复变函数与积分变换(宋苏罗主编)思维导图
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《复变函数与积分变换》PPT课件
浙江大学
复数的乘幂
n个相同复数z的乘积成为z的n次幂
z
n
z n = zzLz = r n (cos nθ + i sin nθ)
复数的方根
设
iθ
z = re
为已知复数，n为正整数，则称满足方程
w =z
n
的所有w值为z的n次方根，并且记为
w= n z
浙江大学
设
w= ρeiϕ ,
则
ρ neinϕ = reiθ
w0 = r (cos + i sin ) n n 1 θ + 2π θ + 2π n w1 = r (cos ) + i sin n n 1 θ + 4π θ + 4π n w2 = r (cos + i sin ) n n
1 n
1 n
θ
θ
wn−1 = r (cos
θ + 2(n −1)π
n
+ i sin
Re z 2 = x2 − y2 ≤ 1
Im z 2 ≤ 1
浙江大学
例： 指出不等式 0 < arg 解：
z −i π < 中点z的轨迹所在范围。 z +i 4
z −i x2 + y2 −1 − 2x = 2 +i 2 2 z + i x + ( y +1) x + ( y +1)2
z −i π 因为 0 < arg < , 所以 z +i 4 +i x2 + y2 −1 − 2x > 2 >0 2 2 2 x + ( y +1) x + ( y +1)
复数的乘幂
n个相同复数z的乘积成为z的n次幂
z
n
z n = zzLz = r n (cos nθ + i sin nθ)
复数的方根
设
iθ
z = re
为已知复数，n为正整数，则称满足方程
w =z
n
的所有w值为z的n次方根，并且记为
w= n z
浙江大学
设
w= ρeiϕ ,
则
ρ neinϕ = reiθ
w0 = r (cos + i sin ) n n 1 θ + 2π θ + 2π n w1 = r (cos ) + i sin n n 1 θ + 4π θ + 4π n w2 = r (cos + i sin ) n n
1 n
1 n
θ
θ
wn−1 = r (cos
θ + 2(n −1)π
n
+ i sin
Re z 2 = x2 − y2 ≤ 1
Im z 2 ≤ 1
浙江大学
例： 指出不等式 0 < arg 解：
z −i π < 中点z的轨迹所在范围。 z +i 4
z −i x2 + y2 −1 − 2x = 2 +i 2 2 z + i x + ( y +1) x + ( y +1)2
z −i π 因为 0 < arg < , 所以 z +i 4 +i x2 + y2 −1 − 2x > 2 >0 2 2 2 x + ( y +1) x + ( y +1)
复变函数与积分变换1.4-解析函数
x 2yi . x yi
设 z 沿着平行于x 轴的 方向趋向于 0, 即
x 0, y 0.
oLeabharlann yzy 0
x
于是
x 2yi x lim lim 1. x 0 x yi x 0 x y 0
设 z 沿着平行于y 轴的方向趋向于 0, 即
也可用
dw df ( z ) , dz dz
等表示 f ( z ) 在z点的导数.
例1
设
f ( z ) z 2 , 则 f ( z ) 在复平面内
处处可导，且 f ( z ) 2 z . 解 因为
f ( z z ) f ( z ) f ( z ) lim z 0 z
f ( z ) g( z ) f ( z ) g( z ).
f (z) f ( z ) g( z ) f ( z ) g( z ) (5) , ( g( z ) 0). 2 g (z) g( z ) (6) f [ g( z )] f ( w ) g( z ), 其中 w g ( z ).
