复变函数与积分变换公式
复变函数积分方法总结
为 B 的一条光滑的有向曲线，把曲线 C 任意分成 n 个弧段，设分点为
A=z0 ，z1，…，zk-1，zk，…，zn=B，在每个弧段 zk-1 zk(k=1,2…n)上任
取一点 k 并作和式 Sn=
(zk-zk-1)=
∆zk 记∆zk=
zk- zk-1，弧段 zk-1 zk 的长度 =
{∆Sk}(k=1,2…,n),当
它的内部完全含于 D，z0 为 C 内的任一点，有：
f(z0)=
例题：1）
2）
解：=2π isin z|z=0=0 解： =
=2πi
| = z=-i
解析函数的高阶导数：
解析函数的导数仍是解析函数，它的 n 阶导数为
f(n)(z0)=
dz(n=1,2…)
其中 C 为 f(z)的解析区域 D 内围绕 z0 的任一条正向简单闭曲线，而
Q(z0)
，则 z0 是 f(z)的一级极点，而且：
Res[f(z),z0]=
无穷远处的留数：
定义：扩充 z 平面上设 z= 为 f(z)上的孤立奇点，即 f(z)在 R< <+ 内解析，C 为圆环绕原点 z=0 的任一条正向简单闭曲线，则积分值
称为 f(z)在 z= 处的留数，记作
Res[f(z), ]=
+…]=
.
*
一个在 0< 级极点。
< 解析，同时
，则 z0 是 f(z)的 m
判断定理：（1）f(z)在 z0 的去心邻域 0<
<
，z0 是 f(z)
的 m 级极点的充要条件是可以表示成*的形式。（2）z0 是 f(z)的 m 级
极点的充要条件是
=.
复变函数与积分变换3.2
It’s The End！
Thank You！
Complex Function Theory Department of Mathematics
| f
(n)
( z ) | |
2 i
n!
n!
f ( )
C
2 其中，n=0,1,2,…;0!=1。
M ( )
n 1
( z )
n 1
d |
2 n!
M ( )
n 1
注解：
注解1、上面的不等式称为柯西不等式。 注解2、如果在C上解析，那么我们称它为一个 整函数，例如
解析，所以有
z
定理4.1的证明：
f ( )
C
z
d
f ( )
C
z
d
其中，沿曲线C的积分是按关于D的正向取的， 沿Cr 的积分是按反时针方向取的。因此，结论 成立。
定理4.2(高阶导数公式)：
定理4.2 设D是以有限条简单闭曲线C为边界的 有界区域。设f(z)在D及C所组成的闭区域D 上解析，那么f(z)在D内有任意阶导数
Cr
因此，结论成立。
定理4.1 设D是以有限条简单闭曲线C为边界的 有界区域。设f(z)在D及C所组成的闭区域 D 上 解析，那么在内任一点z，有
f (z) 2 i 1 f ( )
定理4 .1(柯西公式)
C
z
d
其中，沿曲线C的积分是按反时针方向取的，我 们称它为柯西公式。
注解：
z 0 C , ( 0 , )
从而f(z)在C上恒等于常数。
莫勒拉定理：
5、莫勒拉定理：应用解析函数有任意阶导数， 可以证明柯西定理的逆定理， 定理5.1 如果函数f(z)在区域D内连续，并且对于 D内的任一条简单闭曲线C，我们有
复变函数与积分变换知识点总复习
解析函数 f (z) 的导数仍为解析函数, 它的 n阶
导数为:
f
(n)
( z0
)
n! 2πi
C
(z
f
(z) z0 )n1
dz
(n 1,2,)
其中C 为在函数 f (z) 的解析区域 D内围绕 z0 的
任何一条正向简单闭曲线, 而且它的内部全含于 D.
