离散数学(73图的矩阵表示)资料
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第六章-图的矩阵表示
e4 e2
v2 e3 v3
v5
v4
v1 M (G) v2
v3 v4 v5
e1 e2
1 1
1
0
0 1
0
0
0 0
e3 e4
0 1
1
0
1 0
0
1
0 0
实例1
例1 求下图的完全关联矩阵。
e1 e2 e3 e4 e5 e6 v1 1 1 0 0 1 1 v2 1 1 1 0 0 0 v3 0 0 1 1 0 1 v4 0 0 0 1 1 0 v5 0 0 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 0
0
0
1
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4
0 0 0 0 0 1 1
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1
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() ()
1 1 0 0 0 0 0
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6
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(4) (5)
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→
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1 1
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0
0
v2 e2
v3
e1
e5
e3
e2 e5
7-3 图的矩阵表示
图的矩阵表示
中国海洋大学 计算机系
主要内容
邻接矩阵 有向图的可达矩阵 无向图的关联矩阵 有向图的关联矩阵 图的运算 学习要点与基本要求 实例分析
邻接矩阵
定义7-3.1 设G=<V,E>是一个简单图，它有 个结点 是一个简单图， 定义 是一个简单图 它有n个结点 V={v1, v2, …, vn}, 则n阶方阵 阶方阵A(G)=(aij)称为 的邻 称为G的邻 阶方阵 称为 接矩阵。其中 接矩阵。
1 从v i 到v j 至少存在一条路 pij = 0 从v i 到v j不存在路
称矩阵P是图 的可达性矩阵。 称矩阵 是图G的可达性矩阵。 是图
关于可达矩阵的说明
可达性矩阵描述任意两结点是否可达， 可达性矩阵描述任意两结点是否可达，以及对于任 意结点是否有通过它的回路。 意结点是否有通过它的回路。 由邻接矩阵A可直接得到可达性矩阵 ，方法如下： 由邻接矩阵 可直接得到可达性矩阵P，方法如下： 可直接得到可达性矩阵 方法1： 方法 ： Bn=A+A2+…An， 再把B 中的非零元均改为1， 再把 n中的非零元均改为 ，零元保持不 变，得到可达性矩阵P。 得到可达性矩阵 。 方法2： 中的非零元改为1， 方法 ：把Ai(i=1,2, …,n)中的非零元改为 ，零元保 中的非零元改为 持不变，得到布尔矩阵 持不变，得到布尔矩阵A(i)(i=1,2, …,n)， ， P= A(1) ∨ A(2) ∨… ∨ A(n)
0 1 0 0 0 2 0 0 0 2 0 1 0 0 + 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 7 3 0 0 6 7 0 0 7 3 0 0 0 0 2 3 0 0 3 2
2 0 0 0 2 0 2 0 0 0 2 0 0 0 + 2 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
中国海洋大学 计算机系
主要内容
邻接矩阵 有向图的可达矩阵 无向图的关联矩阵 有向图的关联矩阵 图的运算 学习要点与基本要求 实例分析
邻接矩阵
定义7-3.1 设G=<V,E>是一个简单图，它有 个结点 是一个简单图， 定义 是一个简单图 它有n个结点 V={v1, v2, …, vn}, 则n阶方阵 阶方阵A(G)=(aij)称为 的邻 称为G的邻 阶方阵 称为 接矩阵。其中 接矩阵。
1 从v i 到v j 至少存在一条路 pij = 0 从v i 到v j不存在路
称矩阵P是图 的可达性矩阵。 称矩阵 是图G的可达性矩阵。 是图
关于可达矩阵的说明
可达性矩阵描述任意两结点是否可达， 可达性矩阵描述任意两结点是否可达，以及对于任 意结点是否有通过它的回路。 意结点是否有通过它的回路。 由邻接矩阵A可直接得到可达性矩阵 ，方法如下： 由邻接矩阵 可直接得到可达性矩阵P，方法如下： 可直接得到可达性矩阵 方法1： 方法 ： Bn=A+A2+…An， 再把B 中的非零元均改为1， 再把 n中的非零元均改为 ，零元保持不 变，得到可达性矩阵P。 得到可达性矩阵 。 方法2： 中的非零元改为1， 方法 ：把Ai(i=1,2, …,n)中的非零元改为 ，零元保 中的非零元改为 持不变，得到布尔矩阵 持不变，得到布尔矩阵A(i)(i=1,2, …,n)， ， P= A(1) ∨ A(2) ∨… ∨ A(n)
0 1 0 0 0 2 0 0 0 2 0 1 0 0 + 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 7 3 0 0 6 7 0 0 7 3 0 0 0 0 2 3 0 0 3 2
2 0 0 0 2 0 2 0 0 0 2 0 0 0 + 2 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
武汉大学《离散数学》课件-第5章
(1) 若i(1il), vi1, vi是ei的端点(对于有向图, 要求vi1是始点,
vi是终点), 则称为通路, v0是通路的起点, vl是通路的终点, l为通路的长度. 又若v0=vl，则称为回路.
