离散数学图矩阵表示
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离散数学-图的矩阵表示
设有向图G的结点集合 ，它的邻接矩阵 为 ，现在我们想计算从结点 到 结点 的 长度为2的路的数目
分析：从 到 长度为2的路，中间必须经过 如果图G 中有路 存在，则肯定有 ，反之如果 图G中不存在路 ，那么 或者 ，即 于是从结点 到 的长度为2的路的数目就 等于：
按照矩阵的乘法规则，上式恰好等于矩阵 的元素，即 表示从 到 ； 的长度为2的路的数目
中第i行，第j列
考虑从vi到v j的长度为3的路的数目，可以看作是由vi到vk的长度为1的路，再 联结vk 到v j的长度为2的路，则类似可知从vi到v j的长度为3的路的数目为： a
( 3) ij ( 2) aik akj ，即为( A(G )) 3的第i行，第j列元素。 k 1 n
行相加运算： 有向图：对应分量普通加法运算； 无向图：对应分量模2加法运算。 行相加相当于G中对应结点的合并。 air a jr 1 ，说明v 和v 中只有一个结点是边e 的端点，合并 i j r 后仍是er的端点。
air a jr 0 ，有两种情况：
a、vi，vj都不是er的端点； b、vi，vj都是er的端点，合并后删去自回路。 若合并后完全关联矩阵中出现元素全为0的列，表明对应的 边消失。 有了这种运算，就可以运用这种运算求关联矩阵的秩
1 0 1 0
0 1 0 0
0 1 ，求G的可达性矩阵。 1 0
Байду номын сангаас
0 2 A2 1 0
0 1 1 1
1 0 1 0
1 1 1 0
2 1 A3 2 0
4 5 7 2 2 4 4 1
1 2 2 0
3 6 7 2
0 1 1 1
由前面的定理7-2.1的推论可知，如果在vi到vj之间存在路，必定存在 一条长度不超过n的通路，所以l只需计算到n就可以了。
分析：从 到 长度为2的路，中间必须经过 如果图G 中有路 存在，则肯定有 ，反之如果 图G中不存在路 ，那么 或者 ，即 于是从结点 到 的长度为2的路的数目就 等于：
按照矩阵的乘法规则，上式恰好等于矩阵 的元素，即 表示从 到 ； 的长度为2的路的数目
中第i行，第j列
考虑从vi到v j的长度为3的路的数目，可以看作是由vi到vk的长度为1的路，再 联结vk 到v j的长度为2的路，则类似可知从vi到v j的长度为3的路的数目为： a
( 3) ij ( 2) aik akj ，即为( A(G )) 3的第i行，第j列元素。 k 1 n
行相加运算： 有向图：对应分量普通加法运算； 无向图：对应分量模2加法运算。 行相加相当于G中对应结点的合并。 air a jr 1 ，说明v 和v 中只有一个结点是边e 的端点，合并 i j r 后仍是er的端点。
air a jr 0 ，有两种情况：
a、vi，vj都不是er的端点； b、vi，vj都是er的端点，合并后删去自回路。 若合并后完全关联矩阵中出现元素全为0的列，表明对应的 边消失。 有了这种运算，就可以运用这种运算求关联矩阵的秩
1 0 1 0
0 1 0 0
0 1 ，求G的可达性矩阵。 1 0
Байду номын сангаас
0 2 A2 1 0
0 1 1 1
1 0 1 0
1 1 1 0
2 1 A3 2 0
4 5 7 2 2 4 4 1
1 2 2 0
3 6 7 2
0 1 1 1
由前面的定理7-2.1的推论可知，如果在vi到vj之间存在路，必定存在 一条长度不超过n的通路，所以l只需计算到n就可以了。
离散数学图的矩阵表示
A4=
23321
01011
11010
22221
V4
v3
问每条：从vv33到到0 v0v1由1长1长0度上度0为可为22看的的路出路有A，n几中中条间元？02肯素11定a01经ij的11过10意1个义中：间结点vk，
