高数微积分基本公式大全
高等数学常用微积分公式
高等数学常用微积分公式一、极限1.无穷大与无穷小：当x→∞时，若极限值L=0，则称函数f(x)是无穷小。
常见无穷小有：x→0时的无穷小o(x)、无穷次可导的无穷小O(x^n)；当x→∞时，若极限值L≠0或不存在，则称函数f(x)是无穷大；2.函数极限：若函数f(x)当x→a时的极限存在稳定的常数L，则称L为f(x)当x→a时的极限，记作：lim(x→a) f(x) = L；3.等价无穷小：若 f(x) 和 g(x) 都是x→a 时的无穷小，并且lim(x→a)(f(x)/g(x))=1，则称 f(x) 和 g(x) 是x→a 时的等价无穷小。
二、导数1.导数的定义：若函数f(x)在点x处的函数值可近似表示为f(x+Δx)≈f(x)+f'(x)Δx，其中f'(x)为f(x)在点x处的导数，则称f'(x)是函数f(x)在点x处的导数。
2.常见函数的导数：(1)和差法则：(u±v)'=u'±v'；(2)乘法法则：(u*v)'=u'*v+u*v'；(3)除法法则：(u/v)'=(u'*v-u*v')/v^2，其中v≠0；(4) 链式法则：若 y=f(u)，u=g(x) ，则 y=f(g(x)) 的导数为dy/dx = f'(u)*g'(x)。
3.高阶导数：函数f(x)的导数f'(x)的导数称为f(x)的二阶导数，记为f''(x)。
可以依此类推，得到函数f(x)的n阶导数f^(n)(x)。
三、微分1.微分的定义：函数 f(x) 在点 x 处的微分记为 dx，根据导数的定义，有 df(x) = f'(x)dx。
2.微分的性质：(1)常数微分：d(c)=0，其中c为常数；(2) 取单项微分：d(x^n) = nx^(n-1)dx，其中 n 为实数，x 为变量；(3) 和差微分：d(u ± v) = du ± dv；(4) 乘法微分：d(uv) = u*dv + v*du；(5) 除法微分：d(u/v) = (v*du - u*dv)/v^2，其中v ≠ 0；(6) 复合函数微分：若 y=f(u)，u=g(x)，则 dy = f'(u)du =f'(g(x))g'(x)dx。
高等数学微积分公式
高等数学微积分公式高等数学微积分公式微积分是数学中的一个重要分支，它研究的是函数的变化规律。
在微积分的学习中，我们需要掌握许多公式，在处理函数的变化过程中起到了非常重要的作用。
下面是高等数学中常见的微积分公式。
一、导数公式1.常数函数的导数公式：\[\frac{d}{dx} C=0\]其中C为常数。
2.幂函数的导数公式：\[\frac{d}{dx} x^{n}=nx^{n-1}\]其中n为常数。
3.自然指数函数的导数公式：\[\frac{d}{dx} e^{x}=e^{x}\]4.对数函数的导数公式：\[\frac{d}{dx} ln(x)=\frac{1}{x}\]5.三角函数的导数公式：\[\frac{d}{dx} sin(x)=cos(x)\]\[\frac{d}{dx} cos(x)=-sin(x)\]6.反三角函数的导数公式：\[\frac{d}{dx} sin^{-1}(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\] \[\frac{d}{dx} cos^{-1}(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\]7.复合函数的导数公式（链式法则）：设y=f(u)和u=g(x)，则有\[\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}\]二、微分公式1.常数函数的微分公式：\[d(C)=0\]其中C为常数。
2.幂函数的微分公式：\[d(x^{n})=nx^{n-1}dx\]其中n为常数。
3.指数函数的微分公式：\[d(e^{x})=e^{x}dx\]4.三角函数的微分公式：\[d(sin(x))=cos(x)dx\]\[d(cos(x))=-sin(x)dx\]5.反三角函数的微分公式：\[d(sin^{-1}(x))=\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}\]\[d(cos^{-1}(x))=-\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}\]6.复合函数的微分公式（链式法则）：设y=f(u)和u=g(x)，则有\[dy=\frac{dy}{du}\times du\]三、泰勒公式泰勒公式是微积分中的一个重要定理，它可以将一个函数在某点的值表示为一系列关于该点的导数的和。
高数微积分公式大全
