(整理)高等数学基本公式概念和方法
2020年考研数学(高数、线代、概率论)最全公式手册
且 lim (x) lim (x) A, 则 lim f (x) A
xx0
x x0
x x0
2 单调有界定理：单调有界的数列必有极限 3 两个重要极限：
极限存在 的两个准 则：单调 有界准则 和夹逼准 则，两个 重要极 限：
sin x (1) lim 1
x0 x
1
(2) lim(1 x) x e x0
d(ln x) 1 dx x
d(sin x) cos xdx d(cos x) sin xdx
(7) y tan x
y
1 cos2
x
sec2
x
d(tan x) sec2 xdx
(8) y cot x
(9) y sec x (10) y csc x
y
1 sin2
x
csc2
x
d(cot x) csc2 xdx
y sec x tan x
d(sec x) sec x tan xdx
y csc x cot x
d(csc x) csc x cot xdx
(11) y arcsin x (12) y arccos x
y 1 1 x2
重要公式： lim a0 xn a1xn1 an1x an x b0 xm b1xm1 bm1x bm
0ab,00n,
n
m m
, n m
4 几个常用极限特例
lim n n 1,
n
lim arctan x
连续，反之则不成立.即函数连续不一定可导.
Th3: f (x0 ) 存在 f(x0 ) f(x0 )
高等数学概念定理推论公式
高等数学概念、定理、推论、公式※ 函数及图形·和的绝对值不大于各项绝对值的和； ·差的绝对值不小于各项绝对值的差； ·乘积的绝对值等于各项绝对值的乘积；·商的绝对值等于被除数及除数的绝对值的商。
·假设自变量x 在定义域X 内每获得一确定值时，函数只有一个确定值与之对应，这种函数叫单值函数；否那么就是多值函数。
·假设函数y=f(x)当x 改变符号时函数值也只改变符号，即F(-x)=-f(x)，此函数叫奇函数，奇函数对称于原点；假设x 改变符号，函数值不变，即f(-x)=f(x)，即为偶函数，偶函数对称于y 轴。
·反函数的图形与直接函数(原函数)的图形对称于直线y=x※ 数列的极限及函数的极限·假如数列收敛，必然是有界的； ·有界的数列不必然都是收敛的； ·无界数列必然是发散的。
·假如0lim ()x x f x A →=，而且A >0(或A <0)，那么就存在着点x 0的某一邻域，当x 在该领域内，但x ≠x 0时，f(x)>0(或f(x )<0)。
·假如f(x)≥0(或f(x)≥0)，而且0lim ()x x f x A →=，那么A ≥0(或A ≤0)。
·函数f(x)当x →x0时极限存在的充分必要前提是左右极限都存在且相等。
·假如函数()f x 为无穷大，那么1()f x 为无穷小；反之亦然(()f x ≠0)。
·具有极限的函数可表示为等于其极限的一个常数及无穷小的和；反之，假如函数可表示为常数及无穷小，那么该常数就是函数的极限。
·有限个无穷小的和(代数和)也是窥小。
·有界函数与无穷小的乘积是无穷小，(常数乘以无穷小为无穷小，有限个无穷小的积是无穷小)。
·以极限不为零的函数除无穷小所得的商是无穷小。
高数基础知识总结
( ) sin x
=
x−
x3 3!
+
x5 5!
+Λ
+ (−1)n
x 2n+1
(2n +1)!
+
0
x 2n+1
( ) cos x = 1−
x2 2!
+
x4 4!
−Λ
+ (−1)n
x 2n
(2n)!
