《复变函数》-期末试卷及答案(A卷)
复变函数_期末试卷及答案
一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．下列复数中，位于第三象限的复数是（ ）A. 12i +B. 12i --C. 12i -D. 12i -+ 2．下列等式中，不成立的等式是（ ） 3．下列命题中，正确．．的是（ ） A. 1z >表示圆的内部B. Re()0z >表示上半平面C. 0arg 4z π<<表示角形区域D. Im()0z <表示上半平面4．关于0limz zz zω→=+下列命题正确的是（ ） A.0ω=B. ω不存在C.1ω=-D.1ω=5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ ） 6．在复平面上，下列命题中，正确．．的是（ ）A. cos z 是有界函数B. 22Lnz Lnz =7．在下列复数中，使得ze i =成立的是（ ） 8．已知31z i =+，则下列正确的是（ ） 9．积分||342z dz z =-⎰的值为（ ）A. 8i πB.2C. 2i πD. 4i π10．设C 为正向圆周||4z =, 则10()zC e dz z i π-⎰等于（ ） A.110!B.210!iπ C.29!iπ D.29!iπ- 11．以下关于级数的命题不正确的是（ ）A.级数0327nn i ∞=+⎛⎫⎪⎝⎭∑是绝对收敛的B.级数212(1)n n in n ∞=⎛⎫+ ⎪-⎝⎭∑是收敛的 C. 在收敛圆内，幂级数绝对收敛D.在收敛圆周上，条件收敛12．0=z 是函数(1cos )ze z z -的（ ）A. 可去奇点B.一级极点C.二级极点D. 三级极点13．1(2)z z -在点 z =∞ 处的留数为（ ）A. 0.1BC.12D. 12-14．设C 为正向圆周1||=z , 则积分 sin z c e dzz⎰等于（ ）A ．2πB ．2πiC ．0D ．－2π 15．已知()[()]F f t ω=F ，则下列命题正确的是（ ） A. 2[(2)]()j f t eF ωω-=⋅FB. 21()[(2)]j ef t F ωω-⋅=+FC. [(2)]2(2)f t F ω=FD. 2[()](2)jte f t F ω⋅=-F二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 16. 设121,1z i z =-=，求12z z ⎛⎫=⎪⎝⎭____________. 17. 已知22()()()f z bx y x i axy y =++++在复平面上可导，则a b +=_________. 18. 设函数)(z f =cos zt tdt ⎰，则)(z f 等于____________.19. 幂极数n n2n 1(2)z n ∞=-∑的收敛半径为_______. 20. 设3z ω=，则映射在01z i =+处的旋转角为____________，伸缩率为____________. 20. 设函数2()sin f t t t =，则()f t 的拉氏变换等于____________.三、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分） 21．设C 为从原点到3－4i 的直线段，计算积分[()2]CI x y xyi dz =-+⎰22. 设2()cos ze f z z z i=+-. (1)求)(z f 的解析区域，（2）求).(z f ' 24．已知22(,)4u x y x y x =-+，求一解析函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+，并使(0)3f =。
复变函数期末试卷及答案
20**-20** 1 复变函数与积分变换（A 卷）（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一、单项选择题（每小题3分，共30分） 1．设 复数1z i =-，则arg z =（ ）A ．4π-B ．4πC ．34πD ．54π 2．设z 为非零复数，,a b 为实数且z a bi z=+，则22a b +（ ）A ．等于0B ．等于1C ．小于1D ．大于1 3．函数()f z z =在0z =处（ ）A ．解析B ．可导C ．不连续D ．连续 4．设z x iy =+，则下列函数为解析的是（ ）A 22()2f z x y i xy =-+ B ()f z x iy =- C ()2f z x i y =+ D ()2f z x iy =+ 5．设C 为正向圆周||1z =，则积分Czdz =⎰（ ）A ．6i πB ．4i πC ．2i πD ．0 6. 设C 为正向圆周||1z =，则积分(2)Cdzz z =-⎰( ).A ．i π-B ．i πC ．0D ．2i π7. 设12,C C 分别是正向圆周||1z =与|2|1z -=，则积分121sin 222z C C e z dz dz i z z π⎛⎫+= ⎪--⎝⎭⎰⎰ A ．2i π B ．sin 2 C ．0 D ．cos2 8．幂级数1(1)nnn z i ∞=+∑的收敛半径为 ( ) A.0 B.12C. 2D. 2课程考试试题学期 学年 拟题人:校对人: 拟题学院（系）: 适 用 专 业:9. 0z =是函数2(1)sin ()(1)z e zf z z z -=-的（ ） A ．本性奇点 B ．可去奇点 C ．一级极点 D ．二级极点10.已知210(1)sin (21)!n n n z z n ∞+=-=+∑，则4sin Re [,0]zs z =（ ）A ．1B ．13!C ．13!-D ．1-二、填空题(每空3分，共15分)1 复数1i -+，的指数形式为__________。
