高等数学积分公式和微积分公式大全
高等数学常用微积分公式
高等数学常用微积分公式一、极限1.无穷大与无穷小：当x→∞时，若极限值L=0，则称函数f(x)是无穷小。
常见无穷小有：x→0时的无穷小o(x)、无穷次可导的无穷小O(x^n)；当x→∞时，若极限值L≠0或不存在，则称函数f(x)是无穷大；2.函数极限：若函数f(x)当x→a时的极限存在稳定的常数L，则称L为f(x)当x→a时的极限，记作：lim(x→a) f(x) = L；3.等价无穷小：若 f(x) 和 g(x) 都是x→a 时的无穷小，并且lim(x→a)(f(x)/g(x))=1，则称 f(x) 和 g(x) 是x→a 时的等价无穷小。
二、导数1.导数的定义：若函数f(x)在点x处的函数值可近似表示为f(x+Δx)≈f(x)+f'(x)Δx，其中f'(x)为f(x)在点x处的导数，则称f'(x)是函数f(x)在点x处的导数。
2.常见函数的导数：(1)和差法则：(u±v)'=u'±v'；(2)乘法法则：(u*v)'=u'*v+u*v'；(3)除法法则：(u/v)'=(u'*v-u*v')/v^2，其中v≠0；(4) 链式法则：若 y=f(u)，u=g(x) ，则 y=f(g(x)) 的导数为dy/dx = f'(u)*g'(x)。
3.高阶导数：函数f(x)的导数f'(x)的导数称为f(x)的二阶导数，记为f''(x)。
可以依此类推，得到函数f(x)的n阶导数f^(n)(x)。
三、微分1.微分的定义：函数 f(x) 在点 x 处的微分记为 dx，根据导数的定义，有 df(x) = f'(x)dx。
2.微分的性质：(1)常数微分：d(c)=0，其中c为常数；(2) 取单项微分：d(x^n) = nx^(n-1)dx，其中 n 为实数，x 为变量；(3) 和差微分：d(u ± v) = du ± dv；(4) 乘法微分：d(uv) = u*dv + v*du；(5) 除法微分：d(u/v) = (v*du - u*dv)/v^2，其中v ≠ 0；(6) 复合函数微分：若 y=f(u)，u=g(x)，则 dy = f'(u)du =f'(g(x))g'(x)dx。
高等数学一(微积分)常用公式表
高等数学一(微积分)常用公式表-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN1、乘法公式（1）（a+b ）²=a 2+2ab+b 2 （2）(a-b)²=a ²-2ab+b ²（3）(a+b)(a-b)=a ²-b ² （4）a ³+b ³=(a+b)(a ²-ab+b ²) （5）a ³-b ³=(a-b)(a ²+ab+b ²)2、指数公式：（1）a 0=1 （a ≠0）（2）a P -=P a 1（a ≠0）（3）amn=mna（4）a m a n =a n m +（5）a m ÷a n=n m aa =a nm -（6）（am）n =amn（7）（ab ）n =a n b n（8）（b a）n =n n ba （9）（a ）2=a （10）2a =|a|3、指数与对数关系： （1）若a b=N ，则N b a log = （2）若10b=N ，则b=lgN （3）若be =N ，则b=㏑N4、对数公式： （1）b a b a =log , ㏑eb=b （2）N aaN=log ，eNln =N（3）aN N a ln ln log =（4）a b be aln = （5）N M MN ln ln ln +=（6）N M NMln ln ln -= （7）Mn M n ln ln =（8）㏑nM =M nln 15、三角恒等式：（1）（Sin α）²+（Cos α）²=1 （2）1+（tan α）²=(sec α)²（3）1+(cot α)²=(csc α)²（4）αααtan cos sin =（5）αααcot sin cos =（6）ααtan 1cot =（7）ααcos 1csc =（8）ααcos 1sec =7.倍角公式： （1）αααcos sin 22sin = （2）ααα2tan 1tan 22tan -=（3）ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=8.