(2) 若通路(回路)中所有顶点(对于回路, 除v0=vl)各异，则称为 初级通路(初级回路).初级通路又称作路径, 初级回路又称 作圈.
32
通路与回路(续)
定理 在n阶图G中，若从顶点u到v（uv）存在通 路，则从u到v存在长度小于等于n1的通路. 推论 在n阶图G中，若从顶点u到v（uv）存在通 路，则从u到v存在长度小于等于n1的初级通路.
定理 在一个n阶图G中，若存在v到自身的回路，则 一定存在v到自身长度小于等于n的回路. 推论 在一个n阶图G中，若存在v到自身的简单回 路，则存在v到自身长度小于等于n的初级回路.
D
D[{e1,e3}]
D[{v1,v2}]
26
补图
定义 设G=<V,E>为n阶无向简单图，以V为顶点集, 所有使G成为完全图Kn的添加边组成的集合为边集 的图，称为G的补图，记作 G . 若G G , 则称G是自补图.
例 对K4的所有非同构子图, 指出互为补图的每一对 子图, 并指出哪些是自补图.
图论
1
图论部分
第5章 图的基本概念 第6章 特殊的图 第7章 树
2
第5章 图的基本概念
5.1 无向图及有向图 5.2 通路, 回路和图的连通性 5.3 图的矩阵表示 5.4 最短路径, 关键路径和着色
3
5.1 无向图及有向图
▪ 无向图与有向图 ▪ 顶点的度数 ▪ 握手定理 ▪ 简单图 ▪ 完全图 ▪ 子图 ▪ 补图
27
5.2 通路、回路、图的连通性
vi是终点), 则称为通路, v0是通路的起点, vl是通路的终点, l为通路的长度. 又若v0=vl，则称为回路.
(2) 若通路(回路)中所有顶点(对于回路, 除v0=vl)各异，则称为 初级通路(初级回路).初级通路又称作路径, 初级回路又称 作圈.
32
通路与回路(续)
定理 在n阶图G中，若从顶点u到v（uv）存在通 路，则从u到v存在长度小于等于n1的通路. 推论 在n阶图G中，若从顶点u到v（uv）存在通 路，则从u到v存在长度小于等于n1的初级通路.
定理 在一个n阶图G中，若存在v到自身的回路，则 一定存在v到自身长度小于等于n的回路. 推论 在一个n阶图G中，若存在v到自身的简单回 路，则存在v到自身长度小于等于n的初级回路.
D
D[{e1,e3}]
D[{v1,v2}]
26
补图
定义 设G=<V,E>为n阶无向简单图，以V为顶点集, 所有使G成为完全图Kn的添加边组成的集合为边集 的图，称为G的补图，记作 G . 若G G , 则称G是自补图.
例 对K4的所有非同构子图, 指出互为补图的每一对 子图, 并指出哪些是自补图.
