复变函数第五章习题及答案

z

1 3! z

1 5! z 3


故
Res z 2
sin
1 z
,0

C1


1 6
.
29
(3) 1 z sin z
解 z nπ (n 0,1,2, )为奇点,
当 n 0 时 n 为一级极点，
因为 lim (z nπ ) 1
znπ
z sin z
即 f (z) cm(z z0)m c2(z z0)2 c1(z z0)1 c0
c1(z z0 ) m 1, cm 0
或写成
f
(z)

(z
1 z0 )m
g(z)
,
那末孤立奇点 z0 称为函数 f (z) 的 m 级极点.
7
iii)本性奇点 如果洛朗级数中含有无穷多个z z0 的负幂项,
那末孤立奇点 z0 称为 f (z) 的本性奇点.
注意: 在本性奇点的邻域内 lim f (z) z z0 不存在且不 为 .
8
3)函数的零点与极点的关系
i) 零点的定义 不恒等于零的解析函数 f (z)如果 能表示成 f (z) (z z0 )m (z), 其中 (z) 在 z0 解析且 (z0 ) 0, m为某一正整数, 那末 z0 称为
14
定理 如果函数 f (z) 在扩充复平面内只有有限个
孤立奇点, 那末 f (z) 在所有各奇点 (包括点)
的留数的总和必等于零.
15
3. 留数在定积分计算上的应用
1）三角函数有理式的积分
I

2π
0
R(cos
,sin
)d
令 z ei，
sin 1 (ei ei ) z2 1, cos 1 (ei ei ) z2 1
3. R( x)eaixdx


3
1. 孤立奇点的概念与分类
1）定义 如果函数 f (z) 在 z0不解析, 但 f (z)在 z0
的某一去心邻域 0 z z0 内处处解析, 则称
z0 为 f (z)的孤立奇点.
孤立奇点
奇点
2）孤立奇点的分类 依据 f (z)在其孤立奇点 z0 的去心邻域 0 z z0 内的洛朗级数的情况分为三类:
k 1
18
3）混合型无穷积分
I

R(
x)eaixdx(a

0),其中R(
x)是x的有理

函 数, 分母的次数至少比分子的 次 数 高 一 次, 且R( z )
在实轴上没有孤立奇点,则

R(
x )e aixdx

2π
i

n
Res[ R(z)eaix , zk ],
k 1
其中zk (k 1,2, , n)为R(z)在上半平面内的极点.
6
极点的判定方法
(a) 由定义判别
f (z)的洛朗展开式中含有 z z0的负幂项为有
限项.
(b) 由定义的等价形式判别
在点
z0 的某去心邻域内
f
(
z)

(
z
g(z) z0 )m
其中 g(z) 在 z0 的邻域内解析, 且 g(z0 ) 0.
(c) 利用极限 lim f (z) 判断 . z z0
成洛朗级数求 c1
(3) 如果 z0为 f (z)的极点, 则有如下计算规则
a) 如果 z0为 f (z)的一级极点, 那末
Res[
f
(z), z0]

lim(z
z z0

z0 )
f
(z

z0
)
12
b) 如果 z0 为 f (z) 的 m 级极点, 那末
Res[
f
(z), z0]

(m
1
dm1
f (z) 的 m 级零点.
ii)零点与极点的关系
1
如果 z0 是 f (z) 的 m 级极点, 那末z0就是 f (z)
的 m 级零点. 反过来也成立.
9
2. 留数
定义 如果 z0 为函数 f (z) 的一个孤立奇点, 则沿 在 z0的某个去心邻域0 z z0 R内包含 z0 的
任意一条简单闭曲线 C 的积分 f (z)dz 的值除
17
2）无穷积分
I


R(
x
)dx
.其
中R(
x
)是x的有
理函
数,
分母
的 次 数 至 少 比 分 子 的 次数 高 两 次, 且R( z )在 实 轴 上
没有孤立奇点.
设R(z) P(z) Q(z), P(z)为n次多项式,Q(z)为 n
m次多项式,m n 2,则 I 2π i Res[R(z), zk ].
例1 求下列函数f (z)在扩充复平面上的奇点,并
判别类型.
(1)
sin z z3

z
;
(2)
tan1
e z;
解 (1)由于f (z)在0 z 内的洛朗展式为 :
f
(z)

sin z z3
z

1 z3

z

z3 3!

z5 5!

z7 7!



z
1 z2 z4 z6 3! 5! 7! 9!
i) 可去奇点; ii) 极点; iii) 本性奇点.
4
i) 可去奇点 定义 如果洛朗级数中不含 z z0 的负幂项, 那末 孤立奇点 z0 称为 f (z)的可去奇点.
5
ii) 极点 定义 如果洛朗级数中只有有限多个 z z0 的
负幂项, 其中关于(z z0 )1的最高幂为 (z z0 )m ,

1)!
lim
zz0
dz
m
1
[(
z

z0 )m
f
(z)]
c)
设
f (z)
P(z), Q(z)
P(z)
及
Q(z) 在
z0都解析，
如果 P(z0 ) 0,Q(z0 ) 0,Q(z0 ) 0, 那末 z0
为一级极点,
且有Res[
f
(z
),
z0
]

P(z0 ) Q(z0 )
.
13
3)无穷远点的留数
19
特别地
cos mx
0 1 x2
dx

π 2
em ,
sin mx
1 x2

dx

0,
sin x dx π ,
0x
2
eax 1 ex

dx

π sin aπ
(0

a

1).
20
4.对数留数
定义 具有下列形式的积分:
1 f (z)