半角公式（降幂公式）：（1）（2sin α）2=2cos 1a - （2）（2cosα）2=2cos 1a + （3）2tan α=a a sin cos 1+=a acos 1sin +常用公式表（二）1、求导法则：（1）（u+v ）/=u /+v / （2）（u-v ）/=u /-v /（3）（cu ）/=cu / （4）（uv ）/=uv /+u/v （5）2v v u v u v u '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛ 5、定积分公式：（1）⎰⎰=babadtt f dx x f )()( （2）⎰=aadx x f 0)(（3）()()dx x f dx x f abba⎰⎰-= （4）⎰⎰⎰+=bac ab cdxx f dx x f dx x f )()()(（5）若f （x ）是[-a,a]的连续奇函数，则⎰-=aadx x f 0)(（6）若f （x ）是[-a,a]的连续偶函数，则6、积分定理：（1）()()x f dt t f xa ='⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ ()()()()()[]()()[]()x a x a f x b x b f dt t f x b x a '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰2（3）若F （x ）是f （x ）的一个原函数，则)()()()(a F b F x F dx x f ba b a -==⎰7.积分表()C x x xdx ++=⎰tan sec ln sec 1 ()C x x xdx +-=⎰cot csc ln csc 2()C a xa dx x a +=+⎰arctan 11322 ()C a x dx x a +=-⎰arcsin 1422()C a x ax a dx ax ++-=-⎰ln 211522 8．积分方法()()bax x f +=1；设：t b ax =+()()222x a x f -=；设：t a x sin = ()22a x x f -=；设：t a x sec =()22x a x f +=；设：t a x tan =()3分部积分法：⎰⎰-=vdu uv udv。
自考高等数学一(微积分)常用公式表
高 数 常 用 公 式 表常用公式表(一)1、乘法公式(1) (a+b )²=a 2+2ab+b 2 (2) (a-b )²=a ²-2ab+b ² (3) (a+b)(a-b)=a ²-b ²(4) a ³+b ³=(a+b)(a ²-ab+b ²) (5) a ³-b ³=(a-b)(a ²+ab+b ²)2、指数公式：(1) a 0=1 (a ≠0)(4) a m a n=am+n(7) (ab) n =a n b n1n(2) a一P= aP(a ≠0) (3) a m =m a nm(5) a m÷a n= a n=a m 一na a n(8) ( b ) n = b n(10) a 2 = |a| 3、指数与对数关系：(1)若a b=N ，则 b = log a N (2)若10b=N ，则b=lgN (3)若 e b =N ，则b=㏑N 4、对数公式：(1) log a a b = b , ㏑ e b=b (2) a log aN = N ，eln N=N(3) log a N =ln Nlna(4) a b = e bln a (5) ln MN=ln M +ln N(6) lnM= ln M 一 ln N (7) ln M n = nln M (8)㏑ n M = 1ln M N n5、三角恒等式：(1) (Sin α)²+ (Cos α)²=1 (2) 1+ (tan α)²=(sec α)²(3) 1+(cot α)²=(csc α)² (4)sin acosa = tan a (5) cosasina= cota(6) cot a =1tana (7) csc a = 1cosa (8) sec a =1cosaa(9) ( a ) (6) ( a m ) n=a=am n26、特殊角三角函数值：7.倍角公式：(1) sin 2a = 2sina cosa (2) tan2a =2tana1tan 2a(3) cos2a = cos 2 a sin 2 a = 2cos 2 a 1= 1 2sin 2 a8.半角公式(降幂公式)：1 cosa 1+ cosa 1+ cosa sin a (1) ( sin a )2 = 2 (2) ( cos a ) 2 = 2 (3) tan a= sin a = 1+ cosa2 2 29、三角函数与反三角函数关系：(1)若x=siny ，则y=arcsinx (2)若x=cosy ，则y=arccosx (3)若x=tany ，则y=arctanx (4)若x=coty ，则y=arccotx 10、函数定义域求法：1(1)分式中的分母不能为0， ( a α≠0)(2)负数不能开偶次方， ( a α≥0) (3)对数中的真数必须大于 0， (log a N N>0)(4)反三角函数中arcsinx ，arccosx 的x 满足： (--1≤x ≤1) (5)上面数种情况同时在某函数出现时，此时应取其交集。