8.调和函数与解析函数的关系
调和函数
满足 Laplace
但u iv不是解析函数。
证明：
因为 u x
2x,
2u x 2
2,
u y
2 y,
2u y 2
2,
2u 2u 2 2 0,所以，u是调和函数。 x2 y2
同理 2v 6x2 y 2y3 , 2v 6x2 y 2y3 , x2 (x2 y2 )3 y2 (x2 y2 )3
2v x 2
解：u(x, y) a ln(x2 y2 ),v(x, y) arct an y ,则 x
u 2ax , u 2ay , v y , v x , x x2 y2 y x2 y2 x x2 y2 y x2 y2 在区域x 0内连续，且 u v , v u 在区域x 0上成立时，2a 1, x y x y 即，当a 1 时，函数f (z)在区域x 0内是解析的。
Байду номын сангаас
而 u y2, u 2xy, v 2xy, v x2,在复平面上
x
y
x
y
处处连续，当x y 0时满足C R方程，
故f (z)仅在(0,0)点可导，在复平面上处处不解析。
2）因为f (z) x2 iy,则u(x, y) x2, v(x, y) y,
复变函数与积分变换公式
复变函数与积分变换公式复变函数是指定义在复数域上的函数。
复变函数与实变函数有很多相似之处，但也有着一些独特的性质和应用。
在实际问题中，经常会遇到求解复变函数的积分问题。
积分变换是一种通过对函数进行积分计算来求得更简单或者更易求解的函数的方法。
本文将介绍复变函数以及积分变换公式。
一、复变函数的定义和性质复变函数的定义：复变函数通常可以表示为 f(z) = u(x,y) +iv(x,y)，其中 u(x,y) 和 v(x,y) 是实变量 x 和 y 的实函数，i 是虚数单位。
复变函数可以看作二元实函数的推广。
在复变函数的定义中，x 和 y 是自变量，而 u 和 v 是因变量。
复变函数的性质：复变函数具有以下性质：1.可微性：类似于实变函数中的导数，复变函数也有导数的概念，称为复导数。
如果复变函数f(z)在一些点z0处可导，则称f(z)在z0处可导。
2.全纯性：如果复变函数在一些区域上都可导，则称该函数在该区域上是全纯的。
3.古典解析性：如果复变函数在整个复平面上都可导，则称该函数是古典解析的。
4. 共轭性：对于复变函数 f(z) = u(x,y) + iv(x,y)，可以定义其共轭函数 f*(z) = u(x,-y) - iv(x,-y)。
共轭函数与原函数在实部上相等，虚部上相反。
5.奇函数和偶函数：如果复变函数f(z)满足f(-z)=-f(z)，则称f(z)是奇函数；如果f(-z)=f(z)，则称f(z)是偶函数。
积分变换通常是求解复变函数积分的一种方法。
常见的积分变换公式有：1.单连通域中的柯西定理：设f(z)在单连通域D上是全纯的，则对于D的任意闭合曲线C，有∫[C] f(z)dz = 0这个公式是复变函数积分计算的基础。
2. 柯西-Goursat 定理：设 f(z) 在连通域 D 上是全纯的，则对于D 的任意简单闭合曲线 C，有∫[C] f(z)dz = 0这个公式是柯西定理的推广形式，适用于连通域D。
复变函数与积分变换重要知识点归纳
复变函数复习重点（一）复数的概念1.复数的概念：z = x • iy , x, y 是实数，x = Rez,y = lmz.r-_i.注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小2.复数的表示1）模：z =y/x2+y2；2）幅角：在z = 0时，矢量与x轴正向的夹角，记为Arg z （多值函数）；主值arg z是位于（-二，二］中的幅角。
3）arg z与arctan y之间的关系如下：xy当x 0, argz=arctan工；x[ yy - 0,arg z = arctan 二当x ： 0, xy y :: 0,arg z = arctan 「愿L x4）三角表示：z = z COST i sinv ，其中二-arg z ；注：中间一定是“ +"号5）指数表示：z = z e旧，其中日=arg z。
