图论之二部图图形解析
第8章-图论
第8章 图论
定义8.2―2 ：路径P中所含边的条数称为路径P的
长度。长度为0的路径定义为单独一个顶点。(但注意习惯上 不定义长度为0的回路。) 定义8.2―3：在图G=〈V,E〉中,从结点vi到vj最短路径的 长度叫从vi到vj的距离,记为d(vi,vj)。若从vi到vj不存在路径,则 d(vi,vj)=∞。 注意,在有向图中,d(vi,vj)不一定等于d(vj,vi),但一般地满足 以下性质: (1) d(vi,vj)≥0; (2) d(vi,vi)=0; (3) d(vi,vj)+d(vj,vk)≥d(vi,vk)。
个图是混合图。
我们仅讨论有向图和无向图,且V(G)和E(G)限于有限集合。
第8章 图论
图 8.1―2
第8章 图论
【约定】：用〈a,b〉表示有向边，(a,b)表示无向边, 既表示有向边又表示无向边时用［a,b］。 于是,图8.1―1中的G和图8.1―2中的G′可分别简记为 G=〈V,E〉=〈{a,b,c,d},{(a,b),(a,c),(b,d),(b,c),(d,c),(a,d),(b,b)}〉
边的方向)和边的重数；
则这两个图是同构的,两个同构的图除了顶点和边的名称不 同外实际上代表同样的组合结构。
第8章 图论
例8.1-2
(1) 图8.1―6所示的(a)、(b)两图是同构的。因为可 作映射:g(1)=v3,g(2)=v1,g(3)=v4,g(4)=v2。在这映射下,边 〈1,3〉,〈1,2〉,〈2,4〉和〈3,4〉分别映射到〈v3,v4〉, 〈v3,v1〉,〈v1,v2〉和〈v4,v2〉,而后面这些边又是(b)中 仅有的边。
在V上的函数，g是定义在E上的函数。
第8章 图论
图 8.1―4
二部图与完全二部图精讲
哈密尔顿图
与欧拉回路类似的是哈密尔顿回路问题。 它是1859年哈密尔顿首先提出的一个关于 12面体的数学游戏： 能否在下页图中找到 一个回路，使它含有图中所有结点一次且 仅一次？ 若把每个结点看成一座城市，连 接两个结点的边看成是交通线，那么这个 问题就变成能否找到一条旅行路线，使得 沿着该旅行路线经过每座城市恰好一次， 再回到原来的出发地呢？为此，这个问题 也被称作周游世界问题。
(1) G中无圈, 则G必有一个度数为1的顶点v, 删除v及它关 联的边, 记作G . G 连通, 有n-1个顶点, k条边和r个面. 由归 纳假设, (n-1)-k+r=2, 即n-(k+1)+r=2, 得证m=k+1时结论成立.
(2) 否则,删除一个圈上的一条边,记作G . G 连通, 有n个顶 点,k条边和r-1个面. 由归纳假设, n-k+(r-1)=2, 即n-(k+1)+r=2, 得证m=k+1时结论也成立. 证毕.
但我们继续考察(b)图可以发现， 该图中有一条路 v2v3v4v5v2v1v5， 它经过(b)图中的每条边一次且仅
一次， 我们把这样的路称为欧拉路。
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定义2 通过图G的每条边一次且仅一次的 路称为图G的欧拉路。 对于欧拉路有下面
的判定方法。
定理2 连通图G具有一条连接结点vi和vj的 欧拉路当且仅当vi和vj是G中仅有的两个奇
s=|V2|.
注意: n 阶零图为二部图.
