函数的零点问题教案

经验总结：借助于 f (a) f (b) 0 来确定零点所在的区间. 三、求零点的个数 画图定零数 1、一元三次函数的零点问题
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例 3： 求函数 f (x ) x 3 6x 2 9x 10 的零点个数. 解： f (x ) 3x 2 12x 9 3(x 3)(x 1) 令 f ( x) 0 ，得 x 3 或 x 1 ， f x 0 ,得 1 x 3 可得 f (x ) 在 (,1) 和 (3, ) 上为增，在 (1,3) 上为减， 由图像可得只有一个零点. 变式： f (x ) x 3 6x 2 9x 10 a 在 x R 上有三个零点，求a的取值范围. 分析 1：一元三次函数知识总结： （1）一个零点：函数单调或极大值小于零或极小值大于零 （2）两个零点：极大值或极小值等于零 （3）三个零点：极大值和极小值一正一负 解：由 f ( x) 3 x2 12 x 9 3( x2 4 x 3) 3( x 3)( x 1) ， 令 f ( x) 0 ，得 x 3 或 x 1 ， f x 0 ,得 1 x 3
o
y
f ( x) 在 (,1) ， (3, ) 上单调递增，在 (1,3) 上单调递减
f ( x )极大值 =f (1) 4 10 a 0 ， a 6
o
x
f (x )极小值 =f (3) a 10 0
10 a 6 .
分析 2：原函数可以化为： a x 3 6x 2 9x 10 2、 f (x ) g(x) 型函数的零点问题 解：函数分成 y a与y x3 6 x2 9 x 10 的交点 由图像可知：
x 2 3 x 2
2
解：由题意可知 x 2 3x 2 2, 解得 x 0或3 所以函数 f (x ) 的零点为 0 或 3.
1 练习：已知函数 f (x ) x 3x 2, h (x ) x 1 1
2
x 1 x 1
, 求 f (h (x )) 的零点. 1 3 , 1, , 2 2 2
lg x ( x>0) 练习:设 R 上的函数 f ( x) 2 则关于 x 的函数 y 2 f 2 ( x) - 3 f ( x) 1 的零点的个数为 （D） x 2 x ( x 0)
A 2 B 3 C 5 解：由图像可得，零点的个数为 7 个. D 7
经验总结：先分离出内外层函数，分别作出内外层函数的图像，借助图像来求解. 四、据零数探参数 画图定零数 1、分离参数法 例 5：已知 f (x ) 2 ln x +ax 没有零点，求 a 的取值范围. 解 ： f (x ) 2 ln x +ax 没 有 零 点 可 以 转 化 为 f (x ) 2 ln x +ax 0 或 0 恒 成 立 问 题 . 即
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x
) min , x 0,3 得
a (, 6) .（另一种情况 a (x ), x 0,3 无解） x
经验总结：分离出参数之后变成了一个函数恒成立的问题. 2、一侧是直线型：参数为直线的斜率，不能分离出参数
x 2 2x , x 0 例 6：已知函数 f (x ) ，若 y f (x ) ax 至多有一个零点，则 a 的取值范围是 ln(x 1), x 0
f (a )f (b ) 0 ，那么，函数 f (x ) 在区间 a , b 内有零点.即存在 c，使得 f (c ) 0 ，这个 c 也就
是方程 f (x ) 0 的根.
