离散数学图的矩阵表示
离散图论知识点总结
离散图论知识点总结一、基本概念图（Graph）是离散数学中的一个重要概念，它由顶点集合V和边集合E组成。
一般用G （V，E）来表示，其中V={v1,v2,…,vn}是有限非空集合，E是V中元素的无序对的集合。
图分为有向图和无向图。
无向图中的边是无序的，有向图中的边是有序的。
图中存在一些特殊的图，比如完全图、树、路径、回路等。
二、图的表示方法1. 邻接矩阵邻接矩阵是一种常见的图的表示方法，它使用一个二维数组来表示图的关系。
对于一个n 个顶点的图，邻接矩阵是一个n*n的矩阵A，其中A[i][j]表示顶点i到顶点j之间是否存在边。
对于无向图，A[i][j]=1表示顶点i与顶点j之间存在边，A[i][j]=0表示不存在。
对于有向图，A[i][j]=1表示i指向j的边存在，A[i][j]=0表示不存在。
2. 邻接表邻接表是另一种常见的图的表示方法。
它将图的信息储存在一个数组中，数组的每个元素与图的一个顶点相对应。
对于每个顶点vi，数组中储存与该顶点邻接的顶点的信息。
邻接表可以用链表或者数组来表示，链表表示的邻接表比较灵活，但是在查找某个边的相邻顶点时需要遍历整个链表。
三、图的性质1. 度图中每个顶点的度是与其相邻的边的数目。
对于无向图，顶点的度等于与其相邻的边的数目；对于有向图，则分为入度和出度。
2. 连通性对于无向图G，若图中任意两个顶点都有路径相连，则称图G是连通的。
对于有向图G，若从任意一个顶点vi到任意一个顶点vj都存在路径，则称G是强连通的。
3. 路径和回路路径是指图中一系列的边，连接图中的两个顶点；回路是指起点与终点相同的路径。
路径的长度是指路径中边的数目。
4. 树和森林一个无向图，如果是连通图且不存在回路，则称为树。
一个无向图，若它不是连通图，则称为森林。
四、图的常见算法1. 深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是一种用于图的遍历的算法，它从图的某个顶点vi出发，访问它的所有邻接顶点，再对其中未访问的顶点继续深度优先搜索。
离散数学图论(图、树)常考考点知识点总结
离散数学图论（图、树）常考考点知识点总结图的定义和表示1.图：一个图是一个序偶＜V , E ＞，记为G =< V ，E >，其中：① V ={V1,V2,V3,…, Vn}是有限非空集合，Vi 称为结点，V 称为节点集② E 是有限集合，称为边集，E中的每个元素都有V中的结点对与之对应，称之为边③与边对应的结点对既可以是无序的，也可以是有序的表示方法集合表示法，邻接矩阵法2.邻接矩阵：零图的邻接矩阵全零图中不与任何结点相邻接的结点称为孤立结点，两个端点相同的边称为环或者自回路3.零图：仅有孤立节点组成的图4.平凡图：仅含一个节点的零图无向图和有向图5.无向图：每条边都是无向边的图有向图：每条边都是有向边的图6.多重图：含有平行边的图(无向图中，两结点之间包括结点自身之间的几条边；有向图中同方向的边)7.线图：非多重图8.重数：平行边的条数9..简单图：无环的线图10.子图，真子图，导出子图，生成子图，补图子图：边和结点都是原图的子集，则称该图为原图的子图真子图（该图为原图的子图，但是不跟原图相等）11.生成子图：顶点集跟原图相等，边集是原图的子集12.导出子图：顶点集是原图的子集，边集是由顶点集在原图中构成的所有边构成的图完全图（任何两个节点之间都有边）13.完全图：完全图的邻接矩阵主对角线的元素全为0，其余元素都是114.补图：完全图简单图15.自补图：G与G的补图同构，则称自补图16.正则图：无向图G=<V,E>,如果每个顶点的度数都是k，则图G称作k-正则图17.结点的度数利用邻接矩阵求度数：18.握手定理：图中结点度数的总和等于边数的两倍推论：度数为奇数的结点个数为偶数有向图中，所有结点的入度=出度=边数19.图的度数序列：出度序列+入度序列20.图的同构：通俗来说就是两个图的顶点和边之间有双射关系，并且每条边对应的重数相同（也就是可任意挪动结点的位置，其他皆不变）21.图的连通性及判定条件可达性：对节点vi 和vj 之间存在通路，则称vi 和vj 之间是可达的22.