高数微积分基本公式大全
u = xµ u = ln x u = ex
∫ f ( ln x ) ⋅ x dx = ∫ f ( ln x )d ( ln x ) ∫ f ( e ) ⋅ e dx = ∫ f ( e )d ( e )
x x x x
1
∫ f ( a ) ⋅ a dx = ln a ∫ f ( a )d ( a )
⎛ u ⎞ vdu − udv ⎟= v2 ⎝v⎠
∫
⑵ x dx =
∫
µ
x µ +1 +c µ +1
⑶
∫
dx = ln x + c x
ax ⑷ ∫ a dx = +c ln a
x
⑸ e dx = e + c
∫
x
x
⑹ cos xdx = sin x + c
∫
⑺ sin xdx = − cos x + c
x x x x
1
u = ax
u = sin x
∫ f ( sin x ) ⋅ cos xdx = ∫ f ( sin x )d ( sin x )
∫ f ( cos x ) ⋅ sin xdx = −∫ f ( cos x )d ( cos x ) ∫ f ( tan x ) ⋅ sec ∫ f ( cot x ) ⋅ csc
∫a ∫
2
∫ cot xdx = ln sin x + c ∫ csc xdx = ln csc x − cot x + c
∫x ∫
2
1 1 x dx = arctan + c 2 +x a a 1
1 1 x−a dx = ln +c 2 −a 2a x + a 1
三十个基本积分公式
三十个基本积分公式积分是微积分中的重要概念，它在数学、物理学、工程学等众多领域都有着广泛的应用。
而掌握基本的积分公式，是进行积分运算的基础。
下面，我们就来详细介绍三十个基本积分公式。
公式一：∫k dx ＝ kx ＋ C （k 为常数）这是最简单的积分公式，常数的积分就是常数乘以自变量再加上常数 C。
公式二：∫x^n dx ＝（1/（n ＋ 1)）x^（n ＋ 1) ＋ C （n ≠ －1）当自变量 x 的幂次为 n 时，积分结果是幂次加 1 后除以新的幂次加1，再加上常数 C。
公式三：∫1/x dx ＝ ln|x| ＋ C这个公式在处理分式形式的积分时经常用到。
公式四：∫e^x dx ＝ e^x ＋ C指数函数 e^x 的积分还是它本身。
公式五：∫a^x dx ＝（1/ln a)a^x ＋ C （a ＞ 0，a ≠ 1）对于底数为 a 的指数函数，其积分公式如上。
公式六：∫sin x dx ＝ cos x ＋ C正弦函数的积分是负的余弦函数。
公式七：∫cos x dx ＝ sin x ＋ C余弦函数的积分是正弦函数。
公式八：∫tan x dx ＝ ln|cos x| ＋ C正切函数的积分与余弦函数的对数有关。
公式九：∫cot x dx ＝ ln|sin x| ＋ C余切函数的积分与正弦函数的对数有关。
公式十：∫sec x dx ＝ ln|sec x ＋ tan x| ＋ C 正割函数的积分较为复杂。
公式十一：∫csc x dx ＝ ln|csc x ＋ cot x| ＋ C 余割函数的积分也有一定的特殊性。
公式十二：∫sec^2 x dx ＝ tan x ＋ C正割平方的积分是正切函数。
公式十三：∫csc^2 x dx ＝ cot x ＋ C余割平方的积分是负的余切函数。
公式十四：∫sec x tan x dx ＝ sec x ＋ C正割与正切的乘积的积分是正割函数。
公式十五：∫csc x cot x dx ＝ csc x ＋ C余割与余切的乘积的积分是负的余割函数。
高等数学积分公式大全
高等数学积分公式大全高等数学是一门非常重要的学科，在很多领域都有应用。
其中，积分学是高等数学中的一个重要章节。
积分可以理解为求解曲线图形下面的面积，不同类型的积分公式有着不同的概念和应用，下面，就为大家整理了一份高等数学积分公式大全，让大家对这个知识点有一个更全面的认识。
1. 常数积分公式$$\int kdx=kx+C$$2. 幂函数积分公式$$\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$3. 指数函数积分公式$$\int e^xdx=e^x+C$$4. 对数函数积分公式$$\int \frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$$5. 三角函数积分公式$$\int \sin xdx=-\cos x+C$$$$\int \cos xdx=\sin x+C$$6. 反三角函数积分公式$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C$$$$\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C$$$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}dx=\ln|x+\sqrt{x^2-1}|+C$$7. 