复变函数与积分变换试题及答案
复变函数积分变换复习卷及答案
复变函数复习卷及参考答案一、填空题1、复数1z i =+的三角表示式=2(cossin )44i pp+；复指数表示式=42ie p 。
2、复数()13z i =+的z =2；23Argz k pp =+；arg 3z p=；13z i =-。
3、62111i i i -æö==-ç÷+èø。
10125212131i i i i i +-=+-=-。
4、()()31123513253x y i x i y i x y +=ì++-=-Þí-=-î，求解方程组可得，45,1111x y -==。
5、()()231,f z z z =-+则()61f i i ¢-=--。
6、()n3L i -ln 226i k i pp =-+；ln()ie 12i p=+。
7、()(2)1321,(13)2ik i iiee i p p p -++==+。
8、32282(cossin)33k k i p pp p++-=+；0,1,2k =。
1224(4)2i i -==±。
9、1sin 2e e i i --=；221cos ()22i e e pp p -=+；10 、21024z dzz z ==++ò ；1212z dz i z p ==-ò 。
11、设31cos ()zf z z -=，则0z =是（一级极点）；31cos 1Re [,0]2z s z -=。
1()s i n f z z=，0z =是本性奇点。
二、判断下列函数在何处可导？何处解析？在可导处求出导数。
（1）()22f z x iy=+；解：22,,2,0,0,2u u v v u x v y x y xyxy¶¶¶¶======¶¶¶¶，一阶偏导连续，因此当,x y y x u v u v ==-时，即x y =时可导，在z 平面处处不解析。
(完整版),复变函数与积分变换期末考试题及答案,推荐文档
1． z0 为函数 f z 的 m 阶零点；
2． z0 为函数 f z 的 m 阶极点；
求
Res
z
f f
z z
,
z0
。
ez2
六．（15 分）写出函数
的幂级数展开式至含项为止，并指出其收敛范围。
cos z
七．（10 分）求函数 f t 1 tu t 3 t sin 2t 傅氏变换。
四、填空题（15 分，每空 3 分）
1． ln 2 i 。2． i 。3． 2 z 3 3 。4． 半平面 Re w 1 R。5．0。
4
2
三．(10 分)解:容易验证 u 是全平面的调和函数。利用 C-R 条件，先求出 v 的两个偏导数。
v u 2 y x, v u 2x y
江西科技师范学院卷（B）
2007--2008 学年第二学期
时间 110 分钟
复变函数与积分变换 课程 40 学时 2.5 学分 考试形式：闭卷
专业年级：电子科学与技术 总分 100 分，占总评成绩 70 %
注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上
三、单项选择题（15 分，每小题 3 分）
1．A。2． B 。3． A。4． C。5．C。
z
z
z0
z
z0
n z0
n!
z
z0
n
(1)z0为f的阶z 零m点等价于在的一个z0邻域内
f z z z0 m z
其中在点z 解析, z0
于z是在0,的去心领z0 域
z
f f
z z
m z
z z0
z
z z
m z0
z z0
m
n1
m zz
复变函数与积分变换试卷(答案)
一、填空题(每题3分，共30分)1. 设i z -=,则=)arg(z 2π-；2.i z -=1的指数式为i e 42π-；3. 设c 为沿原点0=z 到点i z +=1的直线段，则=⎰c zdz i__ ； 4.函数iay x z f +=2)(在复平面内处处解析，那么实常=a ___2__；5. 幂级数∑∞=02n n n z 的收敛半径=R 21；6. 函数)1(1)(z z z f -=在圆环10<<z 内的洛朗展开式为...1132+++++z z z z ； 7. 积分=⎰=dz z z 1||tan __0______；8. i z -=是函数222)1()(+=z z z f 2 级极点； 9、221)(2++=s s s F 的拉普拉斯逆变换是t e e e t t i t i cos 2)1()1(---+-+或 ； 10.单位脉冲函数)3(-t δ的傅氏变换=-⎰+∞∞--dt e t t j ωδ)3(jw e 3-； 二、（本题12分）1、求21的所有值 解：1221Ln e =……………………………………………………………………..2分=)]21(arg 1[ln 2πk i e ++ （2,1,0±±=k ）…………………………… .…….2分 =)22sin()22cos(ππk i k + （2,1,0±±=k ）……………………2分2、解方程0cos =z 解：02cos =+=-iziz e e z …………………………………………………1分 即0=+-iz iz e e ，即12-=iz e设iy x z +=，则有)1(1122-⨯=-=+-xi y e所以 ππn x e y 22,12+==- (...2,1,0±±=n ) ……………….. 3分 所以有：ππn x y +==2,0 (...2,1,0±±=n ) 即ππn z +=2 (...2,1,0±±=n ) …………………2分三、. 将函数22)(ze zf z-=在圆环10<<z 内展开为洛朗级数。
复变函数与积分变换(第三版)答案
A．可去奇点B本性奇点
C．极点D奇点但非孤立奇点
二、填空题（4×5ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ20）
1. 的解析区域是_____.