+
0
x 2n
( ) ln(1 + x) = x − x2 + x3 − Λ + (− )1 n+1 xn + 0 xn
连续，则 f (x) 必在 [a,b]上有界。
定理 2．（最大值和最小值定理）如果函数 f (x) 在闭
区间 [a,b]上连续，则在这个区间上一定存在最大值 M 和
最小值 m 。 其中最大值 M 和最小值 m 的定义如下：
定义 设 f (x0 ) = M 是区间 [a,b]上某点 x0 处的函数
(log a
lim
f (x) g(x)
=
A
（或
∞
）
7．利用导数定义求极限
基本公式： lim ∆x→0
f (x0 + ∆x) −
∆x
f (x0 ) =
f ′(x0 )
[如果
值，如果对于区间 [a,b]上的任一点 x ，总有 f (x) ≤ M ，
则称 M 为函数 f (x) 在 [a,b]上的最大值。同样可以定义最
整数），则
lim
n→∞
xn
=
A 存在，且 A ≤
M
准则 2．（夹逼定理）设 g(x) ≤ f (x) ≤ h(x)
高等数学基本常用公式
高等数学基本常用公式
一、集合方面：
1、空集的定义：空集是一个有着没有任何元素的集合，记作∅或{}。
2、幂集定义：给定集合S，则S的幂集定义为由S中所有不同元素组
成的所有可能的组合集合。
3、一元二次方程定义：一元二次方程式（Quadratic equation）是二次
多项式为0的形式，有唯一解决方法。
4、集合的不等式：A≠B 如果集合A和集合B不包含相同的元素，则
A≠B 。
二、函数方面：
1、一次函数定义：由一次多项式的第二项完成，它的关系式为 y=ax+b，其中a和b是实常数，且a≠0。
2、函数的导数法则：函数的导数是函数的变化率，可以由如下法则来
定义：d/dx(f(x))=f'(x)=limh->0 (f(x+h)-f(x))/h。
3、指数函数定义：指数函数定义为y=ax^b，其中a和b是实常数，且
b>0。
4、对数函数定义：对数函数定义为y=a*log_b(x)，其中a和b是实常
数，且b>0。
三、微积分方面：
1、基本微积分定义：微积分是将函数导数应用到几何图形的学科，以开发几何图像的最佳特性。
2、基本积分公式：基本积分公式可以表示为∫f(x)dx=F(x)+C，其中F(x)为被求积函数，C为一定的常数。
3、泰勒公式：泰勒公式是一种用来把连续函数分解成多项式形式的方法，可以用来计算某个函数在某一点处的值。
4、定积分公式：定积分可以表示为∫a^bf(x)dx=F(b)-F(a)，其中F(x)为被求积函数。
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( f o g )=f[g(x)].
1.3.4 函数的运算 设函数 f(x)，g(x)的定义域依次为 D1，D2，D=D1ÇD2¹Æ，则我们可以定义这两个函数 的下列运算：
(1)和(差) f±g：(f±g)(x)=f(x)±g(x)，xÎD； (2)积 f×g：(f×g)(x)=f(x)×g(x)，xÎD；
tan
-tanα cotα -cotα -tanα tanα cotα -cotα -tanα tanα
cot
-cotα tanα -tanα -cotα cotα tanα -tanα -cotα cotα
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映射称为映射 g 和 f 构成的复合映射.
1.3 函数 1.3.1 函数 设数集 DÌ ¡ ，则称映射 f：D® ¡ 为定义在 D 上的函数，记为 y=f(x)，xÎD， 其中 x 称为自变量，y 称为因变量，D 称为定义域，记作 Df，即 Df=D. 1.3.2 函数的几种特性 (1)函数的有界性 设函数 f（x）的定义域为 D，数集 X Ì D. 如果存在正数 M，使对任 一 xÎX，有|f(x)|£M，则称函数 f(x)在 X 上有界；如果这样的 M 不存在，则称函数 f(x)在 X 上无界.即对任何 M，总存在 x1ÎX，使|f(x)|>M. (2)函数的单调性 设函数 y=f(x)的定义域为 D，区间 IÌD.如果对于区间 I 上任意两点 x1 及 x2，当 x1<x2 时，恒有 f(x1)<f(x2)，则称函数 f(x)在区间 I 上是单调增加的. 如果对于区间 I 上任意两点 x1 及 x2，当 x1<x2 时，恒有 f(x1)>f(x2)，则称函数 f(x)在区间 I 上是单调减少的. 