大学复变函数考试卷试题及答案
大学复变函数期末考试试卷及答案(理工科所有专业)
2．设22-+=ni nin α),3,2,1( =n ,则=∞→n n αlim （ ）A. 0；B. 1；C. -1+i ；D. 1+i 。
3．满足不等式3211≤-+≤i z 的所有点z 构成的集合是（ ）。
A ．有界单连通区域； B. 无界单连通区域；C ．有界复连通闭域； D.无界复连通闭域。
4．下列函数中，不在复平面内解析的函数是( )A.1)(+=z ez f ； B ．-=z z f )( ；C ．nz z f =)( ； D ．)sin (cos )(y i y e z f x+=。
5A. ∑∞=+08)56(n nni ；C. ∑∞=02n n i ；三．计算题（每小题71．设z 1+=2．判定函数)2()()(222y xy i x y x z f -+--=在何处可导，在何处解析。
3．计算积分⎰-Cdz z z 4)2(sin π4.计算积分4=。
5.设,)1(2y x u -=试求解析函数iv u z f +=)(，使得i f -=)2(。
6.将函数)2)(1(1)(--=z z z f ，在圆环域21<<z 内展成洛朗级数。
四.证明函数yi(+=在复平面内不可导。
（7分）)zxf2参考答案一、填空题（本大题共8小题，每小题3 1．109 ， 2. 4 ，3. 0 ，4. 1，5. -3或二、单项选择题(本大题共7小题，每小题31. B ，2. B ，3.C,4. B,5. B .三、计算题（本大题共7小题，15-19 1.解：由i z 31+=得：)sin (cos2ππi z +=, （1分）624(cos 23166ππk i z k +=+=所以)18sin 18(cos 260ππi z +=，)1813sin 1813(cos 262ππi z += ,)25sin 1825(cos 264ππi z +=,5z 7分）2.解)2()2y xy i x -+,则(),(22y x y x u -=y u x x u ,12=∂∂-=∂∂ 只在21=y ,x v ∂∂-（6分） 故只在21=y 处可导，处处不解析。
复变函数考试试题及参考答案
复变函数考试试题及参考答案下面是十道复变函数考试试题(一)的参考试题及答案：1.计算下列复数的幂函数：$z=1+i$,$n=3$。
答案：$(1+i)^3=-2+2i$。
2.计算下列复数的幂函数：$z=-2+i$,$n=4$。
答案：$(-2+i)^4=7-24i$。
3.求解方程：$z^2+4z+5=0$。
答案：可以使用求根公式求解，$(z+2)^2+1=0$，得到两个解：$z_1=-2+i$和$z_2=-2-i$。
4. 计算下列复数的极坐标形式：$z = 3e^{i \pi/6}$。
答案：$z = 3\cos(\pi/6) + 3i\sin(\pi/6) = \frac{3}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2}i$。
5.计算下列复数的共轭复数：$z=2-i$。
答案：$z^*=2+i$。
6. 将下列复数表示为共轭形式：$z = 4e^{i \pi/3}$。
答案：$z = 4\cos(\pi/3) + 4i\sin(\pi/3) = 4(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) = 2 + 2\sqrt{3}i$。
7.计算下列复数的实部和虚部：$z=3+2i$。
答案：实部为3，虚部为28.计算下列复数的模长：$z=-4+3i$。
答案：$，z， = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$。
9.求复数的幂函数：$z=-1-i$,$n=2$。
答案：$(-1-i)^2=1-2i-1=-2i$。
10. 求复数的幂函数：$z = \sqrt{3} + i$, $n = 3$。
答案：$(\sqrt{3} + i)^3 = -2\sqrt{3} + 2i$。
复变函数考试题及答案自考
复变函数考试题及答案自考一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪个选项是复数z = 3 + 4i的共轭复数？A. 3 - 4iB. -3 + 4iC. -3 - 4iD. 3 + 4i答案：A2. 如果复变函数f(z)在点z₀处解析，那么它的导数f'(z₀)等于：A. 极限lim(Δz→0) [f(z₀ + Δz) - f(z₀)] / ΔzB. f(z₀)的实部C. f(z₀)的虚部D. f(z₀)的模答案：A3. Cauchy积分定理适用于：A. 仅在实数域B. 仅在复平面上的简单闭合曲线C. 仅在复平面上的开区域D. 所有以上情况答案：C4. 如果一个复变函数在某区域内除了一个孤立奇点外处处解析，那么这个函数在该区域内：A. 一定有原函数B. 一定没有原函数C. 可能是周期函数D. 以上都不对答案：A5. 复变函数f(z) = u(x, y) + iv(x, y)中，u和v分别表示：A. 实部和虚部B. 模和辐角C. 辐角和模D. 都不对答案：A6. 以下哪个是复变函数的柯西-黎曼方程？A. ∂u/∂x = ∂v/∂yB. ∂u/∂y = -∂v/∂xC. ∂u/∂x = ∂v/∂yD. ∂u/∂y = ∂v/∂x答案：B7. 复变函数的级数展开式中的系数是：A. 常数B. 复数C. 实数D. 以上都不对答案：B8. 如果一个复变函数在某个区域内处处连续，那么它的模：A. 也必定处处连续B. 可能不连续C. 必定不连续D. 以上都不对答案：A9. 复变函数的Taylor级数展开是关于：A. 模的展开B. 辐角的展开C. z的展开D. 共轭复数的展开答案：C10. 下列哪个是复变函数的Laurent级数展开的一个特性？A. 它只能展开在解析函数上B. 它包含负幂项C. 它只能展开在奇点附近D. 以上都是答案：B二、填空题（每题3分，共30分）11. 复数z = 2 - 3i的模是________。
