5复变函数留数
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复变函数第五章1留数
证明： 若z0是f (z)的m阶零点 即 f (z) (z z0 )m(z)
((z)在 z0 处解析, 泰勒级数：(z) a0 a1(z z0 ) )
f (z)在z0处的泰勒级数为
f (z) a0 (z z0 )m a1 (z z0 )m1 a2 (z z0 )m2
f (z0 ) f (z0 ) f (m1)(z0 ) 0, f (m)(z0 ) a0 0.
则孤立奇点z0称为 f (z)的本性奇点.
例如：f (z) sin 1 以z 1为它的本性奇点
因为sin
1
1 z
在z 1的去心邻域0 z 1 上的罗朗展式为
1
1
z
sin
(1)n ( 1 )2n1
1 z n0 (2n 1)! 1 z
1 ( 1 ) 1 ( 1 )3 (1)n ( 1 )2n1
z 1是f (z)的本性奇点.
或 z沿实轴从点1的右侧趋向于1
z沿实轴从点1 的左侧趋向于1
1
lim e z1极限不存在，且不为 z 1
z 1是f (z)的本性奇点课. 件
1
lim e z1
z1
1
lim e z1 0,
z1
9
综上所述:
定理5.1 若函数f (z)在0 z z0 R内解析，则
z 1是(z2 1)( z 2)3的一级零点
z 2是(z2 1（) z 2）3的三级零点，
z 1是f (z)的二级极点，(见例7,m 1 3 n)
z 2是可去奇点， (见例7,m 3 n)
z 0,2,3， 4， 是f (z)的三级极点.
(见例7, m 0 3 n)
k
课件
3
5.1.1 孤立奇点的定义及分类
复变函数第五章留数
第五章 留数
§1 孤立奇点 §2 留数
1
§5.1 孤立奇点
一、孤立奇点定义
如果函数f z在z0不解析, 但在z0的某个去心邻域
0 z z0 内处处解析, 则称z0为f z的孤 立 奇 点.
例如
1 sin
1
, z0
=
0为奇点,
但不是孤立奇点.
z
z 1 n 1,2,为奇点, n , z 0,
]
sinz
cosz
zzk
sinz sinz
z
zk
1
tgzdz
C
2i 8 1 16i
31
例4 计算 z4 sin 1 dz, C为 z 1 2.
C
z
解 奇点：z 0, 奇点类型不清楚，
•
z4
sin 1 z
z4
1 z
1 3! z3
1 5! z5
1 7! z7
z3
z 3!
1 5! z
1 7! z3
Re
s
f
z,0
c1
1 120
C
z4
sin
1 z
dz
2i
Re
s
f
z,0
60
i
32
例5 计算
C
z z4 1
dz,C为 z
2，正向.
解 显然 z 1,i 都是 f z 的一级极点，
f z ( z z0 )m z ，
其中 z在z0解析，且 z0 0，m为正整数，
则
z
为
0
f
z
的m
级
零
点.
例如 对于 f z z(z 1)3，z0 0, z0 1分别是其一级
§1 孤立奇点 §2 留数
1
§5.1 孤立奇点
一、孤立奇点定义
如果函数f z在z0不解析, 但在z0的某个去心邻域
0 z z0 内处处解析, 则称z0为f z的孤 立 奇 点.
例如
1 sin
1
, z0
=
0为奇点,
但不是孤立奇点.
z
z 1 n 1,2,为奇点, n , z 0,
]
sinz
cosz
zzk
sinz sinz
z
zk
1
tgzdz
C
2i 8 1 16i
31
例4 计算 z4 sin 1 dz, C为 z 1 2.
C
z
解 奇点：z 0, 奇点类型不清楚，
•
z4
sin 1 z
z4
1 z
1 3! z3
1 5! z5
1 7! z7
z3
z 3!
1 5! z
1 7! z3
Re
s
f
z,0
c1
1 120
C
z4
sin
1 z
dz
2i
Re
s
f
z,0
60
i
32
例5 计算
C
z z4 1
dz,C为 z
2，正向.