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数. (3)函数的奇偶性 设函数 f(x)的定义域 D 关于原点对称.如果对于任一 xÎD，有 f(-x)=f(x) 恒成立，则称 f(x)为偶函数；如果对于任一 xÎD，有 f(-x)=-f(x)恒成立，则称 f(x)为奇函数. 偶函数的图形关于 y 轴对称，奇函数的图形关于原点对称. (4)函数的周期性 设函数 f(x)的定义域为 D.如果存在一个正数 l，使得对于任一 xÎD 有 (x±l)ÎD，且 f(x+l)=f(x)，则称 f(x)为周期函数，l 称为 f(x)的周期. 1.3.3 反函数与复合函数
大一上高数知识点总结公式
大一上高数知识点总结公式本文旨在对大一上学期学习的高等数学知识点进行总结，并列出相关公式。
以下是各个知识点的概述及相关公式：1. 函数与极限函数概念：函数是一种关系，它将一个集合的元素对应到另一个集合的元素。
函数的表示：y = f(x), 其中 f(x) 表示函数的表达式，x 表示自变量，y 表示因变量。
极限概念：函数在某点无限逼近某值的过程。
极限的表示：lim(x→a) f(x) = L, 表示当 x 无限逼近 a 时，f(x)无限逼近 L。
2. 导数与微分导数概念：函数在某点的变化率，表示函数曲线在该点附近的切线斜率。
导数的表示：f'(x) 或 dy/dx，表示函数 f(x) 关于自变量 x 的导数。
微分概念：函数在某点附近的值变化量与自变量变化量的乘积。
微分的表示：df = f'(x)dx，其中 df 表示微分，dx 表示自变量的变化量。
3. 积分学不定积分概念：函数的反导数，表示函数的原函数。
不定积分的表示：∫f(x)dx，其中∫ 表示积分，f(x) 表示被积函数，dx 表示自变量。
定积分概念：表示函数在某区间上的面积或弧长。
定积分的表示：∫[a,b]f(x)dx，其中 [a,b] 表示积分区间，f(x) 表示被积函数，dx 表示自变量。
4. 一元函数的应用极值与最值：函数在某个区间内取得的最大值或最小值。
求解极值的方法：通过函数的导数和二阶导数来判断函数的极值点。
应用题目：涉及到求最值和极值问题，如优化问题、最大最小值问题等。
5. 多元函数与偏导数多元函数概念：函数有多个自变量的情况下，称之为多元函数。
偏导数概念：多元函数在某个自变量上的变化率。
偏导数的表示：∂f/∂x，其中∂f/∂x 表示函数 f(x,y,...) 关于 x 的偏导数。
6. 重要公式总结（1）导数的基本公式：- 常数函数导数为零：d/dx(c) = 0- 幂函数导数：d/dx(x^n) = nx^(n-1)- 指数函数导数：d/dx(e^x) = e^x- 对数函数导数：d/dx(ln(x)) = 1/x- 三角函数导数：- d/dx(sin(x)) = cos(x)- d/dx(cos(x)) = -sin(x)- d/dx(tan(x)) = sec^2(x)（2）常用积分公式：- 幂函数积分：∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C- 指数函数积分：∫e^x dx = e^x + C- 对数函数积分：∫1/x dx = ln|x| + C- 三角函数积分：- ∫sin(x) dx = -cos(x) + C- ∫cos(x) dx = sin(x) + C- ∫tan(x) dx = -ln|cos(x)| + C通过对大一上高等数学知识点的总结，我们可以更好地掌握和应用这些知识。
大学数学高等数学的基本概念与定理
大学数学高等数学的基本概念与定理数学作为一门基础学科，对于大学生而言，高等数学是他们学习数学的起点。
在大学的高等数学课程中，基本概念与定理是学生们必须掌握的内容。
本文将重点介绍大学数学高等数学的基本概念与定理。
第一章数列与极限数列是数学中一系列按照一定规律排列的数的集合。
数列中的每一个数称为数列的项，用一般的小写字母an表示。
在数学中，数列是研究极限的基础。
极限概念对于分析数列的性质和行为非常重要。
1.1 数列的定义与性质数列的定义：如果对于每一个整数n，都有唯一确定的一个实数an与之对应，那么称a1, a2, a3, ...为一个数列，简记为{an}。
数列的性质：1）数列的有界性：数列有界的意义是存在两个实数M和N，使得对于每一个正整数n，都有M≤an≤N。
