复变函数习题答案

习题一1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数π/43513;;(2)(43);711i i e i i i i i-++++++. 解：i 4πππecos isin 442222-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭②解：()()()()35i 17i 35i 1613i 7i 11+7i 17i 2525+-+==-++- ③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解： ()31i 1335=i i i 1i 222-+-+=-+2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy )(z aa z a-∈+); 33311;;;.22nz i ⎛⎛-+-- ⎝⎭⎝⎭①解： ∵设z =x +iy 则()()()()()()()22i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y-++-⎡⎤⎡⎤+--+-⎣⎦⎣⎦===+++++++∴()22222Re z a x a y z a x a y---⎛⎫= ⎪+⎝⎭++, ()222Im z a xy z a x a y-⎛⎫= ⎪+⎝⎭++． ②解： 设z =x +iy ∵()()()()()()()()323222222223223i i i 2i i 22i33iz x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++⎡⎤=--+-+⎣⎦=-+-∴()332Re3z xxy =-, ()323Im 3z x y y =-．③解：∵(()(){}33232111313188-+⎡⎤⎡⎤==--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭． ④解：∵()()(()2332313131i 8⎡⎤--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎣⎦=⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭． ⑤解： ∵()()1,2i 211i,knkn k k n k ⎧-=⎪=∈⎨=+-⋅⎪⎩¢． ∴当2n k =时，()()Rei 1kn =-，()Imi 0n=；当21n k =+时，()Re i 0n=，()()Im i 1kn=-．3.求下列复数的模和共轭复数12;3;(2)(32);.2ii i i +-+-++①解：2i -+=2i 2i -+=--②解：33-= 33-=- ③解：()()2i 32i 2i32i ++=++()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+⋅+=-⋅-=-④解：1i 1i 222++==()1i 11i222i ++-⎛⎫== ⎪⎝⎭z z =时，z 才是实数．证明：若z z =，设i z x y =+，则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0 ∴z =x 为实数．若z =x ，x ∈¡，则z x x ==． ∴z z =． 命题成立．5、设z ,w ∈£，证明： z w z w ++≤证明：∵()()()()2z w z w z w z w z w +=+⋅+=++()()22222Re z z z w w z w w z zw z w w z wz w =⋅+⋅+⋅+⋅=++⋅+=++⋅()2222222z w z wz w z w z w ++⋅=++⋅=+≤∴z w z w ++≤．6、设z ,w ∈£，证明下列不等式．()2222Re z w z z w w +=+⋅+ ()2222Re z w z z w w -=-⋅+()22222z w z w z w++-=+并给出最后一个等式的几何解释．证明：()2222Re z w z z w w +=+⋅+在上面第五题的证明已经证明了．下面证()2222Re z w z z w w -=-⋅+． ∵()()()()222z w z w z w z w z w z z w w z w-=-⋅-=--=-⋅-⋅+()222Re z z w w =-⋅+．从而得证．∴()22222z w z w z w++-=+几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和．7.将下列复数表示为指数形式或三角形式3352π2π;;1;8π(1);.cos sin 7199i i i i +⎛⎫--+ ⎪+⎝⎭ ①解：()()()()35i 17i 35i 7i 117i 17i +-+=++-3816i 198i e 5025i θ⋅--== 其中8πarctan 19θ=-． ②解：e i i θ⋅=其中π2θ=．π2e i i =③解：ππi i1e e -==④解：()28π116ππ3θ-==-.∴()2πi 38π116πe--+=⋅⑤解：32π2πcos isin 99⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 解：∵32π2πcos isin 199⎛⎫+= ⎪⎝⎭．