(完整版)初中常见定理证明

初中常见定理的证明

一、三角形

1、运用你所学过的三角形全等的知识去证明定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形．（用图形中的符号表达已知、求证，并证明，证明对各步骤要注明依据）

2、证明定理：等腰三角形的两个底角相等．（画出图形、写出已知、求证并证明）

3、叙述并证明三角形内角和定理．要求写出定理、已知、求证，画出图形，并写出证明过程

4、我们知道，证明三角形内角和定理的一种思路是力求将三角形的三个内角转化到同一个顶点的三个相邻的角，从而利用平角定义来得到结论，你能想出多少种不同的方法呢？同学之间可相互交流．

5、三角形中位线定理，是我们非常熟悉的定理．

①请你在下面的横线上，完整地叙述出这个定理：

②根据这个定理画出图形，写出已知和求证，并对该定理给出证明．

6、定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题

是，这个命题正确吗？若正确，请你证明这个命题，若不正确请说明理由．

7、用所学定理、定义证明命题证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

8、同学们，这学期我们学过不少定理，你还记得“在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，请你写出它的逆命题，并证明它的真假．

解：原命题的逆命题为：

在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30°．

9、利用图（1）或图（2）两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称

为，该定理的结论其数学表达式

是．

10、利用图中图形的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，此证明方法就是美国第二十任总统伽菲尔德最先完成的，人们为了纪念他，把这一证法称为“总统”证法．这个定理称

为，该定理的结论其数学表达式

是．

11、[定理表述]

请你根据图1中的直角三角形，写出勾股定理内容；

[尝试证明]

以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理．

定理表述：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．

证明：∵S

四边形ABCD =S

△ABE

+S

△AED

+S

△CDE=2

2

2

2

c

ab

+

⨯

12、如图，△ABC中，①AB=AC，②∠BAD=∠CAD，③BD=CD，④AD⊥BC．请你选择其中的两个作为条件，另两个作为结论，证明等腰三角形的“三线合一”性质定理．

13、课本指出：公认的真命题称为公理，除了公理外，其他的真命题（如推论、定理等）的正确性都需要通过推理的方法证实．

（1）叙述三角形全等的判定方法中的推论AAS；

（2）证明推论AAS．

要求：叙述推论用文字表达；用图形中的符号表达已知、求证，并证明，证明对各步骤要注明依据．

14、在数学课外活动中，某学习小组在讨论“导学案”上的一个作业题：已知：如图，OA平分∠BAC，∠1=∠2．

求证：AO⊥BC．

同学甲说：要作辅助线；

同学乙说：要应用角平分线性质定理来解决：

同学丙说：要应用等腰三角形“三线合一”的性质定理来解决．

如果你是这个学习小组的成员，请你结合同学们的讨论写出证明过程．

15、证明：勾股定理逆定理

已知：在ΔABC中，AB=c,AC=b,BC=a ,若c2 =a2 + b2

求证：∠C = 90度

证明：作RTΔDEF，使∠E=RT∠，DE=b ,EF=a

在RTΔDEF中，DF2 = ED2 + EF2 = a2 +b2

因为c2 =a2 + b2

所以DF =c

所以DF=AB，DE=AC ，EF=BC

所以RTΔDFE≌ΔABC (SSS)

所以∠C=∠E = RT∠

二、四边形

（一）梯形

1、定理证明：“等腰梯形的两条对角线相等”．