2）数列的单调性：数列单调有两种情况，即递增和递减。
如果对于每一个正整数n，an≤an+1，则称数列递增；如果an≥an+1，则称数列递减。
3）数列的有界单调性：数列既有界又递增或递减。
1.2 数列的极限极限是数列中最重要的概念之一，它描述了数列中的项随着自变量趋于无穷大或无穷小时的行为。
数列收敛与发散的定义：1）数列的收敛性：如果存在一个实数a，对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时，|an-a|<ε都成立，那么称数列{an}收敛于a，记作lim（n→∞）an=a。
如果数列不收敛，则称数列发散。
2）数列的无穷大：对于任意给定的正数M，总存在正整数N，使得当n>N时，an>M都成立。
如果数列有这样的性质，则称数列为无穷大数列。
第二章函数与极限函数是数学中研究量与量之间对应关系的一种映射关系。
在数学中，函数的极限是研究函数性质、行为和趋势的重要概念。
2.1 函数的基本概念函数的定义与性质：1）函数的定义：设A、B为非空数集，若对于每一个x∈A，都有唯一确定的确定用y表示的实数与之对应，那么就称y是x的函数，记作y=f(x)，称f(x)为从A到B的一个函数。
高等数学教材公式
高等数学教材公式高等数学是理工科专业中必修的一门课程，它涵盖了许多重要的数学概念和公式。
本文将逐步介绍一些高等数学教材中常见的公式，帮助读者更好地理解和应用这些公式。
一、导数的基本公式1.1 基本导数公式(1) 常数函数导数公式：若y=c，其中c为常数，则dy/dx=0。
(2) 幂函数导数公式：若y=x^n，其中n为常数，则dy/dx=nx^(n-1)。
(3) 指数函数导数公式：若y=a^x，其中a为常数且a>0，a≠1，则dy/dx=a^x*ln(a)。
(4) 对数函数导数公式：若y=log_a(x)，其中a为常数且a>0，a≠1，则dy/dx=1/(x*ln(a))。
1.2 基本求导法则(1) 和差法则：若f(x)=u(x)±v(x)，则f'(x)=u'(x)±v'(x)。
(2) 函数乘积法则：若f(x)=u(x)*v(x)，则f'(x)=u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)。
(3) 函数商法则：若f(x)=u(x)/v(x)，则f'(x)=(u'(x)*v(x)-u(x)*v'(x))/(v(x))^2。
(4) 复合函数求导法则：设y=f(u)，其中u=g(x)，则dy/dx=f'(u)*g'(x)。
二、积分的基本公式2.1 基本积分公式(1) 幂函数积分公式：∫x^n dx=(x^(n+1))/(n+1)+C，其中n≠-1。
(2) 正弦函数积分公式：∫sin(x) dx=-cos(x)+C。
(3) 余弦函数积分公式：∫cos(x) dx=sin(x)+C。
(4) 指数函数积分公式：∫a^x dx=(a^x)/(ln(a))+C，其中a>0，a≠1。
(5) 对数函数积分公式：∫1/x dx=ln|x|+C。
2.2 基本积分法则(1) 基本求导法则的逆定理：若F'(x)=f(x)，则∫f(x) dx=F(x)+C。
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高等数学基本公式、概念和方法一．函数1．函数定义域由以下几点确定（１）0)(;)(1≠=x f x f y （２）0)(;)(2≥=x f x f y n （其中n 为正整数） （３）0)(:)(log >=x f x f y a 。
（４）1)(1);(arccos 1)(1);(arcsin ≤≤-=≤≤-=x f x f y x f x f y（５）函数代数和的定义域，取其定义域的交集．（６）对具有实际意义的函数，定义域由问题特点而定．2．判断函数的奇偶性，依据以下两点确定，否则函数为非奇非偶的．（１） 若)(),()(x f x f x f =-是偶函数，若)(),()(x f x f x f -=-是奇函数． （２） 若)(x f y =的图象关于y 轴对称，则函数是偶函数．如x y x y cos ..2==等。