∴322πi π.3i 932π2πcos isin 1e e 99⋅⎛⎫+=⋅= ⎪⎝⎭8.计算：(1)i 的三次根；(2)-1的三次根；的平方根.⑴i 的三次根． 解：()13ππ2π2πππ22cos sin cosisin 0,1,22233++⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭k k i k∴1ππ1cosisin i 662=+=+z ．25531cos πisin πi 6622=+=-+z39931cos πisin πi 6622=+=--z⑵-1的三次根 解：()()1332π+π2ππ1cos πisin πcosisin 0,1,233k k k +-=+=+=∴1ππ13cosisin i 3322=+=+z 2cos πisin π1=+=-z35513cos πisin πi 3322=+=--z⑶33i +的平方根．解： πi 42233i=6i 6e 22⎛⎫+⋅+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭∴()()1π12i 44ππ2π2π4433i 6e6cos isin 0,122k k k ⎛⎫++ ⎪+=⋅=⋅+= ⎪⎝⎭∴π11i 8441ππ6cos isin 6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z911πi 8442996cos πisin π6e88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z ．9.设2πe,2inz n =≥. 证明：110n z z-+++=L证明：∵2πi enz ⋅= ∴1nz=，即10n z -=．∴()()1110n z z z --+++=L又∵n ≥2． ∴z ≠1 从而211+0n z z z -+++=L11.设Γ是圆周{:},0,e .i z r r a c r z c α=>=+-令:Im 0z a L z b β⎧-⎫⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭,其中e i b β=.求出L β在a 切于圆周Γ的关于β的充分必要条件.解：如图所示．因为L β={z : Im z a b -⎛⎫⎪⎝⎭=0}表示通过点a 且方向与b 同向的直线，要使得直线在a 处与圆相切，则CA ⊥L β．过C 作直线平行L β，则有∠BCD =β，∠ACB =90° 故α-β=90°所以L β在α处切于圆周T 的关于β的充要条件是α-β=90°．12.指出下列各式中点z 所确定的平面图形，并作出草图.(1)arg π;(2);1(3)1|2;(4)Re Im ;(5)Im 1 2.z z z z i z z z z ==-<+<>><且解：(1)、argz =π．表示负实轴．(2)、|z -1|=|z |．表示直线z =12．(3)、1<|z+i|<2解：表示以-i为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。

（4）、Re(z)>Im z．解：表示直线y=x的右下半平面5、Im z>1，且|z|<2．解：表示圆盘内的一弓形域。

所以当y→∞时有|cos z|→∞．习题二1. 求映射1w zz=+下圆周||2z=的像. 解：设i,iz x y w u v=+=+则2222221ii i i i()ix y x y u v x y x y x yx y x y x y x y-+=++=++=++-++++因为224x y+=,所以53i44u iv x y+=+所以54u x=,34v y=+5344,u vx y==所以()()2253442u v+=即()()222253221u v+=，表示椭圆.2. 在映射2w z=下，下列z平面上的图形映射为w平面上的什么图形，设e iwϕρ=或iw u v=+.（1）π02,4rθ<<=；（2）π02,04rθ<<<<;(3) x=a, y=b.(a, b为实数)解：设222i()2iw u v x iy x y xy=+=+=-+所以22,2.u x y v xy=-=(1) 记e iwϕρ=，则π02,4rθ<<=映射成w平面内虚轴上从O 到4i的一段，即π04,.2ρϕ<<=(2) 记e iwϕρ=，则π0,024rθ<<<<映成了w平面上扇形域，即π04,0.2ρϕ<<<<(3) 记w u iv =+，则将直线x =a 映成了22,2.u a y v ay =-=即2224().v a a u =-是以原点为焦点，张口向左的抛物线将y =b 映成了22,2.u x b v xb =-=即2224()v b b u =+是以原点为焦点，张口向右抛物线如图所示.3. 求下列极限. (1) 21lim1z z →∞+;解：令1z t=,则,0z t →∞→.于是22201lim lim 011z t t z t →∞→==++.(2) 0Re()lim z z z→;解：设z =x +y i ，则Re()i z xz x y=+有 000Re()1lim lim i 1i z x y kx z x z x kx k →→=→==++ 显然当取不同的值时f (z )的极限不同 所以极限不存在. （3） 2lim(1)z iz iz z →-+；解：2lim(1)z iz iz z →-+=11lim lim ()()()2z i z i z i z i z z i z i z →→-==-+-+. （4） 2122lim1z zz z z z →+---.