A该 即 逐(G路个v)23=,k表遍v示历k,1为0201每=11111：个。a0101iv结每j=31100点k有1000表，v一k 示并个进v从vA1k，(，行Gv)在i3就乘到= 邻对法v接j应运长100矩一算302度阵个，111为中110v获3n110,，k取的v就从k路,1是=v3有1：到；kvv31条,k全=。1部，长vk度,1=为1，2 的路的数目：v3,1v1,1+v3,2其v中21+a3v2=3,33表v示3,1v+3到v3,v42长v4度,1+为v33,的5路v5,有1=3条v。3,ivi,1
由于，邻接矩阵的定义与关系矩阵表示定义相同，所以，可达性
矩阵P即为关系矩阵的MR+，因此P矩阵可用Warshall算法计算。
13
❖可达性矩阵的求解方法
23221 35332 58553 12111 46442
Br的任一元素bij表示的是从vi到vj长度不超过r的路的数目；
若bij 0，
若bij=0，
ij时，表示vi到vj可达， i=j时，表示vi到vi有回路；
ij时，表示vi到vj不可达， i=j时，表示vi到vi无回路；
在许多实际问题中，我们关心的往往是vi和vj之间是否存在路的 问题，而对路的数目不感兴趣，为此，引出可达矩阵。
由7.2.1推论，若从vi到vj存在一条路，则必存在一条边数小于n 的通路，（或边数小于等于n的回路）。即：如果不存在一条小
离散数学第七章图论习题课
利用奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，所以， 在G中结点度数为奇数的结点，在其补图中的度 数也应为奇数，故G和其补图的奇数结点个数也 是相同的。
P286 1、在无向图G中，从结点u到结点v有一条长度为 偶数的通路，从结点u到结点v又有一条长度为奇 数的通路，则在G中必有一条长度为奇数的回路。
证明 ：
2、运用 (1) 判断有向图或无向图中通路(回路)的类型。 (2) 求短程线和距离。 (3) 判断有向图连通的类型。
三、图的矩阵表示
1、基本概念。 无向图的邻接矩阵A 根据邻接矩阵判断:各结点的度, 有向图结点 出,入度。 由Ak可以求一个结点到另一个结点长度为k 的路条数. 有向图的可达矩阵P 用P可以判定:各结点的度. 有向图的强分图。 关联矩阵M:是结点与边的关联关系矩阵. 用M判定:各结点的度
设给定图G(如由图所示)，则图G的点割集
是
．
应该填写：{f}，{c，e}。
定义 设无向图G=<V, E>为连通图，若有点集
V1V，使图G删除了V1的所有结点后，所得的子
图是不连通图，而删除了V1的任何真子集后，所
得的子图是连通图，则称V1是G的一个点割
集．若某个结点构成一个点割集，则称该结点为
割点。
a c
a c
b
d
b
d
a c
a c
b
d
b
d
推论:任何6人的人群中，或者有3人互相认识，或者有 3人彼此陌生。(当二人x,y互相认识，边(x,y)着红色， 否则着兰色。则6人认识情况对应于K6边有红K3或者 有兰K3。)
证明简单图的最大度小于结点数。
证明： 设简单图G有n个结点。对任一结点u，由于G没
P286 1、在无向图G中，从结点u到结点v有一条长度为 偶数的通路，从结点u到结点v又有一条长度为奇 数的通路，则在G中必有一条长度为奇数的回路。
证明 ：
2、运用 (1) 判断有向图或无向图中通路(回路)的类型。 (2) 求短程线和距离。 (3) 判断有向图连通的类型。
三、图的矩阵表示
1、基本概念。 无向图的邻接矩阵A 根据邻接矩阵判断:各结点的度, 有向图结点 出,入度。 由Ak可以求一个结点到另一个结点长度为k 的路条数. 有向图的可达矩阵P 用P可以判定:各结点的度. 有向图的强分图。 关联矩阵M:是结点与边的关联关系矩阵. 用M判定:各结点的度
设给定图G(如由图所示)，则图G的点割集
是
．
应该填写：{f}，{c，e}。
定义 设无向图G=<V, E>为连通图，若有点集
V1V，使图G删除了V1的所有结点后，所得的子
图是不连通图，而删除了V1的任何真子集后，所