2
二部图的判别法
定理 无向图G=<V,E>是二部图当且仅当G中无奇圈 例 下述各图都是二部图
3
欧拉图
历史上的哥尼斯堡七桥问题是著名的图论问题。 问题是这样的： 18世纪的东普鲁士有个哥尼斯堡
二部图与完全二部图课堂PPT
由题意，对每个结点vi，有 deg(vi)＝2（i∈Ｎ5）。
则对任两点vi， vj（i， j∈Ｎ5）均有 deg(vi)＋deg(vj)＝2＋2＝4＝5－1
可知此图一定有一条哈密尔顿路，本题有解。
22
23
数度结点。
7
我国民间很早就流传一种“一笔画” 游戏。 由定理1和定理2知， 有两种情 况可以一笔画。
1) 如果图中所有结点是偶数度结点， 则可以任选一点作为始点一笔画完；
2) 如果图中只有两个奇度结点， 则 可以选择其中一个奇度结点作为始点也 可一笔画完。
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【例】下图是一幢房子的平面图形， 前门进 入一个客厅， 由客厅通向4个房间。 如果要 求每扇门只能进出一次， 现在你由前门进去， 能否通过所有的门走遍所有的房间和客厅， 然后从后门走出。
中每边一次且仅一次的回路， 则该回路为欧拉回路。 具有欧拉回路的图称为欧拉图。
例如， 给出如图3所示的两个图， 容易看出，
(a)是欧拉图， 而(b)不是欧拉图。
5
定理 1 连通图G是欧拉图的充要条件是G的所
有结点的度数都是偶数。
下图中， (a)图的每个结点的度数都为４， 所以它是 欧拉图；(b)图不是欧拉图。
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解: 将4个房间和一个客厅及前门外和后门外 作为结点， 若两结点有边相连就表示该两结
点所表示的位置有一扇门相通。 由此得图 (b)。
由于图中有4个结点是奇度结点， 故由定理 7.4.2知本题无解。
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类似于无向图的结论， 对有向图有以下 结果。 定理3 一个连通有向图具有（有向）欧 拉回路的充要条件是图中每个结点的入 度等于出度。 一个连通有向图具有有向 欧拉路的充要条件是最多除两个结点外 的每个结点的入度等于出度， 但在这两 个结点中， 一个结点的入度比出度大1， 另一个结点的入度比出度少1。
二分体 图论
二分体图论
1.定义
二分图，又称二部图，是图论中的一种特殊模型。
设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集（A,B），并且图中每条边（i,j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G是一个二分图。
2.判定
无向图G={V, E},如果可以把结点分成不相交的两部分，即X和Y，使得每条边的其中一个端点在X中，另一个端点在Y中，则称图G 是二分图。
二分图-无奇数图
无向图G为二分图的充分必要条件是，G至少有两个顶点,且其所有回路的长度均为偶数。
3.性质
1.最小点覆盖=最大匹配数
2.最小边覆盖=点数-最小点覆盖（最大匹配数）
3.最小路径覆盖=原图的结点数-新图的最大匹配数。
4.最大独立集=点数-最小点覆盖（最大匹配数）
4.匹配
二分图匹配：给定一个二分图G={V, E}，将E的子集M称作一个匹配，如果M中的任意两条边都没有公共端点。
多重匹配：二分图中某些点可以被匹配多次。
最大匹配：包含的边数最多的匹配。
X(Y) -完全匹配：X(Y)中的所有顶点都出现在匹配M中。
完全匹配：所有的点都在匹配边上的匹配（M既是X-完全匹配，又是Y-完全匹配）。
最佳匹配：如果G为加权二分图，则权值和最大的完美匹配称为最佳匹配。
5.相关算法：
二分图最大匹配：匈牙利算法、HK算法、网络流最大流
二分图多重匹配：网络流最大流
二分图最佳匹配：KM算法、网络流最大流。
二分图理论
*7.5 二部图及匹配7.5.1二部图在许多实际问题中常用到二部图，本节先介绍二部图的基本概念和主要结论，然后介绍它的一个重要应用—匹配。
定义7.5.1 若无向图,G V E =的顶点集V 能分成两个子集1V 和2V ，满足（1）12V V V =，12V V φ=；（2）(,)e u v E ∀=∈，均有1u V ∈，2v V ∈。