高等数学微积分公式大全一、基本导数公式⑴ c0 ⑵ x x 1⑶sin x cos x⑷ cos x sin x ⑸ tan x sec2x ⑹ cot x csc2 x⑺ secx sec x tan x ⑻ csc x csc x cot x⑼ e x e x⑽ a x a x ln a ⑾ ln x1x⑿ log a x1⒀ arcsin x1⒁ arccos x1x ln a1x2 1 x2⒂ arctanx12⒃ arccot x12⒄ x1⒅x11x 1 x2x二、导数的四则运算法例三、高阶导数的运算法例（1）u x v x nn v xn（2）cu x n cu n x u x（3）u ax b n ax b （4） u x v x n nc n k u n k x v(k ) xa n u nk 0四、基本初等函数的n 阶导数公式（1）x nnn! （） e ax b n(3)a x nax n n a2(4) (6)sin n a n sin ax b n(5)cos ax b nax b a n cos ax b n221n n a n n!n n 1 a n n 1 !1(7)ln ax bax axn 11axnb b b五、微分公式与微分运算法例⑴ d c 0 ⑵ d x x1 dx ⑶ d sin x cos xdx⑷ d cosx sin xdx ⑸ d tan x sec2 xdx ⑹ d cot x csc2 xdx ⑺ d secx secx tan xdx ⑻ d cscx cscx cot xdx⑼ d e x e x dx ⑽ d a x a x ln adx ⑾d ln x 1 dxx⑿⒂d log a x1dx⒀ d arcsin x11dx ⒁ d arccos x1dx x ln a x21x2d arctan x1dx ⒃ d arccot x1dx1x212x六、微分运算法例⑴ d u v du dv⑵ d cu cdu⑶ d uv vdu udv u vdu udv⑷ dv2v七、基本积分公式⑴kdx kx c ⑵x dx x 1 c ⑶dxln x c1x⑷a x dx a x c ⑸e x dx e x c ⑹ cosxdx sin x cln a⑺⑼sin xdx cosx c ⑻1dx sec2xdx tan x ccos2x1csc2 xdx cot x c ⑽1dx arctan x c sin 2 x1x2⑾1dx arcsin x c1x2八、增补积分公式九、以下常用凑微分公式积分型换元公式十、分部积分法公式⑴形如x n e ax dx ，令u x n， dv e ax dx 形如x n sin xdx 令u x n，dv sin xdx 形如x n cosxdx 令u x n，dv cosxdx⑵形如x narctan，令 u arctanx ，dvndx xdx x形如 x n ln xdx，令u ln x ，dv x n dx⑶形如 e ax sin xdx ，e ax cosxdx 令u e ax ,sin x,cos x 均可。
高数微积分基本公式大全
∫
⑻
1 ⑼∫ = csc2 xdx = − cot x + c sin 2 x ∫
⑾
x 1 ⑽∫ dx = arctan x + c 1 + x2
∫ cos
1
2
dx = ∫ sec 2 xdx = tan x + c
∫
1 1 − x2
dx = arcsin x + c
六、补充积分公式
∫ tan xdx = − ln cos x + c ∫ sec xdx = ln sec x + tan x + c
2.二倍角公式
cos( A − B ) = cos A cos B + sin A sin B
tan( A − B ) = tan A − tan B 1 + tan A tan B cot A ⋅ cot B + 1 cot( A − B ) = cot B − cot A
sin 2 A = 2sin A cos A tan 2 A = 2 tan A 1 − tan 2 A
2
u = cos x
xdx = ∫ f ( tan x )d ( tan x ) xdx = ∫ f ( cot x )d ( cot x )
1
2
u = tan x u = cot x
2
∫ f ( arctan x ) ⋅ 1 + x
dx = ∫ f ( arc ta n x )d ( arc ta n x )
tan
cot
4.和差化积公式
sin a + sin b = 2sin
a+b a−b ⋅ cos 2 2 a+b a −b cos a + cos b = 2 cos ⋅ cos 2 2
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∫ duv = uv = ∫ udv + ∫ vdu →∫ udv = uv - ∫ vdu cos2θ-sin2θ=cos2θ cos2θ+ sin2θ=1 cosh2θ-sinh2θ=1 cosh2θ+sinh2θ=cosh2θ
sin 3θ=3sinθ-4sin3θ cos3θ=4cos3θ-3cosθ
x
sin α + sin β = 2 sin ½(α+β) cos ½(α-β) sin α - sin β = 2 cos ½(α+β) sin ½(α-β) cos α + cos β = 2 cos ½(α+β) cos ½(α-β) cos α - cos β = -2 sin ½(α+β) sin ½(α-β) tan (α±β)= tan α ± tan β ∓ cot α cot β , cot (α±β)= ∓ tan α tan β cot α ± cot β
2
∞
0
∫
∞
0
1 (ln ) x-1 dt t
(1+x)r =1+rx+
π 1 r ( r − 1) 2 r ( r − 1)( r − 2) 3 x+ x +… -1<x<1 β(m, n) = ∫ x m-1(1-x)n-1 dx=2 ∫ 2 sin 2m-1x cos2n-1x dx 0 0 2! 3!
