初中数学：不等式ppt
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不等式及其性质ppt课件
位置吗？
（不可随意互换位置）
(3)什么叫不等式？
（用不等号表示不等关系的式子叫不等式）
练习：
1.判断下列式子哪些是不等式？为什么？
√(1)3＞ 2 √(2)a2+1＞ 0 (3)3x2+2x
√(4)＜ 2x+1
(5)x=2x-5
√(6)x2+4x＜ 3x+1
√(7)a+b≠c
2.用“＞”或“＜”填空： (1)4＞-6 (2)-1＜0 (3)-8＜-3 (4)-4.5＜-4
小结： 1.掌握不等式是否成立的判断方法； 2.依题意列出正确的不等式. （留意：表示不等关系的词语要用
不等号来表示，“不大于〞即“≤”， “不小于〞即“≥” ）
1.什么是等式？ 2.等式的基本性质是什么？ 3.用“＞”或“＜”填空：
7 + 3 ＞4 + 3 7 +（-3） ＞4 +（-3） 7×3 ＞4×3 7×（-3） ＜ 4×（-3）
2.已知数值：-5, 0.5, 3, 0, 2, -2.5, 5.2 (1)判别:上述数值，哪些使不等式x+3＜6
成立？哪些使之不成立？ (2)说出几个使不等式x+3＜6成立的x的值，
及使之不成立的x的值.
总结：判断不等式是否成立的方法-------不等号两边的大小关系是否与不等号一致
反馈练习：
1.当x取下列数值时，哪些是不等式 x+3＞6解？
2.统计全班同学的年龄，年龄最大者为16岁， 可以知道全班每个同学的年龄都小于17岁；
若设物体A的重量为x克；某天的气温为 t℃； 本班某同学的年龄为a岁，上述不等关系能 用式子
思考教材的3个问题
不等式性质PPT课件
等式的性质2: 等式两边同乘一个数，或除以同 一个不为0的数，结果仍相等．
引课
SUCCESS
THANK YOU
2019/7/30
不等号的方向 不变.
不等式的性质3 不等式的两边 乘（或除以） 同一个负数， 不等号的方向 改变 。
※ 根据不等式性质的解不等式。 ※ 数学思想：类比思想，分类思想，数形结合思想。
课后作业
教科书：128页第5，6，7题。
温故而知新
等式的性质1: 等式两边加(或减)同一个数（或式 子），结果仍相等．
9.1 .2 不等式的性质
向阳学校 陈连菊
温故而知新
b
a
a=b
bc
பைடு நூலகம்
ac
a=b a+c = b+c 复习
b a
a>b
cb ca
a>b a+c > b+c
新课探究1：
32＞ 15 32﹢5＞15 + 5 32－10＞ 15－10 32+ x ＞ 15+ x
没有比较，就没有鉴别
不等式的性质1 不等式两边加（或减）同一个数 11111111111111(或式子)，不等号的方向不不变变.
2＞3，哪里错了？
已知：2x ＞3x,
两边同除以x得：2＞3 。
细心的同学们，你知道哪里错了吗？
解 ∵ 2x ＞ 3x ∴ x<0 ∴不等式两边同除以一个负数 ，不等号的方向
改变，得：2＜3
课堂小结：回味无穷
※ 不等式的性质1 不等式边 加（或减）同一个数(或式子) ，
不等号的方向 不变 . 不等式的性质2 不等式的两边 乘（或除以）同一，个正数
引课
SUCCESS
THANK YOU
2019/7/30
不等号的方向 不变.
不等式的性质3 不等式的两边 乘（或除以） 同一个负数， 不等号的方向 改变 。
※ 根据不等式性质的解不等式。 ※ 数学思想：类比思想，分类思想，数形结合思想。
课后作业
教科书：128页第5，6，7题。
温故而知新
等式的性质1: 等式两边加(或减)同一个数（或式 子），结果仍相等．
9.1 .2 不等式的性质
向阳学校 陈连菊
温故而知新
b
a
a=b
bc
பைடு நூலகம்
ac
a=b a+c = b+c 复习
b a
a>b
cb ca
a>b a+c > b+c
新课探究1：
32＞ 15 32﹢5＞15 + 5 32－10＞ 15－10 32+ x ＞ 15+ x
没有比较，就没有鉴别
不等式的性质1 不等式两边加（或减）同一个数 11111111111111(或式子)，不等号的方向不不变变.