《复变函数》考试试题与答案各种总结.docx
---《复变函数》考试试题（一）一、判断题（ 20 分）：1. 若 f(z) 在 z 0 的某个邻域内可导，则函数f(z) 在 z 0 解析 .2. 有界整函数必在整个复平面为常数.3. 若{ z n }收敛，则{Re z n } 与{Im z n }都收敛 .4. 若 f(z) 在区域 D 内解析，且f '( z)，则f ( z) C（常数） 5. 若函数 f(z) 在 z 0 处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数6. 若 z 0 是 f ( z)的 m 阶零点，则 z 0 是 1/f (z)的 m 阶极点 .lim f ( z)7. 若 zz 0存在且有限，则 z 0 是函数 f(z) 的可去奇点 .( ) ( ) ( ). ( ).( )()()8. 若函数 f(z) 在是区域 D 内的单叶函数，则f ' (z) 0( zD ).()9. 若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线Cf z dz.( )C( )10. 若函数 f(z) 在区域 D 内的某个圆内恒等于常数，则 f(z)在区域 D 内恒等于常数 . （）二. 填空题（ 20 分）1、|z z 0 |dz__________. （ n 为自然数）1 ( z z )n2.sin 2zcos 2z_________.3. 函数sin z的周期为 ___________.f (z)z 2 11，则f ( z)的孤立奇点有 __________.4.设5. 幂级数nz n 的收敛半径为 __________.n 06. 若函数 f(z) 在整个平面上处处解析，则称它是__________.lim z nlimz 1z 2 ...z n7. 若 n，则 nn______________.Res(e z8.n,0)________，其中 n 为自然数 .z---9.sin z的孤立奇点为 ________ .z若z 0 是 f (z)lim f (z)___10. 的极点，则z z.三. 计算题（ 40 分）：f (z)11. 设(z 1)( z 2) ，求 f ( z) 在 D { z : 0 | z | 1} 内的罗朗展式 .1dz.|z| 1cos z2.3. 设f ( z)3 271d{ z :| z | 3} ，试求 f ' (1 i ).Cz，其中 Cz 1w1 的实部与虚部 .4.求复数z四 . 证明题 .(20 分 )1. 函数f (z)在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2. 试证 : f ( z) z(1 z) 在割去线段 0Re z 1 的 z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0 Re z 1上岸取正值的那支在 z 1的值 .《复变函数》考试试题（一）参考答案一． 判断题1．× 2．√ ３．√ ４．√５．√6．√ ７．×８．×９．× 10．×二．填空题2 in1 2.1 ；3. 2k ， ( k z) ；4.z i ； 5.11.n；16. 整函数；7. ； 1 ； 9. 0； 10..8.(n 1)!三．计算题 .1. 解因为 0 z 1, 所以 0 z 1f ( z)1 1 1 z zn1 ( z )n.( z 1)(z 2) 1 z 2(1 )n 02 n 0 22---2.解因为z21Re s f (z)lim lim,cosz sin z1 z z z222Re s f (z)lim z2lim1 1 . cosz sin zz z z2 22所以1dz2i(Re s f (z)Re s f (z)0. z2 cosz z2z23.解令 ()3271,则它在 z 平面解析,由柯西公式有在z 3内,f (z)c ()dz2i(z) . z所以 f (1i )2i( z) z 1 i2i (136i )2(613i ) .4.解令 z a bi ,则w z 11212( a1bi )12( a1)2b2. z 1z 1222b22b( a 1) b( a 1)(a 1)z12(a1)z12bb2 .故 Re( z1)1( a1)2b2,Im(z1)(a1)2四. 证明题 .1.证明设在 D 内 f (z) C .令 f ( z) u iv ,2u2v2c2.则 f ( z)两边分别对 x, y 求偏导数,得uu x vv x0(1) uu y vv y0(2)因为函数在 D 内解析,所以 u x v y ,u y v x.代入 (2)则上述方程组变为uu x vv x0 .消去 u x得,(u2v2 )v x0 .vu x uv x01)若 u2v20 ,则 f (z)0 为常数.2)若 v x0,由方程(1) (2) 及C.R.