则称G 为二部图或偶图(Bipartite Graph 或Bigraph)，1V 和2V 称为互补顶点子集，常记为12,,G V V E =。
如果1V 中每个顶点都与2V 中所有顶点邻接，则称G 为完全二部图或完全偶图(Complete Bipartite Graph)，并记为,r s K ，其中12,r V s V ==。
由定义可知，二部图是无自回路的图。
图7-55中，(),(),(),(),()a b c d e 都是二部图，其中(),(),(),()b c d e 是完全二部图1,32,32,43,3,,,K K K K 。
图7-55二部图示例显然，在完全二部图中,r s K 中，顶点数n r s =+，边数m rs =。
一个无向图如果能画成上面的样式，很容易判定它是二部图。
有些图虽然表面上不是上面的样式，但经过改画就能成为上面的样式，仍可判定它是一个二部图，如图7-56中()a 可改画成图()b ，图()c 可改画成图()d 。
可以看出，它们仍是二部图。
图7-56二部图示例定理7.5.1 无向图,G E =为二部图的充分必要条件为G 中所有回路的长度均为偶数。
证明 先证必要性。
设G 是具有互补节点子集1V 和2V 的二部图。
121(,,,,)k v v v v 是G 中任一长度为k 的回路，不妨设11v V ∈，则211m v V +∈，22m v V ∈，所以k 必为偶数，不然，不存在边1(,)k v v 。
再证充分性。
设G 是连通图，否则对G 的每个连通分支进行证明。
算法学习：图论之二分图的最优匹配(KM算法)
二分图的最优匹配（KM算法）KM算法用来解决最大权匹配问题：在一个二分图内，左顶点为X，右顶点为Y，现对于每组左右连接XiYj有权wij，求一种匹配使得所有wij的和最大。
基本原理该算法是通过给每个顶点一个标号（叫做顶标）来把求最大权匹配的问题转化为求完备匹配的问题的。
设顶点Xi的顶标为A[ i ]，顶点Yj的顶标为B[ j ]，顶点Xi与Yj之间的边权为w[i,j]。
在算法执行过程中的任一时刻，对于任一条边(i,j)，A[ i ]+B[j]>=w[i,j]始终成立。
KM算法的正确性基于以下定理：若由二分图中所有满足A[ i ]+B[j]=w[i,j]的边(i,j)构成的子图（称做相等子图）有完备匹配，那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配。
首先解释下什么是完备匹配，所谓的完备匹配就是在二部图中，X点集中的所有点都有对应的匹配或者是Y点集中所有的点都有对应的匹配，则称该匹配为完备匹配。
这个定理是显然的。
因为对于二分图的任意一个匹配，如果它包含于相等子图，那么它的边权和等于所有顶点的顶标和；如果它有的边不包含于相等子图，那么它的边权和小于所有顶点的顶标和。
所以相等子图的完备匹配一定是二分图的最大权匹配。
初始时为了使A[ i ]+B[j]>=w[i,j]恒成立，令A[ i ]为所有与顶点Xi关联的边的最大权，B[j]=0。
如果当前的相等子图没有完备匹配，就按下面的方法修改顶标以使扩大相等子图，直到相等子图具有完备匹配为止。
我们求当前相等子图的完备匹配失败了，是因为对于某个X顶点，我们找不到一条从它出发的交错路。
这时我们获得了一棵交错树，它的叶子结点全部是X顶点。
现在我们把交错树中X顶点的顶标全都减小某个值d，Y顶点的顶标全都增加同一个值d，那么我们会发现：1）两端都在交错树中的边(i,j)，A[ i ]+B[j]的值没有变化。
也就是说，它原来属于相等子图，现在仍属于相等子图。
2）两端都不在交错树中的边(i,j)，A[ i ]和B[j]都没有变化。
图论及其应用PPT课件
图论及其应用第一章
1.2 图的同构
由前已知，同一个图有不同形状的图示。反过来， 两个不同的图也可以有形状相同的图示。比如：
u2
u3
可见 G1 和 G2 的顶点及边之间都一一对应，且连
接关系完全相同，只是顶点和边的名称不同而已。这
样的两个图称为是同构的(isomorphic)。
-29-
图论及其应用第一章
v1
(i=1,2,3,4,5,6)下是同构的。
x1
y1
v6
y3
x2
v2
x3
y2
v4
v3
-31-v5
图论及其应用第一章 画出所有的阶数不大于4，大小为3的所有非同构 简单图：
-32-
图论及其应用第一章 画出阶数为5大小为3的所有非同构简单图
G1
G2
G3
G4
-33-
图论及其应用第一章
无标号的图 注：判断两个图是否同构目前没有好算法。
