条边的简单连通平面图
离散数学题库
常熟理工学院20 ～20 学年第学期《离散数学》考试试卷（试卷库01卷）试题总分： 100 分考试时限：120 分钟题号一二三四五总分阅卷人得分一、单项选择题（每题2分，共20分）1.下列表达式正确的有( )（A）（B）（C）（D）2.设P：2×2=5，Q：雪是黑的，R：2×4=8，S：太阳从东方升起，下列( )命题的真值为真。
（A）（B）（C）（D）3.集合A={1,2,…,10}上的关系R={<x,y>|x+y=10,x,y A}，则R 的性质为( )（A）自反的（B）对称的（C）传递的，对称的（D）传递的4.设，，其中表示模3加法，*表示模2乘法，在集合上定义如下运算：有称为的积代数，则的积代数幺元是( )（A）<0，0> （B）<0，1> （C）<1，0> （D）<1，1>5.下图中既不是Eular图，也不是Hamilton图的图是( )6.设为无向图，，则G一定是( )（A）完全图（B）树（C）简单图（D）多重图7.设P：我将去镇上,Q：我有时间。
命题“我将去镇上,仅当我有时间”符号化为（）。
（A） P Q （B）Q P （C）P Q （D）8.在有n个结点的连通图中,其边数（）（A）最多有n-1条（B）最多有n 条（C）至少有n-1条（D）至少有n条9.设A－B＝,则有（）（A）B＝（B）B（C）A B （D）A B10.设集合A上有3个元素,则A上的不同的等价关系的个数为（）（A）5 （B）7 （C）3 （D）6二、填空题（每题2分，共20分）1．n个命题变元组成的命题公式共有种不同的等价公式。
2．设〈L，≤〉为有界格，a为L中任意元素，如果存在元素b∈L,使，则称b是a 的补元。
3．设*，Δ是定义在集合A上的两个可交换二元运算，如果对于任意的x,y∈A,都有 ,则称运算*和运算Δ满足吸收律。
4．设T是一棵树，则T是一个连通且的图。
2010-图-复习题
Ａ○Ａι ＝ 第 ２，３ 分量为 ０，表示没有顶点使 ｖ２ ，ｖ３ 到它都有边；第 ４，４ 分量为 １， 表示 ｖ４ 的出度为 １ 。
0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 ○ 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 ＝
Ｖ１ 到 Ｖ４ 的长度为 ｌ，２，３，４ 的拟路径各有 １ 条， １ 条， １ 条， ２ 条 。 （２）
0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 ○ 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 ＝
图 ７－２２ 这样摆渡问题就转化成在图中找出以“人狼羊菜”为起点， 以“空”为终点 的简单路。容易看出，只有两条简单路符合要求，即： （１）人狼羊菜、狼菜、人狼菜、菜、人羊菜、羊、人羊、空； （２）人狼羊菜、狼菜、人狼菜、狼、人狼羊、羊、人羊、空。 对于简单路（１）的安排为：人带羊过河；人回来；带狼过河；放下狼再将 羊带回；人再带菜过河；人回来；带羊过河。 对于简单路（２）的安排为：人带羊过河；人回来；带菜过河；放下菜再将 羊带回；人再带狼过河；人回来；带羊过河。 １６． ｎ 个结点的有向完全图边数是（ ），每个结点的度数是（ ）。 n(n-1),2n-2
n(n − 1) 2