方程有u x0,u y0 , v y0 .所以 u c1, v c2. ( c1 ,c2为常数).---所以 f ( z) c 1 ic 2 为常数 .2. 证明 f ( z)z(1 z) 的支点为 z 0,1 . 于是割去线段 0 Re z 1 的 z 平面内变点就不可能单绕 0 或 1 转一周 , 故能分出两个单值解析分支 .由于当 z 从支割线上岸一点出发 ,连续变动到 z0,1 时 , 只有 z 的幅角增加. 所以f ( z)z(1 z) 的幅角共增加. 由已知所取分支在支割线上岸取正值 , 于是可认为该分2z1的幅角为, 故 f ( 1)i2i .支在上岸之幅角为 0,因而此分支在2e22《复变函数》考试试题（二）一. 判断题 . （20 分）1. 若函数 f ( z)u( x, y) iv ( x, y) 在 D 内连续，则 u(x,y)与 v(x,y)都在 D 内连续 .( ) 2. cos z 与 sin z 在复平面内有界 .()3.若函数 f(z)在 z 解析，则 f(z)在 z 连续 .()0 04. 有界整函数必为常数 .一定不存在 .()5. 如 0是函数f(z)的本性奇点，则 lim f ( z) ()zz z 06. 若函数 f(z)在 z 0 可导，则 f(z)在 z 0 解析 .()7.若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线 Cf (z)dz0 .C( ) 8. 若数列 { z n } 收敛，则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .() 9. 若 f(z)在区域 D 内解析，则 |f(z)|也在 D 内解析 .()10. 存在一个在零点解析的函数1 ) 0 1 1 1,2,... .f(z) 使 f (且 f ( ) ,nn 1 2n 2n( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 zi ，则 | z | __,arg z__, z __2.设 f (z) ( x 22xy) i(1 sin( x 2y 2 ), z x iy C ，则 limf ( z) ________.z 1i3.|z z 0| 1(zdz_________.z )n（ n 为自然数）---4.幂级数 nz n的收敛半径为__________ .n05.若 z0是 f(z)的 m 阶零点且 m>0，则 z0是f '( z)的 _____零点 .6.函数 e z的周期为 __________.7.方程 2z5z33z 8 0 在单位圆内的零点个数为________.8.设 f ( z)1，则 f (z) 的孤立奇点有_________.21z9.函数 f ( z) | z | 的不解析点之集为________.10. Res(z41,1) ____ . z三. 计算题 . (40 分)1.求函数sin( 2z3)的幂级数展开式 .2.在复平面上取上半虚轴作割线 . 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点 z i 处的值.i3.计算积分： I| z | dz，积分路径为（1）单位圆（ | z | 1）i的右半圆 .sin z dzz 2(z) 24.求2.四. 证明题 . (20 分)1. 设函数 f(z)在区域 D 内解析，试证： f(z)在 D 内为常数的充要条件是 f (z) 在D内解析 .2.试用儒歇定理证明代数基本定理 .《复变函数》考试试题（二）参考答案一.判断题 .1．√２．×３．√４．√ ５．× 6．×７．×８．√９．× 10．× .二.填空题---1.1 ，， i ；2. 3(1sin 2)i ；3.2 i n14. 1；5. m 1 . 0n；216.2k i ，( k z) .7. 0；8. i；9.R ；10. 0.三.计算题1.解 sin(2 z3 )( 1)n (2 z3 )2 n 1(1)n 22n 1 z6n3.n 0(2 n1)!n 0(2n1)!2.解令 z re i.2 ki则 f ( z)z re2,(k0,1).又因为在正实轴去正实值，所以k0 .所以 f (i)ie 4.3.单位圆的右半圆周为z e i,ide i e i 所以 zdz22i22 4.解.2 2 2i .即 u, v 满足 C.R.,且u x , v y , u y ,v x连续 , 故f ( z)在D内解析 .( 充分性 ) 令f ( z)u iv, 则 f ( z)u iv ,因为 f ( z) 与 f ( z) 在D内解析,所以u x v y , u y v x,且 u x ( v) y v y , u y( v x )v x.比较等式两边得u x v y u y v x0 .从而在 D 内 u, v 均为常数,故f ( z)在 D 内为常数.2. 即要证“任一n次方程a0 z n a1z n1a n 1z a n0(a00) 有且只有n 个根”.证明令 f (z)a0 z n a1z n 1a n1za n0 ,取 R max a1a n,1 ,当 za0在 C : z R 上时,有(z)a1 R n 1an 1R a n( a1a n )R n 1a0R n.f ( z) .由儒歇定理知在圆z R 内,方程 a0 z n a1z n 1a n 1z a n0与 a0 z n0有相---同个数的根 . 而 a 0 z n 0 在 z R 内有一个 n 重根 z 0 . 