2＞3，哪里错了？
已知：2x ＞3x,
两边同除以x得：2＞3 。
细心的同学们，你知道哪里错了吗？
解 ∵ 2x ＞ 3x ∴ x<0 ∴不等式两边同除以一个负数 ，不等号的方向
改变，得：2＜3
课堂小结：回味无穷
※ 不等式的性质1 不等式边 加（或减）同一个数(或式子) ，
不等号的方向 不变 . 不等式的性质2 不等式的两边 乘（或除以）同一，个正数
基本不等式课件(共43张PPT)
02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系，结合不等式的性质（如传递性、可加
性等），推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点，构造一个辅助函数，通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式，可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成 立，从而推导出原不等式。
利数，可以利用中间值定理 来证明存在某个点使得函数值满足给 定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质， 来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导，来证 明对于所有正整数n，原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$，且$p < q$，有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$，用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$，用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$，有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，用于证明与内积有关的不等式问题。
不等式完整PPT课件
学习 提示
与 只是符号，而不表示具体的数.
返回
• 问题：
• 一次函数的图像、一元一次方程与一元一次不等式之间 存在着哪些联系？
• 比如： • 一次函数：y=2x-6 • 一元一次方程：2x-6=0 • 一元一次不等式：2x-6>0或2x-6<0
• 归纳： • 观察函数y=2x-6的图像：
• 方程2x-6=0的解恰好是函数图像与x轴交点的横坐标；在x 轴上方的函数图像所对应的自变量x的取值范围，恰好是 不等式2x-6>0的解集{x|x>3}；在x轴下方的函数图像所对 应的自变量x的取值范围，恰好是不等式2x-6<0的解集 {x|x<3}．
念
ax2+bx+c＞（≥）0 或 ax2+bx+c＜（≤）0， 其中，a、b、c 为常数，且 a≠0.
如果一元二次不等式中的二次项系数是负数，即 a 0 ，则可
以根据不等式的性质，将不等式两边同乘以 1，使其二次
项系数化为正数，然后再求解.
（1）当方程 ax2+bx+c=0 的判别式=b2-4ac＞0 时，方程有两个不相等 的实数根 x1、x2（x1＜x2），此时不等式 ax2+bx+c＞0 的解集为（-∞， x1）∪（x2，+∞）；不等式 ax2+bx+c＜0 的解集为（x1，x2）.
x a(a 0) 型不等式来求解.这种方法称为“变量替换法”或
“换元法”.
返回
返回
• 问题： • 资料显示：随着科学技术的发展，列车运行速度不断
提高．运行时速达200公里以上的旅客列车称为新时 速旅客列车．在北京与天津两个直辖市之间运行的， 设计运行时速达350公里的京津城际列车呈现出超越 世界的“中国速度”，使得新时速旅客列车的运行速度 值界定在200公里/小时与350 公里/小时之间．
不等式ppt课件
不等式的应用场景
01
02
03
04
数学领域
解决各种不等关系的问题，如 最值、范围等。
物理领域
描述物理现象和规律，如力学 、电磁学等。
经济领域
描述经济变量之间的关系，如 价格、成本等。
实际生活
描述日常生活中的不等关系， 如时间、距离等。
02
不等式的类型
算术平均数与几何平均数的不等式
总结词
算术平均数与几何平均数的不等式是一种基本的不等式，它反映了平均值与方 差之间的关系。
实际应用定义
描述实际生活中两个量之 间的不等关系，如价格、 距离等。
不等式的性质
加法单调性
即同向不等式相加，不等号不 改变方向。