图论
1
图论部分
第5章 图的基本概念 第6章 特殊的图 第7章 树
2
第5章 图的基本概念
5.1 无向图及有向图 5.2 通路, 回路和图的连通性 5.3 图的矩阵表示 5.4 最短路径, 关键路径和着色
3
5.1 无向图及有向图
▪ 无向图与有向图 ▪ 顶点的度数 ▪ 握手定理 ▪ 简单图 ▪ 完全图 ▪ 子图 ▪ 补图
27
5.2 通路、回路、图的连通性
离散数学-图的矩阵表示
设有向图G的结点集合 ，它的邻接矩阵 为 ，现在我们想计算从结点 到 结点 的 长度为2的路的数目
分析：从 到 长度为2的路，中间必须经过 如果图G 中有路 存在，则肯定有 ，反之如果 图G中不存在路 ，那么 或者 ，即 于是从结点 到 的长度为2的路的数目就 等于：
按照矩阵的乘法规则，上式恰好等于矩阵 的元素，即 表示从 到 ； 的长度为2的路的数目
中第i行，第j列
考虑从vi到v j的长度为3的路的数目，可以看作是由vi到vk的长度为1的路，再 联结vk 到v j的长度为2的路，则类似可知从vi到v j的长度为3的路的数目为： a
( 3) ij ( 2) aik akj ，即为( A(G )) 3的第i行，第j列元素。 k 1 n
行相加运算： 有向图：对应分量普通加法运算； 无向图：对应分量模2加法运算。 行相加相当于G中对应结点的合并。 air a jr 1 ，说明v 和v 中只有一个结点是边e 的端点，合并 i j r 后仍是er的端点。
air a jr 0 ，有两种情况：
a、vi，vj都不是er的端点； b、vi，vj都是er的端点，合并后删去自回路。 若合并后完全关联矩阵中出现元素全为0的列，表明对应的 边消失。 有了这种运算，就可以运用这种运算求关联矩阵的秩
1 0 1 0
0 1 0 0
0 1 ，求G的可达性矩阵。 1 0
Байду номын сангаас
0 2 A2 1 0
0 1 1 1
1 0 1 0
1 1 1 0
2 1 A3 2 0
4 5 7 2 2 4 4 1
1 2 2 0
3 6 7 2
0 1 1 1
由前面的定理7-2.1的推论可知，如果在vi到vj之间存在路，必定存在 一条长度不超过n的通路，所以l只需计算到n就可以了。
分析：从 到 长度为2的路，中间必须经过 如果图G 中有路 存在，则肯定有 ，反之如果 图G中不存在路 ，那么 或者 ，即 于是从结点 到 的长度为2的路的数目就 等于：
按照矩阵的乘法规则，上式恰好等于矩阵 的元素，即 表示从 到 ； 的长度为2的路的数目
中第i行，第j列
考虑从vi到v j的长度为3的路的数目，可以看作是由vi到vk的长度为1的路，再 联结vk 到v j的长度为2的路，则类似可知从vi到v j的长度为3的路的数目为： a
( 3) ij ( 2) aik akj ，即为( A(G )) 3的第i行，第j列元素。 k 1 n
行相加运算： 有向图：对应分量普通加法运算； 无向图：对应分量模2加法运算。 行相加相当于G中对应结点的合并。 air a jr 1 ，说明v 和v 中只有一个结点是边e 的端点，合并 i j r 后仍是er的端点。
air a jr 0 ，有两种情况：
a、vi，vj都不是er的端点； b、vi，vj都是er的端点，合并后删去自回路。 若合并后完全关联矩阵中出现元素全为0的列，表明对应的 边消失。 有了这种运算，就可以运用这种运算求关联矩阵的秩
1 0 1 0
0 1 0 0
0 1 ，求G的可达性矩阵。 1 0
Байду номын сангаас
0 2 A2 1 0
0 1 1 1
1 0 1 0
1 1 1 0
2 1 A3 2 0
4 5 7 2 2 4 4 1
1 2 2 0
3 6 7 2
0 1 1 1
由前面的定理7-2.1的推论可知，如果在vi到vj之间存在路，必定存在 一条长度不超过n的通路，所以l只需计算到n就可以了。
离散数学的基础知识点总结
离散数学的基础知识点总结离散数学是研究离散结构和离散对象的数学分支。
