值或最小值。
求解极值的方法：通过函数的导数和二阶导数来判断函数的极值点。
应用题目：涉及到求最值和极值问题，如优化问题、最大最小值问题等。
5. 多元函数与偏导数多元函数概念：函数有多个自变量的情况下，称之为多元函数。
偏导数概念：多元函数在某个自变量上的变化率。
偏导数的表示：∂f/∂x，其中∂f/∂x 表示函数 f(x,y,...) 关于 x 的偏导数。
6. 重要公式总结（1）导数的基本公式：- 常数函数导数为零：d/dx(c) = 0- 幂函数导数：d/dx(x^n) = nx^(n-1)- 指数函数导数：d/dx(e^x) = e^x- 对数函数导数：d/dx(ln(x)) = 1/x- 三角函数导数：- d/dx(sin(x)) = cos(x)- d/dx(cos(x)) = -sin(x)- d/dx(tan(x)) = sec^2(x)（2）常用积分公式：- 幂函数积分：∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C- 指数函数积分：∫e^x dx = e^x + C- 对数函数积分：∫1/x dx = ln|x| + C- 三角函数积分：- ∫sin(x) dx = -cos(x) + C- ∫cos(x) dx = sin(x) + C- ∫tan(x) dx = -ln|cos(x)| + C通过对大一上高等数学知识点的总结，我们可以更好地掌握和应用这些知识。
高等数学-01第一章 第1节 函数
七、复合函数 初等函数
1.复合函数 设 y u, u 1 x2,
y 1 x2
定义: 设函数 y f (u) 的定义域D f , 而函数 u ( x)的值域为Z , 若D f Z , 则称 函数 y f [( x)]为x 的复合函数.
y
sgn
x
0
当x 0
1 当x 0
定义域 D (, ), 值域 W {1,0,1}
图形：
y
1
o
x
-1
x sgn x x 15
(2) 取整函数： y=[x] [x]表示不超过 x 的最大整数
如 [3] 0, [ 3] 1, [8] 8, [3.8] 4.
5
定义域 D (, ), 值域 W Z
（3）数学在现代科学技术各个领域应用越来越 广泛和重要。
早在100多年前马克思就指出：“一门科学只有成 功地应用了数学时，才算真正达到了完善的地步．”
1
二、《高等数学》研究的对象：
主要研究变量与变量之间的关系。
具体内容：
（1）一元函数微积分； （2）多元函数微积分；
（3） 无穷级数；
（4） 向量代数与空间解析几何;
三、映射
1、映射的定义
定义1、 设X、Y是两个非空集合，如果存在一个
法则f，使得对X中每个元素 x，按照法则 f ,
在Y中有唯一确定的元素 y与之对应，则称 f为
从X到Y的映射,记作 f : X Y,
其中 y称为元素x（在映射f下）的像，并记作 f (x),即
y f (x),
x称为元素 y（在映射 f下）的一个原像； 集合X称为映射 f的定义域，记作 Df ,即Df X ;
a
38
4.三角函数
高等数学 第一节 函数的概念
3
2.5
y∈[0，π]
2
arccos( x) arccos x
x [1,1].
1.5
π
1
0.5
-4
-3
-2
-1
-1
1
2
3
1
-0.5
-1
(4)单调性: 是减函数。
yx
o
4
x
y=cosx,x∈[0，π]
y∈[-1，1]
反正切函数y arctan x，定义域为R，值域为(
注意：
复合函数都必须要有内层和外层函数。
2、简单函数：
简单函数即基本初等函数或基本初等函数的四则运算构成的函数。
注意：
复合函数都可以分解为简单函数。
例题1：指出下列函数是由哪些简单函数复合而成的
1、y = cosx
2、y = e
2
3、y = 2 + e
x
sin
1
x
x 2 -1
4、y = arctan 2
2
3
x
-1
-1.5
y arcsin x, x [1,1], y [ , ]
2
2 2
其图象关于坐标原点对称，
-2
arcsin( x) arcsin x
x [1,1].