换元法积分公式$$\int f(u)du=\int f(u(x))\frac{du}{dx}dx$$8. 分部积分公式$$\int u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\int v(x)u'(x)dx$$9. 定积分公式$$\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$$10. 积分中值定理$$\int_a^bf(x)dx=f(c)(b-a)$$这便是几种高等数学积分公式的介绍，这些公式是数学中不可或缺的知识点，掌握这些公式不仅有助于学生学好数学，还对应用数学的工作有相当多的帮助。
除了这些基本的积分公式之外，高等数学还涉及到一些比较复杂的积分公式，如多重积分、线性代数积分、微积分方程等等。
1. 多重积分公式多重积分是指对多元函数的积分，通常被用于几何问题、概率论问题和物理学问题中。
大学高等数学公式大全
大学高等数学公式大全第一部分：微积分基础一、导数1. 导数的定义：导数是一个函数在某一点上的瞬时变化率，表示为f'(x)或dy/dx。
2. 导数的运算法则：常数函数的导数为0。
幂函数的导数为指数乘以底数的指数减1，即d/dx(x^n) =nx^(n1)。
指数函数的导数为指数函数乘以指数，即d/dx(a^x) = a^xln(a)。
对数函数的导数为1除以x乘以底数的对数，即d/dx(ln(x)) =1/x。
三角函数的导数：d/dx(sin(x)) = cos(x)，d/dx(cos(x)) =sin(x)，d/dx(tan(x)) = sec^2(x)。
3. 高阶导数：函数的导数可以继续求导，得到高阶导数。
例如，f''(x)表示二阶导数。
二、积分1. 定积分的定义：定积分是一个函数在某个区间上的累积和，表示为∫[a,b]f(x)dx。
2. 积分的运算法则：常数函数的积分为其乘以区间长度，即∫[a,b]c dx = c(ba)。
幂函数的积分为其指数加1除以指数加1乘以区间长度，即∫[a,b]x^n dx = (b^(n+1)a^(n+1))/(n+1)。
指数函数的积分为其指数函数除以指数，即∫[a,b]a^x dx = (a^ba^a)/ln(a)。
对数函数的积分为其对数函数乘以区间长度，即∫[a,b]ln(x) dx = (xln(x)x)。
三角函数的积分：∫[a,b]sin(x) dx = cos(x) + C，∫[a,b]cos(x) dx = sin(x) + C，∫[a,b]tan(x) dx = ln|cos(x)| + C。
3. 积分的性质：积分与导数互为逆运算，即d/dx(∫f(x)dx) = f(x)。
积分区间可以改变顺序，即∫[a,b]f(x)dx = ∫[b,a]f(x)dx。
积分可以分解为多个区间上的积分，即∫[a,c]f(x)dx =∫[a,b]f(x)dx + ∫[b,c]f(x)dx。
三十个基本积分公式
三十个基本积分公式在微积分的学习中，积分公式是非常重要的基础知识。
掌握这些基本积分公式，就像是拥有了一把打开积分世界大门的钥匙。
接下来，让我们一起来了解一下这三十个基本积分公式。
公式一：∫kdx ＝ kx ＋ C（k 为常数）这个公式很简单，就是说对一个常数 k 进行积分，结果是 kx 加上一个常数 C。
公式二：∫x^n dx ＝（1/（n ＋ 1)）x^（n ＋ 1) ＋ C（n ≠ －1）当被积函数是 x 的 n 次幂时，积分结果是（1/（n ＋ 1)）乘以 x 的（n ＋ 1)次幂再加上常数 C。
例如，∫x²dx ＝（1/3)x³＋ C 。
公式三：∫1/x dx ＝ ln|x| ＋ C对 1/x 进行积分，得到的是自然对数 ln|x|加上常数 C。
这里要注意绝对值，因为对数函数的定义域要求自变量大于 0。
公式四：∫e^x dx ＝ e^x ＋ C指数函数 e^x 的积分还是它本身 e^x 加上常数 C。
公式五：∫a^x dx ＝（1/lna)a^x ＋ C（a ＞ 0，a ≠ 1）对于以 a 为底的指数函数 a^x 的积分，结果是（1/lna)乘以 a^x 再加上常数 C。
公式六：∫sin x dx ＝ cos x ＋ C正弦函数 sin x 的积分是 cos x 加上常数 C。
公式七：∫cos x dx ＝ sin x ＋ C余弦函数 cos x 的积分是 sin x 加上常数 C。
公式八：∫tan x dx ＝ ln|cos x| ＋ C正切函数 tan x 的积分是 ln|cos x|加上常数 C。