若)(x f y =的图象关于坐标原点对称，则函数是奇函数．如x y x y x y sin (3)===３． 将函数分解成几个简单函数的合成．由六类基本初等函数的形式，对要分解的函数，由外层到内层，分别设出关系．函数与常数的四则运算，不必另设一层关系．二．极限与连续1．主要概念和计算方法：（１）．A x f x f A x f xx xx x x ==⇔=+-→→→)(lim )(lim )(lim 0（２）．若0)(lim 0=→x f x x （极限过程不限），则当0x x →时)(x f 为无穷小量。
（3）．若)()(lim 00x f x f x x =→，则函数在0x 处是连续的。
即（１）函数值存在、（２）极限存在、（３）极限值和函数值相等。
若上述三条至少一条不满足，则0x 是函数的间段点。
（4）．间断点的分类：设0x 是函数的间断点若左、右极限均存在，则0x 称为第一类间断点。
若左、右极限至少有一个是无穷大，则0x 称为第二类间断点。
（5）．重要公式：条件0)(lim =x ϕ（极限过程不限）结论《１》1)()(sin lim =x x ϕϕ；《２》e x x =+)(1)](1lim[ϕϕ2．求极限的方法：先判断极限类型（依据基本初等函数图象和函数值）（１） 定式：直接得结论（即常数Ｃ、不存在：无穷大、震荡、左极限不等于右极限）。
（２）不定式：（Ａ）00型：消去零因子或用公式《１》。
（Ｂ）∞∞型：约去∞因子，使之变成定式。
（Ｃ）∞1型：用公式《２》。
（Ｄ）∞⋅0型：取简单的翻到分母上，转化成《Ａ》或《Ｂ》。
（Ｅ）∞-∞型：通分或有理化，使之转化成其它类型。
注：《Ａ》和《Ｂ》型也可以用第四章中“罗必达”法则求。
但要满足条件。
三．导数（一）基本概念1．导数值：000)()(lim)(0x x x f x f x f x x --='→，也可以记作0);(0x x dxdyx y ='。
2．导数的几何意义：)(0x f '就是曲线)(x f y =在点),(00y x 处切线的斜率k ，其切线的方程是：))((000x x x f y y -'=-，法线方程：)()(1000x x x f y y -'-=-。
３． 函数在一点处可导、连续、有极限、有定义的关系（见关系图）。
（二）．导数基本公式： 1．0)(='c 2。
1)(-='αααxx 3。
a a a x x ln )(=' 4。
xx e e =')( 5。
xx 1)(ln =' 6．x x cos )(sin =' 7。
x x sin )(cos -=' 8。
x x 2sec )(tan =' 9。
x x 2csc )(cot -=' 10．211)(arcsin x x -=' 11。
211)(arccos x x --=' 12。
211)(arctan xx +=' 13．211)cot (x x arc +-='（三）微分法（设u 和v 都是x 的函数）1．用定义求导数或导函数。
2．v u v u '±'='±)(3．v u v u uv '+'=')(；u c cu '=')( 4．2)(v v u v u v u '-'=' 5．设复合函数)(),(x u u f y ϕ==，则x u u f y '='6．设)(x f y =由隐函数0).(=y x F 确定，则yXF F y ''-='，也可以直接对方程求导数。
7．对于单项式可以用取对数法求导数。
对于幂指函数必须用取对数法求导数。
8．设参数方程⎩⎨⎧==)()(t y y t x x ，则)()(t x t y y t t ''='9．微分：dx y dy '= 10．反函数的导数：yx x y '='1 附：函数在一点处几个概念之间的关系图四．中值定理与导数应用 1．拉格朗日中值定理：条件：函数)(x f 在[a,b]上连续，在（a,b ）内可导 结论：至少存在一点ab a f b f f b a --='∈)()()(),(ξξ使。
４． 洛必塔法则适用于∞∞和00型极限，注意四种失效题型： 3．单调性：若)(x f y =在（a,b ）内)(0)(x f x f ⇒>'在（a,b ）内单调递增。
若)(x f y =在（a,b ）内0)(<'x f )(x f ⇒在（a,b ）内单调递减。
a) 极值存在的必要条件：若0)()(00='⇒=x f x x f y 处可导且取极值在（0x 为驻点） b) 极值存在的充分条件：设函数在a 点连续，则： 在a 点左右函数的导数由正变负⇒a 点为函数的极大值点。
在a 点左右函数的导数由负变正⇒a 点为函数的极小值点。