复变函数历年考试真题试卷
河南理工大学 2009-2010 学年第 二 学期《复变函数论》试卷（A 卷）一、选择题（每题5分，共25分）⒈ 已知 8)11(ii z +-=，则223366-+z z 的值为( ) A. ;i - B. 1; C. ;i D. -1.⒉ 函数iv u z f w +==)(在点0z 处解析,则命题( )不成立A. v u ,仅在点0z 处可微且满足C-R 条件；B. 存在点0z 的某一邻域)(0z U ，v u ,在)(0z U 内满足C-R 条件；C. v u ,在)(0z U 内可微；D. B 与C 同时成立.3. 设11:=-z C ,则=+-⎰Cz z dz 33)1()1(( ) A. i 83π; B. i 83π-; C. i 43π; D. i 43π- 4. 若幂级数∑∞=-0)1(n n n z a 在3=z 发散,则它必在( )A. 1-=z 收敛;B. 23-=z 发散;C. 2=z 收敛;D. 以上全不正确5. =+-=)1)((1Re 2z i z s i z ( ) A.4i B. 4i - C. 41 D. 41- 二、 填空题（每题5分，共25分）1. =+6)1(i .2． 若z i e i = ,则=z Re .3. =++⎰=dz z z z 243)1(1 .4. 4. 幂级数()∑∞=-11n n n z i 的收敛半径为R= 5.=++⎰+∞∞-dx x x x 54cos 2 . 三、 计算题（每题10分，共40分）1、设y e vpx sin =，求p 的值使v 为调和函数，并求出解析函数iv u z f +=)(。
2、计算积分dz z z e I C z ⎰-=3)1(，其中C 为不经过点0与1的闭路。
3、求函数)1)(2(5222+-+-z z z z 在圆环域20<<z ，+∞<<z 2内的洛朗级数.4、求出332)(sin )2)(1()(z z z z f π--= 在扩充复平面内的所有奇点并指明其类型，极点请指出其阶数。
复变函数期末试题及答案
复变函数期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若复数 \( z = a + bi \)（其中 \( a, b \) 为实数），则\( \bar{z} \) 表示（）A. \( a - bi \)B. \( -a + bi \)C. \( -a - bi \)D. \( a + bi \)答案：A2. 对于复变函数 \( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \)，以下说法正确的是（）A. \( u \) 和 \( v \) 都是调和函数B. \( u \) 和 \( v \) 都是解析函数C. \( u \) 和 \( v \) 都是连续函数D. \( u \) 和 \( v \) 都是可微函数答案：A3. 若 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处可导，则下列说法中正确的是（）A. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处解析B. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处连续C. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处可微D. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处的导数为0答案：C4. 已知 \( f(z) \) 是解析函数，且 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处有孤立奇点，则 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处的留数是（）A. 0B. \( \infty \)C. 1D. \( -1 \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 若 \( z = x + yi \)，且 \( |z| = 2 \)，则 \( x^2 + y^2 = \_\_\_\_\_ \)。
答案：42. 设 \( f(z) = z^2 \)，则 \( f(2 + 3i) = \_\_\_\_\_ \)。
答案：-5 + 12i3. 若 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处解析，则 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处的导数 \( f'(z_0) \) 等于 \_\_\_\_\_。
复变期末考试题及答案
复变期末考试题及答案复变函数期末考试题一、选择题（每题2分，共20分）1. 若复数 \( z = x + yi \)，则 \( \overline{z} \) 是：A. \( x - yi \)B. \( -x - yi \)C. \( -x + yi \)D. \( x + yi \)2. 复平面上，单位圆上的点 \( z = e^{i\theta} \) 对应的实部是：A. \( \cos\theta \)B. \( \sin\theta \)C. \( \tan\theta \)D. \( \sec\theta \)3. 