矩阵2-3,4
高代期末考试试卷
高代期末考试试卷一、选择题（每题4分，共40分）1. 以下哪个矩阵是可逆的？A. [1 2; 3 4]B. [1 0; 0 0]C. [2 0; 0 2]D. [1 1; 1 1]2. 矩阵A的特征值是λ1和λ2，那么矩阵A^2的特征值是？A. λ1^2, λ2^2B. 2λ1, 2λ2C. λ1, λ2D. λ1+λ2, λ2+λ13. 线性方程组有非零解的条件是？A. 系数矩阵的行列式不等于0B. 系数矩阵的行列式等于0C. 增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩D. 增广矩阵的秩不等于系数矩阵的秩4. 以下哪个向量组是线性无关的？A. [1, 0], [0, 1]B. [1, 1], [1, 2]C. [1, 2], [2, 4]D. [1, 2, 3], [4, 5, 6]5. 矩阵A的秩是3，那么矩阵A的零空间的维数是？A. 0B. 1C. 2D. 36. 以下哪个矩阵是对称矩阵？A. [1 2; 3 4]B. [1 3; 3 1]C. [2 1; 1 2]D. [1 0; 0 1]7. 以下哪个矩阵是正交矩阵？A. [1 0; 0 1]B. [1/√2 1/√2; -1/√2 1/√2]C. [1 1; 1 1]D. [1 2; 3 4]8. 以下哪个矩阵是幂等矩阵？A. [1 0; 0 1]B. [1 1; 1 1]C. [0 1; 1 0]D. [1 2; 3 4]9. 以下哪个矩阵是投影矩阵？A. [1 0; 0 0]B. [1 1; 1 1]C. [1 0; 0 1]D. [0 1; 1 0]10. 以下哪个矩阵是单位矩阵？A. [1 0; 0 1]B. [1 1; 1 1]C. [0 1; 1 0]D. [1 2; 3 4]二、填空题（每题4分，共20分）1. 矩阵的迹是其对角线元素的______。
2. 矩阵的转置是将矩阵的行和列进行______。
3. 矩阵的行列式可以通过______展开来计算。
线性代数 第二章第三节
18
推论2：对于任意的m× n 矩阵 A 存在m 阶可逆 ， Er 0 方阵 P 及 n 阶可逆方阵 Q, 使得 PAQ = . 0 0 推论3：n 阶矩阵 A可逆的充要条件为A 等价 的
1
一、问题引出 引例 用消元法求解线性方程组
1 2 3
1↔ 2
−2 x1 + 3 x2 + x3 = −5 x1 − x2 − x3 = 7 x + 2 x = 10 2 3
−2 3 1 −5 1 −1 −1 7 0 1 2 10 1 −1 −1 7 −2 3 1 −5 0 1 2 10
16
解： = E (1, 3) P
Q = E (2, 3)均为初等矩阵
P左乘 A相当于 A的第1，行交换， P 20 左乘 A相当于 3 把 A的第1，行交换 20次，其结果仍为 A； 3 Q右乘 A相当于 A的第 2， 3列交换， Q 21左乘 A相当于 把 A的第 2， 3列交换 21次，其结果为 A的2，3列交换位置。
1 0 0 E （2,3） 0 0 1 = 0 1 0
11
2)、初等倍乘矩阵E ( i ( k ) )
矩阵 E ( i ( k )). 1 E ( i ( k )) = 1 0 如： E3 = 0 1 0 0
13
2、初等矩阵的性质 、 1）初等矩阵的转置仍为初等矩阵 初等矩阵都是可逆矩阵， 2）初等矩阵都是可逆矩阵，并且其逆矩阵仍为 同类型的初等矩阵。 同类型的初等矩阵。
E (i , j ) = − 1
§1二阶与三阶行列式
性质
总结词
二阶行列式具有交换律、结合律、代数余子式等性质。
详细描述
二阶行列式满足交换律，即|A|=|AT|，其中AT是矩阵A的转置矩阵。结合律表现为|AB|=|A|*|B|，其中A、B为可 乘矩阵。代数余子式是去掉一个二阶行列式中的一个元素后得到的二阶行列式，其值等于原行列式除以被去掉元 素所在的行和列的乘积。
等于零、代数余子式的乘积等于零等。
应用
03
代数余子式在计算高阶行列式的值、求解线性方程组等领域有
广泛的应用。
转置行列式
定义
转置行列式是将n阶行列式的行和列互换后得到的新 行列式。
性质
转置行列式的值等于原行列式的值，即|A|=|AT|。
应用