2．若 ，则
3.函数 的傅立叶变换是_____.
4．调和函数 的共轭调和函数是_________.
5．设 ，则
三．计算题（12×4＝48）
１．计算 。
２．求函数 在 的泰勒展式，并表明泰勒级数的收敛圆盘。
复变函数
习题1
习题二
习题三
习题四
习题五
习题八
习题九
2.
3.
8.
常考习题附录
一．选择题（4×5＝20）
1．下列点集是复平面单连通区域的是：
A. B. C. D.
2.下列函数在整个z平面解析的是：
A. B. C. D.
3.．函数项级数 收敛半径是：
A．0 B. 1 C． D.
4．已知函数 的Laplace变换是 ，那么 的Laplace逆变换是
３．计算积分 ，其中C： 。
４．求积分 。
四．证明题(12分)
1．设幂级数 在 条件收敛，则级数的收敛半径为
复变函数与积分变换试题和答案
复变函数与积分变换试题(一）一、填空(３分×10)１.得模ﻩﻩ、幅角ﻩ。
２.-8i得三个单根分别为：、、。
3.Lｎz在得区域内连续。
4．得解极域为:ﻩﻩﻩﻩﻩ。
５.得导数ﻩﻩﻩﻩﻩ。
6. ﻩﻩ。
７.指数函数得映照特点就是:ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ。
8．幂函数得映照特点就是: ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ。
9.若=F [f(t)]、则= F ﻩﻩﻩﻩ。
１０.若f(ｔ)满足拉氏积分存在条件、则L [f(ｔ)］= ﻩﻩﻩ。
二、(10分)已知、求函数使函数为解析函数、且f(0)＝0。
三、(10分)应用留数得相关定理计算四、计算积分(5分×2)1.2．C:绕点ｉ一周正向任意简单闭曲线。
五、(1０分)求函数在以下各圆环内得罗朗展式。
1.2.六、证明以下命题：（5分×2)(1)与构成一对傅氏变换对。
（2）七、(10分)应用拉氏变换求方程组满足x （0)＝y （０)=z (0)＝0得解y (t )。
八、(１0分)就书中内容、函数在某区域内解析得具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案(一)一、1．ﻩﻩ、ﻩ ﻩ２、ﻩ-i ﻩﻩ2ｉﻩ-i ﻩ3、ﻩZ 不取原点与负实轴 ４、 空集５、ﻩ2z ﻩ6.０ 7、将常形域映为角形域ﻩ８、 角形域映为角形域 9、ﻩ ﻩ1０、 二、解:∵ﻩ ∴ ﻩ(5分)∵f (0）=0ﻩﻩﻩﻩc =0(３分)∴ﻩﻩ(2分)三、解：原式＝(2分)ﻩ（2分）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（=0∴原式=(2分) =四、1.解:原式ﻩ(３分) z 1=0 ﻩｚ2=１ﻩ=0ﻩﻩ(2分)2．解:原式=五、1.解:nn i i z i i z ii z ii z i i z i z z f ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛--⋅-=-+⋅⋅-=+-⋅-=0111111)(111)(11)(分）（分）（分）（ ﻩﻩ(2分) ﻩ２.解: （1分)ﻩ(2分）六、1.解:∵ﻩ(3分）ﻩ∴结论成立 （２)解:∵ﻩ(２分)ﻩ ∴与1构成傅氏对∴（2分)七、解:∵ﻩﻩ（3分)S (２)-（1):∴ （3分)∴八、解：①定义;②C-R 充要条件Th ; ③v 为u 得共扼函数ﻩ1０分复变函数与积分变换试题（二)一、填空(3分×10)1.函数f (z )在区域D 内可导就是ｆ(ｚ）在D 内解析得（ﻩ ﻩ）条件。
复变函数与积分变换五套试题及答案
复变函数与积分变换试题（一）一、填空（3分×10）1．的模 ，幅角 。
)31ln(i --2．-8i 的三个单根分别为： ，，。
3．Ln z 在 的区域内连续。
4．的解极域为：。
z z f =)(5．的导数。
xyi y x z f 2)(22+-==')(z f 6．。
=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s 7．指数函数的映照特点是：。
8．幂函数的映照特点是：。
9．若=F [f (t )]，则= F 。
)(ωF )(t f )][(1ω-f 10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件，则L [f (t )]=。
二、(10分)已知，求函数使函数为解析函222121),(y x y x v +-=),(y x u ),(),()(y x iv y x u z f +=数，且f (0)=0。
三、（10分）应用留数的相关定理计算⎰=--2||6)3)(1(z z z z dz四、计算积分（5分×2）1．⎰=-2||)1(z z z dz2． C ：绕点i 一周正向任意简单闭曲线。
⎰-c i z z3)(cos 五、（10分）求函数在以下各圆环内的罗朗展式。
)(1)(i z z z f -=1．1||0<-<i z 2．+∞<-<||1i z 六、证明以下命题：（5分×2）（1）与构成一对傅氏变换对。
)(0t t -δo iwt e -（2）)(2ωπδ=⎰∞+∞-ω-dt e t i 七、（10分）应用拉氏变换求方程组满足x (0)=y (0)=z (0)=0的解y (t )。