无向图的连通性：图中每两个顶点之间都是互相可达的23..强连通图：有向图G 的任意两个顶点之间是相互可达的判定条件：G 中存在一条经过所有节点至少一次的回路24.单向连通图：有向图G 中任意两个顶点之间至少有一个节点到另一个节点之间是可达的判定条件：有向图G 中存在一条路经过所有节点25.弱连通图：有向图除去方向后的无向图是连通的判定条件：有向图邻接矩阵与转置矩阵的并是全一的矩阵26.点割：设无向图G=<V,E>为联通图，对任意的顶点w  V,若删除w及与w相关联的所有边后，无向图不再联通，则w称为割点；27.点割集：设无向图G=<V,E>为连通图，若存在点集 ，当删除 中所有顶点及与V1顶点相关联的所有边后，图G不再是联通的；而删除了V1的任何真子集 及与V2中顶点先关的所有边后，所得的子图仍是连通图，则称V1是G的一个点割集设无向图G=<V,E>为连通图，任意边e  E,若删除e后无向图不再联通，则称e 为割边，也成为桥28.边割集：欧拉图，哈密顿图，偶图（二分图），平面图29.欧拉通路（回路）：图G 是连通图，并且存在一条经过所有边一次且仅一次的通路（回路）称为拉通路（回路）30.欧拉图：存在欧拉通路和回路的图31.半欧拉图：有通路但没有欧拉回路32.欧拉通路判定：图G 是连通的，并且有且仅有零个或者两个奇度数的节点欧拉回路判定：图G 是连通的，并且所有节点的度数均为偶数有向欧拉图判定：图G 是连通的，并且所有节点的出度等于入度33.哈顿密图：图G 中存在一条回路，经过所有点一次且仅一次34..偶图：图G 中的顶点集被分成两部分子集V1,V2，其中V1nV2= o ,V1UV2= V ，并且图G 中任意一条边的两个端点都是一个在V1中，一个在V2中35.平面图：如果把无向图G 中的点和边画在平面上，不存在任何两条边有不在端点处的交叉点，则称图G 是平面图，否则是非平面图36.图的分类树无向树和有向树无向树：连通而不含回路的无向图称为无向树生成树：图G 的某个生成子图是树有向树：一个有向图，略去所有有向边的方向所得到的无向图是一棵树最小生成树最小生成树：设G -< V . E 是连通赋权图，T 是G 的一个生成树，T 的每个树枝所赋权值之和称为T 的权，记为W ( T . G 中具有最小权的生成树称为G 的最小生成树最优树（哈夫曼树）设有一棵二元树，若对所有的树叶赋以权值w1,w2… wn ，则称之为赋权二元树，若权为wi 的叶的层数为L ( wi )，则称W ( T )= EWixL ( wi ）为该赋权二元树的权，W ）最小的二元树称为最优树。
《离散数学》复习提纲(2018)
《离散数学》期末复习大纲一、数理逻辑[复习知识点]1、命题与联结词（否定￢、析取∨、合取∧、蕴涵→、等价?），复合命题2、命题公式与赋值（成真、成假），真值表，公式类型（重言、矛盾、可满足），公式的基本等值式3、范式：析取范式、合取范式，极大（小）项，主析取范式、主合取范式4、公式类型的判别方法（真值表法、等值演算法、主析取/合取范式法）5、命题逻辑的推理理论6、谓词、量词、个体词（一阶逻辑3要素）、个体域、变元（约束出现与自由出现）7、命题符号化、谓词公式赋值与解释，谓词公式的类型（永真、永假、可满足）8、谓词公式的等值式（代换实例、消去量词、量词否定和量词辖域收与扩、量词分配）和置换规则（置换规则、换名规则）9、一阶逻辑前束范式（定义、求法）本章重点内容：命题与联结词、公式与解释、（主）析取范式与（主）合取范式、公式类型的判定、命题逻辑的推理、谓词与量词、命题符号化、谓词公式赋值与解释、求前束范式。
[复习要求]1、理解命题的概念；了解命题联结词的概念；理解用联结词产生复合命题的方法。
2、理解公式与赋值的概念；掌握求给定公式真值表的方法，用基本等值式化简其它公式，公式在解释下的真值。
3、了解析取（合取）范式的概念；理解极大（小）项的概念和主析取（合取）范式的概念；掌握用基本等值式或真值表将公式化为主析取（合取）范式的方法。
4、掌握利用真值表、等值演算法和主析取/合取范式的唯一性判别公式类型和公式等价方法。
5、掌握命题逻辑的推理理论。
6、理解谓词、量词、个体词、个体域、变元的概念；理解用谓词、量词、逻辑联结词描述一个简单命题；掌握命题的符号化。