(
z
(z 1)2
5)sin z z2(z 1)3
的奇点，并确
定类型.
解 z 0, z 1, z 1是奇点.
因为
f
(z)

1 z (z
z5 1)2(z
1)3

sin z z

1 z
g(z),
所以 z 0 是单极点； z 1 是二级极点;
z 1 是三级极点.
z
1
1

1 3!(z
1)3


,
所以
Ressin(
1 z

1)
,1

C1

1.
28
(2) z2 sin 1 z
解 因为 sin z z z3 z5 , 3! 5!
所以在0 z 内，
z2
sin
1 z

z 2
1 z

1 3! z 3

1 5! z 5
lim (1)n z nπ (1)n 1 ,
znπ
z sin(z nπ )
nπ
由 lim z2 f (z) lim z 1, 知z 0是二级极点.
z0
z0 sin z
30
所以
Res
z
1 sin
z
,
nπ


(1)n
1 nπ
,
Res
z
1 sin
得z 0是f (z)的可去奇点, z 是f (z)的本性奇点.
23
tan1
(2) e z;
解 令 w tan1 , 则 f (z) ew . z
由cos 1 0, z
得
zk
1 k 1 π
2
为w tan1的一级极点,
z
(k 0,1, )
而ew仅有唯一的奇点z 且为本性奇点,又
2π
i

C
dz f (z)
称为f (z)关于曲线C的对数留数.
如果f (z)在简单闭曲线C上解析且不为零,
在C的内部除去有限个极点以外也处处解析,
那么
1
2π
i

C
f (z)dz f (z)

N
P. 其中, N为
f(z)在C
内零点的总个数, P为 f(z)在C内极点的总个数.
且C取正向.
21
辐角原理 如果 f(z)在简单闭曲线C上与C内解析, 且在
2i
2iz
2
2z
当 历经变程 0,2时, z 沿单位圆周 z 1的
正方向绕行一周.
16
I

z
1
R

z
2 2z
1
,
z
2 2iz
1
dz iz
f (z)dz
z 1
n
2π i Res[ f (z), zk ].
k 1
其中zk (k 1,2, ,n)为包含在单位圆周 z 1内的f (z)的孤立奇点.
1
limtan
zzk
z
24
所以
zk

k
1 1 π
(k 0,1, )
2
都是 f (z) 的本性奇点.
当z 时,因为
tan1
lim f (z) lime z 1 ,
z
z
故知 z 是 f (z) 的可去奇点.
25
例2
求函数
f
(z)
1.定义 设函数 f (z)在圆环域 0 z 内解析
C为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线
那末积分
1 2π i

C
f
( z )dz
的值与C无关
,
则称此定
值为 f (z)在 的留数.
记作
Res[
Байду номын сангаас
f
(z),]

1 2π i

C
f
(z)dz
1 2π i

C
f
(z)dz
也可定义为 Res[ f (z),] C1 .
一、重点与难点
重点：留数的计算与留数定理 难点：留数定理在定积分计算上的应用
2
二、内容提要
可去奇点
孤立奇点
极点
本性奇点
函数的零点与 极点的关系
留数
计算方法 留数定理
分留 上数 的在 应定 用积
计算 f (z)dz
C
2
1. 0 R(sin ,cos )d ;
2.

f ( x)dx;
n
f (z)dz 2π i Res[ f (z), zk ]
C
k 1
留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求被积函数 在C内各孤立奇点处的留数.
11
2)留数的计算方法
(1) 如果 z0 为 f (z) 的可去奇点, 则
Res[ f (z), z0 ] 0.
(2) 如果 z0为 f (z)的本性奇点, 则需将 f (z)展开
z
,0

lim
z0
d dz

z
2

z
1 sin
z

sin z zcos z
lim z0
sin2 z
0.
31
(4) f (z) sinh z cosh z
解 f (z)的一级极点为
zk

k

2
i
k

0,1,2,

故
sinh z Res[ f (z), zk ] (cosh z) zzk
C
以 2i 后所得的数称为 f (z)在z0的留数. 记作 Res[ f (z), z0 ]. (即 f (z)在z0为中心的圆环 域内的洛朗级数中负幂项 c1(z z0 )1 的系数.)
10
1)留数定理 设函数 f (z) 在区域 D内除有限个孤 立奇点 z1 , z2 , , zn 外处处解析, C 是 D内包围诸奇 点的一条正向简单闭曲线, 那末
26
例3
证明 z

0
是
f
(z)

1 z 3 (e z3

的六级极点. 1)
证
1 f (z)

z 3 (e z3
1)

z31
z3
(z3 )2 2!

1,
z6 z9 z12 2! 3!
因为 z 0是 1 z3(ez3 1)的六级零点， f (z)
C上不等于零, 那么 f(z)在C内零点的个数等于 1 2
乘以当z沿C的正向绕行一周 f(z)的辐角的改变量.
路西定理 设f (z)与g(z)在简单闭曲线C上和C内解析,
且在C上满足条件 f (z) g(z), 那么在C内f (z)与 f (z) g(z)的零点的个数相同.
22
三、典型例题
sinh z 1.
sinh z zzk
32
sin(z i)
例5 计算积分 z 2 z(z i)8 dz.
解 z 0 为一级极点，z i 为七级极点.
Res[
f
(z),0]

lim
z0
zf
(z)

lim
z0
sin( z (z
i) i )8
所以
z

0是
f
(z)

1 z 3 (e z3
的六级极点. 1)
27
例4 求下列各函数在有限奇点处的留数.
(1)sin 1 , (2)z2 sin 1 ,
z1
z
(3) 1 , z sin z
(4) sinh z . cosh z
解 (1)在 0 z 1 内,
sin
z
1
1