反身性
任何实数都大于它本身。
传递性
如果a>b，b>c，则a>c。
乘法单调性
即不等式乘以一个正数，不等 号不改变方向；乘以一个负数 ，不等号改变方向。
非空性
不等式的两边都可以取无穷大 或无穷小。
03
不等式的证明方法
利用导数证明不等式
总结词
导数是一阶导数的简称，它描述了函数在某一点的变化率， 可以用来判断函数的单调性和凹凸性，从而帮助我们证明不 等式。
详细描述
首先，我们需要找到不等式两边的函数，然后求导，通过比 较导数值的大小来判断函数的单调性，从而得出不等式的证 明结论。
利用拉格朗日中值定理证明不等式
详细描述
柯西不等式表明，对于任何实数x 和y，都有$x^2+y^2 \geq 2xy$ ，当且仅当x=y时等号成立。这 个不等式在解决一些最优化问题 时非常有用。
排序不等式
总结词
排序不等式是一种基于排序原理的不 等式，它反映了有序实数之间的差值 与乘积之间的关系。
〔人教版〕不等式教学PPT课件
毛泽东 名人名言激励励志名言名语名句100句 （励志 古诗词 篇，附 出处） 51、错误和挫折教训了我们，使我们 比较地 聪明起 来了， 我们的 情就办 得好一 些。任 何政党 ，任何 个人， 错误总 是难免 的，我 们要求 犯得少 一点。 犯了错 误则要 求改正 ，改正 得越迅 速，越 彻底， 越好。
40、人生的旅途，前途很远，也很暗 。然而 不要怕 ，不怕 的人的 面前才 有路。 —— 鲁 迅 名人名言激励励志名言名语名句100句 （励志 古诗词 篇，附 出处）
41、人生像攀登一座山，而找寻出路 ，却是 一种学 习的过 程，我 们应当 在这过 程中， 学习稳 定、冷 静，学 习如何 从慌乱 中找到 生机。 席慕蓉 42、我们活着不能与草木同腐，不能 醉生梦 死，枉 度人生 ，要有 所作为 。 —— 方志敏
章不等式与不等式组
9.1不等式
9.1.1不等式及其解集 9.1.2不等式的性质
9.1.1不等式及其解集
一、不等式：
• 问题：一辆匀速行驶的汽车在11：20距离A地50 千米，要在12：00之前驶过A地，车速应满足什 么条件？
分析：设车速是x千米/时
从时间上看，汽车要在12：00之前驶过A地，则以这个速度行驶
例2、下列说法中正确的是： （1）-7是x+3<-3的一个解。 （2）-40是不等式4x<-4的解 （3）不等式x<-3的整数解有有限个 （4）不等式x<3的正整数解有有限个
例3、在数轴上表示下列不等式的解集： （1）x ＞-3；（2）x ≤ -3；（3） x ＜-3；（4）x≥ -3
三、解不等式及一元一次不等式
40、对人不尊敬，首先就是对自己的 不尊敬 。 —— 惠特曼
41、一个人的真正伟大之处就在于他 能够认 识到自 己的渺 小。 —— 保 罗
40、人生的旅途，前途很远，也很暗 。然而 不要怕 ，不怕 的人的 面前才 有路。 —— 鲁 迅 名人名言激励励志名言名语名句100句 （励志 古诗词 篇，附 出处）
41、人生像攀登一座山，而找寻出路 ，却是 一种学 习的过 程，我 们应当 在这过 程中， 学习稳 定、冷 静，学 习如何 从慌乱 中找到 生机。 席慕蓉 42、我们活着不能与草木同腐，不能 醉生梦 死，枉 度人生 ，要有 所作为 。 —— 方志敏
章不等式与不等式组
9.1不等式
9.1.1不等式及其解集 9.1.2不等式的性质
9.1.1不等式及其解集
一、不等式：
• 问题：一辆匀速行驶的汽车在11：20距离A地50 千米，要在12：00之前驶过A地，车速应满足什 么条件？
分析：设车速是x千米/时
从时间上看，汽车要在12：00之前驶过A地，则以这个速度行驶
例2、下列说法中正确的是： （1）-7是x+3<-3的一个解。 （2）-40是不等式4x<-4的解 （3）不等式x<-3的整数解有有限个 （4）不等式x<3的正整数解有有限个
例3、在数轴上表示下列不等式的解集： （1）x ＞-3；（2）x ≤ -3；（3） x ＜-3；（4）x≥ -3
三、解不等式及一元一次不等式
40、对人不尊敬，首先就是对自己的 不尊敬 。 —— 惠特曼
41、一个人的真正伟大之处就在于他 能够认 识到自 己的渺 小。 —— 保 罗
不等式的基本性质PPT课件
事实上，如果a>b， c>0，因为ac-bc=c(ab)>0，所以ac>bc.
(7)将不等式6>-3和-4<-2的两边都乘-3，不等号的 方向是否改变？两边都除以-2呢？
6×3 < (-3)×3; (-4)×3 > (-2)×3; 6÷2 < (-3)÷2; (-4)÷2 > (-2)÷2.