c) 判断曲线凹凸的方法：若在(a,b)内)(x f ''>0，则曲线)(x f y =在（a,b ）内上凹。
如xe y x y ==...2等。
若在(a,b)内)(x f ''<0，则曲线)(x f y =在（a,b ）内下凹。
如x y xy ln (1)==等。
４．曲线拐点的求法：设a 为函数)(x f y =的连续点，若函数)(x f y =在a 点处二阶导数变号，则曲线上的点 （a,f(a)）为曲线的拐点。
５． 求渐近线的方法：若∞=→)(lim x f ax ，则x=a 为曲线)(x f y =的垂直渐近线。
若b x f x =∞→)(lim ，则y=b 为曲线)(x f y =的水平渐近线。
６．极值应用： i. 画图、设变量x ，并将其余变量用x 表示。
ii. 建立函数关系，并写出定义域。
iii. 求函数的一阶导数，找出驻点。
iv. 说明驻点是最值点的理由，，并回答其它问题。
五．不定积分1． 原函数：在某区间内，若在任一点处均有)()(x f x F ='，则称F （x ）是)(x f 的一个原函数。
2． 若)(x f 有原函数F （x ），则F （x ）+C 表示全体原函数，且任意两个原函数仅相差一个常数。
3． 若)(x f 有原函数F （x ），则)(x f 的不定积分可表示为⎰+=C x F dx x f )()(。
4． 不定积分的几何意义⎰+=C x F dx x f )()(表示在x 点处切线斜率均为)(x f 的一族曲线。
5． 基本积分公式（1）)1.(111-≠++=+⎰ααααC x dx x （2）C x dx x+=⎰ln 1（3）)1,0.(ln 1≠>+=⎰a a C a adx a xx （4）C e dx e x x +=⎰（5）⎰+-=C x xdx cos sin （6）⎰+=C x xdx sin cos （7）C x xdx +=⎰tan sec 2 （8）C x xdx +-=⎰cot csc 2（9）C a x dx x a +=-⎰arcsin122 （10）C a x a dx xa +=+⎰arctan 1122 （11）C x x xdx ++=⎰tan sec ln sec （12）C x x xdx +-=⎰cot csc ln csc(13)C ax a x a dx a x ++-=-⎰ln 21122 （14）C a x x dx a x +±+=±⎰2222ln 1 6. 积分性质（1）⎰⎰=dx x f k dx x kf )()( （2）⎰⎰⎰±=±dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([（3）⎰=')(])([x f dx x f （4）⎰+='C x f dx x f )()(7．计算方法（1）直接积分法：先对被积函数进行化简、变形，应用性质，再直接用公式。
（2）第一换元法：对简单的题目用凑微分法一般地可以用代换)()(x x d dx φφ'=设)(x u φ=的导数连续，则⎰⎰='du u f dx x x f )()()]([φφ。
（３） 第二换元法：主要是消去被积函数中的2222,x a a x -±等因子，见P286。
（４）分部积分法：⎰⎰⎰⎰-='-='vdu uv udv vdx u uv dx v u 或，要用算式。
选u 的顺序：反、对、幂、三、指、常。
（５） 简单的有理函数积分：拆项法、大除法和待定系数法。
六．定积分1．定积分特点：（1） 定积分是一个数，与积分变量无关。
（2） 被积函数连续是可积的充分条件。
（3） 被积函数有界是可积的必要条件。
2． 定积分的几何意义（1） 设0)(≥x f ，则⎰ba dx x f )(表示由曲线)(x f y =直线y=0;x=a;x=b 所围成的曲边梯形面积。
（2） 设0)(≤x f ，则⎰badx x f )(表示由曲线)(x f y =直线y=0;x=a;x=b 所围成的曲边梯形的负面积。
（3） 若)(x f y =的符号不定，则⎰badx x f )(表示面积的代数和。
由此得到对称区间上的奇函数积分为0，即0)(=⎰-aadx x f ，其中函数)(x f 是奇函数。
3． 主要性质（1）⎰⎰=babadx x f k dx x kf )()(。
（2）⎰⎰⎰±=±bababa dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([。