（二）复数的运算仁加减法：若z1= x1iy1, z2= x2 iy2，贝寸乙 _ z2 = % _ x2i 比 _ y22.乘除法:1 ）若z^x1 iy1 ,z2=x2iy2，则ZZ2 二XX2 —y』2 i X2% X』2 ；乙x iy1 % iy1 X2 —iy2 xg yy •- 丫2为-- = --------- = ----------------------- = -------------- T i --------------Z2 x? iy2 X2 iy2 x? - iy? x；y；x；y f2）若乙=乙e°,z2= z2e°, _则3.乘幂与方根ei "'2 ；土評匀）Z2Z21）若z =|z （cos日+isin 日）=|z e旧，则z"=上"（cosnT +i sin 用）=上"d吩。
2）若z =|z （cos日+isin 日）=|ze吩，贝U阪=z n.'cos日+2" +i si肆+2" ）（k =0,1,2[|I n—1）（有n个相异的值）l n n丿（三）复变函数1•复变函数：w = f z，在几何上可以看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的映射.2•复初等函数1）指数函数：e z=e x cosy - isin y ,在z平面处处可导，处处解析；且e z= e z。
《复变函数与积分变换》 留数—计算规则
三、在 ∞ 点的留数 定义 2.2 设 ∞ 是 f ( z ) 的孤立奇点 , 则 f ( z ) 在 R < z < +∞ 内解析 ,
C 是 R < z < +∞ 内一条简单闭
y C
O
§5.2 留 数 —— 在 ∞ 点的留数
R
x
定理 2.2 若 f ( z ) 在 C U {∞} 上有有限个奇点：z1 ,L , z n , ∞ , 则
1 P ( z ) , z = 0 是 f ( z ) 的 3 级极点 . z3 1
解二：把 f ( z ) 在 z = 0 点展成洛朗级数 :
z − sin z 1 = 6 z6 z = 1 3 1 5 1 7 z − z − 3! z + 5! z − 7! z + L
O
1 = − c1 . ∫ C f ( z ) dz, 则 Res f ( z ) , ∞ 2π i Ñ
× zn
f ( z ) ,∞ . = − 2π i Res
§5.2 留 数 —— 在 ∞ 点的留数
规则 IV Res [ f ( z ), ∞ ] = − Res f ( )
(5)
假设 z0 是 f ( z ) 的 k 级极点 , k < m ,
f ( z ) = c− k ( z − z0 )
−k
+ L + c−1 ( z − z0 ) + c0 + c1 ( z − z0 ) + L
−1 m− k
( z − z0 )
0
m
f ( z ) = c− k ( z − z0 )
§5.2 留 数 —— 计算规则
复变函数与积分变换
C f ( z )dz lim 1 f ( k ) zk . n k
n
3.积分的性质
g 设 f ( z ) ， ( z ) 在曲线 C 上可积，则 C 1) C f ( z )dz C f ( z )dz ， 与 C 反向； 2) C Kf ( z )dz K C f ( z )dz，K 为常数；
习题：
1.设C是正向圆周z 1, 计算下列各积分的值。 dz dz dz 1 ） ; 2) ; 3) ; i z2 cos z c c c ( z )( z 2) 2 解：
dz 1) 0; z2 c dz 2) 0; cos z c 4i 3) 2i ; i i c ( z )( z 2) 2 i4 2 2 dz 1
z re i
z x iy
(5)代数表示:
5.运算 1)相等; 2)四则运算,及运算规律; 3)共轭运算,及运算规律; 4) z z r r [cos( ) i sin( )]
1 2 1 2 1 2 1 2
5)
z1 r 1 [cos(1 2 ) i sin(1 2 )] z2 r2 r i (1 2 ) 1e ． r2
2i
3.沿指定曲线计算下列各积分.