３． 证明： 在任何 ｎ （ｎ≥２）个顶点的简单图 Ｇ 中， 至少有两个顶点具有相同的度。 证 如果 Ｇ 有两个孤立顶点，那么它们便是具有相同的度的两个顶点。 如果 Ｇ 恰有一个孤立顶点，那么我们可对有 ｎ – １ 个顶点但没有孤立顶点 的 Ｇ’（它由 Ｇ 删除孤立顶点后得到）作下列讨论。 不妨设 Ｇ 没有孤立顶点，那么 Ｇ 的 ｎ 个顶点的度数应是：１，２，３，…，ｎ–１ 这 ｎ–１ 种可能之一，因此必定有两个顶点具有相同的度。 ４． 图 Ｇ 有 １２ 条边，度数为 ３ 的结点有 ６ 个，其余结点度数均小于 ３， 求 Ｇ 至少有 多少个结点？ 解： 由握手定理知道，度数之和为 ２４， 减去度数 １８， 还剩 ６， 如果其余结 点均为 ２ 度顶点，则有 ３ 个结点， 则至少为 ９ 个结点． ５． 特殊图： 完全图： Ｋｎ 偶 图： 完全偶图： Ｋｎ，ｍ 正则图： 每个定点的度都相等． ６． 同构 设图 Ｇ１＝＜Ｖ１，Ｅ１＞， Ｇ２＝＜Ｖ２，Ｅ２＞， 若存在双射 Ｖ１ 到 Ｖ２ 的函数 ｆ， ｆ 具有 如下性质： 对于 Ｖ１ 里的所有 ａ 和 ｂ 来说，二者在 Ｇ１ 里相邻，当且仅当 ｆ（ａ） 和 ｆ（ｂ）在 Ｇ２ 里相邻，则称 Ｇ１ 与 Ｇ２ 同构； 二图同构则必有结点数相同，边数相同，两图中度数相同的结点的个数 相同。还可以知道，图的同构关系是一种等价关系． ７． 画出 ４ 阶 ３ 条边的所有非同构无向简单图． 解： 由握手定理可知，所画的无向简单图各结点度数之和为 ２×３＝６，最大
图论平面图
AD
f4
B D f2 DC
f1 F D
f3
DD
f1 : 边界:ABCDFDA f2 : 边界:ABCA f3 : 边界:ACDA f4 : 边界:ADA
deg(f1)=6 deg(f2)=3
deg(f3)=3 deg(f4)=2
欧拉公式
定理4.2 G是个连通的平面图, 设n、m、r分别表示G中
结点数、边数、面数, 则有 n-m+r=2. 称此式为欧拉公式.
的 extJ ，使得同一
类中的任意一对点能用 一条不与 J 相交的曲线 相连，而连接一对属于 不同类点的任意曲线必 须与 J 相交。
Jordan曲线定理: Jordan曲线把平面分为2部分， 连接内部与外部点的任意曲线必然与Jordan曲线 相交.
¾ 说明： 该定理看似无可置疑的明显结论。 该定理是 C.Jordan（1838－1933）首先提出， 并给出了（长而复杂又有缺陷）的证明，但后来 发现Jordan的证明有缺陷。 第一个严格的证明相当复杂，对于训练有素的数 学家来说，也是很难理解的。 对于多边形的Jordan曲线，证明是简单的。
u1
上的一条Jordan曲线，
C
设 v3 ∈ int C ,于是 (u1, v3), (u2, v3) 连同C将
v1
v2
u2 (2)
平面分成三个两两不
相交的的区域，而 u3 应落入这三个区域中的
某一个区域，不妨假设 u3 ∈ extC ，则由定理
知 (u3,v3)必须与C相交，故 K3,3 是非可平面图。
说明： 一个可平面图与其平面嵌入图拓扑同构， 因此我们将一个可平面图的平面嵌入也称为平面 图。
例如右图.就是
v1 D
NOIP提高组初赛历年试题及答案求解题篇(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】NOIP提高组初赛历年试题及答案求解题篇问题求解题（每次2题，每题5分，共计10分。
每题全部答对得5分，没有部分分）注：答案在文末提高组的问题求解题的知识点大多涉及计数问题、鸽巢原理、容斥问题、逻辑推理、递推问题、排列组合问题等。
NOIP2011-1．平面图可以画在平面上，且它的边仅在顶点上才能相交的简单无向图。
4个顶点的平面图至少有6条边，如图所示。
那么，5个顶点的平面图至多有_________条边。
NOIP2011-2．定义一种字符串操作，一次可以将其中一个元素移到任意位置。
举例说明，对于字符串“BCA”可以将A移到B 之前，变字符串“ABC”。
如果要将字符串“DACHEBGIF”变成“ABCDEFGHI”最少需要_________次操作。
NOIP2012-1. 本题中，我们约定布尔表达式只能包含p,q, r三个布尔变量，以及“与”（∧）、“或”（∨）、“非”（¬）三种布尔运算。
如果无论p, q,r如何取值，两个布尔表达式的值总是相同，则称它们等价。
例如，(p∨q)∨r和p∨(q∨r)等价，p∨¬p 和q∨¬q 也等价；而p∨q 和p∧q不等价。
那么，两两不等价的布尔表达式最多有_________个。