转置行列式在求解线性方程组、判断矩阵是否可逆等 领域有广泛的应用。
性质
线性性质
三阶行列式满足线性性质，即|ka b c| = k|a b c|，其中k是标量。
交换律
|a b c| = |c b a|。
结合律
(|a b c| + |d e f|) = |a b c| + |d e f||a d|。
分配律
|a+b c d| = |a b c| + |b c d||a b c|。
矩阵的转置
行列式可以用于计算矩阵的转置，通过计算转置矩阵的行列式，可以得到原矩阵 的行列式。
05
CATALOGUE
二阶与三阶行列式的扩展
高阶行列式
定义
高阶行列式是n阶方阵的展开式，其一般形式为D=∑(-1)^t * M(t1,t2,...,tn) * A(t1,t2,...,tn)，其中t为对角线上的元素下标的排列顺序，M为排列数，A为n阶行列式中 元素的下标构成的排列。
4_3正交矩阵
4_3正交矩阵正交矩阵在数学、物理、工程等领域中都有着广泛的应用。
本文将介绍正交矩阵的定义、性质、求法以及应用。
一、正交矩阵的定义正交矩阵是一个方阵，其每一列（或每一行）都是一个单位向量，且每两列（或每两行）之间的内积为0。
即，对于一个n阶正交矩阵A，有下列性质：1. A的每一列都是一个模长为1的向量，即：$||a_i||=1$。
2. A的每一列都与其他列垂直，即：$a_i^Ta_j=0(i\neq j)$。
3. A的行列式值为1或-1，即：$det(A)=\pm 1$。
可以利用到正交矩阵的性质，如：正交矩阵是可逆的，它的逆矩阵为它的转置矩阵，即：$A^{-1}=A^T$。
正交矩阵有如下性质：1. 矩阵乘积保持正交性：如果A和B是两个正交矩阵，则它们的乘积AB也是正交矩阵。
证明：$$ (AB)^T(AB)=B^TA^TAB=B^TB=I $$2. 单位矩阵是正交矩阵：$$ I^TI=II=I $$3. 线性组合的向量的内积等于系数的内积：设$a_1,a_2,...,a_k$为正交矩阵A的k个列向量，则$A^TA=I$，且有：$$ (c_1a_1+c_2a_2+...+c_ka_k)^T(c_1a_1+c_2a_2+...+c_ka_k)=c_1^2+c_2^2+...+c_k^2 $$4. 正交矩阵的行列式的绝对值为1：$$ |det(A)|=1 $$1. 基于正交向量的构造法：设$a_1,a_2,...,a_n$为n个互相正交的向量，则构造出矩阵$A=[a_1,a_2,...,a_n]$为正交矩阵。
通常取向量的模长为1，即：$||a_i||=1$。
例如：古典的“施密特正交化”过程即对一组线性无关的向量进行正交化的方法，使它们构成一组正交基。
2. Householder变换：在n维欧氏空间中，若$\alpha,\beta$表示向量，$\alpha$与$\beta$不共线，则以向量$\beta-\alpha$为轴做一次反射变换，把$\alpha$变换为$-\alpha$，同时把$\beta$映射到$\beta'$。
人教版高中数学选修 4-2矩阵变换 第三章 第一节 逆变换与逆矩阵
导入新课除了我们已学过的一些矩阵的性质之外还有其他性质么?知识回顾矩阵乘法的运算性质结合律(ab)c=a(bc)交换律ab=ba消去律设a≠0,若ab=a,则b=c;若ba=ca,则b=c.类比实数的乘法运算中有一条重要的运算性质：.aa a a ,a 1=1•=•10则如果 ≠把恒等变换I 和单位矩阵E 作为数1的类比对象知识与能力掌握逆矩阵的概念和简单性质过程与方法●通过线性变换理解逆矩阵的性质情感态度与价值观●培养学生提出问题,解决问题的能力重点：●逆矩阵的概念与简单性质.●逆矩阵的概念;●用线性变换的角度理解逆矩阵的简单性质.难点：探究1对于一个线性变换ρ,是否存在一个线性变换σ,使得σ·ρ=ρ·σ= I ?对于一个二阶矩阵A,是否存在一个二阶矩阵B,使得AB=BA=E?Oyx30°R －30°R 30°αα′例1 旋转变换R 30°：.y x y ,y x x 23+21=′2123=′－R －30°：.y x y ,y x x 23+21=′21+23=′－对于直角坐标系xOy 内的任意一个向量α由图可得：α′ αα有：（R 30°· R －30°）= R 30°（R －30°）= α α α同理可得：R －30°· R 30°=I∴R 30°· R －30°= I23212123－23212123－对于二阶矩阵,存在二阶矩阵,使得23212123－23212123－23212123－23212123－==E 2思考一般的旋转变换Rψ,也有相似的结论么?