曲线与曲面1

维物体。因而曲线曲面的表示是计算机图形学
的重要研究内容之一。
本章从一些规则的曲线和曲面出发，主要
介绍自由曲线和自由曲面的基础知识和其常见
的表示形式。 2020/6/15
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常用的曲线曲面的类型：
P1
➢Bézier曲线（面）
P0
P2
这些曲线曲面都可以用 P3 参数方程表示，并具有
以下的优点：
➢B样条曲线（面）
0 (b)
x 1
图中θ和t为等距取9值
5.1.1 曲线的三种表示方法
参数表示
优点
➢曲线的边界容易确定。规格化的参数区间[0,1]可以很容易
地指定任意一段曲线，而不必用另外的参数去定义边界；
➢点动成线。当参数t从0变到1时，曲线段从起点变到终点；
➢具有几何不变性。参数方程的形式不依赖于坐标系的选取，
g(x,
y,
z)
0
曲线的显示和隐式表示统称为非参数表示，非参数表示 曲线存在下列问题：
➢与坐标系相关
➢会出现斜率为无穷大的情况(如垂线)
➢非平面曲线难用常系数的非参数化函数表示
2020➢/6/不15 利于计算和编程
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5.1.1 曲线的三种表示方法
参数表示 形式
➢将曲线上各点的坐标变量显式地表示成参数 t的函数形式
P
P0
( P1
P0)tx yx0 y0( x1 ( y1
x0 )t, y0 )t,
t 0,1
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5.1.1 曲线的三种表示方法
参数表示 说明
取角度θ为参数时，x和 y的关系如图(a)所示
y
➢ 一条参数曲线的表示形式并不是惟一的
例如：在第一象限内的单位圆弧既可表 0
x
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示成（右图(a)）：
5.1 曲线、曲面的参数表示的基础知识
构造曲面模拟帆船 链接
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用曲面模拟海水 链接
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5.1.1 曲线的三种表示方法
显式表示
➢一个坐标变量能够显式地表示为另一个变量的函数。
➢平面曲线显式表示的一般形式是： y f (x)
➢ ➢
一一条个直三线维方空程间：直线y的gf显mg((f示xxx((表,,xx示yy,,gf：b,,yy((zz,,xx))zzy,,))yyg,ff,00(((zzxxx00))),, yy,, zz00))
0 0
➢在平面直线的表示中，每一个x值只对应一个y值
➢用显式方程不能表示封闭或多值曲线。如不能表示一 个完整的圆弧
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5.1.1 曲线的三种表示方法
隐式表示
➢平面曲线隐式表示的—般形式为：f (x, y) 0
➢三维空间曲线的隐式表示式为交面式（用两个曲面
相交的方式）: f (x, y, z) 0
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x
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5.1.2 参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率
2．切矢量
设 P(t) 和 P(t t)是曲线上的两点，记 P P(t t) P(t)
当向，t记为0d时P(，t) 导= P数(t矢) 量亦称Pt 为的P方点向的趋切近矢于量P点处的切线方 dt
P′ (t)
△S
P(t)) △P
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5.1.2 参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率
设曲线的参数方程为 P(t) (x(t), y(t), z(t)) , t [0,1]
1．位置矢量
，
曲线上任一点的位置矢量可表示为：
P(t) (x(t), y(t), z(t))
P′ (t)
△S
P(t)) △P
P(t+△t)
z
y
参数曲线的位置矢量
P(t+△t)
z
参数曲线的切矢
y
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x
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5.1.2 参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率
2．切矢量
在极限情况下，弦长 P 和弧长 s 相等，即：
ds dP dt dt
T lim P dP s0 s ds
T 称为 P(t) 处切线方向的单位矢量。上式说明：如果以
自然界中的事物形态总是以曲线、曲面的
形式出现的。要建立三维物体的模型，曲线和
曲面是必不可少的研究内容。曲线是曲面的基
础，当生成了一条曲线后，即可运用平移、旋
转等变换来生成复杂曲面（如一条平面直线沿
某个方向的平移轨迹是一个平面；绕另一中心
轴直线旋转会生成一个曲面；一个半圆绕其一
中心轴旋转会生成一个球面），进而构造出三
(a)
x y
cos sin
(1
0
2t
t2)
(1
(1 t22 )
t2)
取t为参数时，x和y的关系 如图(b)所示
y
又可表示成：（x 令cto为s 半角(1的 t正2 )切()1 t2 )
（右图(b)） y sin 2t (1 t2 )
x cosx c(1ost2) ((11tt22)) (1 t2 ) 202y0/6/15siny s2itn(1 t22t) (1 t2 ) 0≤t≤1
➢孔斯曲面
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➢曲线曲面的形状不依赖于 坐标系的选择
➢人机交互直观 ➢易于计算 ➢易于拼接 ➢造型灵活
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5.1 曲线、曲面的参数表示的基础知识
工程中经常遇到的曲线和曲面有两种：
其一是规则的曲线和曲面，如直线（平面）、圆锥曲 线（面），这些曲线（面）都可以用函数方程（显示 和隐式）或参数方程（一般都为一个一次或二次方程） 给出；
P(t) (x(t), y(t), z(t)) t [0,1]
其中 x(t) ，y(t)和 z(t)分别是参数 t的显式、单值函数：
x x(t) y y(t ) z z(t)
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5.1.1 曲线的三种表示方法
参数表示 说明
➢参数表示中，通常将参数区间规范化为[0,1]； ➢参数方程中的参数可以代表任何量，如时间、角度等； ➢连接 P0 (x0, y0 )和 P1(x1, y1)两点的直线段的参数方程可写为：
其二是形状比较复杂，不能用二次方程描述的曲线和 曲面，称为自由曲线和曲面，如船体、水波面（见演 示）、车身和机翼的曲线和曲面，如何表示这些自由 的曲线和曲面成了工程设计与制造中遇到的首要问题。 同时这些自由曲线和曲面构型日益艺术化也不断地成
就和壮大了今天的汽车、船舶和飞机工业。
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当坐标系改变时，参数方程的形式不变；
➢易于处理斜率为无穷大的情形。在参数表示中，变化率以
切矢量表示，不会出现无穷大的情况；
➢易于变换。对参数表示的曲线、曲面进行平移、比例、旋
转等几何变换比较容易；
➢交互能力强。参数表示具有直观、明确的几何意义，并提
高了自由度，容易自由地控制整个曲线、曲面的形状。
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