⎪⎩⎪⎨⎧='+=+'+='++'0401z y z y x z y x 八、（10分）就书中内容，函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案（一）一、1．， 2.-i 2i -i22942ln π+ππk arctg 22ln 32+-333.Z 不取原点和负实轴 4. 空集5.2z 6．07.将常形域映为角形域8.角形域映为角形域9.10.⎰∞+∞-ωωπωωd e F i )(21⎰∞+-0)(dte tf st 二、解：∵∴（5分）yu x x v ∂∂-=-=∂∂xuy y v ∂∂==∂∂c xy u +=cxy y x i z f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=222121)(∵f (0)=0c =0（3分）∴（2分）222222)2(2)(2)(z ixyi y x i y x i xy z f -=+--=--=三、解：原式=（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2621π01=z 12=z （2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2643π33=z ∞=4z 2312(3,)3)(1(1Re 66⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--分）z z z s =0⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（∴原式=（2分） =23126⨯⨯i πi 63π-四、1．解：原式（3分）z 1=0z 2=1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=∑=k k z z z s i ,)1(1Re 221=0（2分）]11[2+-=i π2．解：原式=iz z i=''=s co !22πi z z i =-π=）（cos i i cos π-=1ich π-五、1．解：ni z z f ∑∞⎪⎫⎛--⋅=⋅⋅=⋅=1111111111)(分）（分）（分）（（2分）11)(--∞=-=∑n n n i z in nn i z i )(1-=∑∞-=2．解：⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-=-+⋅-=i z i i z i z i i z z f 11)(11)(1)(11)(2分）（分）（（1分）（2分）nn i z i i z ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=02)(120)(11+∞=-=∑n n n i z i 20)(--∞=-=∑n n n i z i 六、1．解：∵（3分）∴结论成立0)(0t i e t t ti t i e dt e t t ωωωδ-==--∞+∞-=-⎰（2）解：∵（2分）1)(2210==ωπδπ=ωω-ω-∞+∞-⎰t i t i e dw e ∴与1构成傅氏对)(2w πδ∴（2分）)(2ωπδω=-∞+∞-⎰dt e t i 七、解：∵（3分）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++)3(0)(4)()2(0)()()()1(1)()()(s sZ s Y s Z s sY s X S s sZ s Y s sX S （2）-（1）：∴（3分）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=s s s Y 111)(2⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=--=1111211112s s s s s s ∴cht e e t Y t t -=--=-121211)(八、解：①定义；②C-R 充要条件Th ；③v 为u 的共扼函数10分复变函数与积分变换试题（二）一、填空（3分×10）1．函数f (z )在区域D 内可导是f (z )在D 内解析的（）条件。
复变函数与积分变换习题册(含答案)
第1章 复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为 。
2、k 为任意整数，则34+k 的值为 。
3、复数i i (1)-的指数形式为 。