以下哪个是解析函数：A. \( f(z) = \frac{1}{z} \)B. \( f(z) = z^2 \)C. \( f(z) = \log z \)D. \( f(z) = \sin z \)4. Cauchy-Riemann方程是：A. \( \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partialv}{\partial y} \)B. \( \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partialv}{\partial x} \)C. \( \frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{\partialv}{\partial y} \)D. 所有选项5. 若 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处可导，则下列哪个说法是正确的：A. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处连续B. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处可微C. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处解析D. 以上都是...二、填空题（每空3分，共30分）1. 复数 \( z = 3 + 4i \) 的模是 _________。
2. 如果 \( f(z) = z^3 + 2z^2 + z \)，则 \( f'(z) = _________ \)。
吉林师范成人教育《复变函数与积分变换试题》期末考试复习题及参考答案
吉林师范成人教育期末考试试卷《复变函数与积分变换》A 卷年级 专业 姓名 分数一、填空题(每空2分，共16分)1.复数-2是复数________的一个平方根。
2.设y 是实数，则sin(iy)的模为________。
3.设a>0，则Lna=________。
4.记号Res z=af(z)表示________。
5.设f(z)=u(x,y)+iv(x,y),如果________，则称f(z)满足柯西—黎曼条件。
6.方程z=t+i t(t 是实参数)给出的曲线为________。
7.设幂级数∑c z a n n n ()-=+∞∑0，在圆K:|z-a|<R 上收敛于f(z),则c n =______(n=0,1,…)。
8.cosz 在z=0的幂级数展式为________。
二、判断题(判断下列各题，正确的在题干后面的括号内打“√”，错误的打“×”。
每小题2分，共14分)1.lim z 0→e z =∞.( ) 2.设z 0为围线C 内部的一点，则∫c dz z z -0=2πi.( ) 3.若函数f(z)在围线C 上解析，则∫c f(z)dz=0.( )4.z=0是函数124-e z x的4级极点。
( )5.若z 0是f(z)的本性奇点，则z 0是f(z)的孤立奇点。
( )6.若f(z)在|z|≤1上连续，在|z|<1内解析，而在|z|=1上取值为1，则当|z|≤1时f(z)≡1.( )7.若f(z)与f(z)都在区域D 内解析，则f(z)在D 内必为常数。
( )三、完成下列各题(每小题5分，共30分)1.求复数z=1-i 1+i的实部、虚部、模和辐角。
2.试证：复平面上三点a+bi,0,1-a +bi 共直线。
3.计算积分∫c (x-y+ix 2)dz,积分路径C 是连接由0到1+i 的直线段。
4.说明函数f(z)=|z|在z 平面上任何点都不解析。
5.将函数z +1z (z -1)2在圆环1<|z|<+∞内展为罗朗级数。
复变函数A
武夷学院期末考试试卷（ 2009 级 数学(本) 专业2010 ～20 11学年度 第 2 学期） 课程名称 复变函数论 A 卷 考试形式 闭卷 考核类型 考试 本试卷共 八 大题，卷面满分100分，答题时间120分钟。
一、选择题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．复数i 258-2516z =的辐角为（ B ）A ．arctan 21 B ．-arctan 21 C ．π-arctan 21 D ．π+arctan 212．设z=cosi ，则（ A ）A ．Imz=0B ．Rez=πC ．|z|=0D ．argz=π 3．复数i 3e +对应的点在（ A ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．设函数f(z)=⎰zd e 0ζζζ，则f （z ）等于（ D ）A ．1++z z e zeB ．1-+z z e zeC ．1-+-z z e ze D ．1+-z z e ze 5．幂级数∑∞=1n 1-n n!z 的收敛区域为（ B ）A ．+∞<<|z |0B ．+∞<|z |C ．-1|z |0<<D ．1|z |<6．3z π=是函数f(z)=ππ-3z )3-sin(z 的（ B ） A ．一阶极点 B ．可去奇点 C ．一阶零点 D ．本性奇点二、填空题：（每题3分,共21分）1．设函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+，00A u iv =+，000z x iy =+，则0lim ()z z f z A →=的充要条件是_______00),(lim ,),(lim 000v y x v u y x u y y x x y y x x ==→→→→________________．2．计算:(1)_____31_____)2(222i dz z i-=+⎰+-- ;(2)_____1cosh 2_2cos 20=⎰+dz zi π3．设z a =为()f z 的极点，则lim ()z af z →=_______∞_____________． 4．设21()1f z z =+，则()f z 在0z =的邻域内的泰勒展式为_____1,)1(21<-∑∞=z z n n n ____________．