《复变函数与积分变换》期末考试试卷A及答案详解

«复变函数与积分变换»期末试题（A ）答案及评分标准

«复变函数与积分变换»期末试题（A ）

一．填空题（每小题3分，共计15分）

1．

231i -的幅角是（ 2,1,0,23

±±=+-k k ππ

）；2.)1(i Ln +-的主值是

（ i 4

32ln 21π

+ ）；3. 211)(z z f +=

，

=)0()

5(f

（ 0 ）；

4．0=z 是 4

sin z z z -的（一级）极点；5． z z f 1

)(=，=∞]),([Re z f s （-1）； 二．选择题（每小题3分，共计15分）

1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ B ）；

（A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(；

（C ）

y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(.

2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ D ），则0d )(=⎰C

z z f ．

（A ）

23-z ； （B ）2

)

1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2)2(3-z .

3．如果级数∑∞

=1

n n

n

z c 在

2=z 点收敛，则级数在（ C ）

（A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛；

（C ）i z

+=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散．

４．下列结论正确的是( B )

（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析；

(B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析， 则

0)(=⎰

C

dz z f

（C ）如果

0)(=⎰

C

dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；

（D ）函数

),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是

),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．

5．下列结论不正确的是（ D ）．

(A) 的可去奇点；为z

1

sin ∞ (B) 的本性奇点；为z sin ∞

(C) ;1sin 1

的孤立奇点为

z

∞ (D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分）

（1）设)()(2

2

2

2

y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a

（2）．计算

⎰

-C

z

z z z e d )

1(2

其中C 是正向圆周：2=z ； （3）计算⎰=++33

42215

d )2()1(z z z z z

（4）函数3

2

32)

(sin )3()2)(1()(z z z z z z f π-+-=在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级. 四、（本题14分）将函数)

1(1

)(2

-=

z z z f 在以下区域内展开成罗朗级数； （1）110<-

五．（本题10分）用Laplace 变换求解常微分方程定解问题

⎩⎨

⎧='==+'-''-1

)0()0()(4)(5)(y y e x y x y x y x

六、（本题6分）求

)()(0>=-ββt

e

t f 的傅立叶变换，并由此证明：

t

e d t ββπωω

βω-+∞

=+⎰2022cos

三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）

（1）．设)()(2

2

2

2

y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求

.,,,d c b a

解：因为)(z f 解析，由C-R 条件

y v x u ∂∂=∂∂ x

v

y u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+

,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c

给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。

（2）．计算⎰-C z

z z

z e d )1(2

其中C 是正向圆周： 解：本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程

因为函数z z e z f z

2

)1()(-=在复平面内只有两个奇点1,021==z z ，分别以21,z z 为圆心画互不相交互不包含的小圆

2

1,c c 且位于c 内

⎰⎰⎰-+-=-21

d )1(d )1(d )1(222C z C z C z

z z z e z z

z e z z z e i z e i

z e i z z

z z πππ2)1(2)(20

2

1=-+'===

无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。

（3）．⎰=++33

42215

d )2()1(z z z z z

解：设)(z f 在有限复平面内所有奇点均在：3