公式九：∫cot x dx ＝ ln|sin x| ＋ C余切函数 cot x 的积分是 ln|sin x|加上常数 C。
公式十：∫sec x dx ＝ ln|sec x ＋ tan x| ＋ C正割函数 sec x 的积分是 ln|sec x ＋ tan x|加上常数 C。
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常 用 积 分 公 式（一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +⎰＝1ln ax b C a ++2．()d ax b x μ+⎰＝11()(1)ax b C a μμ++++（1μ≠-）3．d x x ax b +⎰＝21(ln )ax b b ax b C a +-++4．2d x x ax b +⎰＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ⎡⎤+-++++⎢⎥⎣⎦5．d ()xx ax b +⎰＝1ln ax b C b x +-+6．2d ()xx ax b +⎰＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7．2d ()x x ax b +⎰＝21(ln )b ax b C a ax b++++ 8．22d ()x x ax b +⎰＝231(2ln )b ax b b ax b C a ax b+-+-++ 9．2d ()xx ax b +⎰＝211ln ()ax b C b ax b b x +-++的积分10．x C +11．x ⎰＝22(3215ax b C a -12．x x ⎰＝22232(15128105a x abx b C a-+13．x⎰＝22(23ax b C a -14．2x ⎰＝22232(34815a x abx b C a -+ 15．⎰(0)(0)C b C b ⎧+><16．⎰2a b - 17．d x x ⎰＝b ⎰18．2d x x ⎰＝2a + （三）含有22x a ±的积分 19．22d x x a +⎰=1arctan xC a a+ 20．22d ()n x x a +⎰=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n xn a x a n a x a ---+-+-+⎰ 21．22d xx a -⎰=1ln 2x a C a x a -++（四）含有2(0)ax b a +>的积分22．2d x ax b +⎰＝(0)(0)C b C b ⎧+>+<23．2d x x ax b +⎰＝21ln 2ax b C a ++24．22d x x ax b +⎰＝2d x b xa a axb -+⎰25．2d ()x x ax b +⎰＝221ln 2x C b ax b++26．22d ()x x ax b +⎰＝21d a xbx b ax b --+⎰27．32d ()x x ax b +⎰＝22221ln 22ax b a C b x bx+-+ 28．22d ()x ax b +⎰＝221d 2()2x xb ax b b ax b +++⎰（五）含有2ax bx c ++(0)a >的积分29．2d x ax bx c ++⎰＝22(4)(4)C b ac Cb ac +<+>30．2d x x ax bx c ++⎰＝221d ln 22b x ax bx c a a ax bx c++-++⎰(0)a >的积分 31．⎰＝1arshxC a+＝ln(x C ++ 32．C +33．x ⎰C34．x＝C +35．2x 2ln(2a x C +36．2x ＝ln(x C +++37．⎰1ln aC a x -+38．⎰C +39．x 2ln(2a x C ++40．x ＝2243(25ln(88x x a a x C ++41．x ⎰C +42．xx ⎰＝422(2ln(88x a x a x C +++43．x ⎰a C +44．x ⎰＝ln(x C +++(0)a >的积分45．⎰＝1arch x xC x a+=ln x C + 46．C +47．x ⎰C48．x ＝C +49．2x 2ln 2a x C +++50．2x ＝ln x C +++51．⎰1arccos aC a x+52．⎰2C a x +53．x 2ln 2a x C -++54．x ＝2243(25ln 88x x a a x C -++55．x ⎰C56．xx ⎰＝422(2ln 88x a x a x C -+57．x ⎰arccos a a C x -+58．x ⎰＝ln x C +++(0)a >的积分 59．⎰＝arcsinxC a+ 60．C +61．x ⎰＝C +62．x C +63．