它以集合论、图论和逻辑等为基础，涉及了许多重要的基础知识点。
下面是对离散数学的基础知识点进行的总结。
1. 集合论（Set theory）：集合论是离散数学的基础，涉及了集合的概念、运算和恒等关系，以及集合的分类、子集、幂集和笛卡尔积等基本概念和性质。
2. 逻辑（Logic）：逻辑是离散数学的重要组成部分，涉及了命题逻辑和谓词逻辑的基本概念和推理规则，包括命题的真值表、谓词的量化、逻辑等价和逻辑蕴含等概念。
3. 函数（Functions）：函数是离散数学中的核心概念之一，涉及了函数的定义、域和值域、函数的性质、特殊的函数（如恒等函数、常值函数、单射函数和满射函数等）以及函数的复合和逆函数等。
4. 关系（Relations）：关系是离散数学中的另一个核心概念，涉及了关系的定义、关系的特性（如自反性、对称性、传递性和等价关系等）、关系的闭包和自反闭包、关系的图示表示和矩阵表示、等价关系和偏序关系等。
5. 图论（Graph theory）：图论是离散数学的重要分支，涉及了图的基本概念（如顶点、边、路径和圈等）、图的表示方法（如邻接矩阵和邻接表等）、图的遍历算法（如深度优先和广度优先等）、图的连通性和可达性、最小生成树和最短路径等基础知识。
7. 代数结构（Algebraic structures）：代数结构是离散数学的一个重要方向，涉及了群、环、域和格等基本代数结构的定义、性质和分类，以及同态映射和同构等概念。
8. 数论（Number theory）：数论是离散数学的一个重要分支，涉及了自然数的性质和结构，包括质数和素数、最大公因数和最小公倍数、同余和模运算、欧几里得算法和扩展欧几里得算法、费马小定理和欧拉函数等。
9. 排序和选择（Sorting and selection）：排序和选择是离散数学中的一类重要问题，涉及了各种排序算法（如冒泡排序、插入排序、快速排序和归并排序等）和选择算法（如选择排序和堆排序等），以及它们的复杂度分析和应用。
离散数学_第7章 图论 -3-4图的矩阵表示、欧拉图与汉密尔顿图
2 0 2 0 0 0 4 0 0 0
0 1 A(G ) 1 0
0 0 1 1
1 0 0 0
1 0 1 0
第9章 图论
考察A(G)和A′(G)发现，先将A(G)的第一行与第二行对 调，再将第一列与第二列对调可得到A′(G)。称A′(G)与A(G) 是置换等价的。 一般地说，把n阶方阵A的某些行对调，再把相应的列 做同样的对调，得到一个新的n阶方阵A′，则称A′与A是置 换等价的。可以证明置换等价是n阶布尔方阵集合上的等价 关系。 虽然，对于同一个图，由于结点的标定次序不同，而 得到不同的邻接矩阵，但是这些邻接矩阵是置换等价的。 今后略去结点标定次序的任意性，取任意一个邻接矩阵表 示该图。 ④对有向简单图来说，其邻接矩阵A(G)的第i行1的个 数是vi的出度， 第j列1的个数是vj的入度。 ⑤零图的邻接矩阵的元素全为零，叫做零矩阵。反过 来，如果一个图的邻接矩阵是零矩阵，则此图一定是零图。
vi 到v j 有边 1 aij 其中： 0 vi 到v j 无边或i j
i , j=1,…,n 例如，右边无向简 单图的邻接矩阵为： 0 1 A(G ) 0 1
a11 a 即：A(G) = 21 an1
a12 a22 an 2
0 0 1 1
1 0 0 0
1 0 1 0
第9章 图论
简单图的邻接矩阵具有以下性质：
①简单图的邻接矩阵中元素全是0或1。这样的矩阵叫布 尔矩阵。简单图的邻接矩阵是布尔矩阵。 ②无向简单图的邻接矩阵是对称阵，有向简单图的邻接 矩ห้องสมุดไป่ตู้不一定是对称阵。 ③简单图邻接矩阵与结点在图中标定次序有关。例如上 页图 (a)的邻接矩阵是A(G)，若将图 (a)中的接点v1和v2的标 定次序调换，得到图 (b)，图 (b)的邻接矩阵是A′(G)。
离散数学第九章 图的基本概念及其矩阵表示
证明：设 V1 {v v 为奇点} ， V2 {v v 为偶点} ，则 d (v) d (v) d (v) 2m 因为