5．=-==o z zz sf i z z e z f )(Re ,)()(42则π______54ππi -___________________． 6.函数)6(sin 6633-+z z z 在零点z=0的阶为 157.||Z e 在闭圆1||0≤-z z 的最大值=1Re 0+z e三、计算题(10分):验证22),(y xy x y x u -+=是调和函数,求以),(y x u 为实部的解析函数)(z f ,使之适合i i f +-=1)(分于是得代入分分有取定点于是积分与路径无关程因上式右端为全微分方则记为调和函数即故解方程1021)211()(21,1)(8)211()21()0,()0,()21221()(621221)2()()2()2(),0,0(.,)2()2(,)(.),(,0,2,2,2,2:22222222220),()0,0(0..-------------------+-==+-=-------------+-=+-+=+≡+++-+-+=+=-+++-=+++-=+++-=+++-=+-=====∂∂+∂∂=+==+-==-=+=⎰⎰⎰-i z i z f C i i f iC z i C z i z z iv z u C y xy x i y xy x iv u z f C y xy x C dy y x dx x dy y x dx y x v dyy x dx y x dy u dx u dy y v dx x v dv iv u z f y x u u u u u y x u y x u y y x x x y R C yy xx yy xx y x四.证明题:(12分)若iy x z +=, 试证:yx z y x i y x z 222sinh cos |cos |)2(;sinh .sin cosh .cos cos )1(+=-=分分解12sinh cos sinh sin )sinh 1(cos sinh sin cosh cos cos 6sinh sin cosh cos sin sin cos cos )cos(cos )1(:22222222222-----------------------------+=⋅++⋅=⋅+⋅=--------------------------------------⋅-⋅=⋅-⋅=+=y x y x y x y x y x z y x i y x iy x iy x iy x z五.证明题:(7分)1:,1||__=++=az b b az z 试证设分此即分由于解71||||4)Re(2||||)Re(2||||||)Re(2||||)Re(2||||||,1||:222222222222--------------=++⇒+=+----++=⋅++=+++=⋅++=+=-----=-------QED az b b az a z b b az z b a a b a z b a z b a z b z b a b a b az b az b az z六.计算题:(12分)将下列函数在指定圆环内内展开为洛郎级数.+∞<<<<-+||1,1||0,)1(12z z z z z 分时当分时解1221)1(21)/11121(1)121(1)1(1,1|1|0,||1621)121(1)1(1,1||0:03203222202222-----+=+=-⋅+=-+=-+<<∞<<--------=--=-+<<∑∑∑∞=+∞=∞=n n n n n nz z z zz z z zz zz z z zz zz z z zz z z z七. 计算题:(8分)ze z 111--类别判定下列函数的奇点及分为非孤立奇点点显然是这些极点的聚点点为原函数的一级极点分为原函数的可去奇点于是又由于或令分母解洛必达法则8.,;,24;021lim 11lim )1(1lim ,200)1()1(1111:*000*--------------------------------∞∞∈=-----------------------=-=++-=+--=====-+-∈=⇒=--+-=--→→→Z k i k z z ze e e e ze e e e z e z Z k i k z z e e z e z z e z z z z z z z z z z z z z z z z ππ 八. 计算题:(求下列积分, 12分))1(cos )2(sin )1(201||>+⎰⎰=a a d zz dzz πθθ分从而分其中的二级极点为则在单位圆内令解602)(Re 2sin 4||0,0),1(1)!31(1sin 1,)(0,1||,sin 1)(:)1(101||121222------------------=⋅=⋅=------<<=++=+-==<=-==-⎰C i z sf i z z dzz C z a zz z z z z f z z zz z f z z πππ 分从而原积分且仅有一个一级极点被积函数内在单位圆域分于是变为闭圆变换下区间在令20121214)(Re 22,121|221)(Re 1)(,1||1512221cos ,1||]2,0[,1,2cos ,)2(222211||21||1201111---------------=-⨯=⋅=-=+=-+-=<-----++=++=+====+=======--⎰⎰⎰a a z f s i i I a a z z f s a a z z f z az z dzi iz dz z z a a d I z e z dz izd z ze z z z z z z z z z i i πππθθπθθπθθ。
(完整)复变函数_期末试卷及答案,推荐文档
复变函数与积分变换 第 3 页共 6 页
23. 将函数 f (z)
1
在点 z 0 处展开为洛朗级数.