解：因为222(2)(1)2,1(1)(1)1zz z z z z z z z z z +--+-+==-+-+所以2112223limlim 112z z zz z z z z z →→+--+==-+.4. 讨论下列函数的连续性：(1) 22,0,()0,0;xyz x y f z z ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩解：因为22(,)(0,0)lim ()limz x y xyf z x y →→=+,若令y =kx ,则222(,)(0,0)lim1x y xy kx y k →=++, 因为当k 取不同值时，f (z )的取值不同，所以f (z )在z =0处极限不存在.从而f (z )在z =0处不连续，除z =0外连续.(2) 342,0,()0,0.x yz f z x y z ⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩解：因为33422022x y x x y x y x y ≤≤=+,所以342(,)(0,0)lim 0(0)x y x yf x y →==+所以f (z )在整个z 平面连续.5. 下列函数在何处求导？并求其导数. (1) 1()(1)n f z z -=- (n 为正整数)；解：因为n 为正整数，所以f (z )在整个z 平面上可导.1()(1)n f z n z -'=-.(2) 22()(1)(1)z f z z z +=++.解：因为f (z )为有理函数，所以f (z )在2(1)(1)0z z ++=处不可导.从而f (z )除1,i z z =-=±外可导.2222232222(2)(1)(1)(1)[(1)(1)]()(1)(1)2543(1)(1)z z z z z z f z z z z z z z z ''+++-+++'=++-+++=++(3) 38()57z f z z +=-.解：f (z )除7=5z 外处处可导，且223(57)(38)561()(57)(57)z z f z z z --+'==---. (4) 2222()ix y x yf z x y x y +-=+++. 解：因为2222222i()i i(i )(i )(1i)(1i)1i()x y x y x y x y x y z f z x y x y x y z z++--+--+++=====+++.所以f (z )除z =0外处处可导，且2(1i)()f z z +'=-.6. 试判断下列函数的可导性与解析性. (1) 22()i f z xy x y =+;解：22(,),(,)u x y xy v x y x y ==在全平面上可微.22,2,2,yuvvy xy xy x xy x y∂∂∂∂====∂∂∂∂ 所以要使得u v x y ∂∂=∂∂， u v y x∂∂=-∂∂, 只有当z =0时,从而f (z )在z =0处可导，在全平面上不解析. (2) 22()i f z x y =+.解：22(,),(,)u x y x v x y y ==在全平面上可微.2,0,0,2uu v vx y x y x y∂∂∂∂====∂∂∂∂ 只有当z =0时,即(0,0)处有u v x y ∂∂=∂∂,u v y y ∂∂=-∂∂. 所以f (z )在z =0处可导，在全平面上不解析. (3) 33()23i f z x y =+;解：33(,)2,(,)3u x y x v x y y ==在全平面上可微.226,0,9,0uu vvx y x y x y∂∂∂∂====∂∂∂∂所以只有当=时，才满足C-R 方程. 从而f (z )0±=处可导，在全平面不解析.(4) 2()f z z z =⋅. 解：设i z x y=+，则23232()(i )(i )i()f z x y x y x xy y x y =-⋅+=+++ 3232(,),(,)u x y x xy v x y y x y =+=+22223,2,2,3uuvvx y xy xy y x x yxy∂∂∂∂=+===+∂∂∂∂ 所以只有当z =0时才满足C-R 方程. 从而f (z )在z =0处可导，处处不解析.7. 证明区域D 内满足下列条件之一的解析函数必为常数. (1) ()0f z '=;证明：因为()0f z '=，所以0u u x y ∂∂==∂∂,0v v x y∂∂==∂∂. 所以u ,v 为常数，于是f (z )为常数.(2) ()f z 解析.证明：设()i f z u v =-在D 内解析,则()u v u vx y x y ∂∂-∂∂=⇒=-∂∂∂∂ ()u v v y x y ∂-∂-∂==+∂∂∂ ,u v u vx yy x∂∂∂∂=-=∂∂∂∂ 而f (z )为解析函数，所以,u u u v x yy x∂∂∂∂==-∂∂∂∂ 所以,,v vv v x x y y ∂∂∂∂=-=-∂∂∂∂即0u u v vx y x y∂∂∂∂====∂∂∂∂ 从而v 为常数，u 为常数，即f (z )为常数.(3) Re f (z )=常数.证明：因为Re f (z )为常数，即u =C 1, 0u u x y∂∂==∂∂ 因为f (z )解析，C-R 条件成立。