得的子图是连通图，则称V1是G的一个点割
集．若某个结点构成一个点割集，则称该结点为
割点。
a c
a c
b
d
b
d
a c
a c
b
d
b
d
推论:任何6人的人群中，或者有3人互相认识，或者有 3人彼此陌生。(当二人x,y互相认识，边(x,y)着红色， 否则着兰色。则6人认识情况对应于K6边有红K3或者 有兰K3。)
证明简单图的最大度小于结点数。
证明： 设简单图G有n个结点。对任一结点u，由于G没
离散数学CH04_图论_根树
4.6 树
4.6 树
图中的三棵树T1，T2和T3都是带权2，2，3，3，5
的二叉树，它们的权分别是：
W(T1)=2×2＋2×2＋3×3＋5×3＋3×2=38 W(T2)=3×4＋5×4＋3×3＋2×2＋2×1=47 W(T3)=3×3＋3×3＋5×2＋2×2＋2×2=36 以上三棵树都是带权2,2,3,3,5的赋权二叉树，但不 是最优树。
【例】求图所示的二叉树产 生的前缀码。 解：在图(a)中，每一个 分枝点引出的左侧边标记0， 右侧边标记1。由根结点到 树叶的路经上各边的标记组 成的0、1序列作为对应树叶 的标记，如图 (b)所示。产 生的前缀码为： 01,11,000,0010,0011
4.6 树
定理 任意一个前缀码，都对应一个二叉树。 证明：
4.6 树
给定了一个前缀码，设h是其中最长序列的长度。画出一个高为 h的正则二叉树。按定理9.6.7中描述的办法给各边标记0或1。 每一个结点对应一个0、1序列，它是由根结点到该结点的路经 上各边的标记组成的。如果某个0、1序列是前缀码的元素，则 标记该结点。将已标记结点的所有后代和该结点的射出边全部删 除，得到了一个二叉树，再删除未加标记的树叶，就得到要求的 二叉树。
在通信中常用0、1字符串表示英文字母，即用二进制 数表示英文字母。最少用多少位二进制数就能表示26
个英文字母呢？1位二进数可以表示2=21个英文字母
，两位二进制数可以表示4=22个英文字母，……，n 位二进制数可以表示2n个英文字母。如果规定，可以 用1位二进制数表示英文字母，也可以用两位二进制数 表示英文字母。
4.6 树
定理 在完全m叉树中，其树叶数为t，分枝点数为i，则 (m1)*i=t-1。 证明：
第7章 图论 [离散数学离散数学(第四版)清华出版社]
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6/27/2013 6:02 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
21
例：
a j i h c g d
1(a)
无 向 图
b
f
e
2(b)
7(j) 8(g) 9(d) 10(i)
6(e)
3(c) 4(h)
5(f)
6/27/2013 6:02 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
22
例：
1(b)
有向图
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
6
[定义] 相邻和关联
在无向图G中，若e=(a, b)∈E，则称a与 b彼此相邻(adjacent)，或边e关联 (incident) 或联结(connect) a, b。a, b称为边e的端点或 结束顶点(endpoint)。 在有向图D中，若e=<a, b>∈E，即箭头 由a到b，称a邻接到b，或a关联或联结b。a 称为e的始点(initial vertex)，b称为e的终点 (terminal/end vertex)。
证明思路：将图中顶点的度分类，再利用定理1。
6/27/2013 6:02 PM 第四部分：图论（授课教师：向胜军） 9
[定理3] 设有向图D=<V, E>有n个顶点，m 条边，则G中所有顶点的入度之和等于所 有顶点的出度之和，也等于m。
即：
d ( v i ) d ( v i ) m.