2x ＝2arcsin 2a x C a + 64．2x arcsinxC a-+65．⎰1C a +66．⎰2C a x -+67．x 2arcsin 2a x C a+68．x ＝2243(52arcsin 88x x a x a C a-+69．x ⎰＝C70．xx ⎰＝422(2arcsin 88x a x x a C a-+71．x ⎰ln a a C x ++72．x ⎰＝arcsin xC a-+(0)a >的积分73．⎰2ax b C +++74．x22ax b C ++++75．x ⎰2ax b C -+++76．⎰＝C +77．x 2C +78．x ⎰＝C ++79．x ⎰＝((x b b a C --+80．x ⎰＝((x b b a C -+-81．⎰＝C ()a b <82．x 2()arcsin 4b a C -+ ()a b < （十一）含有三角函数的积分 83．sin d x x ⎰＝cos x C -+84．cos d x x ⎰＝sin x C + 85．tan d x x ⎰＝ln cos x C -+ 86．cot d x x ⎰＝ln sin x C + 87．sec d x x ⎰＝ln tan()42xC π++＝ln sec tan x x C ++ 88．csc d x x ⎰＝ln tan2xC +＝ln csc cot x x C -+ 89．2sec d x x ⎰＝tan x C + 90．2csc d x x ⎰＝cot x C -+ 91．sec tan d x x x ⎰＝sec x C + 92．csc cot d x x x ⎰＝csc x C -+93．2sin d x x ⎰＝1sin 224x x C -+ 94．2cos d x x ⎰＝1sin 224x x C ++95．sin d n x x ⎰＝1211sin cos sin d n n n x x x x n n----+⎰ 96．cos d n x x ⎰＝1211cos sin cos d n n n x x x x n n---+⎰ 97．d sin n x x ⎰＝121cos 2d 1sin 1sin n n x n xn x n x ----⋅+--⎰ 98．d cos n x x ⎰＝121sin 2d 1cos 1cos n n x n xn x n x---⋅+--⎰ 99．cos sin d m n x x x ⎰＝11211cos sin cos sin d m n m nm x x x x x m n m n-+--+++⎰ ＝11211cos sin cos sin d m n m n n x x x x x m n m n+----+++⎰ 100．sin cos d ax bx x ⎰＝11cos()cos()2()2()a b x a b x C a b a b -+--++-101．sin sin d ax bx x ⎰＝11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b -++-++-102．cos cos d ax bx x ⎰＝11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b ++-++-103．d sin xa b x +⎰tanxa b C ++22()a b >104．d sin x a b x +⎰C+22()a b <105．d cos xa b x +⎰)2x C +22()a b >106．d cos x a b x +⎰C +22()a b <107．2222d cos sin x a x b x +⎰＝1arctan(tan )bx C ab a + 108．2222d cos sin xa xb x -⎰＝1tan ln 2tan b x a C ab b x a ++-109．sin d x ax x ⎰＝211sin cos ax x ax C a a -+ 110．2sin d x ax x ⎰＝223122cos sin cos x ax x ax ax C a a a -+++111．cos d x ax x ⎰＝211cos sin ax x ax C a a ++112．2cos d x ax x ⎰＝223122sin cos sin x ax x ax ax C a a a+-+（十二）含有反三角函数的积分（其中0a >）113．arcsin d x x a ⎰＝arcsin x x C a++114．arcsin d xx x a ⎰＝22()arcsin 24x a x C a -+115．2arcsin d x x x a⎰＝3221arcsin (239x x x a C a ++116．