因此 n 次方程在 z R 内有 n 个根 .《复变函数》考试试题（三）一 . 判断题 . (20 分).1. cos z 与 sin z 的周期均为 2k .( )2. 若 f ( z) 在 z 0 处满足柯西 - 黎曼条件 , 则 f ( z) 在 z 0 解析 . ( )3. 若函数 f ( z) 在 z 0 处解析，则 f ( z) 在 z 0 连续 . ( )4. 若数列 { z n } 收敛，则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .( )5.若函数 f ( z) 是区域 D 内解析且在 D 内的某个圆内恒为常数，则数 f ( z) 在区域 D 内为常数 . ( )6. 若函数 f ( z) 在 z 0 解析，则 f ( z) 在 z 0 的某个邻域内可导 . ()7.如果函数 f ( z) 在 D{ z :| z | 1} 上解析 , 且 | f (z) | 1(| z | 1) , 则| f ( z) | 1(| z | 1) .（ ）8.若函数 f ( z) 在 z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( ) 9. 若 z 0 是 f ( z) 的 m 阶零点 , 则 z 0 是 1/ f ( z) 的 m 阶极点 . ( )10.若z 0 是 f (z)的可去奇点，则 Res( f ( z), z 0 ) 0. ( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 f ( z)1 ，则 f ( z) 的定义域为 ___________.2 z 12. 函数 e z 的周期为 _________.3. 若 z nn 2 i (1 1) n ，则 lim z n__________.1 nnn4. sin 2 z cos 2 z___________.dz5.|z z 0 | 1(z z )n（ n 为自然数）_________.6. 幂级数nx n 的收敛半径为 __________.n设 f (z) 1f z 的孤立奇点有z 2 1，则7.( ) __________.ez---9.若 z 是 f (z)的极点，则 lim f (z) ___ .z z 0z10.Res(en ,0) ____ .z三 . 计算题 . (40 分)11. 将函数 f ( z) z 2e z 在圆环域 0 z内展为 Laurent 级数 .2. 试求幂级数n!z n的收敛半径 .n nn3. 算下列积分：e zdz，其中 C是| z |1.Cz 2 (z29)4. 求 z92z6z 28z 2 0 在| z|<1内根的个数 .四 . 证明题 . (20 分)1.函数 f (z) 在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2.设 f (z) 是一整函数，并且假定存在着一个正整数 n ，以及两个正数 R 及 M ，使得当 | z|R 时| f ( z) |M | z |n，证明 f (z) 是一个至多 n 次的多项式或一常数。
复变函数期末试题及答案
复变函数期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若复数 \( z = a + bi \)（其中 \( a, b \) 为实数），则\( \bar{z} \) 表示（）A. \( a - bi \)B. \( -a + bi \)C. \( -a - bi \)D. \( a + bi \)答案：A2. 对于复变函数 \( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \)，以下说法正确的是（）A. \( u \) 和 \( v \) 都是调和函数B. \( u \) 和 \( v \) 都是解析函数C. \( u \) 和 \( v \) 都是连续函数D. \( u \) 和 \( v \) 都是可微函数答案：A3. 若 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处可导，则下列说法中正确的是（）A. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处解析B. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处连续C. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处可微D. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处的导数为0答案：C4. 已知 \( f(z) \) 是解析函数，且 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处有孤立奇点，则 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处的留数是（）A. 0B. \( \infty \)C. 1D. \( -1 \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 若 \( z = x + yi \)，且 \( |z| = 2 \)，则 \( x^2 + y^2 = \_\_\_\_\_ \)。