解 显然 z 1,i 都是 f z 的一级极点，
f z ( z z0 )m z ，
其中 z在z0解析，且 z0 0，m为正整数，
则
z
为
0
f
z
的m
级
零
点.
例如 对于 f z z(z 1)3，z0 0, z0 1分别是其一级
高等数学课件-复变函数与积分变换 第五章 留数 §5.1 留数定理及留数的求法
在 z 1的去心邻域
0 z 1 1
内的罗朗展开式，由于
f
z
z
1
12
z
1
1
n0
1n
z
1n
，0
z 1
1
故 z 1只能是二级极点，且 Res f z,1 1 .
留数定理
定理1 设函数 f z在区域D内除有限个
孤立奇点 z1, z2,L ，zn 外处处解析，c为D内 包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，那末
的二级极点，于是
Re s
f
z,1
lim z
z1
1
z
z
1 z
12
1 4
；
Re s
f
z , 1
lim z
z1
12
z
z
1 z
12
lim
z1
z
1
12
1 4
例1.6 求函数 f z tan z 在 z k （k
2
为整数）处的留数。
解因为 tan z sin z
cos z
sin
n
Ñc f zdz 2πiRes f z, zk （1.3） k 1
证 把在c内的孤立奇点 zk k 1,2,L ,n
用互不包含的正向简单闭曲线 ck 围绕起来 （如图5－1）
图5－1
蜒c f zdz
c1
f
z
dz
蜒 f c2
zdz L
cn
f
z dz
以 2 i 除等式两边，得
1
式中负一次幂项 z z0 1 的系数 C1 是在逐
项积分过程中唯一留下的系数。
定义1 设 f (z)在孤立奇点z0的去心邻域 0 z z0 R
0 z 1 1
内的罗朗展开式，由于
f
z
z
1
12
z
1
1
n0
1n
z
1n
，0
z 1
1
故 z 1只能是二级极点，且 Res f z,1 1 .
留数定理
定理1 设函数 f z在区域D内除有限个
孤立奇点 z1, z2,L ，zn 外处处解析，c为D内 包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，那末
的二级极点，于是
Re s
f
z,1
lim z
z1
1
z
z
1 z
12
1 4
；
Re s
f
z , 1
lim z
z1
12
z
z
1 z
12
lim
z1
z
1
12
1 4
例1.6 求函数 f z tan z 在 z k （k
2
为整数）处的留数。
解因为 tan z sin z
cos z
sin
n
Ñc f zdz 2πiRes f z, zk （1.3） k 1
证 把在c内的孤立奇点 zk k 1,2,L ,n
用互不包含的正向简单闭曲线 ck 围绕起来 （如图5－1）
图5－1
蜒c f zdz
c1
f
z
dz
蜒 f c2
zdz L
cn
f
z dz
以 2 i 除等式两边，得
1
式中负一次幂项 z z0 1 的系数 C1 是在逐
项积分过程中唯一留下的系数。
定义1 设 f (z)在孤立奇点z0的去心邻域 0 z z0 R
《复变函数》第5章
例: 对 f (z) z3 1.
f (1) 0, f (1) 3z 2 z 1 3 0
z 1 是 f (z)的一级零点.
2020/4/6
《复变函数》(第四版) 第五章
第7页
定理: z0 是 f (z)的m级极点
证:
f
(z)
(z
1 z0
)m
g
(z)
z0
是
f
1 的m级零点. (z)
f
复 变 函 数（第四版）
第五章 留 数
§1 孤立奇点 §2 留数 §3 留数在定积分计算上的应用 *§4 对数留数与辐角原理
2020/4/6
《复变函数》(第四版) 第五章
第1页
§1 孤立奇点
1. 定 义
如果函数 f (z)在 zo处不解析, 但在 zo的某 一去心邻域 0 < | z－zo |<δ处处解析, 则称zo 为函数 f (z)的孤立奇点. 例：z 0 为 f (z) sin 1 的孤立奇点 .