NOIP2012-2. 对于一棵二叉树，独立集是指两两互不相邻的节点构成的集合。
例如，图1有5个不同的独立集（1个双点集合、3个单点集合、1个空集），图2有14个不同的独立集。
那么，图3有_________个不同的独立集。
NOIP2013-1. 某系统自称使用了一种防窃听的方式验证用户密码。
密码是n个数s1,s2,…,sn，均为0或1。
该系统每次随机生成n个数a1,a2,…,an，均为0或1，请用户回答(s1a1+s2a2+…+snan)除以2的余数。
如果多次的回答总是正确，即认为掌握密码。
该系统认为，即使问答的过程被泄露，也无助于破解密码——因为用户并没有直接发送密码。
离散数学选择题介绍
编题目号1 以下是真命题的有（）A 、{ a} {{ a}} ；B、{{ }} { ,{ }} ；C、{{ }, } ；D、{{ }} 。
2 下边命题公式（）不是重言式。
A 、Q (P Q)；B、(P Q ) P ；C、(P Q)(PQ)；D、(P Q ) (PQ)。
3命题“没有不出错误的人”符号化为（）。
设 M ( x)：x 是人， P(x)：x 出错误。
A 、x(M ( x) P( x)) ；B、( x(M (x) P( x))) ；C、( x(M (x) P( x))) ； D 、( x(M ( x) P( x))) 。
4对自然数会合N ，哪一种运算不是可联合的，运算定义为任a,b N （）。
A 、a b min( a, b) ；B、a b a 2b ；C、a b a b 3 ； D 、a b a,b(mod 3) 。
5 随意拥有多个等幂元的半群，它（）。
A 、不可以构成群； B 、不必定能构成群；C、不可以构成互换群； D 、能构成互换群。
题分区答案难纲领分型值度度答： C 选 2 1 2 2择题答： C 选2 2.1 3 3择题答： D 选2 3.1 3 3择题答： B 选2 8.1 3 3择题答： A 选2 8.3 4 4择题6设 G V, E 为无向图， V 7 , E 23 ，则 G 必定是（）。
A 、完整图； B 、树；C、简单图；D 、多重图。
7给定无向图 G V , E ，以以下图所示，下边哪个边集不是其边割集（）。
A 、{ v1 , v4 , v3 ,v4 } ；B、{ v4 , v5 , v4 ,v6 } ；C、{ v4 , v7 , v4 , v8 } ；D、{ v1,v2 , v2 , v3 } 。
8有 n 个结点(n 3) ， m 条边的连通简单图是平面图的必需条件（）。
A 、n 3m 6 ；B、n 3m 6 ；C、m 3n 6； D 、m 3n 6。
9 设 A { x x是整数且 x 2 16} ，下边哪个命题为假（）。
第九章 几类特殊图
(这里ai表示边i，i＝0,1,2,…,15)，对 应的16个二进制数字序列为 0000101001101111，将序列两端闭 合，便得到16个二进制数字的一个 圆形排列，可以验证正好符合我们 的要求。
哈密顿通路、哈密顿回路: 无向图或有向图G中经过 每个顶点一次且仅一次的通路，称为哈密顿通路； 经过每个顶点一次且仅一次的初级回路，称为哈密 顿回路。
推论 无向图G为欧拉图当且仅当，G是连通图且无奇 度顶点。
判断下面图是否为欧拉图。
定理9.2 有向图D有欧拉通路当且仅当，D是连通图， 并且所有顶点的入度等于出度，或者除两个顶点外， 其余顶点的入度等于出度，而这两个顶点，一个入度 比出度大1，另一个入度比出度小1。
推论 有向图D是欧拉图当且仅当，D是连通图且所有 顶点的入度等于出度。
K3,3
X
Y
x1 y1
x2 y2
x3 y3
x4
证明 必要性 设G＝〈V1, V2,E〉为二部图，证明G中 无奇数长度的回路。若G中无回路，结论当然成立。
若G中有回路，设C＝u0u1u2…ut－1u0为G中的一条回 路，其长度为t 。不妨设u0∈V1，则对于每个小于t的 正奇数i，ui∈V2，而对于每个小于t的正偶数j，uj∈ V1 。因为G中存在边(ut－1, u0)，所以ut－1∈ V2 ，因而t －1必为奇数，即t