答案：42. 设 \( f(z) = z^2 \)，则 \( f(2 + 3i) = \_\_\_\_\_ \)。
答案：-5 + 12i3. 若 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处解析，则 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处的导数 \( f'(z_0) \) 等于 \_\_\_\_\_。
复变期末考试题及答案
复变期末考试题及答案复变函数期末考试题一、选择题（每题2分，共20分）1. 若复数 \( z = x + yi \)，则 \( \overline{z} \) 是：A. \( x - yi \)B. \( -x - yi \)C. \( -x + yi \)D. \( x + yi \)2. 复平面上，单位圆上的点 \( z = e^{i\theta} \) 对应的实部是：A. \( \cos\theta \)B. \( \sin\theta \)C. \( \tan\theta \)D. \( \sec\theta \)3. 以下哪个是解析函数：A. \( f(z) = \frac{1}{z} \)B. \( f(z) = z^2 \)C. \( f(z) = \log z \)D. \( f(z) = \sin z \)4. Cauchy-Riemann方程是：A. \( \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partialv}{\partial y} \)B. \( \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partialv}{\partial x} \)C. \( \frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{\partialv}{\partial y} \)D. 所有选项5. 若 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处可导，则下列哪个说法是正确的：A. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处连续B. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处可微C. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处解析D. 以上都是...二、填空题（每空3分，共30分）1. 复数 \( z = 3 + 4i \) 的模是 _________。
2. 如果 \( f(z) = z^3 + 2z^2 + z \)，则 \( f'(z) = _________ \)。
《复变函数》考试试题与各种总结
《复变函数》考试一试题（一）一、判断题（ 20 分）：1. 若 f(z) 在 z 0 的某个邻域内可导，则函数 f(z) 在 z 0 分析 .( )2. 有界整函数必在整个复平面为常数.()3. 若{ z n }收敛，则{Re z n } 与{Imz n }都收敛 .( )4. 若 f(z)在地区 D 内分析，且 f '( z)，则 f ( z)C（常数） . ( )5. 若函数 f(z) 在 z 0 处分析，则它在该点的某个邻域内能够睁开为幂级数 .( )6. 若 z 0 是f ( z)的 m 阶零点，则 z 0 是 1/f (z)的 m 阶极点 .()lim f ( z)7. 若 zz 0存在且有限，则 z 0 是函数 f(z) 的可去奇点 . ()8. 若函数 f(z) 在是地区 D 内的单叶函数，则f ' (z) 0(z D ) .( )9. 若 f ( z ) 在地区 D 内分析 , 则对 D 内任一简单闭曲线Cf (z)dz 0 .C( )10. 若函数 f(z) 在地区 D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z) 在地区 D 内恒等于常数 . （）二. 填空题（ 20 分）1、dz__________. （ n 为自然数） |z z 0 |1 ( z z )n2.sin 2 z cos 2z _________.3. 函数sin z的周期为 ___________.f (z)z 214. 设 1，则f ( z)的孤立奇点有 __________.5. 幂级数nz n 的收敛半径为 __________.n 06. 若函数 f(z) 在整个平面上到处分析，则称它是__________.lim z nlimz 1z 2 ... z n7. 若 n，则 nn______________.Re s(e zn ,0)z，此中 n 为自然数 .9.sin z的孤立奇点为 ________ .z10. 若z0 是f (z)lim f (z) ___的极点，则z z.三. 计算题（ 40 分）：f (z)1(z1)( z 2) ，求 f ( z) 在 D { z : 0| z | 1}内的罗朗展式 .1. 设1dz.2.|z| 1cos zf ( z)3 2 71dC { z :| z | 3} ，试求 f ' (1 i ).3. 设Cz，此中z 1w1的实部与虚部 .4. 求复数z 四 . 证明题 .(20 分 )1. 函数 f (z)在地区D 内分析 . 