5
2020/4/6
《复变函数》(第四版) 第五章
第4页
∴
z = 0 分别是 本性奇点.
sin z
z
,
sin z4
z
,
sin
1 z
的可去、3极、
(1) zo为 f(z)的可去奇点
相当于实函可去间断点
lim f (z)存在且有限
zz0
f (z)在zo点的某去心邻域内有界.
(2) zo为 f (z)的极点
例:
z
0
是
ez 1 z2
的一级极点.
z
1
是
(z 1)3 sin( z 1)
的二级零点.
《复变函数与积分变换》 留数—计算规则
三、在 ∞ 点的留数 定义 2.2 设 ∞ 是 f ( z ) 的孤立奇点 , 则 f ( z ) 在 R < z < +∞ 内解析 ,
C 是 R < z < +∞ 内一条简单闭
y C
O
§5.2 留 数 —— 在 ∞ 点的留数
R
x
定理 2.2 若 f ( z ) 在 C U {∞} 上有有限个奇点：z1 ,L , z n , ∞ , 则
1 P ( z ) , z = 0 是 f ( z ) 的 3 级极点 . z3 1
解二：把 f ( z ) 在 z = 0 点展成洛朗级数 :
z − sin z 1 = 6 z6 z = 1 3 1 5 1 7 z − z − 3! z + 5! z − 7! z + L
O
1 = − c1 . ∫ C f ( z ) dz, 则 Res f ( z ) , ∞ 2π i Ñ
× zn
f ( z ) ,∞ . = − 2π i Res
§5.2 留 数 —— 在 ∞ 点的留数
规则 IV Res [ f ( z ), ∞ ] = − Res f ( )
(5)
假设 z0 是 f ( z ) 的 k 级极点 , k < m ,
f ( z ) = c− k ( z − z0 )
−k
+ L + c−1 ( z − z0 ) + c0 + c1 ( z − z0 ) + L
−1 m− k
( z − z0 )
0
m
f ( z ) = c− k ( z − z0 )
§5.2 留 数 —— 计算规则
复变函数的留数定理与柯西公式
复变函数的留数定理与柯西公式复变函数是数学中一个重要的研究对象，它是指定义在复平面上的函数。
复变函数有很多特殊的性质和定理，其中留数定理和柯西公式是非常重要的两个定理。
在本文中，我们将详细介绍留数定理和柯西公式。
一、留数定理留数定理是关于复变函数在孤立奇点处的积分的定理。
设f(z)是函数在z0处的孤立奇点，那么函数f(z)在z0处的留数记作Res(f, z0)。
留数的计算可以通过洛朗展开公式来进行。
留数定理的表述如下：设f(z)是一个在复平面上减少了一条折线的闭曲线上都有定义的函数，除去闭曲线上的一个有限个奇点外，在每一孤立奇点z0处函数f(z)都有留数Res(f, z0)。
设γ是一个以奇点z0为中心的小圆环，那么函数f(z)在γ上的积分等于2πi乘以z0处的留数，即：∮γf(z)dz = 2πi Res(f, z0)留数定理的重要性在于它将复变函数的积分问题转化为留数的计算问题，从而简化了计算的过程。
利用留数定理，可以高效地求解很多积分，特别是当函数存在简单极点（即一阶极点）时。
二、柯西公式柯西公式是复变函数理论中的又一重要定理。
柯西公式的表述如下：设f(z)是一个在闭曲线C内连续，除去闭曲线C上的一个有限个奇点外，在C内部处处有导数的函数，那么对于闭曲线C内的每一个点z0，都有：f(z0) = 1/(2πi) ∮C f(z)/(z-z0)dz柯西公式可以理解为复变函数的积分和它在孤立奇点处的取值之间存在密切的关系。
具体地说，柯西公式表明，如果一个函数在某个区域内处处可导，在闭区域内部积分的结果等于在闭区域边界上积分的平均值。
柯西公式的应用非常广泛，它不仅可以用来计算复平面上的积分，还可以用于解析函数和傅里叶变换等。
三、留数定理和柯西公式的关系留数定理实际上是柯西公式的一个特殊情况。
当闭曲线C所围的区域内只有一个孤立奇点z0时，留数定理和柯西公式是等价的。