虽然 lim( z z0 ) z 2 z0 z0 2 z0 , 但是当
z z0 2
z z0 z分别从平行于x, y轴方向趋于z0时， 分别 z z0 z z0 以1和-1为极限，因此 lim 不存在. 又因为 z z0 z z 0
f ( z ) f ( z0 ) z0 0, 所以 lim 不存在，即 f ( z ) z z0 z z0
§1.3.4
1 2 3
解析函数的概念
导数与微分 C-R条件 解析与奇点
一、复变函数的导数
1、 复变函数导数的定义 定义2 设 w f ( z ) 是定义在区域E上的
复变函数与积分变换-PPT课件
i i 1 2 1 2
推广至有限个复数的乘法
i i i n 1 2 z z z r e r e r e 12 n 1 2 n i ( ) 1 2 n r r r e 12 n
浙江大学
除法运算
z1 0
z2 z2 z1 z1
z2 z2 , z1 z1
n 1 1 n
浙江大学
x iy z1 x1 iy1 1 iy 1 x 2 2 x2 iy iy z2 x2 iy2 2 x 2 2
x x y y i x y x y 1 2 1 2 2 1 1 2
x y
2 2 2 2
b) 按上述定义容易验证 加法交换律、结合律
当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
w r (cos isin ) 0 n n 1 2 2 n w r (cos i sin ) 1 n n 1 4 4 n w r (cos i sin ) 2 n n
1 n
2 ( n 1 ) 2 ( n 1 ) w r (cos i sin )
z z ( z z ) e 3 1 2 1 1 3 ( 1i)( i) 2 2 1 3 1 3 i 2 2
3 3 1 3 z i 3 2 2
i 3
z3
z2
x
O
z1
3 3 1 3 z i 3 2 2
浙江大学
复数的乘幂
n个相同复数z的乘积成为z的n次幂
z1
O 加法运算 x
z z z z 1 2 1 2
浙江大学
y
z1
z2
推广至有限个复数的乘法
i i i n 1 2 z z z r e r e r e 12 n 1 2 n i ( ) 1 2 n r r r e 12 n
浙江大学
除法运算
z1 0
z2 z2 z1 z1
z2 z2 , z1 z1
n 1 1 n
浙江大学
x iy z1 x1 iy1 1 iy 1 x 2 2 x2 iy iy z2 x2 iy2 2 x 2 2
x x y y i x y x y 1 2 1 2 2 1 1 2
x y
2 2 2 2
b) 按上述定义容易验证 加法交换律、结合律
当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
w r (cos isin ) 0 n n 1 2 2 n w r (cos i sin ) 1 n n 1 4 4 n w r (cos i sin ) 2 n n
1 n
2 ( n 1 ) 2 ( n 1 ) w r (cos i sin )
z z ( z z ) e 3 1 2 1 1 3 ( 1i)( i) 2 2 1 3 1 3 i 2 2
3 3 1 3 z i 3 2 2
i 3
z3
z2
x
O
z1
3 3 1 3 z i 3 2 2
浙江大学
复数的乘幂
n个相同复数z的乘积成为z的n次幂
z1
O 加法运算 x
z z z z 1 2 1 2
浙江大学
y
z1
z2
复变函数与积分变换-第3章
0 0 2π n i nt
Cr 2π
O
n +1
x
2π
⋅ ire ( n +1) t dt.
n +1
若 n ≠ −1, ir 若 n = −1, ir 故
n +1
∫
2π
0 2π
e
i ( n +1) t
dt = ir
e i (n + 1) 0
i ( n +1) t
= 0,
n ( z − z ) dz , n ∈ Z, Cr :| z − z0 |= r 0 ∫Cr y 沿逆时针方向一周. Cr it 解: Cr : z = z0 + re , 0 ≤ t ≤ 2π . z0 n ( z − z ) dz 0 ∫
例 3.3
计算积分
= ∫ (reit ) n ⋅ (re it )′dt =∫ r e
k =1
→0 ⎯Δ ⎯ ⎯→
n
∫ udx − vdy + i ∫ vdx + udy.
Γ Γ
(2) 由
∑ f (c )Δz
k =1 k
n
k
≤ ∑ f (ck ) ⋅ Δz k ≤ M ∑ Δz k
k =1 k =1
Γ
n
n
∫
Γ
f ( z )dz ≤ ∫ | f ( z ) | ⋅ | dz | = ∫ | f ( z ) | ⋅ds ≤ M ⋅ l (Γ) Γ
Δ →0 k =1
n
(Δ = max | Δsk |)
1≤ k ≤ n
第二型曲线积分
∫
C
P( x, y )dx + Q( x, y )dy
Cr 2π
O
n +1
x
2π
⋅ ire ( n +1) t dt.
n +1
若 n ≠ −1, ir 若 n = −1, ir 故
n +1
∫
2π
0 2π
e
i ( n +1) t
dt = ir
e i (n + 1) 0
i ( n +1) t
= 0,
n ( z − z ) dz , n ∈ Z, Cr :| z − z0 |= r 0 ∫Cr y 沿逆时针方向一周. Cr it 解: Cr : z = z0 + re , 0 ≤ t ≤ 2π . z0 n ( z − z ) dz 0 ∫
例 3.3
计算积分
= ∫ (reit ) n ⋅ (re it )′dt =∫ r e
k =1
→0 ⎯Δ ⎯ ⎯→
n
∫ udx − vdy + i ∫ vdx + udy.