7、理解公式与解释的概念；掌握在有限个体域下消去公式量词，求公式在给定解释下真值的方法；了解谓词公式的类型。
8、掌握求一阶逻辑前束范式的方法。
二、集合[复习知识点]1、集合、元素、集合的表示方法、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集2、集合的交、并、差、补以及对称差等运算及有穷集的计数（文氏（Venn）图、包含排斥原理）3、集合恒等式（幂等律、交换律、结合律、分配律、吸收律、矛盾律、德摩根律等）及应用本章重点内容：集合的概念、集合的运算性质、集合恒等式的证明。
离散数学部分概念和公式总结
离散数学部分概念和公式总结命题：称能判断真假的陈述句为命题。
命题公式：若在复合命题中，p、q、r等不仅可以代表命题常项，还可以代表命题变项，这样的复合命题形式称为命题公式。
命题的赋值：设A为一命题公式，p ,p ,…,p 为出现在A中的所有命题变项。
给p ,p ,…,p 指定一组真值，称为对A的一个赋值或解释。
若指定的一组值使A的值为真，则称成真赋值。
真值表：含n（n≥1）个命题变项的命题公式，共有2^n组赋值。
将命题公式A在所有赋值下的取值情况列成表，称为A的真值表。
命题公式的类型：（1）若A在它的各种赋值下均取值为真，则称A为重言式或永真式。
（2）若A在它的赋值下取值均为假，则称A为矛盾式或永假式。
（3）若A至少存在一组赋值是成真赋值，则A是可满足式。
主析取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合取式全是极小项，则称该析取范式为A的主析取范式。
主合取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合析式全是极大项，则称该析取范式为A的主析取范式。
命题的等值式：设A、B为两命题公式，若等价式A?B是重言式，则称A与B 是等值的，记作A<=>B。
约束变元和自由变元：在合式公式xA和 xA中，称x为指导变项，称A为相应量词的辖域，x称为约束变元，x的出现称为约束出现，A中其他出现称为自由出现（自由变元）。
一阶逻辑等值式：设A，B是一阶逻辑中任意的两公式，若A?B为逻辑有效式，则称A与B是等值的，记作A<=>B，称A<=>B为等值式。
前束范式：设A为一谓词公式，若A具有如下形式Q1x1Q2x2Qk…xkB，称A为前束范式。
集合的基本运算：并、交、差、相对补和对称差运算。
笛卡尔积：设A和B为集合，用A中元素为第一元素，用B中元素为第二元素构成有序对组成的集合称为A和B的笛卡尔积，记为A×B。
二元关系：如果一个集合R为空集或者它的元素都是有序对，则称集合R是一个二元关系。
离散数学-图的矩阵表示
分析：从 到 长度为2的路，中间必须经过 如果图G 中有路 存在，则肯定有 ，反之如果 图G中不存在路 ，那么 或者 ，即 于是从结点 到 的长度为2的路的数目就 等于：
按照矩阵的乘法规则，上式恰好等于矩阵 的元素，即 表示从 到 ； 的长度为2的路的数目
中第i行，第j列
考虑从vi到v j的长度为3的路的数目，可以看作是由vi到vk的长度为1的路，再 联结vk 到v j的长度为2的路，则类似可知从vi到v j的长度为3的路的数目为： a
( 3) ij ( 2) aik akj ，即为( A(G )) 3的第i行，第j列元素。 k 1 n
行相加运算： 有向图：对应分量普通加法运算； 无向图：对应分量模2加法运算。 行相加相当于G中对应结点的合并。 air a jr 1 ，说明v 和v 中只有一个结点是边e 的端点，合并 i j r 后仍是er的端点。
air a jr 0 ，有两种情况：
a、vi，vj都不是er的端点； b、vi，vj都是er的端点，合并后删去自回路。 若合并后完全关联矩阵中出现元素全为0的列，表明对应的 边消失。 有了这种运算，就可以运用这种运算求关联矩阵的秩
1 0 1 0
0 1 0 0
0 1 ，求G的可达性矩阵。 1 0
Байду номын сангаас
0 2 A2 1 0
0 1 1 1
1 0 1 0
1 1 1 0
2 1 A3 2 0
4 5 7 2 2 4 4 1