证明：假如 | f ( z) |D 内在 D 内为常数，那么它在 为常数 .2. 试证 : f (z) z(1z) 在割去线段 0 Re z 1 的 z 平面内能分出两个单值分析分支 ,并求出支割线 0 Re z 1登岸取正当的那支在z1的值 .《复变函数》考试一试题（一）参照答案一．判断题1．× 2．√ ３．√４．√ ５．√6．√７．×８．×９．× 10．×二．填空题2 i n 1 ； 3.2k ， ( kz) ； 4.z i ； 5. 11.n； 2.1 0 16. 整函数；7. ；8. 1 ；9. 0；10. .(n 1)!三．计算题 .1. 解因为0 z 1, 所以 0 z 1f ( z) 12) 1 1 z n 1 (z)n.( z 1)(z 1 z z ) n 0 2 n 0 22(122. 解因为z1Re s f (z) lim 2 lim 1z cosz sin z ,z z2 2 2Re s f (z) lim z 2 11. cosz limz z z sin z2 2 2所以 1 dz 2 i(Re s f (z) Re s f (z) 0 .z 2 cos zz 2 z 23. 解令 ( ) 3 2 7 1, 则它在 z 平面分析, 由柯西公式有在 z 3内,f (z)c ( )dz 2 i (z) . z所以f (1 i ) 2 i (z) z1 i2 i (13 6i ) 2 ( 6 13i ) .4. 解令 z a bi , 则w z 1 1 2 1 2( a 1 bi ) 1 2(a 1) 2b .z 1 z 1 ( a 1)2 b2 ( a 1)2 b2 (a 1)2 b2故z 112(a 1),z 1 2b. Re( )( a 1)2 b2Im( )(a 1)2 b2z 1 z 1四.证明题.1.证明设在D内 f ( z) C .令 f ( z) u iv ,则 f ( z)2u2v2c2.两边分别对 x, y 求偏导数 , 得uu xvv x 0 (1)uu y vv y 0(2)因为函数在 D 内分析 , 所以 u x v y , u y v x . 代入 (2) 则上述方程组变成uu xvv x 0 . 消去 u x 得, (u 2 v 2 ) v x 0 .vu xuv x 01)若 u 2 v 20 , 则 f ( z)0 为常数 .2) 若 v x0, 由方程 (1) (2)及 C.R. 方程有 u x 0, u y 0 ,v y 0 .所以 u c 1, v c 2 . ( c 1, c 2 为常数 ).所以f ( z)c 1 ic 2 为常数 .2. 证明 f ( z) z(1 z) 的支点为 z 0,1 . 于是割去线段 0 Re z1的 z 平面内变点就不行能单绕 0 或 1转一周 , 故能分出两个单值分析分支 .因为当 z 从支割线登岸一点出发, 连续改动到 z0,1 时 , 只有 z 的幅角增添. 所以f ( z)z(1 z) 的幅角共增添. 由已知所取分支在支割线登岸取正当 , 于是可以为该2分支在登岸之幅角为 0, 因此此分支在z1 的幅角为 , 故 f ( 1)2e2i2i .2《复变函数》考试一试题（二）一 . 判断题 . （20 分）1.若函数 f (z)u(x, y) iv ( x, y) 在 D 内连续，则 ux,y) 与 v x,y ) 都在 D 内连续.( (( )2. cosz与sinz 在 复 平面 内 有界 .( )3. 若 函 数 f ( z)在 z 0分析，则f ( z) 在z 0 连 续 .()4. 有界整函数必为常数 .( )5.如 z 0 是函数 f ( z) 的天性奇点，则 lim ( ) 必定不存在 .()z z 0f z6. 若 函 数 f ( z) 在 z 0 可 导 ， 则f ( z) 在 z 0解 析 .( )7. 若 f ( z) 在地区 D 内分析 , 则对 D 内任一简单闭曲线 Cf ( z)dz 0 .C( )8. 若数列 { z n } 收敛，则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .( )9. 若 f ( z) 在 区 域D 内 解 析 ， 则 | f ( z)| 也 在D内分析.( )10. 存在一个在零点分析的函数f ( z) 使 f (1 ) 0 且 f ( 1) 1 , n 1,2,... . n12n2n( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 zi ，则 | z | __,arg z __, z __2. 设 f ( z) ( x 2 2 xy) i (1 sin( x 2 y 2 ), z x iy C ，则 lim f (z) ________.z 1 i3.dz_________.（ n 为自然数）|z z 0 | 1( z z )n4.幂级数nz n 的收敛半径为 __________ .n 05. 若 z 0 是 f ( z) 的 m 阶零点且 m>0，则 z 0 是 f '( z) 的_____零点 .6.函数 e z 的周期为 __________.7. 方程 2z 5 z 3 3z 8 0 在单位圆内的零点个数为 ________. 8. 设 f ( z)1 ，则 f ( z) 的孤立奇点有 _________. z 219. 函数 f (z) | z |的不分析点之集为 ________.10. Res(z 1,1) ____ .z4三 . 计算题 . (40分 )1.求函数sin(2z3)的幂级数睁开式 .2.