4、设b a ,为实数，当=a , b= 时，).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题（正确的划√，错误的划 ） 1、2121z z z z +=+ （ ）2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= （ ）3、()()i i i 125432+=++ （ ） 三、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．复数)(tan πθπθ<<-=2i z 的三角表示式是（ ）（A ）)]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 3．使得22z z =成立的复数z 是（ ）（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 4.若θi re i i=+--2)1(3，则（ ） （A ）πθ-==3arctan ,5r （B ）πθ-==3arctan ,210r （C ）3arctan ,210-==πθr （D ）3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限，则z arg 等于（ ）。
(A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) xy arctan +-π 四、计算与证明题 1、设ii i i z -+-=11，求.),Im(),Re(z z z z2、当x y ,等于什么实数时，等式()i iy i x +=+-++13531成立？3、求复数ii-+23的辐角。
复变函数与积分变换试题及解答
复变函数与积分变换试题系别班级学号姓名得分评卷人-------------- 一、填空(每题3分，共24分)1.(上£1严的实部是 _______ ,虚部是________ ,辐角主值是______1-V3/2.满足lz + 21 + lz-2K5的点集所形成的平面图形为,该图形是否为区域—.3. 7(z)在福处可展成Taylor级数与/(%)在处解析是否等价？ .4. (l + i)i的值为______________________________________________主值为.5.积分，的值为 _____________ ，f '—dz. = ________ .Juw z J izi=2 4)a--)"1 -L6.函数J (z)=——7"-3在Z =。
处Taylor展开式的收敛半径是 ______ .z-l7.设F [<(。
]=Z3), F 则F [/1(0*/2(r)]=,其中力⑺* /2(0定义为.8.函数/(外=任的有限孤立奇点z°=_，Z。
是何种类型的奇点？ .Z得分评卷人二、(6分)设/仁)=/一丫3+2//〃问/仁)在何处可导？何处解析？并在可导处求出导数值.三、(8分)设i ，= eXsiny,求p 的值使P 为调和函数，并求出解析函数 f(z) = u + iv.四、(10分)将函数〃z) = "—在有限孤立奇点处展开为 2z~ — 3z+1Laurent 级数.得分评卷人 -------------- 五、计算下列各题(每小题6分，共24分)1. /(z) = f求/(1 + )J 图7 4-z2. 求出/(z) = eV 在所有孤立奇点处的留数3. L(f 32产(”。
)4. 尸——二~＜公J 。
1 + sin- x六、(6分)求上半单位圆域｛2：1[1<1,11]12>0｝在映射卬=22下的象.七、(8分)求一映射’将半带形域-恭，＜”，＞。
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复变函数与积分变换试题（一）一、填空(3分×10)1．)31ln(i --的模 ﻩﻩ ,幅角 ﻩﻩ 。
2．-8ｉ的三个单根分别为: , ， 。
3．Ln ｚ在 的区域内连续。
4．z z f =)(的解极域为：ﻩ ﻩﻩ ﻩ。
5．xyi y x z f 2)(22+-=的导数=')(z f ﻩﻩﻩ。
６．=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s ﻩﻩﻩ。
７.指数函数的映照特点是：ﻩﻩﻩ ﻩ ﻩﻩ ﻩﻩ。
8.幂函数的映照特点是:ﻩﻩﻩ ﻩﻩ。
9.若)(ωF =F [f (ｔ)]，则)(t f = F )][(1ω-fﻩﻩ ﻩﻩ。
10．若f （t )满足拉氏积分存在条件，则L ［f (t )]= ﻩﻩ。
二、(10分)已知222121),(y x y x v +-=,求函数),(y x u 使函数),(),()(y x iv y x u z f +=为解析函数,且ｆ(０)=0。
三、(1０分)应用留数的相关定理计算⎰=--2||6)3)(1(z z z z dz四、计算积分（5分×２) 1．⎰=-2||)1(z z z dz2．⎰-c i z z3)(cos C :绕点i 一周正向任意简单闭曲线。
五、（10分）求函数)(1)(i z z z f -=在以下各圆环内的罗朗展式。
1．1||0<-<i z ２．+∞<-<||1i z六、证明以下命题:（5分×2)(１))(0t t -δ与o iwt e -构成一对傅氏变换对。
(2))(2ωπδ=⎰∞+∞-ω-dt e t i七、(10分)应用拉氏变换求方程组⎪⎩⎪⎨⎧='+=+'+='++'0401z y z y x z y x 满足ｘ（０)=y (0)＝z (０)=0的解y （t ）。