Γ Γ
(2) 由
∑ f (c )Δz
k =1 k
n
k
≤ ∑ f (ck ) ⋅ Δz k ≤ M ∑ Δz k
k =1 k =1
Γ
n
n
∫
Γ
f ( z )dz ≤ ∫ | f ( z ) | ⋅ | dz | = ∫ | f ( z ) | ⋅ds ≤ M ⋅ l (Γ) Γ
Δ →0 k =1
n
(Δ = max | Δsk |)
1≤ k ≤ n
第二型曲线积分
∫
C
P( x, y )dx + Q( x, y )dy
复变函数与积分变换课件
傅里叶级数的性质
傅里叶级数具有唯一性，即一个周期函数对应一个唯一的傅 里叶级数；反之亦然。此外，傅里叶级数具有可加性和可分 离性，即对于任意的实数x，f(x)=f(x+T)=f(x−T)，其中T为 函数的周期。
傅里叶变换的定义与性质
傅里叶变换的定义
将一个可积分的函数f(x)变换为一系列无穷的三角函数之和，即 F(ω)=∫f(x)e−iωxdx，其中ω为角频率。
复数域上的微积分基本定理
01
微积分基本定理
根据微积分基本定理，复数域上的微积分可以按照实数域上的微积分进
行计算。
02
微分中值定理
微分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
，函数在区间上的值可以通过其端点的值和导数值来确定。
03
积分中值定理
积分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
性质
拉普拉斯变换具有线性、时移、频移、微分、积分、尺度变换等性质。
拉普拉斯变换的逆变换与基本定理
逆变换
对于复数域上的函数$F(s)$，其拉普拉斯 逆变换定义为：$f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{ci\infty}^{c+i\infty}F(s)e^{st}ds$
VS
基本定理
如果$F(s)$是$f(t)$的拉普拉斯变换，那 么对于任意的常数$a,b,c,d$，有： $\int_{0}^{\infty}f(t)[a\cos bt+c\sin bt]dt=\int_{0}^{\infty}F(s)[as\cos btcs\sin bt]ds$
复变函数与积分变换课件
目录
• 复数与复变函数 • 复变函数的微积分 • 傅里叶级数与傅里叶变换 • 拉普拉斯变换及其应用 • 复变函数与积分变换的物理意义
傅里叶级数具有唯一性，即一个周期函数对应一个唯一的傅 里叶级数；反之亦然。此外，傅里叶级数具有可加性和可分 离性，即对于任意的实数x，f(x)=f(x+T)=f(x−T)，其中T为 函数的周期。
傅里叶变换的定义与性质
傅里叶变换的定义
将一个可积分的函数f(x)变换为一系列无穷的三角函数之和，即 F(ω)=∫f(x)e−iωxdx，其中ω为角频率。
复数域上的微积分基本定理
01
微积分基本定理
根据微积分基本定理，复数域上的微积分可以按照实数域上的微积分进
行计算。
02
微分中值定理
微分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
，函数在区间上的值可以通过其端点的值和导数值来确定。
03
积分中值定理
积分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
性质
拉普拉斯变换具有线性、时移、频移、微分、积分、尺度变换等性质。
拉普拉斯变换的逆变换与基本定理
逆变换
对于复数域上的函数$F(s)$，其拉普拉斯 逆变换定义为：$f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{ci\infty}^{c+i\infty}F(s)e^{st}ds$
VS
基本定理
如果$F(s)$是$f(t)$的拉普拉斯变换，那 么对于任意的常数$a,b,c,d$，有： $\int_{0}^{\infty}f(t)[a\cos bt+c\sin bt]dt=\int_{0}^{\infty}F(s)[as\cos btcs\sin bt]ds$
复变函数与积分变换课件
目录
• 复数与复变函数 • 复变函数的微积分 • 傅里叶级数与傅里叶变换 • 拉普拉斯变换及其应用 • 复变函数与积分变换的物理意义
复变函数与积分变换PPT课件
11 2i (2 i )( 5i) 11 2i 5 10i 25 5i (5i) 25 25
16 8 i 25 25
所以
16 8 Re z , Im z 25 25