1 + x2 x 1 )=ln( + ) |x| >0 x2 a x duv = udv + vdu csch-1 (
∫ tanh x dx = ln | cosh x |+ C coth x = -csch x ∫ coth x dx = ln | sinh x | + C sech x = -sech x tanh x ∫ sech x dx = -2tan-1 (e-x) + C csch x = -csch x coth x 1 + e− x ∫ csch x dx = 2 ln | |+C 1 − e −2 x x 1 Dx sinh-1( )= ∫ sinh-1 x dx = x sinh-1 x- 1 + x 2 + C 2 2 a a +x x 1 cosh-1( )= ∫ cosh-1 x dx = x cosh-1 x- x 2 − 1 + C 2 2 a x −a x ±a tanh-1( )= 2 a a − x2
高等数学中所涉及到的微积分公式汇总
高等数学中所涉及到的微积分公式汇总微积分是高等数学中的一门重要学科，涉及到很多重要的公式和定理。
下面是一些微积分中常用的公式的汇总：1.导数公式：- 函数f(x)在点x处的导数：f'(x) = lim (f(x+h)-f(x))/h,其中h -> 0- 常见函数的导数公式：常数函数导数为0，幂函数导数为nx^(n-1)，三角函数的导数等-乘法法则：(f*g)'(x)=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)-商法则：(f/g)'(x)=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/(g(x))^22.积分公式：- 不定积分和定积分的基本定理：若F'(x) = f(x)，则∫f(x) dx = F(x) + C- 基本不定积分：∫x^n dx = (1/n+1)*x^(n+1) + C （其中n不等于-1）- 定积分的性质：∫(a to b) f(x) dx = -∫(b to a) f(x) dx，∫(a to b) [f(x) ± g(x)] dx = ∫(a to b) f(x) dx ± ∫(a to b)g(x) dx3.微分学的基本定理：- 导数的基本定理：如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么∫(a to b) f(x) dx = F(b) - F(a)- 牛顿-莱布尼茨公式：若F(x)是f(x)的一个原函数，那么∫(a tob) f(x) dx = F(x)，_(a to b) = F(b) - F(a)4.极限定理：- 极限的四则运算定理：设lim (x -> a) f(x) = L，lim (x -> a) g(x) = M，则lim (x -> a) [f(x)±g(x)] = L±M，lim (x -> a)[f(x)*g(x)] = L*M，lim (x -> a) [f(x)/g(x)] = L/M （其中M不等于0）- L'Hospital法则：设lim (x -> a) f(x) = 0，lim (x -> a) g(x) = 0，并且lim (x -> a) f'(x)/g'(x) 存在，则lim (x -> a) f(x)/g(x) = lim (x -> a) f'(x)/g'(x)- 夹逼定理：如果数列{a_n}、{b_n}、{c_n}满足a_n <= b_n <=c_n，并且lim (n -> ∞) a_n = lim (n -> ∞) c_n = L，则lim (n -> ∞) b_n = L5.泰勒级数：-函数f(x)的泰勒级数展开：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)*(x-a)^2/2!+...+f^n(a)*(x-a)^n/n!+...，其中f^n(a)表示函数f(x)在点a处的n阶导数以上仅是微积分中涉及到的一些公式，实际上微积分的公式和定理非常丰富，还有更多的公式可以在相关的教材和文献中找到。
高数微积分公式大全dy
高等数学微积分公式大全一、基本导数公式⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=-⑺()sec sec tan x x x '=⋅ ⑻()csc csc cot x x x '=-⋅ ⑼()xxe e '= ⑽()ln xxa aa '= ⑾()1ln x x'=⑿()1log ln xax a'= ⒀()arcsin x '= ⒁()arccos x '=⒂()21arctan 1x x '=+ ⒃()21arc cot 1x x '=-+⒄()1x '=⒅'=二、导数的四则运算法则()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭三、高阶导数的运算法则 （1）()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦ （2）()()()()n n cu x cu x =⎡⎤⎣⎦（3）()()()()n n nu ax b a uax b +=+⎡⎤⎣⎦（4）()()()()()()()0nn n k k k n k u x v x c u x v x -=⋅=⎡⎤⎣⎦∑四、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）()()!n nxn = （2）()()n ax b n