(4)单调性:
是增函数。
yx
反余弦函数 y arccos x，定义域为[1,1]，值域为[0, ]
3
2.5
2
1.5
1
0.5
-1
-0.5
0.5
1
是y cos x的反函数，在定义域上 单调递减，非奇非偶， 无周期
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h(x) 1 f (x) f (x).
2
则
g(x)+h(x) = f(x).
且 g(x) 1 f (x) f (x) g(x),
2
h(x) 1 f (x) f (x) h(x).
2
2019-8-23
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27
5. 初等函数
(1) 基本初等函数
f : y f (u), u Df ,
①
且 g(Dg ) D f . ②
则
称为由①, ②确定的复合函数 , u 称为中间变量.
注意: 构成复合函数的条件 g(Dg ) D f 不可少.
例如, 函数 : y arcsinu ,
可定义复合
函数
但函数
2019-8-23
y arcsin u , u 2 x2 不能构成复合函数 .
yx y f (x)
例如 ,
指数函数 y ex , x (, )
对数函数
o
x
互为反函数 ,
它们都单调递增, 其图形关于直线
对称 .
2019-8-23
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22
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(2) 复合函数 两个函数的所谓复合，实际上就是中间变量介入自变
量到因变量的变化过程.设有如下两个函数
他对青年学生的成长非常关心, 他提出治学之道是 “ 宽, 专, 漫 ”,即基础要宽, 专业要专, 要使自己的专业 知识漫到其它领域. 1984年来中国矿业大学视察时给
给师生题词: “ 学而优则用, 学而优则创 ”.
2019-8-23
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6
三、高等数学 的性质与作用
高等数学是数学的一个分支，是数学的基础理论课之 一，它是理工科大学生必修的数学基础理论课程，也是学 习后续数学的必修课，还是学习其他专业的必修课。
2019-8-23
由薄到厚 , 由厚到薄 .
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4
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笛卡儿 (1596～1650)
法国哲学家, 数学家, 物理学家, 他
是解析几何奠基人之一 . 1637年他发
表的《几何学》论文分析了几何学与
代数学的优缺点, 进而提出了 “ 另外
一种包含这两门科学的优点而避免其缺点的方法”,
y
若
则称 f (x) 为奇函数.
说明: 若 f (x) 在 x = 0 有定义 , 则当 x o x x
f (x) 为奇函数时, 必有 f (0) 0.
例如,
y f (x) ex ex 偶函数 2
记 ch x 双曲余弦
2019-8-23
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ex
y e
x
y ch x
o
f(x)=g(x)+h(x)，
且
g(-x)=g(x), h(-x)=-h(x).
于是有
f(－x)=g(－x)+h(－x)
=g(x)－h(x).
2019-8-23
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26
利用（１）﹑（２）式，就可作出 g(x)、h(x). 这就启发我
们作如下证明：
作 g(x) 1 f (x) f (x),
自然数集
(2) 描述法：
x 所具有的特征
例: 整数集合
和
有理数集
p 与 q 互质
实数集合 开区间
x 为有理数或无理数
2019-8-23
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9
闭区间
半开区间
a,b
[a,b)
(a,b]
无限区间
[a,+)
2019-8-23
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10
点的 邻域
(-,b]
o
b
去心 邻域 其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 .
学环节提高学生综合运用基本概念、基本理论、基本方法
分析问题和解决问题的能力，并逐步培养学生科学求实、
严谨准确的作风。通过本课程教学，与其它数学基础课共
同达2019到-8-2全3 面提高学生数学素谢质谢观的赏 目的。
7
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一、集合
1. 定义及表示法 定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合.
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23
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两个以上函数也可构成复合函数. 例如,
y u, u0
u cot v , v k (k 0, 1, 2,)
v x , x (, ) 2
可定义复合函数:
nZ
k x k 时 , cot x 0
商f :
g
f g
(x)
f (x) , x D.