在判别一个二部图是否存在从V1到V2的匹配时，可 以先检查“t条件”是否满足，这是比较容易进行的。 如果“t条件”不满足，可再进一步用“相异性条件” 检查。
例 求图9.14(a)的最大匹配。 解 显然满足 “t条件”（t=2），所以存在从V1到V2的 匹配，也即最大匹配。
《离散数学》题库及答案
《离散数学》题库及答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？()(1)Q=>Q→P(2)Q=>P→Q(3)P=>P→Q(4)P(PQ)=>P答：（1），（4）2、下列公式中哪些是永真式？()(1)(┐PQ)→(Q→R)(2)P→(Q→Q)(3)(PQ)→P(4)P→(PQ)答：（2），（3），（4）3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式()(1)P=>PQ(2)PQ=>P(3)PQ=>PQ(4)P(P→Q)=>Q(5)(P→Q)=>P(6)P(PQ)=>P答：（2），（3），（4），（5），（6）4、公式某((A(某)B(y，某))zC(y，z))D(某)中，自由变元是(变元是()。
答：某,y,某,z5、判断下列语句是不是命题。
若是，给出命题的真值。
((1)北京是中华人民共和国的首都。
(2)陕西师大是一座工厂。
)，约束)(3)你喜欢唱歌吗？(4)若7+8＞18，则三角形有4条边。
(5)前进！(6)给我一杯水吧！答：（1）是，T（2）是，F（3）不是（4）是，T（5）不是（6）不是6、命题“存在一些人是大学生”的否定是()，而命题“所有的人都是要死的”的否定是()。
答：所有人都不是大学生，有些人不会死7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为()。
(1)只有在生病时，我才不去学校(2)若我生病，则我不去学校(3)当且仅当我生病时，我才不去学校(4)若我不生病，则我一定去学校答：（1）QP（2）PQ（3）PQ（4）PQ8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是()。
(1)某y(某+y=0)(2)y某(某+y=0)答：（1）对任一整数某存在整数y满足某+y=0（2）存在整数y对任一整数某满足某+y=09、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值：(1)某y(某y=y)()(2)某y(某+y=y)()(3)某y(某+y=某)()(4)某y(y=2某)()答：（1）F（2）F（3）F（4）T10、设谓词P(某)：某是奇数，Q(某)：某是偶数，谓词公式某(P(某)Q(某))在哪个个体域中为真()2(1)自然数(2)实数(3)复数(4)(1)--(3)均成立答：（1）11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（）。
离散数学图论部分综合练习及答案
vο 1
v2ο
ο v5
ο
ο
v3
v4
图十一
3．解：（1）G 的图形如图十二
（2）邻接矩阵：
图十二
0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0
（3）v1，v2，v3，v4，v5 结点的度数依次为 1，2，4，3，2
（4）补图如图十三：
图十三
4．解：（1）G 的图形表示如图十四：
（2）邻接矩阵：
图十四
8
0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 （3）粗线表示最小的生成树，如图十五
如图十五
最小的生成树的权为 1+1+2+3=7：
5．解：（1）最优二叉树如图十六所示：
C．G 的边数比结点数少 1
D．G 中没有回路．
二、填空题
1．已知图 G 中有 1 个 1 度结点，2 个 2 度结点，3 个 3 度结点，4 个 4 度结