ez 1 ） z 2 dz, C : z 2 1; c ez 3) C ( z 1)( z 2) dz, C : z 3; eiz 3 2) 2 dz, C : z 2i ; z 1 2 c ez 4) 3 dz, C : z 2; C z
2 2
在区域x 0内连续，且 u v v u , 在区域x 0上成立时， 1, 2a x y x y 1 即，当a 时，函数f ( z )在区域x 0内是解析的。 2
复变函数-总结
所 以 vx,y1y22xy-1x2c. 于是
2
2
27
fzx2-y2xy i 1 2y22 xy-1 2x2 c
由f00( x y 0 0) c0 从而
fz x 2- y 2 x y i 1 2 y 2 2 x y - 1 2 x 2 1 - 2 i z 2
即为所求解析函数。
等价定义：
设 f (z) = u(x,y) + iv(x,y) , A = u0+iv0 , z0 = x0+iy0 ,
那么
lim f (z)
zz0
运算性质：
limu(x, Axyxyl im xxyy0000 v(x,
y) y)
u0 v0
.
( 1 ) li (f m ( z ) g ( z ) ) lifm ( z ) lig ( m z )
例题1 一调和函数 ux,yx2-y2xy,
求一解析函数 fzuiv使 f00.
解：〔法一〕 ux2xy,uy-2yx
由 C-R 方程 v y u x 2 x y v 2 x y d y
由 v x - u y 2x2 yy 12c y2x c 2 xy - x v x c2xyc-12xx2,c,
9
对复平面内任一
x3
点z, 用直线将z
除了复数的平面表 示方法外, 还可以
与N相连, 与球面
N(0,0,2r) 用球面上的点来表
相交于P点, 那么
示复数.
球面上除N点外
x3
的所有点和复平
面上的所有点有
P(x1,x2,x3)
一一对应的关系,
而N点本身可代
表无穷远点, 记 作 .这样的球面
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复变函数复习提纲（一）复数的概念1.复数的概念：z = X ∙ iy , X, y 是实数,x = Rez,y=lmz.r=_i.中的幅角。
3）arg Z与arctan~y之间的关系如下:Xy当X 0, arg Z= arctan 丄；Xyy -0,arg Z= arctan 二! Xyy ：： O,arg Z= arctan -二J X4)三角表示：Z = Z(COS8 +isin0 ),其中日=argz；注：中间一定是“ +”号。
5)指数表示：Z = ZeF,其中V - arg z。
(二)复数的运算1.加减法：若Z I=X I iy1, z2=X2 iy2,贝廿z1二z2= x1二x2iy1- y22.乘除法：1)若z1 = x1 iy1, Z2 =X2 iy2,贝U狂h[N×2 一y$2i x2% x1y2 ；乙_ X1+ i y_ (x1 十i和X—i y_ XX y*y y x；。
XZ2 X2+ i% (对讪-X )i2y 2+2X222+ 2X222)若Z I=Iz I e i^,z2 =∣z2 e iθ ,则Z1Z2 = ZIll Z2 e i(t1也；3.乘幕与方根1)若Z= Z(COS J isin * n (CoS n i Sinn )= n e i"。
2）幅角：在Z=O时，矢量与X轴正向的夹角, 记为Arg Z （多值函数）；主值arg Z 是位于（-理,二］注：两个复数不能比较大小2.复数的表示2)若 Z = IZ(COSB+isinT)=∣ze i ^,则（三）复变函数1∙复变函数： w = f z ,在几何上可以看作把 Z 平面上的一个点集 D 变到W 平面上的一个点集 G的映射. 2 •复初等函数1）指数函数：e z =e x cosy isiny ,在Z 平面处处可导，处处解析；且 注：e z 是以2二i 为周期的周期函数。
（注意与实函数不同） 3）对数函数：LnZ=In z+i （argz + 2kιι） （k=0,±1,±2八）（多值函数）；主值：In Z = Inz+iargz 。
（单值函数）・1LnZ 的每一个主值分支In z 在除去原点及负实轴的 Z 平面内处处解析，且InzZ注：负复数也有对数存在。
