复变函数_期末试卷及答案

一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括
号内。

错选、多选或未选均无分。

1．下列复数中，位于第三象限的复数是（ ）
A. 12i +
B. 12i --
C. 12i -
D. 12i -+ 2．下列等式中，不成立的等式是（ ） 3．下列命题中，正确．．的是（ ） A. 1z >表示圆的内部
B. Re()0z >表示上半平面
C. 0arg 4
z π
<<
表示角形区域
D. Im()0z <表示上半平面
4．关于0
lim
z z
z z
ω→=+下列命题正确的是（ ） A.0ω=
B. ω不存在
C.1ω=-
D.
1ω=
5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ ） 6．在复平面上，下列命题中，正确．．的是（ ）
A. cos z 是有界函数
B. 2
2Lnz Lnz =
7
．在下列复数中，使得z
e i =成立的是（ ） 8．已知3
1z i =+，则下列正确的是（ ） 9．积分
||34
2z dz z =-⎰的值为（ ）
A. 8i π
B.2
C. 2i π
D. 4i π
10．设C 为正向圆周||4z =, 则10
()z
C e dz z i π-⎰等于（ ） A.
1
10!
B.
210!
i
π C.
29!
i
π D.
29!
i
π- 11．以下关于级数的命题不正确的是（ ）
A.级数0327n
n i ∞
=+⎛⎫
⎪⎝
⎭∑是绝对收敛的
B.级数
212
(1)n n i
n n ∞
=⎛⎫+ ⎪-⎝⎭∑是收敛的 C. 在收敛圆内，幂级数绝对收敛
D.在收敛圆周上，条件收敛
12．0=z 是函数(1cos )
z
e z z -的（ ）
A. 可去奇点
B.一级极点
C.二级极点
D. 三级极点
13．
1
(2)
z z -在点 z =∞ 处的留数为（ ）
A. 0
.1B
C.
12
D. 12
-
14．设C 为正向圆周1||=z , 则积分 sin z c e dz
z
⎰等于（ ）
A ．2π
B ．2πi
C ．0
D ．－2π 15．已知()[()]F f t ω=F ，则下列命题正确的是（ ） A. 2[(2)]()j f t e
F ω
ω-=⋅F
B. 21()[(2)]j e
f t F ω
ω-⋅=+F
C. [(2)]2(2)f t F ω=F
D. 2[()](2)jt
e f t F ω⋅=-F
二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10
分） 16. 设121,1z i z =-=，求12z z ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
____________. 17. 已知2
2
()()()f z bx y x i axy y =++++在复平面上可导，则a b +=_________. 18. 设函数)(z f =
cos z
t tdt ⎰
，则)(z f 等于____________.
19. 幂极数n n
2
n 1
(2)z n ∞
=-∑的收敛半径为_______. 20. 设3
z ω=，则映射在01z i =+处的旋转角为____________，伸缩率为____________. 20. 设函数2
()sin f t t t =，则()f t 的拉氏变换等于____________.
三、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分） 21．设C 为从原点到3－4i 的直线段，计算积分[()2]C
I x y xyi dz =
-+⎰
22. 设2()cos z
e f z z z i
=+-. (1)求)(z f 的解析区域，（2）求).(z f ' 24．已知2
2
(,)4u x y x y x =-+，求一解析函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+，并使(0)3f =。

23. 将函数1
()(1)(2)
f z z z =
--在点0=z 处展开为洛朗级数.
25. 计算
2||3(1)()(4)z z z i z =++-⎰.
四、综合题（共4小题，每题8分，共32分） 25. 计算
20
1
.54cos d π
θθ
-⎰
26. 求分式线性映射()f z ω=，使上半平面映射为单位圆内部并满足条件(2)0f i =，
arg (0)1f =.
27. 求函数2,10
(),
010,t f t t t --<≤⎧⎪
=<≤⎨⎪⎩
其它
的傅氏变换。

28．用拉氏变换求解方程()(),(0) 1.t
y t y t e y '+==其中
复变函数与积分变换期末试卷答案
一、选择题
1．B. 2. C. 3. A 4. D 5. B 6. D 7. A 8. C 9.B 10.D 11.B 12.D 13.C 14.A 15.B 二、填空题 16．cos
sin
6
6
z i π
π
=+, 17. 1, 18. 3(1)z z
ze e -+,
19. 1,
20.
三、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分） 21．设C 为从原点到2＋3i 的直线段，计算积分[(2)]C
I x y ixy dz =
-+⎰
解：设曲线C 的参数方程为:(23)0 1.C z i t t =+≤≤
22. 设2
()cos 4z
e f z z z
=+-. (1)求)(z f 的解析区域，（2）求).(z f ' 解：(1)由方程 2
40z -=得2z =±，故)(z f 的解析区域为\{2,2}C -.
(2)222
(42)
()sin .(4)z e z z f z z z -+'=
--
23. 将函数()(1)(2)
f z z z =
--在点0=z 处展开为泰勒级数.
解：11111
()(1)(2)(2)(1)(1)
2(1)2
f z z z z z z z -=
=+=+
------ 24. 将函数1
1
2
()(1)
z e
f z z -=
-在圆环0|1|z <-<∞内展开成洛朗级数. 解：z
e 的泰勒展式为0!
n
z
n z e n ∞
==∑，故11
z e -的罗朗展式为1
1
11!n
z n z e n ∞-=⎛⎫
⎪-⎝⎭=∑， 所以1
122200
1111().(1)(1)!!(1)n
z n n n e z f z z z n n z ∞∞
-+==⎛⎫ ⎪-⎝⎭===---∑∑ 四、综合题（共4小题，每题8分，共32分）
25．已知2
2
(,)2u z y x y x =-+，求一解析函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+，并使(0)2f i =。

解：由柯西－黎曼方程得
2,v u y x y
∂∂=-=∂∂ 所以0(,)2()2().x v x y ydx C y xy C y =+=+⎰
2()22,v u
x C y x y x
∂∂'=+==+∂∂所以0()()2.y C y C y dx C y C '=+=+⎰
所以(,)22.v x y xy y C =++
从而2
()2(22).f z x y x xy y C i =-++++
又(0) 2.f Ci i ==所以 2.C = 所以2
()2(222).f z x y x xy y i =-++++
26. 计算
2||2(1)(1)(3)z dz
z z z =-+-⎰.
解：由柯西积分定理得
原式2112|1||1|2
2
11(1)(3)(1)(3)
(1)(1)z z z z z z dz dz z z -=
+=+---=
+-+⎰
⎰
27. 求函数1,10
()1,
010,t f t t --<≤⎧⎪
=<≤⎨⎪⎩
其它
的傅氏变换。

解：0
1
1
()()i t i t i t F f t e dt e dt e dt ωωωω+∞
----∞
-=
=-+⎰
⎰⎰
28．求函数 ()cos3f t t = 的拉氏变换
解：330
()()cos32
it it
st st
st
e e F s
f t e dt e
tdt e
dt -+∞
+∞
+∞
---+=
==⎰
⎰⎰。