(8)由(7)你发现了什么结论？能用不等式表示 出来吗？
a>b；甲的年龄大，a+c>b+c
（2）在数轴上，点A与点B分别对应实数a，b， 并且点A在点B的右边，请你用不等式表示a， b之间的大小关系.如果同时将点A，B向右（或 向左）沿x轴移动c个单位长度，得到点A′，B ′ （如图）.你能用不等式表示点A′，B ′所对应 的数的大小关系吗？
a>b；a+c>b+c；a-c>b-c
判断下列式子是不是不等式：
（1）-3<0
是
（2）4x+3y>0 是
（3）x=3
不是
（4） x2+xy+y2 不是
（5）x+2>y+5 是
2 不等式的性质
等式具有那些性质？ 不等式是否具有这些类似性质？
等式基本性质1：
等式的两边都加上（或减去）同一个整 式，等式仍旧成立
如果a=b,那么a±c=b±c
（3）由（1）（2），你发现了有关不等式的什 么结论呢？你能用不等式表示表示出来吗？
如果a>b,那么a±c>b±c.
也就是说，不等式的两边都加上（或减 去）同一数或同一个整式，不等号的方 向不变。
我们把这一性质作为不等式基本性质1.
(7)将不等式6>-3和-4<-2的两边都乘-3，不等号的 方向是否改变？两边都除以-2呢？
6×3 < (-3)×3; (-4)×3 > (-2)×3; 6÷2 < (-3)÷2; (-4)÷2 > (-2)÷2.
(8)由(7)你发现了什么结论？能用不等式表示 出来吗？
a>b；甲的年龄大，a+c>b+c
（2）在数轴上，点A与点B分别对应实数a，b， 并且点A在点B的右边，请你用不等式表示a， b之间的大小关系.如果同时将点A，B向右（或 向左）沿x轴移动c个单位长度，得到点A′，B ′ （如图）.你能用不等式表示点A′，B ′所对应 的数的大小关系吗？
a>b；a+c>b+c；a-c>b-c
判断下列式子是不是不等式：
（1）-3<0
是
（2）4x+3y>0 是
（3）x=3
不是
（4） x2+xy+y2 不是
（5）x+2>y+5 是
2 不等式的性质
等式具有那些性质？ 不等式是否具有这些类似性质？
等式基本性质1：
等式的两边都加上（或减去）同一个整 式，等式仍旧成立
如果a=b,那么a±c=b±c
（3）由（1）（2），你发现了有关不等式的什 么结论呢？你能用不等式表示表示出来吗？
如果a>b,那么a±c>b±c.
也就是说，不等式的两边都加上（或减 去）同一数或同一个整式，不等号的方 向不变。
我们把这一性质作为不等式基本性质1.
人教初中数学七下 9.1.2 不等式的性质课件1 【经典初中数学课件 】
【例】利用不等式的性质解下列不等式：
(3) 2 x﹥50；
3
不等式的两边都除以
2
，不等号的方向不变，得
3
x﹥75
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示:
０
75
【例】利用不等式的性质解下列不等式： (4)-4x﹥3.
不等式两边都除以_-_4__，不等号的方向_改__变___，得
x﹤－ 3 4
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：
B
C
D
E
三、巩固提高
一、平面上利用有序数对确定物体位置的方法
• 1、行列定位法： 例如： 座位
• 2、方格纸定位法： 例如： 棋盘
• 3、经纬定位法 例如：地图
• 4、区域定位法 例如：探究四的简图
四、概括整合
生活中还有哪些确定位置的其他方法？
（1）如果全班同学站成一列做早操，现在教师 想找某个同学，是否还需要用2个数据呢？
根据发现的规律填空:当不等式两边加或减 同一个数(正数或负数）时,不等号的方向_不__变___.
(3) 6＞2, 6×5__﹥__2×5 , 6×（-5）_﹤___2×（-5） ;
(4)–2<3, (-2)×6_﹤__3×6 , (-2) ×（-6）_﹥__3×（-6 ） 当不等式两边乘同一个正数时,不等号的方向_不__变__; 而乘同一个负数时,不等号的方向_改__变__;
这个不等式的解集在数轴上的表示为：
0
33
【例】利用不等式的性质解下列不等式： (2)3x<2x+1； 解：不等式两边都减去_2_x__，不等号的方向_不__变__，得
3x-2x﹤2x+1-2x x﹤1
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：