（与实函数不同） 3）乘幕与幕函数：a — e bLna（a = 0） ； Z b = e bLnZ （Zn 0）注：在除去原点及负实轴的 Z 平面内处处解析，且 Z S -bz b j 。
Sin z,cos Z 在 Z 平面内解析，且 Sinz = cosz, CoSZ=-Sinz注：有界性Sin z 兰1, cosz ≤1不再成立；（与实函数不同）Z■ ZZ■ Z,,,,e -ee +e 4) 双曲函数 ShZ,chz =2 2ShZ 奇函数，ChZ 是偶函数。
ShZ I ChZ 在Z 平面内解析，且 ShZ =chz, ChZ i - ShZ O （四）解析函数的概念1 •复变函数的导数1）点可导: f r fZ0；fZ 0 2）区域可导：f Z 在区域内点点可导。
2 •解析函数的概念1f 日 +2kπ ..日 +2kπ ) Z n I cos ----------- 十 ISi n --------I n n(k =0,12…n -1)(有n 个相异的值)4）三角函数:iz -ize -e Sin Z =2iiz JZ.e +e ,sin z ,,cos z ,tgz ,ctgz2 cos zcosz SinZ1）点解析： f Z 在Z 0及其Z O 的邻域内可导，称 f Z 在Z O 点解析; 2）区域解析： f Z 在区域内每一点解析，称 f Z 在区域内解析; 3）若f （Z ）在Z Q 点不解析，称Z Q 为f Z 的奇点;3.解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数 的复合函数仍为解析函数；（五）函数可导与解析的充要条件1.函数可导的充要条件：f Z =ux,y iv x,y 在Z=X iy 可导此时，有「z =』∙CX CX2.函数解析的充要条件：f z =u X,y iv x,y 在区域内解析U V此时f Zi- CX CX若U x, y ,v x,y 在区域因此在使用充要条件证明时，只要能说明u,v 具有一阶连续偏导且满足C - R 条件时，函数f （Z ） =U iv 一定是可导或解析的。
3.函数可导与解析的判别方法 1） 利用定义 （题目要求用定义，如第二章习题 1）2） 利用充要条件（函数以f z =u x,y 厂iv x,y 形式给出，如第二章习题 2）3） 利用可导或解析函数的四则运算定理。
（函数f Z 是以Z 的形式给出，如第二章习题3）（六）复变函数积分的概念与性质n1.复变函数积分的概念： C f ZdZ=Iim] f k ■■:Z k , C 是光滑曲线。
八k¥注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。
2. 复变函数积分的性质 1）f z dz I f ZdZ （ c'与C 的方向相反）；CC2） [ ： f z 「g z ]dz f Zd^L gZdz, ：「是常数；CCC=u x,y 和V X, y 在x, y 可微，且在 x,y 处满足C - D 条件:；:u；:v；:u；:v=U x, y 和v x,y 在x, y 在D 内可微，且满足 C-D 条件：—√v；:u.:xD 具有一阶连续偏导数，则 U x, y , v x, y 在区域D 内是可微的。
3) 若曲线C由c1与c2连接而成，则 f z dz f z dz亠IfZdZ。
C " ■ C^^ ■ C2 L■3.复变函数积分的一般计算法1)化为线积分：C f ZdZ= C Ud^Vdy i C VdX Udy ；(常用于理论证明)2)参数方法：设曲线C : Z = Z t (：•・：：『■)，其中「对应曲线C的起点，[对应曲线C的终点，β则f z dz = f[z t ]z(t)dt °C√(七)关于复变函数积分的重要定理与结论1 .柯西一古萨基本定理：设f Z在单连域B内解析，C为B内任一闭曲线，则J J.' f ZdZ=OC2.复合闭路定理：设f Z在多连域D内解析，C为D内任意一条简单闭曲线，C1,C2,…C n是C内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以q,c2,…C n为边界的区域全含于D内，贝yn①庠f ZdZ-V f Zd乙其中C与C k均取正向；C k=1 C k②∖ f ZdZ=O ,其中丨由C及c'(k=1,2,…n)所组成的复合闭路。