此时，柯西公式可以写为：f(z0) = 1/(2πi) ∮C f(z)/(z-z0)dz = Res(f, z0)也就是说，柯西公式表明了求取孤立奇点的留数可以通过对围绕该奇点的闭曲线求积分来实现。
复变函数5章：留数
3z + 2 1 3z + 2 = 2 2 z (z + 2) z z + 2
而 3z + 2 在z=0处解析，且不等于0，所以z=0为二级极点 =0处解析 且不等于0 所以z=0为二级极点 处解析，
z+2
§5.1 孤 立 奇 点
二 孤立奇点的分类
2. 极 点 【例】求下列函数的奇点，如果是极点，指出级数 求下列函数的奇点，如果是极点，
f (z) = ∑cn (z − z0 )n , ( 0 < z − z0 < δ )
∞ n=0
则称孤立奇点 则称孤立奇点z0为f(z)的可去奇点 孤立奇点z 【注】令f(z0)=c0，则f(z)在z0处解析
§5.1 孤 立 奇 点
二 孤立奇点的分类
f (z) =
n=−∞
cn (z − z0 )n , ∑
z→z0
或写作 lim f (z) = ∞.
z→z0
§5.1 孤 立 奇 点
二 孤立奇点的分类
2. 极 点 【例】求下列函数的奇点，如果是极点，指出级数 求下列函数的奇点，如果是极点，
3z + 2 (1) f (z) = 2 , z (z + 2)
1 (2) 3 z − z2 − z + 1
解：(1) z=0, -2为函数f(z)的孤立奇点 为函数f 由于
3z + 2 (1) f (z) = 2 , z (z + 2)
1 (2) 3 z − z2 − z + 1
解：(1) z=0, -2为函数f(z)的孤立奇点 为函数f 同理
1 3z + 2 3z + 2 = 2 z (z + 2) z + 2 z 2
而 3z + 2 在z=0处解析，且不等于0，所以z=0为二级极点 =0处解析 且不等于0 所以z=0为二级极点 处解析，
z+2
§5.1 孤 立 奇 点
二 孤立奇点的分类
2. 极 点 【例】求下列函数的奇点，如果是极点，指出级数 求下列函数的奇点，如果是极点，
f (z) = ∑cn (z − z0 )n , ( 0 < z − z0 < δ )
∞ n=0
则称孤立奇点 则称孤立奇点z0为f(z)的可去奇点 孤立奇点z 【注】令f(z0)=c0，则f(z)在z0处解析
§5.1 孤 立 奇 点
二 孤立奇点的分类
f (z) =
n=−∞
cn (z − z0 )n , ∑
z→z0
或写作 lim f (z) = ∞.
z→z0
§5.1 孤 立 奇 点
二 孤立奇点的分类
2. 极 点 【例】求下列函数的奇点，如果是极点，指出级数 求下列函数的奇点，如果是极点，
3z + 2 (1) f (z) = 2 , z (z + 2)
1 (2) 3 z − z2 − z + 1
解：(1) z=0, -2为函数f(z)的孤立奇点 为函数f 由于
3z + 2 (1) f (z) = 2 , z (z + 2)
1 (2) 3 z − z2 − z + 1
解：(1) z=0, -2为函数f(z)的孤立奇点 为函数f 同理
1 3z + 2 3z + 2 = 2 z (z + 2) z + 2 z 2
高等数学课件-复变函数与积分变换 第五章 留数 §5.2 用留数定理计算实积分
§5.2 用留数定理计算实积分
引言
在实际问题中，往往会遇到求一些实 积分的值，计算比较复杂。但是，如果把 它们化为复变函数的积分，运用留数定理 计算可能要简捷的多。
首先，被积函数必须要与某个解析函 数密切相关。
其次，定积分的积分域是区间，而用 留数来计算要牵涉到把问题化为沿闭曲线 的积分。
一、形如
积分限化为从 到 ，又显然 lim f z 0 z
于是积分属于上述类型，可由（2.4）式计算
f z 可写成
f z
1 z2 a2
2
z
ia
1
2
z
ia
2
易见，f z 在上半平面只有一个二级极点
z ia，计算 f zeipz在 z ia 点的留数
Re s f
z eipz ,ia
Re s
f
