结构力学14

有限元法的要点 ：先把整体拆 开，离散化，分解成若干个单 元。然后再将这些单元按一定 条件集合成整体。 把复杂结构的计算问题转化为 简单单元的分析和集合问题。
有限元法包含两个基本环节： 1.单元分析 2.整体分析
整体分析的主要任务: 单元分析的任务: 建立单元刚度方程，形成 单元刚度矩阵
将单元集合成整体，由单元刚 度矩阵按照刚度集成规则形成 整体刚度矩阵，建立整体结构 的位移法基本方程，从而求出 解答。
解的 性质
为不平衡力系时， 没 有解。 为平衡力系时， 有解 ，但为非唯一解（因为自由 杆件除本身变形外还可有任 意刚体位移）。 不存在。
3. 特殊单元
结构中的特殊单元：单元的某个或 某些杆端位移的值已知为零，而不 能任意指定。各种特殊单元的刚度 方程无需另行推导，只需对一般的 单元刚度方程（14－4）作一些特殊 处理便可自动得到。
其中： 为单元刚度矩阵， 矩阵，K为整体刚度矩阵
单元贡献
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2.按照单元定位向量由
注意以下3点：
求
（a） （b）
图14－12
1)结点位移（或结点力）有两种编 码：在整体分析中，结点位移在结 构中统一进行编码，称为总码。在 单元分析中，每个单元的两个结点 位移各自编码为（1）和（2），称 为局部编码。（见下图14-12）
（14－10）
对于图14－4所示特殊单元 来说，正问题的力学模型如 图14－5a所示，每端有两个 支杆和一个控制转角的附加 约束， 和 可指定为任 意值。
图14—5
§14.3 单元刚度矩阵
（整体坐标系）
选用局部坐标系的目的是希望导 出的单元刚度矩阵具有最简单的 形式。 为了便于进行整体分析，必须选 用一个统一的公共坐标系，称为 整体坐标系。为了区别，用 表示局部坐标，用 表示整体 坐标。
第十四章 矩阵位移法
§14.1 概 述
结构矩阵分析方法是电子 计算机进入结构力学领域 而产生的一种方法。
结构矩阵分析是以传统结构 力学作为理论基础、以矩阵 作为数学表达形式、以电子 计算机作为计算手段的三位 一体的方法。
结构力学传统方法与结构矩阵分析 方法，二者同源而有别：在原理上 同源，在作法上有别。简单地说， 前者在“手算”的年代形成，后者 则着眼于“电算”，计算手段的不 同，引起计算方法的差异。
K①表示单元①对刚度矩阵提供的贡献， 称为单元①的贡献矩阵。
其中
K②
（14－32）
K②称为单元②的贡献矩阵。 将式（10-27）和式（10-31）叠加， 得： F=F①+F②=(k①+k②) （14－33） 由此得出整体刚度矩阵K为 K=K①+K②= （14－34）
单元集成法求整体刚度矩阵的步 骤可表示为
（14－8）
数学 提法 力学 模型
为任意指定值， 量。
把单元按“两端有六个人工控 制的附加约束的杆件”（位移 法 基 本 体 系 ） 来 分 析 —— 由控制附加约束而加以指定。 为任意值时， 都有 解，且为唯一解。 总是一个平衡力系，不可 能是不平衡力系。
把单元按“两端自由的杆件” 来分析 —— 直接加在 自由端作为指定的杆端力。
（14－1）
由杆端轴向位移 可推算出相应的杆端轴向力
图14-3
（14－2）
4
由杆端横向位移 和转角 可推算出相应的杆端横向力
（8－5）
根据转角位移方程
和杆端力矩
（8－6） （14－3）
将刚度方程写成矩阵形式
上式可记为：
（14－5）
（14－4）
5
其中:
2．单元刚度矩阵的性质
（14－6）
1）单元刚度系数的意义
元素的原行 码(i) 原列码（j） 原排在(i)行 （j）的元素
改在 行 列
总之，由 求 的问题实质上就是 中的元素在 中如何定位的问题。定 位规则是： （14－36） 参见下表:
单元
单元刚度矩 阵 （1）（2） （1）4i1 2i1 （2）2i1 4i1
单元定位向 量
单元贡献矩阵
(1) (2) ↓ ↓ 1 2 3 （1）→1 4i1 2i1 0 （2）→2 2i1 4i1 0 3 0 0 0
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（1）
单元坐标转换矩阵
图14－6a所示为一单元e，局部坐 标系中的杆端力分量用 表示。整体坐标系中则用 表示，如图14－6b所示。 图14—6
显然，二者有下列关系：
将式（14－11）写成矩阵形式：
（14－11）
（14－12）
式中T称为单元坐标转换矩阵
或简写成
（14－13） （14－14）
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单元坐标转换矩阵T为一正 交阵。因此，其逆矩阵等于 其转置矩阵 T－1＝T T 或 T TT＝T T T＝I
例 14—1
试求图14—7所示刚架中各单元在整体坐标 系中的刚度矩阵 。设各杆的杆长和截面 尺寸相同。 bh＝0.5m 1m(截 面尺寸)
图14—7
解:
（1）