arccos d xx a ⎰＝arccosxx C a117．arccos d xx x a ⎰＝22()arccos 24x a x C a -118．2arccos d x x x a⎰＝3221arccos (239x x x a C a -+119．arctand x x a ⎰＝22arctan ln()2x a x a x C a -++ 120．arctan d x x x a ⎰＝221()arctan 22x a a x x C a +-+121．2arctan d xx x a⎰＝33222arctan ln()366x x a a x a x C a -+++ （十三）含有指数函数的积分122．d xa x ⎰＝1ln xa C a + 123．e d axx ⎰＝1e ax C a +124．e d ax x x ⎰＝21(1)e axax C a-+125．e d n axx x ⎰＝11e e d n ax n ax n x x x a a--⎰126．d xxa x ⎰＝21ln (ln )x x x a a C a a -+ 127．d nxx a x ⎰＝11d ln ln n x n xn x a x a x a a --⎰ 128．e sin d axbx x ⎰＝221e (sin cos )ax a bx b bx C a b -++ 129．e cos d ax bx x ⎰＝221e (sin cos )axb bx a bx C a b+++130．e sin d ax nbx x ⎰＝12221e sin (sin cos )ax n bx a bx nb bx a b n--+ 22222(1)e sin d ax n n n b bx x a b n --++⎰131．e cos d ax nbx x ⎰＝12221e cos (cos sin )ax n bx a bx nb bx a b n-++ 22222(1)e cos d ax n n n b bx x a b n--++⎰ （十四）含有对数函数的积分 132．ln d x x ⎰＝ln x x x C -+133．d ln xx x ⎰＝ln ln x C +134．ln d nx x x ⎰＝111(ln )11n x x C n n +-+++135．(ln )d n x x ⎰＝1(ln )(ln )d n nx x n x x --⎰136．(ln )d m nx x x ⎰＝111(ln )(ln )d 11m n m n n x x x x x m m +--++⎰ （十五）含有双曲函数的积分 137．sh d x x ⎰＝ch x C + 138．ch d x x ⎰＝sh x C + 139．th d x x ⎰＝lnch x C +140．2sh d x x ⎰＝1sh224x x C -++ 141．2ch d x x ⎰＝1sh224x x C ++（十六）定积分 142．cos d nx x π-π⎰＝sin d nx x π-π⎰＝0143．cos sin d mx nx x π-π⎰＝0144．cos cos d mx nx x π-π⎰＝0,,m nm n≠⎧⎨π=⎩145．sin sin d mx nx x π-π⎰＝0,,m nm n ≠⎧⎨π=⎩146．sin sin d mx nx x π⎰＝0cos cos d mx nx x π⎰＝0,,2m n m n ≠⎧⎪⎨π=⎪⎩147． n I ＝20sin d nx x π⎰＝20cos d n x x π⎰n I ＝21n n I n-- 1342253n n n I n n --=⋅⋅⋅⋅-L （n 为大于1的正奇数），1I ＝1 13312422n n n I n n --π=⋅⋅⋅⋅⋅-L （n 为正偶数），0I ＝2π一、 （系数不为0的情况）00101101lim 0n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m--→∞⎧=⎪⎪+++⎪=<⎨+++⎪∞>⎪⎪⎩L L二、重要公式（1）0sin lim 1x xx →=（2）()1lim 1xx x e→+= （3）)1n a o >=（4）lim 1n →∞= （5）lim arctan 2x x π→∞=（6）lim tan 2x arc x π→-∞=-（7）limarccot 0x x →∞= （8）lim arccot x x π→-∞= （9）lim 0x x e →-∞=（10）lim x x e →+∞=∞（11）0lim 1xx x +→=三、下列常用等价无穷小关系（0x →）sin x x : tan x x : arcsin x x : arctan x x :211cos 2x x -:()ln 1x