图论起源于18世纪的一个游戏----俄罗斯的哥尼斯堡七桥问 题。
（1736年 瑞士数学家欧拉——图论之父）
-2-
图论及其应用第一章
七桥问题
C
A
D
B
包含两个要素：对象（陆 地）及对象间的二元关系 （是否有桥连接）
转化
Euler 1736年
C
A
D
B 图论中讨论的图
问题：是否能从A，B，C，D 转化 中的任一个开始走，通过每 座桥恰好一次再回到起点？
从数学上看，同构的两个图，其顶点间可建立一 一对应，边之间也能建立一一对应，且若一图的两点 间有边，则在另一图中对应的两点间有对应的边。严 格的数学定义如下。
定义: 两个图G = (V (G), E(G)) 与H = (V (H), E(H)) ， 如果存在两个一一映射：
图论及其应用
图和子图 图和简单图图 G = (V, E)V ---顶点集，ν---顶点数12ε E ---边集， ε---边数例。
左图中， V={a, b,......,f}, E={p,q, ae, af,......,ce, cf} 注意， 左图仅仅是图G 的几何实现（代表）， 它们有无穷多个。
真正的 图G 是上面所给出式子，它与顶点的位置、边的形状等无关。
不过今后对两者将经常不加以区别。
称 边 ad 与顶点 a (及d) 相关联。
也称 顶点 b(及 f) 与边 bf 相关联。
称顶点a 与e 相邻。
称有公共端点的一些边彼此相邻，例如p 与af 。
环（loop ，selfloop ）：如边 l 。
棱（link ）：如边ae 。
重边：如边p 及边q 。
简单图：（simple graph ）无环，无重边 平凡图：仅有一个顶点的图（可有多条环）。
一条边的端点：它的两个顶点。
记号：νε()(),()().G V G G E G ==。
习题1.1.1 若G 为简单图，则εν≤⎛⎝ ⎫⎭⎪2 。
1.1.2 n ( ≥ 4 )个人中，若每4人中一定有一人认识其他3人，则一定有一 人认识其他n-1人。
同构在下图中， 图G 恒等于图H , 记为 G = H ⇔ VG)=V(H), E(G)=E(H)。
图G 同构于图F ⇔ V(G)与V(F), E(G)与E(F)之间 各 存在一一对应关系，且这二对应关系保持关联关系。
记为 G ≅F。
注 往往将同构慨念引伸到非标号图中，以表达两个图在结构上是否相同。
de f G = (V , E )yz w cG =(V , E )w cyz H =(V ’, E ’)’a ’c ’y ’e ’z ’F =(V ’’, E ’’)注 判定两个图是否同构是NP-hard 问题。
完全图(complete graph) Kn空图（empty g.） ⇔ E = ∅ 。
V’ ( ⊆ V) 为独立集 ⇔ V’中任二顶点都互不相邻。
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*7.5 二部图及匹配 7.5.1二部图 在许多实际问题中常用到二部图，本节先介绍二部图的基本概念和主要结论，然后介绍它的一个重要应用—匹配。
定义7.5.1 若无向图,G V E =的顶点集V 能分成两个子集1V 和2V ，满足（1）12V V V =U ，12V V φ=I ；（2）(,)e u v E ∀=∈，均有1u V ∈，2v V ∈。
则称G 为二部图或偶图(Bipartite Graph 或Bigraph)，1V 和2V 称为互补顶点子集，常记为12,,G V V E =。
如果1V 中每个顶点都与2V 中所有顶点邻接，则称G 为完全二部图或完全偶图(Complete Bipartite Graph)，并记为,r s K ，其中12,r V s V ==。
由定义可知，二部图是无自回路的图。
图7-55中，(),(),(),(),()a b c d e 都是二部图，其中(),(),(),()b c d e 是完全二部图1,32,32,43,3,,,K K K K 。
图7-55二部图示例显然，在完全二部图中,r s K 中，顶点数n r s =+，边数m rs =。
一个无向图如果能画成上面的样式，很容易判定它是二部图。
有些图虽然表面上不是上面的样式，但经过改画就能成为上面的样式，仍可判定它是一个二部图，如图7-56中()a 可改画成图()b ，图()c 可改画成图()d 。
可以看出，它们仍是二部图。
图7-56二部图示例定理7.5.1 无向图,G E =为二部图的充分必要条件为G 中所有回路的长度均为偶数。