奇数，因此
vV1
d (v) 是偶数，所以 d (v) 也是偶数，
V1 为偶数。
vV2
而 V1 中每个点 v 的度 d (v) 均为
vV1
vV2
图9.11 1至3阶完全有向图
显然，完全无向图的任意两个不同结点都邻接，完全有向图的任意两个不同结点之间都有 一对方向相反的有向边相连接。
9.1 图的基本概念
定理9.3 n个节点的无向完全图 证明：因为在无向完全图
k n 的边数为 Cn2 。
k n 中，任意两个节点之间都有边相连，所以 n
2 2 个节点中任取两个点的组合数为 Cn ，故无向完全图 的边数为 Cn 。
如果在
k n 中，对每条边任意确定一个方向，就称该图为 n 个节点的
2 有向完全图。显然，有向完全图的边数也是 Cn 。
主要内容
PART 01
PART 02
图的基本概念 子图和图的运算 路径、回路和连通性
图的矩阵表示
PART 03
PART 04
9.2 子图和图的运算
子图和补图
定义9.10 设 G V , E , 和 G ' V '（1）如果 V ' V , E ' E , ' ，则称 G ' 是 G 的子图，记作 G ' G， 并称 G 是 G ' 的母图。 （2）如果 V ' V , E ' E , ' ，则称 G ' 是 G 的真子图，记作
9.1 图的基本概念
奇数，因此
vV1
d (v) 是偶数，所以 d (v) 也是偶数，
V1 为偶数。
vV2
而 V1 中每个点 v 的度 d (v) 均为
vV1
vV2
图9.11 1至3阶完全有向图
显然，完全无向图的任意两个不同结点都邻接，完全有向图的任意两个不同结点之间都有 一对方向相反的有向边相连接。
9.1 图的基本概念
定理9.3 n个节点的无向完全图 证明：因为在无向完全图
k n 的边数为 Cn2 。
k n 中，任意两个节点之间都有边相连，所以 n
2 2 个节点中任取两个点的组合数为 Cn ，故无向完全图 的边数为 Cn 。
如果在
k n 中，对每条边任意确定一个方向，就称该图为 n 个节点的
2 有向完全图。显然，有向完全图的边数也是 Cn 。
主要内容
PART 01
PART 02
图的基本概念 子图和图的运算 路径、回路和连通性
图的矩阵表示
PART 03
PART 04
9.2 子图和图的运算
子图和补图
定义9.10 设 G V , E , 和 G ' V '（1）如果 V ' V , E ' E , ' ，则称 G ' 是 G 的子图，记作 G ' G， 并称 G 是 G ' 的母图。 （2）如果 V ' V , E ' E , ' ，则称 G ' 是 G 的真子图，记作
9.1 图的基本概念
《离散数学》课件-第七章 图的基本概念
• 〔u，v〕∈E1〔f(u)，f(v)〕∈E2 • (或<u，v>∈E1 <f(u)，f(v)>∈E2) • 且重数相同，则称G1同构于G2，记为
• G1 G2。
• 显然，两图的同构是相互的，即G1同构 于G2，G2同构于G1。
• 由同构的定义可知，不仅结点之间要具 有一一对应关系，而且要求这种对应关 系保持结点间的邻接关系。对于有向图 的同构还要求保持边的方向。
V={a,b,c,d},E={e1,e2,e3,e4,e5,e6}
e1=(a,b), e2=(a,c), e3=(b,d), e4=(b,c), e5=(d,c), e6=(a,d).
它的图形如下图(a)或(b)所示:
a
a
b
d
b
d
c
c
(a)
(b)
如果有些边是有向边，另一些边是无向边， 图G称为混合图。
第七章 图的基本概念
– 7.1 无向图及有向图 – 7.2 通路、回路、图的连通性 – 7.3 图的矩阵表示 – 7.4 最短路径及关健路径
7.1 无向图和有向图
• 什么是图?可用一句话概括，即：图是用 点和线来刻划离散事物集合中的每对事 物间以某种方式相联系的数学模型。
Konigsberg(哥尼斯堡)七桥问题
为偶数.
定理7.2 在任何有向图中,所有结点的入度之 和必等于它们的出度之和.