2019-8-23
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例：设函数f(x)的定义域为(-l,l)，证明必存在的偶函数
g(x)及奇函数h(x),使得
f(x)=g(x)+h(x).
证 先分析如下：假如这样的g(x)、h(x)存在，使得
( 自学, P17 – P21 )
2019-8-23
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非初等函数举例: 符号函数
取整函数 当 y
当x>0
当x=0 当x<0
y
1
o
x
1
2019-8-23
2 1o 1 2 3 4 x
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29
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例5. 求
x2 , 1 x 0
第一讲：函数
引言
一、什么是高等数学 ?
初等数学 — 研究对象为常量, 以静止观点研究问题. 高等数学 — 研究对象为变量, 运动和辩证法进入了数学.
数学中的转折点是笛卡儿的变数. 有了变数 , 运动进入了数学, 有了变数，辩证法进入了数学 ,
恩格斯
2019/11/26
有了变数 , 微分和积分也就立刻成
2
2
2
2019-8-23
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24
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4.函数的运算：加法，乘法，商。
设函数f(x),g(x)的定义域依次为D1,D2,D=D1∩D2≠ . 则我们可以定义这两个函数的下列运算:
和(差)f±g: （f±g)(x)=f(x) ±g(x), x∈D;
积f.g：
（f.g)(x)=f(x).g(x), x∈D;
习惯上, y f (x), x D 的反函数记成 y f 1(x) , x f (D)
性质:
1) y＝f (x) 单调递增 (减) 其反函数
且也单调递增 (减) .
2019-8-23
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21
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2) 函数
与其反函数
的图形关于直线
对称 .
y Q(b, a)
高等数学的概念、理论和方法对于学生毕业后从事科
学研究、工程技术与管理工作都是不可缺少的内容。同时
也是参加具有选拔功能的水平考试的必备基础。
通过本课程的教学，使学生掌握较完整的高等数学基
本知识的同时，注意培养学生的抽象思维能力、逻辑推理
与判断能力、空间想象能力、综合运用能力和数学语言及
符号的表达能力。结合习题课、课后作业、考试等相关教
18
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(4) 周期性
x D, l 0, 且 x l D, 若
则称 f (x)为周期函数 , 称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ). y
2 o 2 x
周期为
周期为
注: 周期函数不一定存在最小正周期 .
例如, 常量函数 f (x) C
y ln x , 0 x 1 的反函数及其定义域.
2ex1, 1 x 2
y
解: 当 1 x 0 时, y x2(0,1] ,
2e
则 x y , y (0,1]
当0 x 1 时, y ln x ( , 0] ,
则 x ey , y(, 0]
当 1 x 2 时, y 2ex1( 2, 2e] ,
2019-8-23
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11
二、函数
1. 函数的概念
定义2. 设有两个变量x和y，如果对于x所考虑范围内 的每一个值，y按一定的规则对应着一个确定的值，则称y 是x的函数，记作y=f(x).
定义3. 对于自变量x变化范围内的每一个值x0，函数y 有一个确定的值y 0与之对应，我们称函数在点x0处是有定 义的，使函数有定义的全体的点的全体（也就是x的变化 范围）称为函数的定义域。
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狄里克雷函数
0,
2019-8-23
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x 为有理数
x 为无理数
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第三讲 函数的概念
主讲教师：陈殿友 2019-8-23
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总课时：12204
3. 反函数与复合函数
(1) 反函数的概念及性质
设函数y=f(x),当变量x在一个区域Df内变化时，变量y在 区域Rf内变化，如果对于变量y在区域Rf内任取一个值y0， 变量x在区域Df内有x0，使y0=f(x0),则x变量是y变量的函数, 用x=( y) 表示，函数 x=( y) 称为函数y=f(x)的反函数.
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(2) 单调性
x1 , x2 I ,当 x1 x2 时,
若 f (x1) f (x2 ), 称 f (x)为 I 上的 y
单调增函数 ;
若 f (x1) f (x2 ), 称 f (x) 为 I 上的