证明 先证必要性。
设G 是具有互补节点子集1V 和2V 的二部图。
121(,,,,)k v v v v L 是G 中任一长度为k 的回路，不妨设11v V ∈，则211m v V +∈，22m v V ∈，所以k 必为偶数，不然，不存在边1(,)k v v 。
再证充分性。
设G 是连通图，否则对G 的每个连通分支进行证明。
设,G V E =只含有长度为偶数的回路，定义互补节点子集1V 和2V 如下：任取一个顶点0v V ∈，令10{()(,)}V v v V d v v =∈∧为偶数21V V V =-现在证明1V 中任意两节点间无边存在。
假若存在一条边(,)i j v v E ∈，且1,i j v v V ∈，则由0v 到i v 间的最短路（长度为偶数）， 边(,)i j v v 和j v 到0v 间的最短路（长度为偶数）所组成的回路的长度为奇数，与假设矛盾。
同理可证2V 中任意两节点间无边存在。
故G 中的每条边必具有形式(,)i j v v ，其中1i v V ∈，2j v V ∈， 即G 是具有互补节点子集1V 和2V 的一个二部图。
利用定理7.5.1可以很快地判断出图7-57中的()a 、()c 是二部图，而()b 则不是二部图。
图7-57例7.5.1 六名间谍,,,,,a b c d e f 被擒，已知a 懂汉语、法语和日语，b 懂德语、俄语和日语，c 懂英语和法语，d 懂西班牙语，e 懂英语和德语，f 懂俄语和西班牙语，问至少用几个房间监禁他们，能使在一个房间里的人不能直接对话。
解 以六人,,,,,a b c d e f 为顶点，在懂共同语言的人的顶点间连边得图G （如图7-58()a 所示），因为G 中没有奇圈，所以G 是二部图（如图7-58()b 所示），故至少应有两间房间即可。
图7-58 7.5.2 匹配二部图的主要应用是匹配，“匹配”是图论中的一个重要内容，它在所谓“人员分配问题”和“最优分配问题”等运筹学中的问题上有重要的应用。
首先看实际中常碰见的问题：给n 个工作人员安排m 项任务，n 个人用12{,,,}n V x x x =L 表示。
并不是每个工作人员均能胜任所有的任务，一个人只能胜任其中(1)k k ≥个任务，那么如何安排才能做到最大限度地使每项任务都有人做，并使尽可能多的人有工作做？例如，现有12345,,,,x x x x x 五个人，12345,,,,y y y y y 五项工作。
已知1x 能胜任1y 和2y ，2x 能胜任2y 和3y ，3x 能胜任2y 和5y ，4x 能胜任1y 和3y ，5x 能胜任3y 、4y 和5y 。
如何安排才能使每个人都有工作做，且每项工作都有人做？显然，我们只需构造这样的数学模型：以i x 和j y （i ，j =1，2，3，4，5）为顶点，在i x 与其胜任的工作j y 之间连边，得二部图G ，如图7-59所示，然后在G 中找一个边的子集，使得每个顶点只与一条边关联（图中粗线），问题便得以解决了。
这就是所谓匹配问题，下面给出匹配的基本概念和术语。
图7-59匹配问题示意图定义7.5.2 设无向图,G V E =，G 中有边集M ⊆E ，且在M 中任意两条边都没有公共的端点，称边集M 为图G 的一个匹配(Matching)。
M 中一条边的两个端点，叫做在M 下是配对的。
如果G 中不存在匹配1M ，使得1M M >，则称M 为最大匹配(Maximum Matching)。
对于G 的一个匹配M ，若节点v 与M 中的边关联，则称v 是M 饱和的(Saturated)，否则称v 是M 不饱和的。
定义7.5.3 设二部图12,,G V V E =，M 是G 的一个匹配。
若1v V ∀∈，v 均是M 饱和的，则称M 是1V 对2V 的完全匹配（简称1V ―完全匹配）；若2v V ∀∈，v 均是M 饱和的，则称M 是2V 对1V 的完全匹配（简称2V —完全匹配）。
若M 既是1V ―完全匹配，又是2V ―完全匹配（即图G 的每个顶点都是饱和的），则称M 是完全匹配(Complete Matching)。
显然，完全匹配是最大匹配，但反之不然。
例7.5.2（1）在图7-59中，边集1122354354{(,),(,),(,),(,),(,)}M x y x y x y x y x y =是一个匹配，而且是是一个最大和完全匹配。