1 2 2 0
3 6 7 2
0 1 1 1
由前面的定理7-2.1的推论可知，如果在vi到vj之间存在路，必定存在 一条长度不超过n的通路，所以l只需计算到n就可以了。
离散数学图论矩阵应用实例分析
离散数学图论矩阵应用实例分析离散数学图论是数学的一个重要分支，它研究的是非连续的结构，其中一个重要的应用领域就是矩阵应用。
本文将对离散数学图论中的矩阵应用进行实例分析，以帮助读者更好地理解和应用相关概念。
一、社交网络中的矩阵应用社交网络是当今社会中非常流行的交流平台，它允许人们在线上建立和维护社交关系。
将社交网络中的用户和关系抽象成图模型，可以用矩阵进行描述和分析。
例如，可以使用邻接矩阵来表示用户之间的关注关系，其中矩阵的行和列代表用户，矩阵的元素代表用户之间的关系强弱。
通过对这个矩阵进行分析，可以了解用户之间的社交网络结构，发现用户群体之间的关联性，进行用户推荐等。
二、交通网络中的矩阵应用交通网络是城市中不可或缺的一部分，它关系到人们的出行和交通组织。
在离散数学图论中，可以使用邻接矩阵来表示交通网络中的道路连接状况。
矩阵的行和列代表交通网络中的节点，通常是城市中的道路，矩阵的元素代表节点之间的连接关系，比如道路的长度或者通行能力。
通过对这个矩阵进行分析，可以计算最短路径、最小生成树等最优化问题，优化交通流动和道路规划。
三、电子电路中的矩阵应用电子电路是离散数学图论中的另一个应用领域，矩阵在描述电路连接和电流传递等方面起到关键作用。
在电路分析中，可以使用节点-支路关系矩阵（Node-Branch Matrix）和支路-节点关系矩阵（Branch-Node Matrix）来描述电路的连接和元件耦合关系。
这两个矩阵的运算可以得到电路的戴维南等效电阻以及电流传递等重要信息，从而分析电路的性能和特性。
四、信息检索中的矩阵应用信息检索是指从大规模的文本数据中提取相关信息的过程。
其中，矩阵常用于描述文本之间的关联和相似性。
例如，可以使用文档-词项矩阵（Document-Term Matrix）来表示文档集合中的词项出现情况。
矩阵的行代表文档，列代表词项，矩阵的元素代表词项在文档中的出现频率。
通过对这个矩阵进行分析，可以进行文本聚类、关键词提取、文档相似度计算等信息检索任务。
离散数学 图论-通路与回路
返回
结点数相同边数相同 结点的度相同 但是两个图 不同构 返回
（b),(c) 互为补图
自补图
返回
无向图G： V={v1，v2， v3 } E ={ (v1,v2), (v1,v2), (v2,v2), (v2,v2), (v3,v2), (v3,v2), (v1,v3), }
有向图D： V={v1，v2， v3 } E ={ <v1,v2>, <v2,v1>, <v2,v1>, <v2,v3>, <v3,v3>, <v3,v3>, }
(1）M(G)每列元素之和均为2，这正说明每条边关联两个顶点(环所关联的两个端 点重合)． ∑mij = 2 (j = 1，2，…，m) (2）M(G)第i行元素之和为结点vi的度数，i＝1，2，…n (3) 所有行的和（即矩阵所有元素之和）等于边数的2倍（该例10＝边数5的2倍 ）。 ∑d(vi)＝∑∑mij= ∑2 ＝ 2m，这个结果正是握手定理的内容（即各顶 点的度数之和等于边数的2倍） ． （4）第j列与第k列相同，当且仅当边ej与ek是平行边． (5) 某行i的和为0（即 ∑mij = 0）,当且仅当vi是孤立点． 2、有向图的关联矩阵 定义：设有向图D＝<V，E>中无环，V＝{v1，v2，…，vn}。 E＝{el，e2,…，em}， 令 1 vi为边ej的起点 mij = 0 vi为边ej不关联 －1 vi为边ej的终点 则称(mij)nxm，为D的关联矩阵，记作M(D）
离散数学
通路与回路
§14.2
1、通路
通路、回路
1）定义：给定有向图D中的任何一个边序列L，如果其中的任何一条边的终点， 都是继之出现的边(如果存在的话)的始点，则称这样的边的序列是图G的通 路。 若序列中首尾结点相同，则称L为回路。 2）定义：有向图D中，边序列中的各条边全都是互不相同的通路，称为简单通 路。（无重复边） 3）定义：有向图D中，序列中的每一个结点仅出现一次的通路，称为初级通路 若序列中首尾结点相同，则称通路为初级回路或圈。（无重复点） 4）定义：序列中边的条数称为它的长度