在复平面上取上半虚轴作割线 . 试在所得的地区内取定函数z在正实轴取正实值的一个分析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点 z i 处的值.i3.计算积分： I| z | dz，积分路径为（1）单位圆（ | z| 1）i的右半圆 .sin z dzz 2( z) 24.求2.四. 证明题 . (20 分)1. 设函数 f ( z) 在地区 D内分析，试证：f ( z) 在 D 内为常数的充要条件是 f (z) 在D内分析 .2.试用儒歇定理证明朝数基本定理 .《复变函数》考试一试题（二）参照答案一. 判断题 .1．√２．×３．√４．√５．× 6．×７．×８．√９．× 10．× .二.填空题， i ； 2. 3 (1 sin 2)i ； 3. 2 i n 1； 5. m 1.，0 n ； 4.12 16. 2k i ，( k z) .7. 0；8. i ；9. R ；10. 0.三. 计算题1. 解 sin(2 z3 ) ( 1)n (2 z3 )2n 1 ( 1)n 22n 1 z6 n 3 .n 0 (2 n 1)! n 0 (2 n 1)!2. 解令 z re i .i 2 k则 f ( z)z re2,(k 0,1).又因为在正实轴去正实值，所以k 0 .i所以 f (i)e 4 .3. 单位圆的右半圆周为 ze i ,2.2izdz2deiei22i.所以i224. 解zsin z dz 2 i (sin z)2 i cos z2)2( zz2z 2=0.2四. 证明题 .1. 证明(必需性 ) 令 f ( z)c 1 ic 2 , 则 f ( z) c 1 ic 2 . ( c 1 ,c 2 为实常数 ).令 u( x, y) c 1, v( x, y) c 2 . 则 u x v yu yv x 0 .即 u, v 知足 C.R., 且 u x , v y ,u y , v x 连续 , 故 f (z) 在 D 内分析 .(充分性 ) 令 f ( z)u iv , 则 f (z) uiv ,因为 f ( z) 与 f ( z) 在 D 内分析 , 所以u x v y , u yv x , 且 u x ( v)y v y , u y ( v x ) v x .比较等式两边得 u x v yu y v x 0 . 进而在 D 内 u, v 均为常数 , 故 f (z) 在 D 内为常数.2. 即要证“任一n 次方程a 0 zna 1zn 1a n 1z an0 ( a 0 0) 有且只有 n个根” .证明 令 f (z)a 0 z na 1z n 1a n 1z a n0 , 取 Rmax a 1a n,1 , 当a 0z在C : z R上时,有( z) a 1 R n 1a n 1 R a n ( a 1a n )R n 1 a 0 R n .f ( z) .由儒歇定理知在圆z R 内 , 方程 a 0 z n a 1z n 1 a n 1 z a n 0 与 a 0 z n 0 有相同个数的根 . 而 a0 z n 0 在z R 内有一个n 重根z 0 .所以n次方程在 z R 内有 n 个根.《复变函数》考试一试题（三）一. 判断题 . (20 分).1. cos z 与 sin z 的周期均为2k . ( )2. 若 f ( z) 在 z0处知足柯西 - 黎曼条件 , 则 f ( z) 在 z0分析 . ( )3. 若函数 f ( z) 在 z0处分析，则 f ( z) 在 z0连续 . ( )4. 若数列 { z n } 收敛，则 {Re z n } 与 {Im z n} 都收敛. ( )5.若函数 f ( z) 是地区 D 内分析且在 D 内的某个圆内恒为常数，则数 f ( z) 在区域 D内为常数 . ( )6. 若函数 f ( z) 在 z0分析，则 f ( z) 在 z0的某个邻域内可导 . ( )7. 假如函数 f ( z) 在D { z :| z | 1} 上分析,且 | f (z) | 1(| z | 1) , 则| f ( z) | 1(| z | 1) . （）8. 若函数 f ( z) 在 z0 处分析，则它在该点的某个邻域内能够睁开为幂级数.( ) 9. 若 z0是f ( z)的 m阶零点 , 则 z0是 1/ f ( z)的 m阶极点 . ( )10. 若z0是 f (z)的可去奇点，则 Res( f ( z), z0 ) 0. ( )二. 填空题 . (20 分)1. 设 f ( z) 1 ，则 f ( z) 的定义域为 ___________.z2 12. 函数 e z的周期为 _________.3. 若 z n n 2 i (1 1) n，则lim z n__________.1 n n n4. sin 2 z cos2 z ___________.dz5.|z z0 | 1(z z ) n_________. （n为自然数）6. 幂级数nx n的收敛半径为__________.n 07. 设 f (z) 11 ，则 f ( z) 的孤立奇点有 __________.z28. 设 e z1，则 z ___ .9.若z 0 是 f (z)的极点，则 lim f (z) ___.z z 0z10.Res(en ,0)____ .z三 . 计算题 . (40 分)11.将函数f ( z)z 2e z 在圆环域 0z内展为 Laurent级数 .2.试求幂级数n! z n 的收敛半径nn n.3. 算以下积分：e zdz，此中 C 是 | z | 1.Cz 2(z29)4. 求 z92z 6 z 2 8z2 0 在| z|<1 内根的个数 .四 . 证明题 . (20 分)1.函数 f (z) 在地区 D 内分析 . 证明：假如 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2.设 f (z) 是一整函数，而且假设存在着一个正整数 n ，以及两个正数 R 及 M ，使适当 | z|R 时| f ( z) |M | z |n ，证明 f (z) 是一个至多 n 次的多项式或一常数。