i 1 i 1
n
n
证明思路：利用数学归纳法。
6/27/2013 6:02 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
10
一些特殊的简单图：
(1) 无向完全图Kn(Complete Graphs)
《离散数学》第6章 图的基本概念
E ' E )。
生成子图—— G ' G 且 V ' V 。
导出子图 ——非空 V ' V ，以 V ' 为顶点集， 以两端均在 V ' 中的边的全体为边集的 G 的 子图，称 V ' 的导出子图。 ——非空 E ' E ，以 E ' 为边集，以
E ' 中边关联的顶点的全体为顶点集的 G 的子
0 vi与ek 不关联 无向图关联的次数 1 vi与ek 关联1次 2 v 与e 关联2次(e 为环) i k k
1 vi为ek的始点 有向图关联的次数 0 vi与ek 不关联 1 v 为e 的终点 (无环) i k
点的相邻——两点间有边，称此两点相邻 相邻 边的相邻——两边有公共端点，称此两边相邻
孤立点——无边关联的点。 环——一条边关联的两个顶点重合，称此边 为环 (即两顶点重合的边)。 悬挂点——只有一条边与其关联的点，所
对应的边叫悬挂边。
(3) 平行边——关联于同一对顶点的若干条边 称为平行边。平行边的条数称为重数。 多重图——含有平行边的图。
简单图——不含平行边和环的图。
如例1的(1)中，
第六章 图的基本概念 第一节 无向图及有向图
内容：有向图，无向图的基本概念。
重点：1、有向图，无向图的定义， 2、图中顶点，边，关联与相邻，顶点 度数等基本概念，
3、各顶点度数与边数的关系
d (v ) 2m 及推论，
i 1 i
n
4、简单图，完全图，子图， 补图的概念， 5、图的同构的定义。
一、图的概念。 1、定义。 无序积 A & B (a, b) a A b B 无向图 G V , E E V & V ， E 中元素为无向边，简称边。 有向图 D V , E E V V ， E 中元素为有向边，简称边。
《离散数学》图论 (上)
12
无向图与有向图
v2
e1
e2
e3
v3
e4
v1
e5 (e1)={( v42, v24 )}
v4
(e2)={( v32, v23 )} (e3)={( v3, v4 )}
(e4)=({ v43, v34 )}
(e5)=({ v4,}v4 )
13
无向图与有向图
A B C
D E F
14
无向图与有向图
第八章 图论
第八章 图论
§8.1 基本概念
§8.1.1 无向图、有向图和握手定理 §8.1.2 图的同构与子图 §8.1.3 道路、回路与连通性 §8.1.4 图的矩阵表示
§8.2 欧拉图 §8.3 哈密尔顿图 §8.4 平面图 §8.5 顶点支配、独立与覆盖
2
无向图与有向图
3
无向图与有向图
一个无向图（undirected graph, 或graph） G 指一个三元组 (V, E, )，其中
vV
vV
24
特殊的图
假设 G=(V, E, ) 为无向图，若 G 中所有 顶点都是孤立顶点，则称 G 为零图（null graph）或离散图（discrete graph）；若 |V|=n，|E|=0，则称 G 为 n 阶零图 所有顶点的度数均相等的无向图称为正 则图（regular graph），所有顶点的度数 均为 k 的正则图称为k度正则图，也记作 k-正则图 注：零图是零度正则图
19
握手定理
定理（图论基本定理/握手定理）
假设 G=(V, E, ) 为无向图，则deg(v) 2 E ， vV
即所有顶点度数之和等于边数的两倍。
推论
在任何无向图中，奇数度的顶点数必是偶 数。
无向图与有向图
v2
e1
e2
e3
v3
e4
v1
e5 (e1)={( v42, v24 )}
v4
(e2)={( v32, v23 )} (e3)={( v3, v4 )}
(e4)=({ v43, v34 )}
(e5)=({ v4,}v4 )
13
无向图与有向图
A B C
D E F
14
无向图与有向图
第八章 图论
第八章 图论
§8.1 基本概念
§8.1.1 无向图、有向图和握手定理 §8.1.2 图的同构与子图 §8.1.3 道路、回路与连通性 §8.1.4 图的矩阵表示
§8.2 欧拉图 §8.3 哈密尔顿图 §8.4 平面图 §8.5 顶点支配、独立与覆盖
2
无向图与有向图
3
无向图与有向图
一个无向图（undirected graph, 或graph） G 指一个三元组 (V, E, )，其中
vV
vV
24
特殊的图
假设 G=(V, E, ) 为无向图，若 G 中所有 顶点都是孤立顶点，则称 G 为零图（null graph）或离散图（discrete graph）；若 |V|=n，|E|=0，则称 G 为 n 阶零图 所有顶点的度数均相等的无向图称为正 则图（regular graph），所有顶点的度数 均为 k 的正则图称为k度正则图，也记作 k-正则图 注：零图是零度正则图