点，则 G 的边数是
15
．
2．设给定图 G(如图四所示)，则图 G 的点割 集是 {f},{c,e}, ．
aο
bο
3．若图 G=<V, E>中具有一条汉密尔顿回路，
五、证明题 1．若无向图 G 中只有两个奇数度结点，则这两个结点一定是连通的．
5
1．证明：用反证法．设 G 中的两个奇数度结点分别为 u 和 v．假设 u 和 v 不连通，即它们之间无任何通路，则 G 至少有两个连通分支 G1，G2，且 u 和 v 分别属于 G1 和 G2，于是 G1 和 G2 各含有一个奇数度结点．这与定理 3.1.2 的推 论矛盾．因而 u 和 v 一定是连通的．
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wG
wu、v
4(n-1) ≥ 4(n-2)+5，矛盾
2020/6/16
所以 uv E 计。算机学院
13
习题十一
1,解：设 L 是叶的数目， m 是树的边数 由握手定理
2020/6/16
i
knk L 2m
k2
由树的定义
i
m nk L 1
k2
i
i
knk L 2 nk 2L 2
▪ 2L=t+3i-1=t+3(t-1)-1=4t-4
2020/6/▪16 ∴ L=2(t-1) 计算机学院
15
▪ 21、 证明:正则二叉树必有奇数个结点。
▪ 证明：
▪
由正则二叉树的定义，其叶结点的个
数必为偶数，设叶数为 t，分支数为 i
▪
由定理 11.5
(m-1)i=t-1
▪
∵ m=2
▪
∴ i=t-1 即分支点数是奇数
6. 会用破坏哈密顿图的某些必要条件的方法判 断某些图不是哈密顿图
7. 严格区分哈密顿图的充分条件和必要条件 8. 理解判断哈密顿图的充分必要条件 9. 了解推销商问题的分枝定界求解方法
2020/6/16
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5
例一
证明当每个结点的度数大于等于 3 时，
不存在有 7 条边的连通简单平面图。
证明:(反证法) 设图的边数m=7
12
而在 T（E2）中， u 和 v 分别同其它结点相邻， 且相关联的边∈ E2.故在 G 中， d(u)+d(v) ≥ 5.
∵ T（E1）， T（E2）是 G 的两棵生成树 ∴ m（E1）＋m（E2）=2(n-1)
2m(G)=2(m（E1）＋m（E2）)=4(n-1)，由握手定理，
2m d(w) d(w) d(u) d(v) 4(n 2) 5
由题意，d(Vi) ≥3，Vi为结点
则由握手定理， 2m d(Vi )
则
i
14
2 7 d(Vi ) 3n n i
3
∴结点的个数不超过4个，而结点个数为4的完全
图的边数为 6,
2020/6/16故应有环或平行边计算，机不学院是简单连通平面图。
6
例二
有 6 个村庄 Vi ， i=l，2，…，6 欲修 建道路使村村可通。现已有修建方案如下带权 无向图所示，其中边表示道路，边上的数字表 示修建该道路所需费用，问应选择修建哪些道 路可使得任二个村庄之间是可通的且总修建费 用最低?要求写出求解过程，画出符合要求的 最低费用的道路网络图并计算其费用。
（反证法）假设图G中存在两个结点v1,v2,
其度数之和不大于等于6, 即 d(v1)+ d(v2) ≤5。
2020/6/16
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10
▪ 而删去这两个点后, 至多删去图 G 中的 5
条边。 由于图G是具有6个顶点, 12条边的无 向简单图, 删去顶点v1,v2后, 得到的子图为:
具有4个结点, 至少7条边的无向简单图, 但 这样的无向简单图不存在(4阶无向简单图最
主要内容
2020/6/16
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1
1. 深刻理解树第（六十个一等价章命题）及生成树、树