ax b e a e ++=⋅ (3)()()ln n x x n a a a =(4)()()sin sin 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (5) ()()cos cos 2n nax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (6)()()()11!1n n nn a n ax b ax b +⋅⎛⎫=- ⎪+⎝⎭+ (7) ()()()()()11!ln 1n n n na n axb ax b -⋅-+=-⎡⎤⎣⎦+五、微分公式与微分运算法则⑴()0d c = ⑵()1d x x dx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx =⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =-⑺()sec sec tan d x x xdx =⋅ ⑻()csc csc cot d x x xdx =-⋅⑼()x x d e e dx = ⑽()ln x xd a a adx = ⑾()1ln d x dx x=⑿()1logln xad dx x a =⒀()arcsin d x = ⒁()arccos d x =⒂()21arctan 1d x dx x =+ ⒃()21arc cot 1d x dx x=-+ 六、微分运算法则⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu = ⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udvd v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭七、基本积分公式⑴kdx kx c =+⎰ ⑵11x x dx c μμμ+=++⎰ ⑶ln dx x c x =+⎰⑷ln xxa a dx c a=+⎰ ⑸x x e dx e c =+⎰ ⑹cos sin xdx x c =+⎰ ⑺sin cos xdx x c =-+⎰ ⑻221sec tan cos dx xdx x c x ==+⎰⎰⑼221csc cot sin xdx x c x ==-+⎰⎰⑽21arctan 1dx x c x =++⎰ ⑾arcsin x c =+八、补充积分公式tan ln cos xdx x c =-+⎰ cot ln sin xdx x c =+⎰ sec ln sec tan xdx x x c =++⎰ csc ln csc cot xdx x x c =-+⎰2211arctan x dx c a x a a=++⎰ 2211ln 2x adx c x a a x a-=+-+⎰arcsin xc a =+ln x c =+十、分部积分法公式⑴形如n ax x e dx ⎰，令nu x =，ax dv e dx =形如sin n x xdx ⎰令nu x =，sin dv xdx =形如cos n x xdx ⎰令nu x =，cos dv xdx =⑵形如arctan n x xdx ⎰，令arctan u x =，ndv x dx =形如ln n x xdx ⎰，令ln u x =，ndv x dx =⑶形如sin ax e xdx ⎰，cos ax e xdx ⎰令,sin ,cos axu e x x =均可。
高数微积分公式大全
高等数学微积分公式大全一、基本导数公式⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=⋅ ⑻()csc csc cot x x x '=-⋅⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1ln x x'=⑿()1log ln xa x a'= ⒀()arcsin x '= ⒁()arccos x '=⒂()21arctan 1x x '=+ ⒃()21arccot 1x x '=-+⒄()1x '=⒅1'= 二、导数的四则运算法则()u v u v '''±=± ()u v u v u v '''=+ 2u u v u v v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭三、高阶导数的运算法则（1）()()()()()()()nn n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦ （2）()()()()nn cu x cu x =⎡⎤⎣⎦（3）()()()()n n nu ax b a uax b +=+⎡⎤⎣⎦（4）()()()()()()()0nn n k k k n k u x v x c u x v x -=⋅=⎡⎤⎣⎦∑四、基本初等函数的n 阶导数公式（1）()()!n nx n = （2）()()n ax b n ax b e a e ++=⋅ (3)()()ln n x x n a a a =(4)()()sin sin 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (5) ()()cos cos 2n nax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (6)()()()11!1n n nn a n ax b ax b +⋅⎛⎫=- ⎪+⎝⎭+ (7) ()()()()()11!ln 1n n n na n axb ax b -⋅-+=-⎡⎤⎣⎦+五、微分公式与微分运算法则⑴()0d c = ⑵()1d x x dx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx =⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =-⑺()sec sec tan d x x xdx =⋅ ⑻()csc csc cot d x x xdx =-⋅⑼()x x d e e dx = ⑽()ln x xd a a adx = ⑾()1ln d x dx x=⑿()1logln x a d dx x a =⒀()arcsin d x =⒁()arccos d x = ⒂()21arctan 1d x dx x =+ ⒃()21arccot 1d x dx x=-+ 六、微分运算法则⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu = ⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udvd v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭七、基本积分公式⑴kdx kx c =+⎰ ⑵11x x dx c μμμ+=++⎰ ⑶ln dxx c x=+⎰⑷ln xxa a dx c a=+⎰ ⑸x x e dx e c =+⎰ ⑹cos sin xdx x c =+⎰⑺sin cos xdx x c =-+⎰ ⑻221sec tan cos dx xdx x c x ==+⎰⎰⑼221csc cot sin xdx x c x ==-+⎰⎰ ⑽21arctan 1dx x c x=++⎰ ⑾arcsin x c =+八、补充积分公式tan ln cos xdx x c =-+⎰ c o t l n s i n x d x x c =+⎰ sec ln sec tan xdx x x c =++⎰ c s c l n c s cc o t xd x x x c=-+⎰ 2211arctan xdx c a x a a=++⎰ 2211ln 2x adx c x a a x a-=+-+⎰arcsinxc a=+ ln x c =++九、下列常用凑微分公式十、分部积分法公式⑴形如n ax x e dx ⎰，令n u x =，ax dv e dx =形如sin n x xdx ⎰令n u x =，sin dv xdx =形如cos n x xdx ⎰令n u x =，cos dv xdx =⑵形如arctan n x xdx ⎰，令arctan u x =，ndv x dx =形如ln n x xdx ⎰，令ln u x =，ndv x dx =⑶形如sin ax e xdx ⎰，cos ax e xdx ⎰令,sin ,cos axu e x x =均可。
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高等数学微积分公式大全一、基本导数公式⑴()0c ′=⑵1x xµµµ−=⑶()sin cos x x′=⑷()cos sin x x ′=−⑸()2tan sec x x ′=⑹()2cot csc x x′=−⑺()sec sec tan x x x ′=⋅⑻()csc csc cot x x x′=−⋅⑼()xxe e ′=⑽()ln xxa aa′=⑾()1ln x x′=⑿()1log lnxax a′=⒀()arcsin x ′=⒁()arccos x ′=⒂()21arctan 1x x ′=+⒃()21arccot 1x x ′=−+⒄()1x ′=⒅′=二、导数的四则运算法则()u v u v ′′′±=±()uv u v uv ′′′=+2u u v uv v v ′′′−⎛⎞=⎜⎟⎝⎠三、微分公式与微分运算法则⑴()0d c =⑵()1d xxdxµµµ−=⑶()sin cos d x xdx=⑷()cos sin d x xdx =−⑸()2tan sec d x xdx=⑹()2cot csc d x xdx=−⑺()sec sec tan d x x xdx =⋅⑻()csc csc cot d x x xdx=−⋅⑼()xxd ee dx=⑽()ln xxd aaadx=⑾()1ln d x dx x=⑿()1log ln xad dx x a=⒀()arcsin d x =⒁()arccos d x =⒂()21arctan 1d x dx x=+⒃()21arccot 1d x dx x=−+四、微分运算法则⑴()d u v du dv ±=±⑵()d cu cdu =⑶()d uv vdu udv =+⑷2u vdu udv d v v −⎛⎞=⎜⎟⎝⎠五、基本积分公式⑴kdx kx c=+∫⑵11x x dx cµµµ+=++∫⑶ln dxx cx =+∫⑷ln xxa a dx ca=+∫⑸x xe dx e c=+∫⑹cos sin xdx x c=+∫⑺sin cos xdx x c =−+∫⑻221sec tan cos dx xdx x c x ==+∫∫⑼221csc cot sin xdx x cx ==−+∫∫⑽21arctan 1dx x c x=++∫⑾arcsin dx x c=+六、补充积分公式tan ln cos xdx x c =−+∫cot ln sin xdx x c =+∫sec ln