探究2对于切变变换、伸缩变换、反射变换等线性变换,能否找到一个线性变换,使得它们的复合变换是恒等变换I?同学们:我会了哦!你们会了么?类比书本看看答对了么?定义设ρ是一个线性变换,若存在线性变换σ,使得σρ=ρσ= I,则称变换ρ可逆,并称σ是ρ的逆矩阵.用矩阵的语言表述:设A是一个二阶矩阵,若存在二阶矩阵B,使得AB=BA=E2,则称矩阵A可逆,或A是可逆矩阵,并称B是A的逆矩阵.设A是一个二阶可逆矩阵,对于对应的线性变换为ρ,由矩阵和变换的对应关系,得到A的逆矩阵就是ρ逆变换对应的矩阵.思考是否每一个二阶矩阵都可逆?若能,请说明理由;若不能,请举例说明.答案:不是.如A =0012探究31.若一个线性变换是可逆的,则它的逆变换是唯一的么?2.若一个二阶矩阵是可逆的,则它的逆矩阵是唯一的么?以例1中的两个旋转变换为例反证法证明:假设不唯一,则存在变换R 30°的任意一个逆变换σ,使得σ R 30°= R 30°σ= I .∴对平面上任意一个向量有,α()()()()()().R I R R R R R R R I α=α=ασ•=ασ=ασ=ασ=ασ°30°30°30°30°30°30°30°30 －－－－－）（.=σ°30假设不成立－,R ∴∴逆变换是唯一的.性质1设A是一个二阶矩阵,若A是可逆的,则A的逆矩阵是唯一的.证明：设B,B2都是A的逆矩阵,则1B1A=AB1=E2,B2A=AB2=E2.∴B=E2B1=(B2A)B1=B2(AB1）1=B2E2=B2.即：B=B2.1探究4两个可逆变换的复合变换仍可逆么?yy ,x x 2=′=′伸缩变换ρ:yx y ,y x x 23+21=′2123=′－旋转变换R 30°:它们的逆矩阵分别为:y y ,x x 21=′=′：－ρ1yx y ,y x x 23+21=′21+23=′－R －30°:任意一个平面向量: = .αy x 先经ρ·R 30°的复合变换,再经R －30°·ρ－1,最终仍得到α如图:ρOyxαR °30－R °30ρ1－()()().RR R R .I R R I R R 1°301°3011°30°30°301°30°30°301ρ=ρ=ρ•,ρ•=ρ•ρ•=ρ••ρ－－－－－－－－－且可逆即：变换）（类似：；）（∴性质2设A , B是二阶矩阵,若A,B都可逆,则AB 也可逆,且(AB)－1=B－1A－1.证明：∵(AB)(B－1A－1)=A(BB－1)A－1=AE2A－1=AA－1=E2,(B－1A－1) (AB)= B－1( AA－1)B= B－1E2B= B－1B=E2,即:(AB)(B－1A－1)=(B－1A－1)(AB)=E2∴AB可逆,且(AB)－1 = B－1A－1.课堂小结1. A是一个二阶矩阵,若存在二阶矩阵B,使,则称矩阵A可逆.得AB=BA=E22.A是一个二阶矩阵,若A是可逆的,则A的逆矩阵是唯一的.3.A, B是二阶矩阵,若A,B都可逆,则AB也可逆,且(AB)－1=B－1A－1.教材习题答案：）伸缩变换（ρ11.：其逆变换为可逆σ,kyy ,x x =′=′yky ,x x 1=′=′：轴的反射变换）关于（ρ2x 可逆，yy ,x x －=′=′.y y ,x x －=′=′：其逆变换为ρ1201－1201）（12.其逆矩阵为可逆,10021021）（2其逆矩阵为可逆,1000）（3不可逆θθθθcos sin sin cos －θθθθcos sin sin cos －）（4其逆矩阵为可逆,()()..I I .I ,I ,.逆变换是唯一的则矩阵都是它的逆，是可逆的，设线性变换∴∴σ=σ•=σ•ρ•σ=σ•ρ•σ=•σ=σ=ρ•σ=σ•ρ=ρ•σ=σ•ρσσρ322212*********().A AA .E A A A A ,E A A A A ,A .=====41111111－－－－－－－可逆且即：则可逆设二阶矩阵∴()()()()()().A A A .E A A EA A A A A A A A ,E A A A AE A AAA A A .E A A A A ,A .211221111221111121211===========5－－－－－－－－－－－－－－也可逆且则可逆设二阶矩阵∴∴∴。