（2）在图7-60()a 中，边集1{(1,5),(2,7),(3,9),(4,8)}M =和2{(1,6),(2,7),(3,9)M =，(4,8)}都是图G 的最大匹配，也是1V ―完全匹配，但不是完全匹配。
在图7-60()b 中，边集{(1,4),(2,5),(3,6)}M =是完全匹配。
图7-60为了寻求二部图的最大匹配，下面交替路和可扩路两个概念。
定义7.5.4 设12,,G V V E =是一个二部图，M 是图G 的一个匹配，L 是G 中的一条路，如果L 是由属于M 和不属于M 的边交替出现组成，则称L 为G 的M 交替路(Alternating Path)。
如果交替路L 的始点和终点都是M 不饱和点，则称L 为G 的M 可扩路(M —Extensible Path)。
例如，在图7-60()a 中，对于匹配{(1,6),(2,7),(3,9)}M =，路1:16273L ，2:27394L ，3:5394L ，4:51627394L 都是M 交替路，其中34,L L 的始点和终点都是M 不饱和点，所以这两条路是M 可扩路。
可扩路具有如下性质：可扩路的长度必为奇数，且属于M 的边比不属于M 的边少1条。
如果在一条可扩路中把属于M 中的边从匹配中去掉，把不属于M 中的边添入到匹配中， 则得到新的匹配1M ，1M 的边数比M 多１。
例如，在图7-60()a 中，对于匹配{(1,6),(2,7),(3,9)}M =，4:51627394L 是M 可扩路，将4L 中属于M 中的边(1,6)，(2,7)，(3,9)从匹配M 中去掉， 把不属于M 中的边(5,1),(6,2),(7,3),(9,4)添入到匹配M 中，则得到新的匹配1{(5,1),(6,2),(7,3),(9,4)}M =，1M 中的边数由M 中的3条增至4条。
如果图中还存在可扩路， 再按上面的步骤做， 所得到的匹配的边数又多１，一直到图G 中不存在可扩路为止。
用此方法可逐步得到较大的匹配，直至得到最大匹配。
这就是下面的定理。
定理7.5.2 在图G 中，M 为最大匹配的充分必要条件是不存在可扩路。
证明 先证必要性。
用反证法。
假设G 中存在一条M 可扩路，则可以得到比M 的边数多１的匹配，与M 为最大匹配矛盾。
所以G 中不存在M 可扩路。
再证充分性。
用反证法。
假设M 不是最大匹配，则存在匹配1M ，使得1M M >。
令21M M M =⊕（⊕为对称差运算），设由2M 导出的G 的子图2[]G M H =，因为M 和1M 都是G 的匹配，所以H 的任意顶点或是只与M （或1M ）中的一条边相关联，或是同时与M 的一条边及1M 的一条边相关联，其度数至多为2，于是H 的每个连通分支或者是一个边交错地属于M 与1M 的长度为偶数的回路，或者是边交错地属于M 与1M 的长度为奇数的交错路。
由于1M M >，因而H 中必有一个连通分支P ，它所含的属于1M 的边比属于M 的边多，P 不是回路（因为回路的长度均为偶数），它的起点和终点都是M 不饱和的，也一定是G 中的M 不饱和点，因此在G 中存在关于M 的可扩路，这与假设矛盾。
求一般图的最大匹配过程比较复杂，下面仅讨论如何在二部图中求最大匹配的问题。
设二部图12,,G V V E =，在G 中求最大匹配的关键是寻找可扩路。
通常是先构造G 的一个匹配M ，再看1V 中有没有M 不饱和点。
如果没有，那么M 肯定是最大匹配了；如果有， 我们就从这些点出发找M 可扩路，由M 可扩路做出一个更大的匹配。
寻找M 可扩路的一个有效方法是标记法， 其过程如下：首先在G 中作一个匹配M ，用（*）标记1V 中所有M 不饱和点， 然后交替地进行以下步骤（１）和（２）。
（１）选一个1V 的新标记过的节点，比如i x ， 用（i x ）标记不通过M 中的边与i x 邻接且未标记过的2V 的所有节点。
对1V 所有新标记过的节点重复这一过程。
（２）选一个2V 的新标记过的节点，比如j y ， 用（j y ）标记通过M 中的边与j y 邻接且未标记过的1V 的所有节点。
对2V 所有新标记过的节点重复这一过程。
执行以上步骤， 直至标记到一个2V 中的M 不饱和点。
从该节点倒向追踪到标记有（*）的节点，就得到一条M 可扩路。
于是也就得到一个边数为|M |＋１的匹配， 再返回（１）。
如果已不可能标记更多的节点，而2V 的所有标记的节点均为M 饱和点，则说明G 中已不存在M 可扩路，这时M 就是最大匹配。
例7.5.3 图7-61()a 是一个二部图， 求其最大匹配。