16 8 16 8 64 zz ( i)( i) 25 25 25 25 125
1. 复数的乘幂 设 n 为正整数， n 个非零相同复数 z 的乘 z 的 n 次幂，记为 z n ，即 积，称为
z n z z z
n个
若 z r（cos i sin ) ，则有
z n r n (cos n i sin n )
当 r 1 时，得到著名的棣莫弗公式 (cos i sin ) n cos n i sin n
所以 r z ( 1) 2 ( 3) 2 2 设 arg z, 则
3 tan t 3 1
又因为 z 1 i 3 位于第II象限 2 所以 arg z 3 于是
2 2 z 1 i 3 2(cos i sin ) 3 3
y arctan x , z在第一、四象限 y y arg z arctan , z在第二象限 其中 arctan 2 x 2 x y arctan x , z在第三象限
说明：当 z 在第二象限时， arg z 0 2 2 y y arctan tan( ) tan( ) tan
z0
25
开集 如果点集 D 的每一个点都是D 的内 点，则称 D 为开集. 闭集 如果点集 D 的余集为开集，则称D 为闭集. 连通集 设是 D 开集，如果对于 D 内任意两 点，都可用折线连接起来，且该折线上的 点都属于 D ，则称开集 D 是连通集.
16 8 i 25 25
所以
16 8 Re z , Im z 25 25
16 8 16 8 64 zz ( i)( i) 25 25 25 25 125
1. 复数的乘幂 设 n 为正整数， n 个非零相同复数 z 的乘 z 的 n 次幂，记为 z n ，即 积，称为
z n z z z
n个
若 z r（cos i sin ) ，则有
z n r n (cos n i sin n )
当 r 1 时，得到著名的棣莫弗公式 (cos i sin ) n cos n i sin n
所以 r z ( 1) 2 ( 3) 2 2 设 arg z, 则
3 tan t 3 1
又因为 z 1 i 3 位于第II象限 2 所以 arg z 3 于是
2 2 z 1 i 3 2(cos i sin ) 3 3
y arctan x , z在第一、四象限 y y arg z arctan , z在第二象限 其中 arctan 2 x 2 x y arctan x , z在第三象限
说明：当 z 在第二象限时， arg z 0 2 2 y y arctan tan( ) tan( ) tan
z0
25
开集 如果点集 D 的每一个点都是D 的内 点，则称 D 为开集. 闭集 如果点集 D 的余集为开集，则称D 为闭集. 连通集 设是 D 开集，如果对于 D 内任意两 点，都可用折线连接起来，且该折线上的 点都属于 D ，则称开集 D 是连通集.
复变函数与积分变换第1章复数与复变函数精品PPT课件
（5）乘法对于加法的分配律 z1(z2z3)z1z2z1z3 复数运算的其它结果：
（1）z0z, 0z0 （2） z1z, z11
z
（3）若 z1z2 0，则 z 1 与 z 2 至少有一个为零， 反之亦然.
共轭复数的运算性质：
（1） z z
（2） z1z2 z1z2
（3） z1z2 z1z2
Argz
并规定按逆时针方向取值为正，顺时针方
向取值为负.
4.复数的三角表示式
称 zr(coissin )
为复数 z的三角表示式.
5.复数的指数表示式
称 z rei为复数 z的指数表示式.
例3 求 Arg2(2i)和 Arg3 (4i). 解
A 2 r2 i) g a (2 r 2 g i) 2 (k
25
25
zz(16 8i)1 ( 6 8i)64 25252525 125
1.1.3 复数的各种表示、模与辐角
1.复数的几何表示
由复数 zxiy的定义可知，复数是由一对 有序实数 (x, y) 惟一确定的，于是可建立全 体复数和 x O y 平面上的全部点之间的一一
对应关系，即可以用横坐标为 x，纵坐标
所以
rz (1)2( 3)22
设 argz,
则
tant 3 3
1
又因为 z1i 3 位于第II象限，
所以 argz 2 ,
于是
3
z 1i
3 2(cos2isin2)
i 2
2e 3
3
3
1.1.4. 复数的幂与根
1. 复数的乘幂
设 n为正整数，n个非零相同复数 z的乘积，
称为 的 z次幂n，记为 ，z即n
6
（1）z0z, 0z0 （2） z1z, z11
z
（3）若 z1z2 0，则 z 1 与 z 2 至少有一个为零， 反之亦然.