x+: 1x e x -: 1ln xa x a -:()11x x∂+-∂:四、导数的四则运算法则()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+2u u v uv v v '''-⎛⎫=⎪⎝⎭五、基本导数公式⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '=⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=⋅ ⑻()csc csc cot x x x '=-⋅⑼()xxe e '= ⑽()ln xx a a a'= ⑾()1ln x x '= ⑿()1log ln x ax a '=⒀()arcsin x '=⒁()arccos x '=⒂()21arctan 1x x '=+ ⒃()21arccot 1x x '=-+⒄()1x '=⒅'=六、高阶导数的运算法则（1）()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦（2）()()()()n n cu x cux =⎡⎤⎣⎦（3）()()()()n n n u ax b a u ax b +=+⎡⎤⎣⎦（4）()()()()()()()nn n k kk nk u x v x c ux v x -=⋅=⎡⎤⎣⎦∑七、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）()()!n n x n = （2）()()n ax b n ax be a e ++=⋅ (3)()()ln n x x n a a a=(4)()()sin sin 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (5)()()cos cos 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (6)()()()11!1n n nn a n ax b ax b +⋅⎛⎫=- ⎪+⎝⎭+ (7)()()()()()11!ln 1n n n na n axb ax b -⋅-+=-⎡⎤⎣⎦+八、微分公式与微分运算法则 ⑴()0d c = ⑵()1d x x dxμμμ-= ⑶()sin cos d x xdx=⑷()cos sin d x xdx=- ⑸()2tan sec d x xdx= ⑹()2cot csc d x xdx=-⑺()sec sec tan d x x xdx=⋅ ⑻()csc csc cot d x x xdx=-⋅⑼()xxd ee dx = ⑽()ln xxd a aadx= ⑾()1ln d x dx x =⑿()1log ln xa d dxx a = ⒀()arcsin d x =⒁()arccos d x =⒂()21arctan 1d x dx x =+ ⒃()21arccot 1d x dx x =-+九、微分运算法则⑴()d u v du dv±=±⑵()d cu cdu=⑶()d uv vdu udv=+⑷2u vdu udvdv v-⎛⎫=⎪⎝⎭十、基本积分公式⑴kdx kx c=+⎰⑵11xx dx cμμμ+=++⎰⑶lndxx cx=+⎰⑷lnxxaa dx ca=+⎰⑸x xe dx e c=+⎰⑹cos sinxdx x c=+⎰⑺sin cosxdx x c=-+⎰⑻221sec tancosdx xdx x cx==+⎰⎰⑼221csc cotsinxdx x cx==-+⎰⎰⑽21arctan1dx x cx=++⎰⑾arcsin x c=+⎰十一、下列常用凑微分公式十二、补充下面几个积分公式tan ln cos xdx x c =-+⎰ cot ln sin xdx x c =+⎰ sec ln sectan xdx x x c =++⎰ csc ln csc cot xdx x x c =-+⎰2211arctan x dx c a x a a =++⎰2211ln 2x adx c x a a x a -=+-+⎰arcsinxc a =+ln x c=++⎰十三、分部积分法公式⑴形如n axx e dx⎰，令n ux =，ax dv e dx =形如sinn x xdx⎰令nu x =，sin dv xdx =形如cos nx xdx⎰令n u x =，cos dv xdx =⑵形如arctan n x xdx⎰，令arctan ux =，n dv x dx =形如ln n x xdx⎰，令ln u x =，n dv x dx =⑶形如sin ax e xdx ⎰，cos ax e xdx ⎰令,sin ,cos ax u e x x =均可。