z eiz , 2i
lim z
z2i
2i
f
z eiz
zeiz
1
lim
z2i z 2i
z2 1
6e2
Re
s
f
z eiz ,i
lim z
zi
i
f
z eiz
lim
zeiz
1
zi z2 4 z i 6e
将所得留数代入（2.5）式得：
I
xsin x dx
(x2 4)(x2 1)
奇点？在实轴上是否无奇点？
c．等式 lim zf z 0 是否成立？ z
（2）计算 f z在上半平面奇点处的留数，
然后代入上述公式就得结果。显然结果必然
是实数，如果是复数，说明计算有误。
例2.3计算积分
x2
I
x2 1 2 dx
引言
在实际问题中，往往会遇到求一些实 积分的值，计算比较复杂。但是，如果把 它们化为复变函数的积分，运用留数定理 计算可能要简捷的多。
首先，被积函数必须要与某个解析函 数密切相关。
其次，定积分的积分域是区间，而用 留数来计算要牵涉到把问题化为沿闭曲线 的积分。
一、形如
积分限化为从 到 ，又显然 lim f z 0 z
于是积分属于上述类型，可由（2.4）式计算
f z 可写成
f z
1 z2 a2
2
z
ia
1
2
z
ia
2
易见，f z 在上半平面只有一个二级极点
z ia，计算 f zeipz在 z ia 点的留数
Re s f
z eipz ,ia
Re s
f
z eiz , 2i
lim z
z2i
2i
f
z eiz
zeiz
1
lim
z2i z 2i
z2 1
6e2
Re
s
f
z eiz ,i
lim z
zi
i
f
z eiz
lim
zeiz
1
zi z2 4 z i 6e
将所得留数代入（2.5）式得：
I
xsin x dx
(x2 4)(x2 1)
奇点？在实轴上是否无奇点？
c．等式 lim zf z 0 是否成立？ z
（2）计算 f z在上半平面奇点处的留数，
然后代入上述公式就得结果。显然结果必然
是实数，如果是复数，说明计算有误。
例2.3计算积分
x2
I
x2 1 2 dx
复变函数 第五章留数
F(t)
c
n
t
n
cnt
n
(2)
n 1
n0
第五章 留数
相应地规定：如果 t = 0 是 F(t) 的可去奇点、m 级极点或本
性奇点，则称z 是 f (z) 的可去奇点、m 级极点或本性奇点。
将式（1）写成
f
(z)
c
n
z
n
c0
cn zn
(3)
n 1
n 1
将式（2）写成
F(t)
cn t n
c0
cnt
( n 0, 1, 2, , m 1)
f
(m) (z0 ) m!
a0
0
故必有 f (z) cm (z z0 )m cm1(z z0 )m1 cm2 (z z0 )m2
(z z0 )m[cm cm1(z z0 ) cm2 (z z0 )2 ]
(z z0)m (z)
根据 0 z z0 内 f (z) 的 Laurent 级数的不同，孤立奇点 分为三种类型。
第五章 留数
1、可去奇点
如果 Laurent 级数中不含 z z0 的负幂项，孤立奇点 z0 称为 f (z) 的可去奇点。
即
c0 c1(z z0 ) cn (z z0 )n
在 0 z z0 内收敛于 f (z) 。
lim f (z)
zz0
或
lim f (z)
z z0
第五章 留数
如果 f (z)以 z0为其孤立奇点，则下列四个条件是等价的。 它们中的任何一条都是 m 级极点的特征：
（1） f (z) 在以 z0 点为中心的去心邻域内的 Laurent 级数只 有有限多个 z z0 的负幂项；
复变函数之留数定理
∫ f
( z )在a点的留数：Res [
f
(z), a]
=
a−1
=
1
2π
i
f (ζ )dζ ，
C
它是f (z)在a的充分小去心邻域内洛朗展式中 z−1a 的系数。
故∫C f (ζ )dζ = 2π i Res[ f (z), a]，
C：在a的使f (z)解析的去心邻域K 内 < 任一条围绕 a 的正向闭路。
第五章 留数及其应用
留数是复变函数又一重要概念，有着非常广泛的应用.