a的转置矩阵
a的转置矩阵A的转置矩阵是指将矩阵A的行列互换得到的新矩阵，通常用A^T表示。
在线性代数中，转置矩阵是一个非常重要的概念，它可以用于求解线性方程组、计算向量内积和矩阵乘法等问题。
一、什么是转置矩阵转置矩阵是指将一个m行n列的矩阵A的行和列对调得到的一个新矩阵B。
如果记A中第i行第j列元素为a_ij，则B中第j行第i列元素为a_ij。
即：B = A^T其中，B为A的转置矩阵。
二、如何求解转置矩阵对于一个m行n列的矩阵A，其转置矩阵B为n行m列的矩阵。
我们可以通过以下方法来求解转置矩阵：1. 直接法：直接将原始矩阵A中每个元素放到新生成的B中对应位置即可。
例如，对于一个3行2列的矩阵：1 23 45 6其转置矩阵为2行3列：1 3 52 4 62. 公式法：利用公式 B_ij = A_ji 求解。
例如，对于一个3行2列的矩阵：1 23 45 6其转置矩阵为2行3列，可以通过以下公式求解：B_11 = A_11, B_12 = A_21, B_13 = A_31B_21 = A_12, B_22 = A_22, B_23 = A_32三、转置矩阵的性质1. (A^T)^T = A即一个矩阵的转置矩阵再次进行转置，得到的结果仍为原始矩阵。
2. (A+B)^T = A^T + B^T即两个矩阵相加后再进行转置，等价于分别将它们进行转置后再相加。
3. (kA)^T = kA^T其中k为任意实数或复数。
4. (AB)^T = B^TA^T即两个矩阵相乘后再进行转置，等价于将它们分别进行转置后再按顺序相乘。
四、应用场景1. 求解线性方程组：利用转置矩阵可以简化线性方程组的求解过程。
对于一个n元一次方程组Ax=b，可以通过将其变形为x=A^-1b来求解。
而当A是一个正定对称矩阵时，可以通过求解A的转置矩阵来快速求解x。
2. 计算向量内积：对于两个n维列向量a和b，它们的内积可以表示为a^Tb。
因此，在计算向量内积时，通常会将其中一个向量进行转置，使其变为行向量。
4-3-2 实对称矩阵的对角化
一、实对称矩阵的相似对角化P88第三节 实对称矩阵的对角化v 实对称矩阵的对角化定理8 n阶实对称矩阵的特征值为实数，且必 有n个线性无关的特征向量.（实对称矩阵必能对角化）定理9 实对称矩阵不同的特征值所对应的特征 向量必相互正交. 证明 设AP ，AP 1 =l 1P 1 2 = l2 P 2 (l1 ¹ l2 )T T T ( AP 1 AP 2 =l 1P 1 P 2 1 ) = (l 1P 1) Þ P 1 A =l 1P 1 ÞP T TT 2 1 T 1 1 TTTÞ l P P2 = l P P2 Þ (l1 - l2 ) P1 P2 = 0T 1Þ P P2 = 0 Þ ( P1 , P2 ) = 0P88定理 设l 是实对称矩阵 A的k重特征值，则对应于 l恰有 k 个线性无关的特征向量 . 定理10设A为n阶实对称矩阵, 则必有正交矩阵Q , 使æ l1 ç ç Q -1 AQ = QT AQ = L = ç ç ç è 为A的 n 个特征值.利用正交矩阵将实对称矩阵对角化的具体步骤为： 1.求A的特征值;（P88）2. 求每个特征值对应的线性无关的特征向量； 3. 将特征向量正交化; 4. 将特征向量单位化； 5. 得出结论。
l2ö ÷ ÷ ÷, 其中 l1 , l2 , L , ln O ÷ ln ÷ ø例4 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵Q， -1 使Q AQ 为对角阵. æ 2 -2 0 ö æ 4 0 0ö ç ÷ ç ÷ (1) A = ç - 2 1 - 2 ÷ , ( 2) A = ç 0 3 1 ÷ ç 0 -2 0 ÷ ç 0 1 3÷ è ø è ø 解 (1)第一步 求 A 的特征值第二步 由(li E - A)x = 0, 求出A的特征向量 ì x1 = 2 x3 对 l1 = 4, 求解 (4 E - A) x = 0 ï\é2 2 0ù é1 0 - 2ù ú ê ú 4E - A = ê ê2 3 2ú ® ê0 1 2 ú ê ë0 2 4ú û ê ë0 0 0 ú ûí x 2 = -2 x 3 ïx = x3 î 3得 l1 = 4, l2 = 1, l3 = -2.l -2 2 0 lE - A = 2 l -1 2 = (l - 4)(l - 1)(l + 2)= 0 0 2 l对 l2 = 1, 求解 ( E - A) x = 0é- 1 2 0ù é1 0 ú ê E-A=ê ê 2 0 2ú ® ê0 1 ê ë 0 2 1ú û ê ë0 0ì x1 = - x 3 ï 1 ï \ í x2 = - x3 2 ï 1ù ï x3 é î x3 =é2ù ú \ p1 = ê ê -2 ú . ê1û ú ë1ú 2ú 0ú û-1 ù ê 1ú \ p2 = ê - ú . ê 2ú ê 1 ú ë û1对 l3 = -2, 求解 ( -2 E - A) x = 01ù é 0 ù ê1 0 - ú \ é2 2 2 ú ê ú - 2E - A = ê ê2 - 3 2 ú ® ê0 1 - 1 ú ê ë 0 2 - 2ú û ê0 0 0 ú ê ú ë ûê ú \ p3 = ê 1 ú . ê1ú ê ú 第三步 将特征向量正交化 ë û 由于p1 , p2 , p3是属于A的3个不同特征值l1 , l2 ,第四步 将特征向量单位化 p 令 pi 0 = i , i = 1, 2, 3. pi1 ì ï x1 = 2 x 3 ï í x 2 = x3 ïx = x 1 ù 3é ï 3 ê2ú î得æ1 3ö æ -2 3 ö æ 23ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ 0 0 p = ç -2 3 ÷ , p2 = ç -1 3 ÷ , p3 = ç 2 3 ÷ . ç 13 ÷ ç 2 3÷ ç 23÷ è ø è ø è ø0 1æ 2 -2 1 ö 1ç ÷ 作 Q = ( p10 , p2 0 , p30 ) = ç -2 -1 2 ÷ , 3ç 2 2÷ è 1 øl3的特征向量, 故它们必两两正交.则æ4 0 0 ö ç ÷ Q -1 AQ = ç 0 1 0 ÷ . ç 0 0 -2 ÷ è øæ 4 0 0ö ç ÷ (2) A = ç 0 3 1 ÷ ç 0 1 3÷ è ø l -4解： lE - A =对 l1 = 2, 求解 ( 2 E - A) x = 00 l -3 -120 00 -1l -3é- 2 0 0 ù é1 0 0ù ú ê ú 2E - A = ê ê 0 - 1 - 1ú ® ê0 1 1ú ê 0 - 1 - 1ú ê0 0 0û ú ë û ëì x1 = 0 ï \ í x2 = - x3 ïx = x 3 î 3= (l - 2)(l - 4) ,得特征值 l1 = 2, l2 = l3 = 4.é0ù ú \ p1 = ê ê -1ú . ê1û ú ë对 l2 = l3 = 4, 求解 ( 4 E - A) x = 0é0 0 0 ù é0 1 - 1ù ú ê ú 4E - A = ê ê0 1 - 1ú ® ê0 0 0 ú ê0 - 1 1 ú ê0 0 0 û ú ë û ëp2与p3恰好正交 ,所以 p1 , p2 , p3两两正交.再将 p1 , p2 , p3单位化, 令pi 0 =æ 0 ö æ 1ö ç ÷ ç ÷ 0 p = ç -1 2 ÷ , p2 = ç 0 ÷ , ç 0÷ ç ÷ è ø è1 2 ø0 1ì x1 = x1 ï \ í x2 = x3 ï î x3 = x3é1 ù é 0ù ú , p = ê1 ú . \ p2 = ê 0 ê ú 3 ê ú ê ê ë 0ú û ë1 ú ûpi pi0( i = 1, 2, 3) 得æ 0 ö ç ÷ p3 = ç 1 2 ÷ . ç ÷ è1 2 ø2于是得正交阵0 11 0 ö æ 0 ç ÷ Q = ( p , p2 , p3 ) = ç - 1 2 0 1 2 ÷ ç ÷ è 1 2 0 1 2ø0 0æ 2 0 0ö ç ÷ Q -1 AQ = ç 0 4 0 ÷ . ç 0 0 4÷ è ø3。
3-4矩阵的秩
α1
α2
αj
αn