sec tan xdx x x c=++∫csc ln csc cot xdx x x c=−+∫2211arctan xdx c a x a a=++∫2211ln 2x adx c x a a x a−=+−+∫arcsin xca =+ln x c=七、下列常用凑微分公式积分型换元公式()()()1f ax b dx f ax b d ax b a +=++∫∫u ax b=+()()()11f x x dx f x d x µµµµµ−=∫∫u x µ=()()()1ln ln ln f x dx f x d x x⋅=∫∫ln u x =()()()x x x x f e e dx f e d e ⋅=∫∫xu e =()()()1ln x x x xf a a dx f a d a a ⋅=∫∫x u a =()()()sin cos sin sin f x xdx f x d x ⋅=∫∫sin u x=()()()cos sin cos cos f x xdx f x d x ⋅=−∫∫cos u x=()()()2tan sec tan tan f x xdx f x d x ⋅=∫∫tan u x =()()()2cot csc cot cot f x xdx f x d x ⋅=∫∫cot u x=()()()21arctan arc n arc n 1f x dx f ta x d ta x x ⋅=+∫∫arctan u x=八、分部积分法公式⑴形如n ax x e dx ∫，令n u x =，axdv e dx=形如sin n x xdx ∫令nu x =，sin dv xdx =形如cos n x xdx ∫令nu x =，cos dv xdx =⑵形如arctan n x xdx ∫，令arctan u x =，ndv x dx =形如ln n x xdx ∫，令ln u x =，ndv x dx=⑶形如sin ax e xdx∫，cos ax e xdx ∫令,sin ,cos ax u e x x =均可。
九、第二换元积分法中的三角换元公式令sin x a t=(2)令tan x a t=(3)令sec x at=十、重要公式（1）0sin lim 1x xx→=（2）()1lim 1xx x e→+=（3）)1n a o >=（4）1n =（5）lim arctan 2x x π→∞=（6）lim tan 2x arc x π→−∞=−（7）lim arccot 0x x →∞=（8）lim arccot x x π→−∞=（9）lim 0xx e →−∞=（10）lim xx e →+∞=∞（11）0lim 1xx x +→=（12）00101101lim 0n n n m m x m a n m b a x a x a n mb x b x b n m−−→∞⎧=⎪⎪+++⎪=<⎨+++⎪∞>⎪⎪⎩L L （系数不为0的情况）十一、下列常用等价无穷小关系（0x→）sin x x tan x x arcsin x xarctan x x211cos 2x x −()ln 1x x+ 1x e x − 1ln x a x a− ()11x x∂+−∂ 十二、三角函数公式1.两角和公式sin()sin cos cos sin A B A B A B +=+sin()sin cos cos sin A B A B A B−=−cos()cos cos sin sin A B A B A B +=−cos()cos cos sin sin A B A B A B −=+tan tan tan()1tan tan A B A B A B ++=−tan tan tan()1tan tan A B A B A B −−=+cot cot 1cot()cot cot A B A B B A ⋅−+=+cot cot 1cot()cot cot A B A B B A⋅+−=−2.二倍角公式sin 22sin cos A A A =2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1A A A A A =−=−=−22tan tan 21tan A A A=−3.半角公式sin2A=cos2A=sin tan 21cos A A A==+sin cot21cos A AA==−4.和差化积公式sin sin 2sincos 22a b a ba b +−+=⋅sin sin 2cossin 22a b a ba b +−−=⋅cos cos 2cos cos22a b a ba b +−+=⋅cos cos 2sin sin22a b a ba b +−−=−⋅()sin tan tan cos cos a b a b a b++=⋅5.积化和差公式()()1sin sin cos cos 2a b a b a b =−+−−⎡⎤⎣⎦()()1cos cos cos cos 2a b a b a b =++−⎡⎤⎣⎦()()1sin cos sin sin 2a b a b a b =++−⎡⎤⎣⎦()()1cos sin sin sin 2a b a b a b =+−−⎡⎤⎣⎦6.万能公式22tan2sin 1tan 2aa a=+221tan 2cos 1tan 2a a a−=+22tan2tan 1tan 2a a a=−7.平方关系22sin cos 1x x +=22sec n 1x ta x −=22csc cot 1x x −=8.倒数关系tan cot 1x x ⋅=sec cos 1x x ⋅=c sin 1cs x x ⋅=。