5.1 留数定理
一 、留数的定义和计算
设 a 是 f (z) 的孤立奇点， 则∃δ > 0,使得
f (z)在K : 0 < z − a < δ 解析，f (z)在K内可展为洛朗级数：
∑+∞
f (z) =
an(z − a)n,
n=−∞
留数定理(P103定理1)：设f (z)在闭路C上解析， y
C
∫ ∑ 在C内部除n个孤立奇点a1, a2 ,, an外解析,则 n
a1 C1 a2 C2
C
f (z)d z
=
2π
i Res f (z), ak 。
k =1
0 a3 C3
证明 ∀k =1, 2,n, 以ak为圆心作充分小的圆周Ck ,
an Cn
x
使得C1,C2 ,,Cn都在C 的内部,且它们彼此完全分离(如图)。
由多连通区域柯西积分定理和留数定义得
n
n
∫ ∑ ∫ ∑ C
f (z)d z =
k =1
Ck
f (z)d z = 2π i Res f (z), ak 。#
k =1
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f ( z ) cn ( z z0 )
n 0
n m
由Taylor 级数的系数公式有 : f ( n ) ( z0 ) 0 ( n 0,1,2, , m 1), f ( m ) ( z0 ) 而 c0 0 m! 必要性得证！
23 March 2016
© 2009, Henan Polytechnic University
1 si n z 的孤立奇点.
这说明奇点未
必是孤立的.
故z 0不是
1
o
x
23 March 2016
© 2009, Henan Polytechnic University
4 4
第五章留数
2. 分类
以下将f (z)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数，根 据展开式的不同情况，将孤立点进行分类.考察：
2n sinz z2 z4 z (1) 1 ( 1)n z 3! 5! ( 2n 1)!
( z)在 z0 解析, 且 ( z0 ) 0 .
z0是f ( z )的m阶极点 .
23 March 2016
© 2009, Henan Polytechnic University
1313
第五章留数
例
z 求f ( z ) 的奇点， 2 z (1 z )(1 e ) 如果是极点指出它的阶 .
23 March 2016
© 2009, Henan Polytechnic University
5 5
第五章留数
定义 设z0是f (z)的一个孤立奇点，在z0 的去心邻域内，
若f (z)的洛朗级数
( i ) f ( z ) cn ( z z0 ) n
n 0
没有负幂次项，称z=z0为可去奇点 ; ~~~~~~~~
第五章留数
1 “ ” 若z0是 的m阶 零 点 ,则 f (z)
1 ( z z0 ) m ( z ) f (z)
( z) 在z0解析, 且 ( z0 ) 0 .
1 1 1 当z z0时，f ( z ) (z) m m ( z z0 ) ( z ) ( z z0 )
ln( 1 z) ( 2) f ( z ) z
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第五章留数
(3) f ( z )
z z 1
2
1
2
si nz ( 4) f ( z ) 3 z 1 ( 6) f ( z ) z sinz
f ( z )在z0解析.