《离散数学》第6章 图的基本概念
E ' E )。
生成子图—— G ' G 且 V ' V 。
导出子图 ——非空 V ' V ，以 V ' 为顶点集， 以两端均在 V ' 中的边的全体为边集的 G 的 子图，称 V ' 的导出子图。 ——非空 E ' E ，以 E ' 为边集，以
E ' 中边关联的顶点的全体为顶点集的 G 的子
0 vi与ek 不关联 无向图关联的次数 1 vi与ek 关联1次 2 v 与e 关联2次(e 为环) i k k
1 vi为ek的始点 有向图关联的次数 0 vi与ek 不关联 1 v 为e 的终点 (无环) i k
点的相邻——两点间有边，称此两点相邻 相邻 边的相邻——两边有公共端点，称此两边相邻
孤立点——无边关联的点。 环——一条边关联的两个顶点重合，称此边 为环 (即两顶点重合的边)。 悬挂点——只有一条边与其关联的点，所
对应的边叫悬挂边。
(3) 平行边——关联于同一对顶点的若干条边 称为平行边。平行边的条数称为重数。 多重图——含有平行边的图。
简单图——不含平行边和环的图。
如例1的(1)中，
第六章 图的基本概念 第一节 无向图及有向图
内容：有向图，无向图的基本概念。
重点：1、有向图，无向图的定义， 2、图中顶点，边，关联与相邻，顶点 度数等基本概念，
3、各顶点度数与边数的关系
d (v ) 2m 及推论，
i 1 i
n
4、简单图，完全图，子图， 补图的概念， 5、图的同构的定义。
一、图的概念。 1、定义。 无序积 A & B (a, b) a A b B 无向图 G V , E E V & V ， E 中元素为无向边，简称边。 有向图 D V , E E V V ， E 中元素为有向边，简称边。
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A4=
23321
01011
11010
22221
V4
v3
问每条：从vv33到到0 v0v1由1长1长0度上度0为可为22看的的路出路有A，n几中中条间元？02肯素11定a01经ij的11过10意1个义中：间结点vk，
A该 即 逐(G路个v)23=,k表遍v示历k,1为0201每=11111：个。a0101iv结每j=31100点k有1000表，v一k 示并个进v从vA1k，(，行Gv)在i3就乘到= 邻对法v接j应运长100矩一算302度阵个，111为中110v获3n110,，k取的v就从k路,1是=v3有1：到；kvv31条,k全=。1部，长vk度,1=为1，2 的路的数目：v3,1v1,1+v3,2其v中21+a3v2=3,33表v示3,1v+3到v3,v42长v4度,1+为v33,的5路v5,有1=3条v。3,ivi,1
由于，邻接矩阵的定义与关系矩阵表示定义相同，所以，可达性
矩阵P即为关系矩阵的MR+，因此P矩阵可用Warshall算法计算。
13
❖可达性矩阵的求解方法
23221 35332 58553 12111 46442
Br的任一元素bij表示的是从vi到vj长度不超过r的路的数目；
若bij 0，
若bij=0，
ij时，表示vi到vj可达， i=j时，表示vi到vi有回路；
ij时，表示vi到vj不可达， i=j时，表示vi到vi无回路；
在许多实际问题中，我们关心的往往是vi和vj之间是否存在路的 问题，而对路的数目不感兴趣，为此，引出可达矩阵。
由7.2.1推论，若从vi到vj存在一条路，则必存在一条边数小于n 的通路，（或边数小于等于n的回路）。即：如果不存在一条小
于n的通路，vi与vj之间不存在路。所以，只需计算到An即可。
12
❖ 可达性矩阵的求解方法
因为可达矩阵是一个元素为1或0的布尔矩阵。而该计算方法： “即逐个求：A2， A3，… An ，再令Bn=A+A2+…+An ，最后 将Bn中不为零的元素改为1，而为零的元素不变，最终得到P。” 还是比较复杂。 对于Al而言，我们关心的只是两个结点间是否存在路，对于有多 少条路并不关心。 因此, 将求解A,A2,…,An , 改为求解布尔矩阵A(1), A(2), …, A(n)， 其中A(i)是在布尔运算意义下A的i次方，故P= A(1)A(2)…A(n) 。