证明:因为有向图中的每一条有向边都恰好对应 一个出度和一个入度.故所有结点的出度之 和恰好等于有向边的总数.同样地, 所有结 点的入度之和恰好也等于有向边的总数.因 此它们相等.
设V={v1,…,vn}为G的顶点集，则称{d(v1),…d(vn)} 为G的度数序列。
• 如果G2无孤立结点，且由E2所唯一确定，即 以E2为边集，以E2中边关联的结点全体为顶 点集，则称G2是边集E2的导出子图。
• G1 G2。
• 显然，两图的同构是相互的，即G1同构 于G2，G2同构于G1。
• 由同构的定义可知，不仅结点之间要具 有一一对应关系，而且要求这种对应关 系保持结点间的邻接关系。对于有向图 的同构还要求保持边的方向。
V={a,b,c,d},E={e1,e2,e3,e4,e5,e6}
e1=(a,b), e2=(a,c), e3=(b,d), e4=(b,c), e5=(d,c), e6=(a,d).
它的图形如下图(a)或(b)所示:
a
a
b
d
b
d
c
c
(a)
(b)
如果有些边是有向边，另一些边是无向边， 图G称为混合图。
第七章 图的基本概念
– 7.1 无向图及有向图 – 7.2 通路、回路、图的连通性 – 7.3 图的矩阵表示 – 7.4 最短路径及关健路径
7.1 无向图和有向图
• 什么是图?可用一句话概括，即：图是用 点和线来刻划离散事物集合中的每对事 物间以某种方式相联系的数学模型。
Konigsberg(哥尼斯堡)七桥问题
为偶数.
定理7.2 在任何有向图中,所有结点的入度之 和必等于它们的出度之和.
证明:因为有向图中的每一条有向边都恰好对应 一个出度和一个入度.故所有结点的出度之 和恰好等于有向边的总数.同样地, 所有结 点的入度之和恰好也等于有向边的总数.因 此它们相等.
设V={v1,…,vn}为G的顶点集，则称{d(v1),…d(vn)} 为G的度数序列。
• 如果G2无孤立结点，且由E2所唯一确定，即 以E2为边集，以E2中边关联的结点全体为顶 点集，则称G2是边集E2的导出子图。
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•
1) 令Bn＝A＋A2＋…＋An,
•
2) 将矩阵Ｂn中不为零的元
素均改为１， 为零的元素不变，
所得的矩阵P就是可达性矩阵。
•
当n很大时， 这种求可达性
矩阵的方法就很复杂。 下面再介绍
一种更简便的求可达性矩阵的方法。
•
因可达性矩阵是一个元素仅
为１或０的矩阵（称为布尔矩阵），
而在研究可达性问题时， 我们对于
•
定理 7.3.1 设G是具有n个结点｛v1,
v2, …,vn｝ 的图， 其邻接矩阵为A， 则Ak
（k＝1， 2， …）的（i， j）项元素a(k)ij是
从vi到vj的长度等于k的路的总数。
•
证明: 施归纳于k。
•
当k＝1时， A1＝A， 由A的定义，
定理显然成立。
•
若k＝l时定n 理成立，
•
所以 则当ai(jlk1)＝ lr＋1 a1i(r时l)ar，j A l+1＝Al ·A，
1 1
1 1
0 0
1 1 1 0
1 1 1 0
• 定理 7.3.2 有向图G是强连通的当 且仅当其可达性矩阵P除主对角线外， 其它元素均为１。
如图7.3.1所示的图G， 其邻接矩阵A为
如图7.3.1所示的图G， 其邻 接矩阵A为
0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 A 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0
图7.3.1 图G
显然无向图的邻接矩阵必是对称的。
下面的定理说明， 在邻接矩阵A的幂A2， A3， …等矩阵中， 每个元素有特定的含义。
阵的布尔加∨和布尔乘∧。
图 7.3.3
• 【例7.3.2】求出图7.3.3所示图的 可达性矩阵。
• 解: 该图0的1邻接0 矩0阵为
A 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0
0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 A(2) 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0
两个结点间具有路的数目并不感兴
趣， 所关心的只是两结点间是否有