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3、零点问题方程、函数、图像之间的关系
一、直接求函数的零点 求根定零点 例 1：求函数的零点： f (x ) 2log2
解：由 f (h (x )) 0 可知 h (x ) 1或2 解方程得函数 f (h (x )) 的零点为 0 , 经验总结：直接带入求解. 二、确定零点的大致位置 异号定零位 例 2：函数 f (x ) ln x 2x 6 的零点所在的大致区间是（ A（0，1） B（1，2） C（2,3） D（3，4） C）
2 ,x 2 练习：已知函数 f (x ) x ,若 f (x ) kx 有两个不同的零点，求 k 的取值范围. 3 (x 1) , 0 x 2 解：0<k<0.5
经验总结：参数为直线的斜率，就变成直线过定点旋转问题. 【知识小结】 常见的零点问题及解法： 一、直接求函数的零点 求根定零点 经验总结：直接带入求解 二、确定零点的大致位置 异号定零位 经验总结：借助于 f (a) f (b) 0 来确定零点所在的区间. 三、求零点的个数 画图定零数 1、一元三次函数的零点问题 经验总结： （1）一个零点：函数单调或极大值小于零或极小值大于零 （2）两个零点：极大值或极小值等于零 （3）三个零点：极大值和极小值一正一负 2、 f (x ) g(x) 型函数的零点问题 经验总结：把一个函数分离成两个函数相减的形式，注意分离的两个函数尽可能的是熟悉、 常见的函数. 3、复合函数的零点问题 经验总结：先分离出内外层函数，分别作出内外层函数的图像，借助图像来求解. 四、据零数探参数 画图定参数 1、分离参数法 经验总结：分离出参数之后变成了一个函数恒成立的问题. 2、一侧是直线型：参数为直线的斜率，不能分离出参数 经验总结：参数为直线的斜率，就变成直线过定点旋转问题. 【作业】 提升训练 专项练习
o
10 a 6
练习：函数 y
1 sin 2 x 在 2, 4 上有 x 1 这些零点的横坐标之和为
个交零点,
y
o
x
3
1 与 y sin 2 x 的图像在 2, 4 有 8 个交点,因为图像都关于 1, 0 点对称,故交点 x 1 的横坐标之和为 8. 经验总结：把一个函数转化成两个函数相减的形式，分离成两个函数求交点的问题.注意分离的 两个函数尽可能的是熟悉、常见的函数. 3、复合函数的零点问题
解： f (2) f (3) 0 练习： 若函数 f (x ) 的零点与 g (x ) 4x 2x 2 的零点之差的绝对值不超过 0.25， 则 f (x ) 可以是 （ A）
1 A. f (x ) 4x 1 B. f (x ) (x 1) 2 C. f (x ) e x 1 D. f (x ) ln(x ) 2
_______ 解： y f (x ) ax 至多有一个零点，即 y f (x ) ax 0 有一解或无解，所以可以转化为
y f (x ) 图像与 y ax 图像至多有一个交点.参考图像可以帮助求得 a 的范围是[-2,0].
（若转化成 f (x ) ax ，因为 x∈R,所以分离不出参数 a.）
二轮复习专项知识：
函数的零点问题
开封高中：张文伟 【高考地位】 函数零点是新课标教材的新增内容之一,纵观近几年全国各地的高考试题,经常出现一些与零点 有关的问题,它可以以选择题、填空题的形式出现，也可以在解答题中与其它知识交汇后闪亮登场， 可以说”零点”成为了高考新的热点、亮点和生长点. 【教学目标】 1. 理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的联系，掌握用连续函数零点定理及函数 图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间. 2. 结合几类基本初等函数的图象特征，借助于求导寻找函数图像的变换趋势，掌握判断函数的零 点个数和所在区间的方法. 3.能根据函数零点的情况求参数的取值范围. 【教学重点】 理解函数的零点与方程根的关系，形成用函数观点处理问题的意识. 【教学难点】 根据函数零点所在区间求参数的取值范围 【教学方法】 发现、合作、讲解、演练相结合. 【教学软件】 几何画板 【教学过程】 基础知识回顾 1．函数零点概念 对函数 f (x ) ，把使 f (x ) 0 的实数 x 叫做函数 f (x ) 的零点． 2.零点存在性定理：如果函数 f (x ) 在区间 a , b 上的图象是连续不断一条曲线，并且有
a
2 ln x
x
或a
2 ln x
x
恒成立问题.∵ y
4
2 ln x
x
2 2 ∴ a
e
e来自百度文库
练习：已知 f (x ) x 3 ax 2 9x 在 0,3 上没有零点，求a的取值范围. 解： f (x ) 没有零点可转化为 a (x
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x
), x 0,3 恒成立问题，即 a (x 9
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解:函数 y
1 2 (x ) 1, x 0 例 4：已知函数 f (x ) x 3x 1 ， g (x ) ，则方程 g f (x ) a 0 （a 为正实 2 2 (x 3) 1, x 0
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数）的实数根最多有___6___个. 解：由图像可知，最多有 6 个.