共轭复数的运算性质：
（1） z z
（2） z1z2 z1z2
（3） z1z2 z1z2
Argz
并规定按逆时针方向取值为正，顺时针方
向取值为负.
4.复数的三角表示式
称 zr(coissin )
为复数 z的三角表示式.
5.复数的指数表示式
称 z rei为复数 z的指数表示式.
例3 求 Arg2(2i)和 Arg3 (4i). 解
A 2 r2 i) g a (2 r 2 g i) 2 (k
25
25
zz(16 8i)1 ( 6 8i)64 25252525 125
1.1.3 复数的各种表示、模与辐角
1.复数的几何表示
由复数 zxiy的定义可知，复数是由一对 有序实数 (x, y) 惟一确定的，于是可建立全 体复数和 x O y 平面上的全部点之间的一一
对应关系，即可以用横坐标为 x，纵坐标
所以
rz (1)2( 3)22
设 argz,
则
tant 3 3
1
又因为 z1i 3 位于第II象限，
所以 argz 2 ,
于是
3
z 1i
3 2(cos2isin2)
i 2
2e 3
3
3
1.1.4. 复数的幂与根
1. 复数的乘幂
设 n为正整数，n个非零相同复数 z的乘积，
称为 的 z次幂n，记为 ，z即n
6
复变函数与积分变换讲义详细.
2 2
0
x
2 2
z z r x y ----复数z的模 z与x轴正向的夹角弧度 ----复数z的辐角(argument)
记作Arg z= . 任何一个复数z0有无穷多个辐角,将满足
x
p <0p 的0 称为Arg z的主值, 记作0=arg z .则 Arg z=0+2kp =arg z +2kp (k为任意整数)
z r (cos i sin )
利用欧拉公式 e i = cos + i sin 得指数表示式:
z re
i
(r z , Arg z )
例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式.
1) z 12 2i; 2) z sin
[解] 1)
i cos . 5 5 r | z | 12 4 4. z在第三象限, 因此
得知线段
z1 z2
的中点为
例3 求下列方程所表示的曲线:
z1 z2 z 2
1) 2) 3)
| z i | 2; | z 2i || z 2 |; Im(i z ) 4.
[解]：1)
| z i | 2
y x i
设 z = x + i y , 方程变为
| x ( y 1)i | 2 x ( y 1) 2,
1 2 1 2 1 2 2 1 1 2
z xx yy x y xy i ( z 0) z x x x x
1 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2
复数运算满足交换律,结合律和分配律:
z1+z2=z2+z1 ; z1z2=z2z1 ; z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3 z1(z2z3)=(z1z2)z3 ; z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
0
x
2 2
z z r x y ----复数z的模 z与x轴正向的夹角弧度 ----复数z的辐角(argument)
记作Arg z= . 任何一个复数z0有无穷多个辐角,将满足
x
p <0p 的0 称为Arg z的主值, 记作0=arg z .则 Arg z=0+2kp =arg z +2kp (k为任意整数)
z r (cos i sin )
利用欧拉公式 e i = cos + i sin 得指数表示式:
z re
i
(r z , Arg z )
例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式.
1) z 12 2i; 2) z sin
[解] 1)
i cos . 5 5 r | z | 12 4 4. z在第三象限, 因此
得知线段
z1 z2
的中点为
例3 求下列方程所表示的曲线:
z1 z2 z 2
1) 2) 3)
| z i | 2; | z 2i || z 2 |; Im(i z ) 4.
[解]：1)
| z i | 2
y x i
设 z = x + i y , 方程变为
| x ( y 1)i | 2 x ( y 1) 2,
1 2 1 2 1 2 2 1 1 2
z xx yy x y xy i ( z 0) z x x x x
1 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2
复数运算满足交换律,结合律和分配律:
z1+z2=z2+z1 ; z1z2=z2z1 ; z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3 z1(z2z3)=(z1z2)z3 ; z1(z2+z3)=z1z2+z1z3