(z 1)(z 2)
dz
25. 计算 |z|3 (z 1)2 (z i)(z 4) .
四、综合题（共 4 小题，每题 8 分，共 32 分）
2
25. 计算
1
d .
0 5 4 cos
A. 3 4i 的主辐角为 arctan 4 3
C. a rg(3 4i)2 2 arg(3 4i)
B. arg(3i) arg(i) D. z z | z |2
3．下列命题中，正确的是（ ）
A. z 1表示圆的内部
B. Re(z) 0 表示上半平面
C. 0 arg z 表示角形区域 4
19.
( 2)n
幂极数
n2
n 1
zn
的收敛半径为_______.
复变函数与积分变换 第 2 页 共 6 页
20. 设 z3 ，则映射在 z0 1 i 处的旋转角为____________，伸缩率为____________. 20. 设函数 f (t) t 2 sin t ，则 f (t) 的拉氏变换等于____________.
15．已知 F () F[ f (t)] ，则下列命题正确的是（ ）
A. F[ f (t 2)] e2 j F ()
B. e2 j f (t) F 1[F ( 2)]
C. F[ f (2t)] 2F (2)
D. F[e2 jt f (t)] F ( 2)
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分）
解：设曲线 C 的参数方程为 C : z (2 3i)t 0 t 1.
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《复变函数》试卷 第1页（共4页） 《复变函数》试卷 第2页（共4页）
XXXX 学院2016—2017学年度第一学期期末考试
复变函数 试卷
一、单项选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分，请从每题备选项中选出唯一符合题干要求的选项，并将其前面的字母填在题中括号内。
）
1. =)i Re(z ( ) A.)i Re(z - B.)i Im(z C.z Im - D.z Im
2.
函数2
)
(z z f =在复平面上
( ) A.处处不连续 B.
处处连续，处处不可导 C.处处连续，仅在点0=
z 处可导 D.处处连续，仅在点0=z 处解析
3.设复数a 与b 有且仅有一个模为1，则b
a b
a --1的值 ( )
A.大于1
B.等于1
C.小于1
D.无穷大 4. 设x y z f y x z i )(i +-=+=，，则=')(z f ( ) A.i 1+ B.i C.1- D.0
5.设C 是正向圆周 1=z ，i 2sin
π=⎰dz z z
C n
，则整数n 等于 ( ) A.1- B.0 C.1 D.2
6.0=z 是2
1
)(
z e z f z -=的 ( )
A.1阶极点
B.2阶极点
C.
可去奇点 D.本性奇点
7.幂级数!2)1(0
n z n n
n n
∑∞
=-的和函数是 ( )
A.z
e - B.2
z
e C.2
z e
-
D.z sin
8.设C 是正向圆周 2=z ，则
=⎰C z dz
2 ( )
A.0
B.i 2π-
C.i π
D.i 2π
9.设函数)(z f 在)0( 00+∞≤<<-<R R z z 内解析，那么0z 是)(z f 的极点
的充要条件是 ( ) A.a z f z z =→)(lim 0
（a 为复常数） B.∞=→)(lim 0
z f z z
C.)(lim 0
z f z z →不存在 D.以上都对
10. z ln 在1=z 处的泰勒级数展开式为 ( )
A.11 ,1)1()
1(11<-+--+∞
=∑z n z n n n
B.11 ,)1()1(1
<---∑∞
=z n z n n n C.11 ,1)1()
1(10<-+--+∞
=∑z n z n n n
D.11 ,)1()1(0
<---∑∞=z n z n n n
二、填空题(本大题共5小题，每题3分，共15分)
11.i 21+=z 的共轭复数=z ________ . 12.设)i 2)(i 32(+--=z ，则=z arg ________ .