八、（1０分)就书中内容,函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案(一）一、1．22942ln π+ﻩ ，ππk arctg 22ln 32+- ﻩﻩ2．3-i ﻩﻩ2i 3-ｉﻩ３. Ｚ不取原点和负实轴ﻩ４. 空集ﻩ ５.ﻩ２z ﻩ6. 0ﻩ7．将常形域映为角形域ﻩ8.ﻩ角形域映为角形域 9．⎰∞+∞-ωωπωωd e F i )(21ﻩﻩﻩ10．⎰∞+-0)(dt e t f st ﻩ二、解:∵y u x x v ∂∂-=-=∂∂ﻩ x u y y v ∂∂==∂∂∴c xy u +=ﻩ （5分)c xy y x i z f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=222121)(∵f (0)=0ﻩﻩﻩﻩc =0 （３分)∴222222)2(2)(2)(z i xyi y x i y x i xy z f -=+--=--=（2分)三、解:原式=(２分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2621πﻩﻩ01=z ﻩ12=z （2分)⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2643π ﻩ33=z ∞=4z2312(3,)3)(1(1Re 66⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--分）z z z s⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（=0∴原式＝(2分) 23126⨯⨯i π=i 63π-四、1．解:原式⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=∑=k k z z z s i ,)1(1Re 221ﻩ(3分)ﻩz 1=0 z ２=1ﻩﻩ]11[2+-=i π＝0 ﻩ (2分)ﻩ2．解:原式iz z i=''=s co !22πi z z i =-π=）（cos i i cos π-==1ich π-五、1．解：nn i i z i i z ii z ii z i i z i z z f ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛--⋅-=-+⋅⋅-=+-⋅-=0111111)(111)(11)(分）（分）（分）（11)(--∞=-=∑n n n i z in nn i z i )(1-=∑∞-=(２分)ﻩ２．解：⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-=-+⋅-=i z i i z i z i i z z f 11)(11)(1)(11)(2分）（分）（（1分）nn i z i i z ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=02)(120)(11+∞=-=∑n n n i z i 20)(--∞=-=∑n n n i z i ﻩ(2分） 六、1．解:∵0)(0t i e t t ti t i e dt e t t ωωωδ-==--∞+∞-=-⎰ﻩ（3分)ﻩ∴结论成立（２)解：∵1)(2210==ωπδπ=ωω-ω-∞+∞-⎰ti t i e dw e ﻩﻩ(２分)ﻩ∴)(2w πδ与１构成傅氏对 ﻩ∴)(2ωπδω=-∞+∞-⎰dt e t i ﻩ(2分）七、解：∵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++)3(0)(4)()2(0)()()()1(1)()()(s sZ s Y s Z s sY s X S s sZ s Y s sX ﻩﻩ(３分) S （2）-（１): ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=s s s Y 111)(2⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=--=1111211112s s s s s s ﻩﻩ(3分） ∴cht e e t Y tt -=--=-121211)(八、解:①定义;ﻩ ②C-Ｒ充要条件T ｈ； ③v 为u 的共扼函数 10分复变函数与积分变换试题（二)一、填空(3分×１０）１.函数ｆ（z )在区域Ｄ内可导是f (z )在Ｄ内解析的（ ﻩﻩ)条件。
2.w =z 2在ｚ＝-i 处的伸缩率为( ﻩﻩ）。
3．i z 212--=的指数表示式为(ﻩ ﻩ ﻩ )。
4.Ln （-１)的主值等于（ ﻩﻩ)。
5．函数e z 以(ﻩﻩﻩ)为周期。
６.设C 为简单闭曲线，则⎰-cz z dz=( )。
7．若z 0为f (z ）的m 级极点,则=]),([Re 0z z f s ( ﻩ ﻩﻩ)。
8.若=ω)(F Ｆ f (t )(ﻩ ﻩ)。
９.)(20t t -πδ与( ﻩ）构成一个付立叶变换对。
10.已知L 11][sin 2+=s t ，则L =]sin [t t（ﻩ ﻩﻩ）。
二、计算题(7分×7）1.求p ,m ，n 的值使得函数)()(2323pxy x i y nx my z f +++=为解析函数。
