大学复变函数期末考试试卷及答案(理工科所有专业)

dz C

2

2．设2

2-+=

ni ni

n α),3,2,1(ΛΛ=n ,则=∞→n n αlim （ ）

A. 0；

B. 1；

C. -1+i ；

D. 1+i 。

3．满足不等式3211≤-+≤i z 的所有点z 构成的集合是（ ）。

A ．有界单连通区域； B. 无界单连通区域；

C ．有界复连通闭域； D.无界复连通闭域。

4．下列函数中，不在复平面内解析的函数是( )

A.1

)(+=z e

z f ； B ．-

=z z f )( ；

C ．n

z z f =)( ； D ．)sin (cos )(y i y e z f x

+=。

5

A. ∑∞

=+08)56(n n

n

i ；

C. ∑∞

=02n n i ；三．计算题（每小题71．设z 1+=

2．判定函数)2()()(222y xy i x y x z f -+--=在何处可导，在何处解析。

3．计算积分⎰

-

C

dz z z 4

)2

(sin π

4.计算积分

4=。

5.设,)1(2y x u -=试求解析函数iv u z f +=)(，使得i f -=)2(。

6.将函数)

2)(1(1

)(--=z z z f ，在圆环域21<

7.利用留数计算积分⎰C

四.证明函数yi x z f 2)(+=在复平面内不可导。（7分）

参考答案

一、填空题（本大题共8小题，每小题3

1．109 ， 2. 4 ，3. 0 ，4. 1，5. -3或

二、单项选择题(本大题共7小题，每小题31. B ，2. B ，3.C,4. B,5. B .

三、计算题（本大题共7小题，15-19 1.解：由i z 31+=得：)

sin (cos

2π

π

i z +=, （1分）

6

24

(cos 23166ππ

k i z k +=+=所以)18sin 18(cos 260ππi z +=，)1813sin 1813(cos 262ππi z += ,

)25sin 1825(cos 264ππi z +=,5z 7分）

2.

解

)

2()2y xy i x -+,则

(),(22y x y x u -=

y

u x x u ,12=∂∂-=∂∂

只在2

1

=

y ,x v ∂∂-（6分） 故只在2

1

=y 处可导，处处不解析。（7分）

3z 在2=z 内解析，（2分）

故由高阶导数公式得⎰

-

C

dz z z 4

)2

(sin π

=)(sin !

32z i

π4．解：在C 内分别以i z z -==,3

dz z dz i z e dz z i z e C C z C z ⎰⎰⎰-+-=-++2134

)34(（5=422i ie i ππ+-，（7分） 5．解：y x y x u )1(2),(-=

),(),y x iv y x +解析，（1分）

满足柯西-黎曼方程：

x u =∂∂

1(2x v --=⎰分）

)('y g y v =∂∂又1可得1=c ，（6分） (2)(-=x z f 6

．解：)(z f

（2分）

112n n z +，（4分） 6分）

2110111()()322

n n

n n n f z z z z z ∞

∞+====---+∑∑ （7

或232211111()3222z f z z z z z z ==------+L 7．2

)1)(()(--=z i z e z f z

在2=z 其中i z =

2分）

)()((lim )),((Re =-=→z f i z i z f s z i z 分） 1[(lim )!12(1)1),((Re z dz d z f s z --=→（6分） 由留数定理得：dz

e C z

⎰=)]1),(((Re )),(([(Re 2z f s i z f s i + ][)1(2

2

ei e i i

i --=π（7分）

证明：),(y x u =v (4分） f (7分）