局部坐标系中的单元刚度矩 阵
由于单元①、②尺寸相同，故 ①与 ②
由式（14—6）得
11
（2） 整体坐标系中的单元刚度矩阵
① ②
=
=
单元
①：
①
③
（1）（2） （1）4i1 2i1 （2）2i1 4i1
(1)→3 (2)→0
（1）→1 （2）→2 3
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对下图14-15，可导出其整体刚度矩阵： 图14-8a所示为下图14-14为例的反问 题力学模型。当F为指定值时，均可 得 的唯一解，故 是存在的。 图14－15 图14－14 （4）K是稀疏矩阵和带状矩阵。 （14－37）
中的每个元素称为单元刚度系数， 代表由于单位杆端位移所引起的 杆端力。
其中
（14－6）
2） 是对称矩阵 中某一列的六个元素 分别表示当某个杆端位 移分量等于1时所引起的 六个杆端力分量。
的对称性是指其元素有 如下关系：
（14－7）
6
正问题
反问题
为待求 为任意指定值， 量。 为待求
3）一般单元的 是奇异矩阵 的奇异性是指其行列式等 于零，即
2
§14.2 单元刚度矩阵 （局部坐标系）
本节和下一节对平面结构 的杆件单元进行单元分析， 得出单元刚度方程和单元 刚度矩阵。
位移法中给出的转角位 移方程实际上就是梁单 元的刚度方程。梁单元 是杆件单元的特例。
本节推导单元刚度方程时 有几点新的考虑：重新规 定正负号规则，讨论杆件 单元的一般情况，采用矩 阵表示形式。
（14—15） （14—16）
式（14—13）的逆转换式为
（14—17）
设局部坐标系中单元杆端 位移列阵为 ，整体坐标 系中单元杆端位移列阵 为 ，则
（14—18）
（14—19）
（2） 整体坐标系中的单元 刚度矩阵 单元杆端力与杆端位移在整 体坐标系中的关系式可写为
（14—20）
单元 e 在局部坐标系中的刚 度方程为
现以图14-8a所示连续梁为例，说 明上过程： 将k①集成后，得到： 在此基础上将k②集成得最终结果：
例14-2 试求图14-13a所示连续梁 得整体刚度矩阵K 解 （1）结点位移分量 ② ③
图14－13
（3）单元集成过程
4.整体刚度矩阵的性质
单 元 ① 单元刚度矩阵
k①＝
（ a） （14－25） （b）
图14－10
由（a）和（b）得： （14－26） （14－27）
其次，考虑单元②的贡献。力学模型 见图14-11所示。 图14－11 已知 k②＝ （14－29） （14－30） （14－31）
记为 F3①＝K① 其中 K① ＝
（14－28）
故得 记为F②=K②
举例来说，计算连续梁时，我们通常忽略 轴向变形。如取每跨梁作为单元（图14－ 4），则只有两个杆端位移分量 可指定 为任意值，而其余四个分量均已知为零：
（a）
将式（a）代入式（14－4），即自动得 出此特殊单元的刚度方程如下：
（14－9）
图14—4
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此时单元刚度矩阵为 某些特殊单元的刚度矩阵是 可逆的。例如式（14－10） 中的 ，其逆矩阵存在。
式（14-22）或(14-23)称为整体刚度 方程，K称为整体刚度矩阵。
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首先，考虑单元①的贡献，力学模型 见图14-10。整个结构的结点力是由单 元①单独产生的，记为 F①=(F1① F2② F3③)T
F1①表示单元①对结构结点力F的贡献。 F1①和F2②可由单元①的单元刚度矩阵 k①算出。已知 F3① ＝ 0 得：
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对于图14-8a所示的连续梁，位移法 基本体系如图14－8b所示。
位移法的基本未知量为节点转角 , , , 他们可指定为任意值，在基本体系中用 控制附加约束加以指定。他们组成整体 结构的节点位移向量：
1 2 3
与
图14－8
对应的力是附加约束的力偶 它们组成整体结构的结点力向量
F。
在传统作法中，分别考虑每个结点转 角 独自引起的节点力偶，如图 14-9 a、b﹑c所示。
图14-1所示为平面刚架中的 一个等截面直杆单元e
1.一般单元
图14—1
3
在局部坐标系中，一般单元 的每端各有三个位移分量 和对应的三个力分量
图14-2中所示的位移、力分 量方向为正方向。
图14—2
形成单元杆端位移向量 和单元杆端力向量 如下： 单元刚度方程是指由单元杆 端位移求单元杆端力时所建 立的方程——记为
（a）
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将 式 （ 14—13 ） 和 （ 14—18 ） 代入式（a），得到
等式两边各前乘 ，并引入式 （14—16），得
（b）
表较式（b）与（14—20）， 可知
（14—21）