完整版)复变函数测试题及答案
完整版)复变函数测试题及答案复变函数测验题第一章复数与复变函数一、选择题1.当 $z=\frac{1+i}{1-i}$ 时，$z+z+z$ 的值等于（）A) $i$ (B) $-i$ (C) $1$ (D) $-1$2.设复数 $z$ 满足 $\operatorname{arc}(z+2)=\frac{\pi}{3}$，$\operatorname{arc}(z-2)=\frac{5\pi}{6}$，那么 $z$ 等于（）A) $-1+3i$ (B) $-3+i$ (C) $-\frac{2}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}i$ (D) $\frac{1}{3}+2\sqrt{3}i$3.复数 $z=\tan\theta-i\left(\frac{1}{2}\right)$，$0<\theta<\pi$，则 $[0<\theta<\frac{\pi}{2}$ 时，$z$ 的三角表示式是（）A) $\sec\theta[\cos(\pi+\theta)+i\sin(\pi+\theta)]$ (B)$\sec\theta[\cos\theta+i\sin\theta]$ (C) $-\sec\theta[\cos(\pi+\theta)+i\sin(\pi+\theta)]$ (D) $-\sec\theta[\cos\theta+i\sin\theta]$4.若 $z$ 为非零复数，则 $z^2-\bar{z}^2$ 与$2\operatorname{Re}(z)$ 的关系是（）A) $z^2-\bar{z}^2\geq 2\operatorname{Re}(z)$ (B) $z^2-\bar{z}^2=2\operatorname{Re}(z)$ (C) $z^2-\bar{z}^2\leq2\operatorname{Re}(z)$ (D) 不能比较大小5.设 $x,y$ 为实数，$z_1=x+1+\mathrm{i}y,z_2=x-1+\mathrm{i}y$ 且有 $z_1+z_2=12$，则动点 $(x,y)$ 的轨迹是（）A) 圆 (B) 椭圆 (C) 双曲线 (D) 抛物线6.一个向量顺时针旋转 $\frac{\pi}{3}$，向右平移 $3$ 个单位，再向下平移 $1$ 个单位后对应的复数为 $1-3\mathrm{i}$，则原向量对应的复数是（）A) $2$ (B) $1+3\mathrm{i}$ (C) $3-\mathrm{i}$ (D)$3+\mathrm{i}$7.使得 $z=\bar{z}$ 成立的复数 $z$ 是（）A) 不存在的 (B) 唯一的 (C) 纯虚数 (D) 实数8.设 $z$ 为复数，则方程 $z+\bar{z}=2+\mathrm{i}$ 的解是（）A) $-\frac{3}{3}+\mathrm{i}$ (B) $-\mathrm{i}$ (C)$\mathrm{i}$ (D) $-\mathrm{i}+4$9.满足不等式$|z+i|\leq 2$ 的所有点$z$ 构成的集合是（）A) 有界区域 (B) 无界区域 (C) 有界闭区域 (D) 无界闭区域10.方程 $z+2-3\mathrm{i}=2$ 所代表的曲线是（）A) 中心为 $2-3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周 (B) 中心为 $-2+3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周 (C) 中心为 $-2+3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周 (D) 中心为 $2-3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周11.下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）A) $\frac{z-1}{z+2}=2$ (B) $z+3-\bar{z}-3=4$ (C) $|z-a|=1$ ($a0$)12.设 $f(z)=1-z$，$z_1=2+3\mathrm{i}$，$z_2=5-\mathrm{i}$，则 $f(z_1-z_2)$ 等于（）A) $-2-2\mathrm{i}$ (B) $-2+2\mathrm{i}$ (C)$2+2\mathrm{i}$ (D) $2-2\mathrm{i}$1.设 $f(z)=1$，$f'(z)=1+i$，则 $\lim_{z\to 0}\frac{f(z)-1}{z}=$ $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析，且 $u+v$ 是实常数，则$f(z)$ 在 $D$ 内是常数。