枝、树补的定义，掌握生成树的主要性质， 并能灵活应用它们； 2. 熟练地应用 Kruskal 算法求最小生成树； 3. 掌握根树、m叉树、完全m叉树、正则m叉树、 最优树的概念,熟练掌握 Huffman 算法，并 使用它求最优二叉树；
▪ 故结点数 n=i+t= 奇数，且n=2t-1，
2020/6/16 即 t=（n+1计）算/机2学院
16
习题十二
3、证：（反证法） 设 G=（n，m）和 G′=（n，m′）都是平面图 由G和G′的定义 m+m′=n(n-1)/2 由定理 12.5 m ≤3n-6, m′≤3n-6
∴ m+m′=n(n-1)/2 ≤ 6n-12 整理上式有 n2-13n+24=(n-11)2+9n-97 ≤ 0 又∵（ n-11)2 ≥0，n≥11 时,9n-97≥2 ∴ （n-11)2+9n-97≥2 与上式相矛盾， 2020/6/故16 G 与 G′至少有计一算机个学是院 非平面图
2020/6/16
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7
2020/6/16
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8V1 1V22 NhomakorabeaV3
3
V4
7
V5
费用=18
5
2020/6/16
V6
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9
例三
▪ 设图G是具有6个顶结点、12条边的无向 简单图, 证明图 G 是哈密顿图。
▪ 证明：已知一个图是哈密顿图的充分条件是： 图中任意不同两点的度数之和大于等于n。
2020/6/16
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2
1. 深刻理解平面第图十、面二、章对偶图的定义；
2. 熟记欧拉公式和二个平面图的必要条件, 并能 使用它们来判断图的非平面性；
3. 了解库拉托夫斯基（ Kuratowski）定理和细 分图的概念；
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3
第十三章
1. 深刻理解欧拉图和欧拉道路的定义，对于 给定的图能判断它是否为欧拉图或存在欧 拉道路；
k2
k2
i
L (k 2)nk 2 (i k 2)
k2 计算机学院
14
▪ 16、证明:在完全二叉树 中，边的数目等于
2（t-1），式中t是叶的数目。
▪ 证明：设叶结点的个数为t，分支数为 i，边
的数目为L，
▪ 由定理 11.5
(m-1)i=t-1
▪
∵ m=2 ∴ i=t-1
▪ 由完全二叉树的定义和握手定理，
多有6条边), 由此证明图G中任意不同两点的 度数之和大于等于6, 图G是哈密顿图。
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11
例四
设简单连通图 G=（V，E）的边集 E 恰 好可以分划为 G 的两个生成树的边集。证明： 如果 G 中恰有两个 4 度以下的结点 u 和 v， 则 uvE。 证：（反证法）设E=E1 ∪ E2 ，E1 ∩ E2= φ T（E1）， T（E2）是 G 的两棵生成树。 如 uv∈E，则 uv∈E1 或 uv∈E2。 不妨设 uv∈E1，由于T（E1）是 G 的生成树， 则 u 或 v 必有其中一个同其它结点相邻，即 2020/6/16 在T（E1）中，u和计算v机的学度院 数之和大于等于 3.
2. 掌握 Fleury 算法并会用 Fleury 算法求 出欧拉图中的欧拉回路；
3. 理解中国邮递员问题算法并会用中国邮递 员算法求出无向图中的欧拉回路；
4. 深刻理解哈密顿道路及其哈密顿图、图的 闭包概念；
2020/6/16
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4
5. 会用哈密顿图和含哈密顿道路的充分条件来 判断某些图是哈密顿图或是否含有哈密顿道 路；