高等代数
类似地 , 矩阵A = (a ij )m×n 又有m 个n维行向量
a 11 a 21 M A= a i1 M a m1
a a a
12 22
M
i2
M
a
m2
L 2n M L a in M L a mn L
个线性无关的行向量， 是r个线性无关的行向量， 则该向量组的延伸组 个线性无关的行向量
(a11 , a21 ,L , ar 1 , ar +1,1 ,L , a s1 ),L ,(a1r , a2 r ,L , arr , ar +1,r ,L , a sr )
也线性无关． 于是矩阵A的列秩 也线性无关． 于是矩阵 的列秩 r1 ≥ r ． 同理可证 r1 ≤ r. 所以 r1 = r ．
高等代数
a11 0 A= L 0
a12 ′ a22 L ′ an 2
L L L L
a1n ′ a2 n = a11 L ′ ann
′ a22 L ′ an 2
L L L
′ a2 n L a′ nn
ai 1 ′ 其中 (0, ai′2 ,L , ain ) = α i − α1 , i = 2,L , n a11
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n xn = 0 a21 x1 + a22 x2 + L + a2 n xn = 0 LLLLLLLLLL = 0 a x + a x +L + a x = 0 r2 2 rn n r1 1
逆矩阵的求法3-4
a1
A1
1
an
例5：设An满足A2 A 2E O，求证A可逆并求A1.
A2 A 2E A(A E) 2E
AAE E 2
A1 A E 2
练 已知 n 阶方阵 A 满足 2A(A E) A3，求 (E A)1. 习
解 由 2A(A E) A3，得
A3 2A2 2A 0,
逆阵的求法
方法一： 用A求。 A1 1 A A
方法二：初等变换法。
A可逆 A1可逆, A1 P1P2Ps
P1P2Ps A P1P2Ps E
E
A
1
( AE) 行变换 (E A1)
方法三：用定义求。 定义：对n阶方阵A，若有n阶矩阵B，使
AB=BA=E， 则称B为A的逆矩阵，称A为可逆的。
证 因为
(E BA〔) E B(E AB)1 A〕
E BA (E BA)B(E AB)1 A E BA (B BAB)(E AB)1 A E BA B(E AB)(E AB)1 A
E BA BA E
故
(E BA)1 E B(E AB)1 A.
逆阵的求法 方法一： 用A求。 A1 1 A
(E A)1 E A A2 Ak1 (E A)(E A A2 Ak1)
(E A A2 Ak1) ( A A2 Ak1 Ak )
E Ak E
练 设 A，B 为 n 阶方阵，且 E AB 与 E BA 均可逆， 习 证明 (E BA)1 E B(E AB)1 A.
所以
(A3 E) (2A2 2A) E,
从而有
即
(E A)(A2 A E) E.
(E A)1 A2 A E.
方法四：用定义证明B为A的逆。 这类问题是指：对给定的n阶方阵A和B，要
大学线性代数课件矩阵第三章 矩 阵4
k1
k2
A
A11 A21
A12 A22
Ar1 Ar 2
ks
A1s A2 s
m1 m2 ,
Ars
mr
n1
n2
B11
B12
B B21 B22
Br1 Br 2
np
B1s
B2s
k1 k2
A
A21
A22
Ar 1
Ar 2
则
AT
A1T1 A1T2
A2T1 A2T2
ArT1 ArT2
.
A1Ts
A2Ts
ArTs
A1s
A2 s
,
Ars
如矩阵
1 0 2 1 1
A
0 1
1 4
4 3
5 5
2 6
A11 A21
A12 A22
A13
A23
其中 则
1 0
2 1
1
A11
A11
1 5
;
A2
3 2
1 1
,
A21
1 2
31;
0 1 1
A1
O A11
A21 O
0
1
2
3
5 0 0
§5 矩阵的秩
一、矩阵的秩
定义定12义一:一、矩、矩阵矩阵A阵的的的秩k阶秩子式
设 A 是 mn 的矩阵，任取 A 的 k 个行和 k 个列 (1≤k≤min{m, n})，位于这些行列交叉点处的 kk 个元 素，按照原来的顺序组成一个 k 阶方阵，该方阵对应 的行列式称为矩阵 A 的 k阶子式.