若z0为f (z)的m (m 1) 阶极点
f (z)
1 lim f ( z ) f ( z ) g( z ) m z z0 ( z z0 )
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n
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第五章留数
4. 零点与极点的关系
定义 不恒等于0的解析函数f (z)如果能表示成
f ( z ) ( z z0 )m ( z )
其中： ( z0 ) 0, ( z )在z0点解析 ,m N
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1. 留数的定义
2. 留数定理
3. 留数的计算规则
4. 在无穷远点的留数
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第五章留数
1. 留数的定义
f ( z )在c所 围 成 的 区 域 内 解 析 0 c f ( z )dz 0 c所 围 成 的 区 域 内 含 有 f ( z )的 奇 点 未 必 为
解
显然，z=i 是(1+z2)的一阶零点
e 1 0, 即 e 1 z Ln( 1) i ( 2k ) ( 2k 1)i 故奇点为： z k ( 2k 1)i
(1 ez )'
z i ( 2 k 1)
z
z
k 0,1,2,
( ii ) f ( z )
n m
n c ( z z ) (c m 0, m 1) n 0
只有有限多个负幂次项，称z=z0为m 阶极点 ; ~~~~~~~~
( iii ) f ( z )
n
n c ( z z ) n 0
有无穷多个负幂次项，称z=z0为本性奇点 . ~~~~~~~~
1 ( 5) f ( z ) 3 z z2 z 1
(7) f ( z ) e
1 z 1
( z 1)2 ( z 2)2 (8) f ( z ) 3 sinz
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特点：没有负幂次项 e z 1 z n z n1 1 z z n 1 ( 2) 1 z z n 0 n! n0 n! z 2! n! 特点：只有有限多个负幂次项 1 1 2 1 n 1 z ( 3)e 1 z z z 2! n! 特点：有无穷多个负幂次项
则称z=z0为f (z) 的m 阶零点. 例如： z 0与z 1分别是 f ( z ) z( z 1)3的一阶
与三阶零点。
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定理
f ( z ) ( z z0 ) m ( z )
CH 3 留数
1、孤立奇点
2、留数(Residue)
3、留数在定积分计算上的应用
1
第五章留数
§5.1 孤立奇点
1. 定义
2. 分类 3. 性质 4. 零点与极点的关系 5. 函数在无穷远点的状态
2 2
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第五章留数
5. 函数在无穷远点的状态
定义
若函数f ( z )在R z 内解析，那么称点 为f ( z )的孤立奇点.
规定
1 z 在f ( z )的状态与t 0在f ( )的状态相同. t
将函数f ( z )在R z 展成幂级数 cn z n ,由此得定义：
n
f ' (0) ( 1) 0
3
z 0为 一 阶 零 点
f ' (1) 0
f ' ' (1) 0
f ' ' ' (1) 6 0
z 1为三阶零点
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第五章留数
e z
z i ( 2 k 1)
[cos ( 2k 1) i sin ( 2k 1)] 0
zk i(2k 1) (k 0,1,2,)是 1 e 的一阶零点
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1 定理: 若z0是f ( z )的m阶极点 z 0是 的m阶零点 . f (z)
证明 “” 若z0为f (z)的m 阶极点 1 f (z) g( z ) g( z )在z0解析, 且g( z0 ) 0 m ( z z0 )
1 1 m ( z z0 ) ( z z0 )m h( z ) f (z) g( z ) ( z z0 )
z 2 3z 2 例如： f ( z ) 2 4 ( z 1)( z 1)
z=1为f (z)的一个三阶极点， z=i为f (z)的一阶极点.
若z0为f (z)的本性奇点
f ( z )的 洛 朗 级 数 有 无 穷 多 负 项幂 次 项 l i m f ( z )不 存 在 ， 也 不 为
z
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第五章留数
; 综合 z i为f ( z )的 二 阶 极 点 z k i ( 2k 1) ( k 1,2, )为f ( z )的 一阶极点 .
练习：考察下列函数的 孤立奇点，奇点类型， 如果是 极点，指出它的阶数 .
1 (1) f ( z ) 2 z z (e 1)
设f ( z )
n
c (z z )
n 0
n
,0 z z0 r
( z0是f ( z )的孤立奇点 , c包含z0在其内部)
对 上 式 两 边 沿 简 单 闭线 曲c逐 项 积 分 得 ： dz c f ( z )dz c1 c z z0 2ic1
n
可去奇点 - - - 展式中不含正幂项； m m 阶极点 展式中含有限项正幂 , 且 z 为最高正幂； 本性奇点 - - - 展式中含无穷项正幂项 .
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第五章留数
§5.2 留数0 ) 0, ( z )在z0点解析 ,m N) ( n) (m) f ( z0 ) 0( n 0,1,2, , m 1) f ( z0 ) 0.