f3.闭路变形原理：一个在区域D内的解析函数f Z沿闭曲线C的积分，不因C在D 内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中C不经过使f Z不解析的奇点。
4解析函数沿非闭曲线的积分：设f z在单连域B内解析，G Z为f z在B内的一个原函数，则f Z dz = G Z2 -G Z (乙，Z2 B)z1说明：解析函数f Z沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求出原函数即可。
5.柯西积分公式：设f Z在区域D内解析，C为D内任一正向简单闭曲线，C的内部完全属于D ,・f (Z )Z0为C内任意一点，则∙dz=2二if z0C Z-Z。
6.高阶导数公式：解析函数f Z的导数仍为解析函数，它的n阶导数为R 十dz=葺f(n)(z°) (n =1,2…)C(Z-Z O) n!其中C为f Z的解析区域D内围绕Z0的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部完全属于7.重要结论：1 [2πi, n = O 人、、-I dz。
( C是包含a的任意正向简单闭曲线)C(Z 一a)n10, n=0&复变函数积分的计算方法B1)若f Z在区域D内处处不解析，用一般积分法f ZdZ f[zt]ztdtL C Ct2)设f z在区域D内解析，C是D内一条正向简单闭曲线，则由柯西一古萨定理，N C f(Z)dz = OC是D内的一条非闭曲线，z∣,Z2对应曲线C的起点和终点，则有Z2Cf Z dz= z f Z d Z = F z2 -F Z I3)设f z在区域D内不解析曲线C内仅有一个奇点：Jf (Z ) 讯一L AlZ= 2兀I f (Zo )C Z Z0( f (Z)在C内解析)f(Z) * 2兀I 、FC^ZF dZ= n! f Hs曲线C内有多于一个奇点：nN f(Z)dz —Σ N f (z )dz ( C内只有一个奇点Zk)Ck7 Cbn或：∖ f zdz=2二L Res[f(z),z k](留数基本定理)C k壬若被积函数不能表示成f zn1，则须改用第五章留数定理来计算。
(z-Z o)(八)解析函数与调和函数的关系E2φ E2φ1 •调和函数的概念：若二元实函数:(X I y)在D内有二阶连续偏导数且满足-2 =0 ,2 2-X : V (X) V)为D内的调和函数。
2.解析函数与调和函数的关系解析函数f z =u iv的实部U与虚部V都是调和函数，并称虚部V为实部U的共轭调和函数。
两个调和函数U与V构成的函数f(z)=u∙iv不一定是解析函数；但是若u,v如果满足柯西一黎曼方程，则u∙iv —定是解析函数。
3.已知解析函数f Z的实部或虚部，求解析函数 f z =u iv的方法。
1）偏微分法：若已知实部U=U x,y ,利用 C — R 条件，得 ≤v √i v ；CX Cy再对（*）式两边对X 求偏导，得 —^―—dy ^X （**）GX C X ^e X J-，得.⅛y X ，可求出 g X ；X : y ：-X ：-X2)线积分法：若已知实部U=U X, y ，利用C-R 条件可得dv =二v dx ∙ 2∙v dy = - 一u dx •二U dy ，(XCy Cy C X故虚部为VUdX U dy C ；I (X ),y^ ∂y CX由于该积分与路径无关，可选取简单路径（如折线）计算它，其中 的两点。
3）不定积分法：若已知实部 U=U X,y ,根据解析函数的导数公式和C-R 条件得知,CXCyCXCy将此式右端表示成 Z 的函数U Z ,由于「z 仍为解析函数，故f z = U z dz ∙ c（ C 为实常数）注：若已知虚部 V 也可用类似方法求出实部U.（九）复数项级数1. 复数列的极限1） 复数列{: n^{a n ib n } （ n =1,2…）收敛于复数■■ - a bi 的充要条件为Iim a r l =a,Iimb n =b（同时成立）n 厂n ,•2） 复数列{ ：、}收敛二实数列&},{ b n }同时收敛。