2.计算⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-3||2311z dz z z 3.已知调和函数y x u )1(2-=，求解析函数iv u z f +=)(使得i f =)2(。
4．把函数)2)(1(12-+z z 在2||1<<z 内展开成罗朗级数。
5.指出函数zz z z f 21)(2--=在扩充复平面上所有孤立奇点并求孤立奇点处的留数。
6．计算dz z ze z z⎰=-2||217．利用留数计算积份θθ+⎰πd 20cos 21三、积分变换(7分×3)1．设t t t f 00cos sin )(ωω=(0ω为常数)，求F ［ｆ(ｔ)]。
２．设f (t ）以π2为周期，且在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧≤<≤<=πππ2020cos )(t t t t f 求L [f (ｔ)］。
ﻩ3．求方程t e y y y -=-'+''32满足条件1)0(,0)0(='=y y 的解。
（L [e -t ]=11+s ）。
复变函数与积分变换试题答案(二）一、１． 充要条件ﻩ2． 23.ﻩi eπ654-4．i πﻩﻩ5. i π2ﻩ6.ﻩ原式＝⎩⎨⎧内不在内在C z C z i 0002π7．)()()!1(10110z f z z dz d im l m m m z z ----→ ﻩ8． ⎰∞+∞-ωωωπd e F i t j )(21 ﻩ９. 02t j e ω-πﻩ ﻩﻩ10.⎰∞-π=+sarcctgs ds s 2112 二、1. 解：P n nyp yvnxy x u -=⇒∂∂==∂∂22ﻩ (3分)3332222-=⇒--=∂∂-=+=∂∂n py x xv nx my y u3m =p∴3,1,3-==-=n m p ﻩ（1分）２.原式=（2５分）i i i dz z z z z π=π+π=++-⎰⎰==81624(23113||3||分）（分）3.原式＝)(22x g y v yvy x u +=⇒∂∂==∂∂ﻩ (２分) )()1(2x g xv x x u '-=∂∂-=-=∂∂ ﻩﻩc x x x g ++-=2)(2ﻩ (2分)∴)1()1(2)(22+-+-=x y i y x z f1)2)2(200=⇒++=⇒===c c y i y i i f y y（2分）∴)12()1(2)(22++-+-=x x y i y x z fﻩ（1分)4.解:∑∞⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+＋＝－）（－＝0222221111111n n n z z z z z ﻩ (2分)∑∞⎪⎭⎫⎝⎛⋅=02212112121＝＝－－－－n nz z z ﻩﻩ(2分）∴∑∑∑∞∞=⋅+4010122212111－＝＋＝）＋（－＝－）（－－n k k n n n n n n n b a C z z z z (3分)5．解:∞＝，＝，＝z z z 20(2分)21221lim]0),([Re 0=--=→z z z f s z ﻩﻩ（2分）21221lim ]2),([Re 2=--=→z z z f s z ﻩﻩﻩ（2分)1]),([Re -=∞z f s ﻩ（1分）6．解:原式（3分）⎪⎪⎭⎫⎝⎛+π=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-π=-22231,1Re 1,1Re 2122e e i z ze s z ze s i z z 分）（12ch i ⋅=π(1分)7.解： 原式＝(２分）iz dz zz z ⋅++⎰=1||22121=（１分）dz z z iz ⎰=++-1||2142=（１分)dz z z iz ⎰=++-+-1||)32)(32(2=(2分)⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++-π32,142Re 22z z i s i =（1分）32323222ππ=+++--i i三、1．解： F [f (t )]⎰⎰∞+∞--∞+∞--==dt te dt et f t j tj ωωω02sin 21)(ﻩ （3分) )]2()2([[2100ωωδωδπ--+=w i ﻩﻩﻩ(４分）2．解：L [f (t )]=（２分）⎰---ππ202)(11dt e t f e st s ﻩﻩﻩ（2分）=⎰---ππ02cos 11dt te e sts=(2分）22111s se s e s s ++⋅---ππ （1分）=22111sse s +⋅--π ﻩﻩ3.解：F )32(y y y -'+''=F [e -t ]ﻩﻩﻩ(1分)11)(3))0()((2)0()()(2+=--+--s s Y Y s sY Y s sY s Y s ﻩﻩ （２分) 32111)(2-+++=s s s s Y ＝)1)(3)(1(2-+++s s s s （2分)]3,1,1,])([Re )(--==∑k st z e s Y s t Y =t t t e e e 3818341---+-ﻩ （２分）复变函数与积分变换试题(三)1.(5）复数z 与点(,)x y 对应,请依次写出z 的代数、几何、三角、指数表达式和z 的3次方根。