路存在。 因此， 我们可将矩阵A， A2,…, An, 分 别 改 为 布 尔 矩 阵 A(1) ，
A(2)， …， A(n)。
• 由此有 • A(2)＝A(1)∧A(1)＝A∧A • A(3)＝A(2)∧A(1) • ……
• A(n)＝A(n-1)∧A(1) • P＝A(1)∨A(2)∨…∨A(n) • 相应的矩阵加法和乘法称为矩
7.3 图的矩阵表示(Matrix
Notation of Graph)
• 7.3.1邻接矩阵 (Adjacency Matrices) • 7 . 3 . 2 可 达 性 矩 阵 (Reachability
Matrices )
7.3.1邻接矩阵 (Adjacency
Matrices)
•
上面我们介绍了图的一种表示
•
根 据 邻 接 矩 阵 定 义 arj 是 联 结
vr和vj的长度为1的路数目,a(l)ir是联结
vi和vr的r,再由
vr 经过1条边到vj的总长度为l+1的路
的数目 。对所有r求和,即得a(l+1)ij是
所有从vi到vj的长度等于l+1的路的总
• 定义 7.3.2 设G＝〈V ,E〉是一个有n
个结点的有向图， 则n阶方阵Ｐ＝（pij）
称为图G的可达性矩阵。 其中
1 (vi到vj可达) pij 0 (否则)
根据可达性矩阵， 可知图中任意两个结点之间是否 至少存在一条路以及是否存在回路。
由7.2节定理7.2.1 可知， 利用有向图的 邻接矩阵A， 分以下两步可得到可达性矩阵。
数,故命题对l+1成立。
•
•
由定理7.3.1可得出以下结论：
•
1) 如果对l＝1， 2， …， n-1，
Al的（i， j）项元素（i≠j）都为零， 那么
vi和vj之间无任何路相连接， 即vi和vj不 连通。 因此， vi和vj必属于G的不同的连 通分支。
•
2) 结点vi 到vj （i≠j）间的距离d
•
2) 由A2的主对角线上元素知，
每个结点都有长度为２的回路， 其中
结点v2有两条： v2v1v2和v2v3v2， 其 余结点只有一条。
•
3) 由于A3的主对角线上元素
全为零， 所以G中没有长度为３的回
•
4) 由于 a(1) 34
a(2) 34
a(3) 34
a(4) 34
0,
所以结点v3和v4间无路， 它们属于 不同的连通分支。
•
5) d（v1， v3）＝２。
• 对其他元素读者自己可以找出它
的意义。
7.3.2可达性矩阵 (Reachability
Matrices )
• 下面用矩阵来研究有向图的可达性。
•
与无向图一样， 有向图也能用
相应的邻接矩阵 A＝（aij）表示， 其中
1 aij 0
vi , v j E 否则
但注意这里A不一定是对称的。
方法， 即用图形表示图。 它的优点是
形象直观， 但是这种表示在结点与边
的数目很多时是不方便的。 下面我们
提供另一种用矩阵表示图的方法。 利
用这种方法， 我们能把图用矩阵存储
在计算机中， 利用矩阵的运算还可以
了解到它的一些有关性质。
•
定义 7.3.1 设G＝〈V ,E〉是有n个
结点的简单图， 则n阶方阵Ａ＝（aij）称 为G的邻a接ij 矩10阵(否。i,则j其) 中E
1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0
1 1 0 0 A(3) 0 1 1 0
1 1 1 0 1 1 1 0
0 1 1 0 A(4) 1 1 1 0
1 1 1 0 1 1 1 0
故
1 P A(1) A(2) A(3) A(4) 1
• 解:
0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 A 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0
图 7.3.2
•
1) 由A中a(1)12＝1知， v1和
v2是邻接的； 由A3中a(3)12＝2知， v1
到v2长度为3的路有两条， 从图中可
看出是v1v2v1v2和v1v2v3v2。
（vi， vj）是使Al（l＝1， 2， …， n-1 ）
的（i， j）项元素不为零的最小整数l。
•
3) Al的（i， i）项元素a(l)ii表示开
始并结束于vi长度为l的回路的数目。
• 【例7.3.1】图G＝〈V ,E〉的图形如 图7.3.2， 求邻接矩阵A和A2， A3， A4，
并分析其元素的图论意义。