13.在复平面上，函数)2(i )(2
2
2
y xy x y x z f -+--=在直线 ________ 上可导. 14.设C 是正向圆周1=z ，则
=⎰dz z z
C 5cos ________ .
15.若级数∑∞
=1
n n
z
收敛，而级数
∑∞
=1
n n
z
发散，则称复级数
∑∞
=1
n n
z
为 ________ .
学号和姓名务必正确清楚填写。
因填写错误或不清楚造成不良后果的，均由本人负责；如故意涂改、乱写的，考试成绩视为无效。
答
题
请
勿 超
过 此
密
封
线
， 否 则
视 为
无 效。
《复变函数》试卷 第3页（共4页） 《复变函数》试卷 第4页（共4页）
三、计算题(本大题共5小题，每小题8分，共40分)
16.利用柯西-黎曼条件讨论函数z z f =)(的解析性.
17.判断数列1
i
2017++=n n z n 的收敛性. 若收敛，求出其极限.
18.求在映射2
z w =下，z 平面上的直线t z )i 2(+=被映射成w 平面上的曲线的方程.
19.求z
e 在0=z 处的泰勒展开式.
20.计算积分dz z ⎰
+i
10
2.
三、证明题(本大题共1小题，每小题15分，共15分)
21.试证明柯西不等式定理:设函数)(z f 在圆R z z C =-0:所围的区域内解析，且在C 上连续，则
,...)2,1( !
)(0)(=≤
n R Mn z f n
n 其中M 是)(z f 在C 上的最大值.
《复变函数》试卷 第5页（共4页） 《复变函数》试卷 第6页（共4页）
XXXX 学院2016-2017学年度第一学期期末考试
复变函数答案（A 卷）
一、单项选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分） 1－5 C C B B D 6-10 A C A B C
二、单项选择题（本大题共5小题，每题3分，共15分）
11. i 21- 12. 8arctan -π 13. 2
1
=y 14.i 2π 15.条件收敛
三、计算题（本大题共5小题，每小题8分，共40分） 16. 解：因y x z z f i )(-==，故 y y x v x y x u -==),( ,),(，从而
,1 ,0 ,0 ,1-=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂y
u
x u y u x u 因此在任何点),(y x 处，y
v
x u ∂∂≠∂∂，所以)(z f 在复平面内处处不解析。
17. 解： i 1
120161i 1602+++=++=n n
n n n z n 而
)( 11
012016∞→→+→+n n n n ， 所以 i lim =∞→n n z 18. 解：直线t z )i 2(+=的参数方程为
)( ,
2∞<<-∞⎩⎨
⎧==t t
y t x 在2z w =映射下，该直线被映射成w 平面上的曲线
2222)i 43()i 2(t t z w +=+==
于是 ,4 ,32
2t v t u ==
消去t ，得 )0( 3
4
≥=u u v
这是w 平面上第一象限内的一条半直线。
19. 解：因为,...)2,1,0()()(==n e e z n z ，其展开式中泰勒系数为
!
1!)0()(n n f c n n ==
于是 z
e 在0=z 处的泰勒展开式为
⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++==∑∞
=!!21!
0n z z z n z e n
n n n z
20. 解：）（）（i 13
2i 131|313
i 103i
102+-=+==++⎰z dz z
五、证明题（本大题15分）
21. 证：由假设条件及高阶导数公式，有
,...)2,1( )
()
(i 2!)(100)(=-=
⎰+n dz z z z f n z f C n n π 于是
,...)2,1( !
22!,...)2,1( )(2!
)(1110
0)
(==⋅⋅≤=-≤+++⎰n R
Mn R R
M n n dz z z z f n z f
n n C n n πππ 证毕。