1、2行对调 + 1、2列对调
A(G2)=
0011 1000 1101 0100
邻接矩阵与结点的标定次序有关，若一矩阵由另外一个交换行、列 得到，则说明两图同构；两个图互为置换等价。 图中，G与G2是置换等价
8
❖ 邻接矩阵
v1
v2
01000
21110
00100
13111
v5
A(G)=
01011 10000
矩阵的行和列有固定的次序，因此在用矩阵表示图时，
先要将图的结点进行排序。默认为书写集合V时的结点的
顺序。
6
❖ 邻接矩阵
v1 v2
v3
v5 A(G)=
v4
0 1 1 1 1 v1
10100
11010
10101 10010
v2
v4
A(G)=
v3
邻接矩阵的一些性质：
对于无向图来说，第 i 行1的个数为vi的度数；
21110
13111
A4=
23321
01011
22221
长度为4的路的总数为
35条，其中有10条回 路。
长度为3的路的总数为
21条，其中有3条回路。
10
❖ 邻接矩阵
01000 00100
上例中 A= 0 1 0 1 1 B=A+A2+A3+A4 =
10000 11010
一般令Br=A+A2+…+Ar(r<=n)
aij(l) 为G中长度为 l 的
路的总数。
i 1 j 1
v1 V4
A(G)2=
v2
v5
v3
00100 01011 21110 01000 11100
A(G)=
01000 00100 01011 10000 11010
A(G)3=
01011 21110 13111 00100 02111
长度为2的路的总数为13条，其中有2条回路。
离散数学
❖ 图论
1 图的基本概念 2 路与回路 3 图的矩阵表示 4 欧拉图与汉密尔顿图 5 平面图 6 对偶图与着色 7 树与生成树
❖ 图的矩阵表示
从前面的讨论可知，一个图可以用数学定义来描述， 也可以用图形来表示。
3
❖ 图的矩阵表示
4
❖ 图的矩阵表示
另外矩阵是研究图的性质的最有效的工具之一。 用矩阵表示图，便于用代数知识来研究图的性质， 同时也便于用计算机处理。
1、邻接矩阵 2、可达性矩阵 3、完全关联矩阵
5
❖ 邻接矩阵
定义：设G=<V,E>是一个简单图，V={v1,v2,…,vn}，则 n阶方阵A(G)=(aij)n*n称为图G的邻接矩阵，其中
1
aij= 0
若vi与vj邻接（vi到vj有边） 若vi与vj不邻接或i=j
注意：对于有向图aij=1当且仅当有vi为起点，vj为终点的边。
11
❖ 可达性矩阵
定义：设G=<V,E>是简单有向图，其中V={v1,v2,…,vn}，则矩阵
P=(Pij)n*n，Pij=
1 0
从vi到vj至少有一条路 从vi到vj不存在路
称为图G的可达性矩阵（路径矩阵）。
根据邻接矩阵的性质，我们可以利用邻接矩阵得到可达性矩阵。
即令Bn=A+A2+…+An ，再将Bn中不为零的元素改为1，而为零 的元素不变，最终得到P。 bij =1表示vi到vj有一条长度小于 等于n的路。
而，该值就是A(G)2中3行1列的数值
其中a31=2表示v3到v1长度为2的路有2条。
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定❖理邻：G接=<矩V, E阵>。设A(G)是图G的邻接矩阵，则A(G)l中的i行j列元
素aij(l)的数值等于G中联结vi与vj的长度为 l 的路的数目；元素aii(l)为 nn
结点vi到自身的长度为 l 的回路的数目；
对于有向图来说，第 i 行1的个数为vi的出度；
第 i 列1的个数为vi的入度；
无向图的邻接矩阵是对称的，而有向图不一定；
如果邻接矩阵所有元素为0，则对应的图是零图；
0100 0011 1101 1000
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❖ 邻接矩阵
v1
v4
G
v2
v1与v2调换
v3 v2
G2
v1
A(G)=
v4 v3
0100 0011 1101 1000