19
握手定理
定理（图论基本定理/握手定理）
假设 G=(V, E, ) 为无向图，则deg(v) 2 E ， vV
即所有顶点度数之和等于边数的两倍。
推论
在任何无向图中，奇数度的顶点数必是偶 数。
离散数学第8章 图论
ij
为d（vi，vj）。
8.2
图的矩阵表示
一、图的邻接矩阵 二、图的连接矩阵
三、图的关联矩阵
二、图的连接矩阵 定义 8-9 设图 G= （ V ， E ），其中 V={v1 ，
v2 ， … ， vn } ， n 阶方阵 C= （ cij ），称为图 G 的连接 矩阵，其中第i行j列的元素
1 c ij 0
利用邻接矩阵，我们可以 （1）判断G中任意两个结点是否相连接；
方法是：对 l=1，2，…，n–1，依次检查Al的（i，j）
项元素
(l （ ) ij）是否为0，若都为0，那么结点v 与v 不 a ij i j
相连接，否则vi与vj有路相连接。 （2）计算结点vi与vj之间的距离。
(1) ( 2) ( n 1) 中至少有一个不为0， 若 aij , aij , , aij 则可断定vi与vj相连接，使 a (l ) 0 的最小的 l 即
若中有相同的结点，设为ur= uk（r<k），则子路ur+1…uk可以从 中删去而形成一条较短的路= viu1…ur uk+1…uh–1 vj，仍连接vi到 vj 。 若中还有相同的结点，那么重复上述过程又可形成一条 更短的路，…。这样，最后必得到一条真路，它连接vi到vj， 并短于前述任一非真路。因此，只有真路才能是短程。
非真 生成
真 生成
真 非生成
非真 非生成
真 非生成
七、路与回路 定义:图G中l条边的序列{v0，v1}{v1，v2}…{vl–1，vl}称为连
接v0到vl的一条长为 l 的路。它常简单地用结点的序列 v0v1v2…vl–1vl来表示。其中v0和vl分别称为这条路的起点和终点。 开路：若v0vl，则称路v0v1v2…vl–1vl为开路； 回路：若v0=vl，则称路v0v1v2…vl–1vl为回路； 真路：若开路v0v1v2…vl–1vl中，所有结点互不相同（此时所有 边也互不相同），则称该路为真路； 环：在回路v0v1v2…vl–1v0中，若v0，v1，v2，…，vl–1 各不相同 （此时所有边也互不相同），则称该回路为环。
为d（vi，vj）。
8.2
图的矩阵表示
一、图的邻接矩阵 二、图的连接矩阵
三、图的关联矩阵
二、图的连接矩阵 定义 8-9 设图 G= （ V ， E ），其中 V={v1 ，
v2 ， … ， vn } ， n 阶方阵 C= （ cij ），称为图 G 的连接 矩阵，其中第i行j列的元素
1 c ij 0
利用邻接矩阵，我们可以 （1）判断G中任意两个结点是否相连接；
方法是：对 l=1，2，…，n–1，依次检查Al的（i，j）
项元素
(l （ ) ij）是否为0，若都为0，那么结点v 与v 不 a ij i j
相连接，否则vi与vj有路相连接。 （2）计算结点vi与vj之间的距离。
(1) ( 2) ( n 1) 中至少有一个不为0， 若 aij , aij , , aij 则可断定vi与vj相连接，使 a (l ) 0 的最小的 l 即
若中有相同的结点，设为ur= uk（r<k），则子路ur+1…uk可以从 中删去而形成一条较短的路= viu1…ur uk+1…uh–1 vj，仍连接vi到 vj 。 若中还有相同的结点，那么重复上述过程又可形成一条 更短的路，…。这样，最后必得到一条真路，它连接vi到vj， 并短于前述任一非真路。因此，只有真路才能是短程。
非真 生成
真 生成
真 非生成
非真 非生成
真 非生成
七、路与回路 定义:图G中l条边的序列{v0，v1}{v1，v2}…{vl–1，vl}称为连
接v0到vl的一条长为 l 的路。它常简单地用结点的序列 v0v1v2…vl–1vl来表示。其中v0和vl分别称为这条路的起点和终点。 开路：若v0vl，则称路v0v1v2…vl–1vl为开路； 回路：若v0=vl，则称路v0v1v2…vl–1vl为回路； 真路：若开路v0v1v2…vl–1vl中，所有结点互不相同（此时所有 边也互不相同），则称该路为真路； 环：在回路v0v1v2…vl–1v0中，若v0，v1，v2，…，vl–1 各不相同 （此时所有边也互不相同），则称该回路为环。
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j1 ij
d(vi )
(i 1,2,...,n)
(3) mij 2m
i, j
(4) 平行边的列相同
（5）
m m
j1 ij
0,
当且仅当vi为孤立点。
4
有向图的关联矩阵
定义 设无环有向图D=<V,E>, V={v1, v2, …, vn}, E={e1, e2, …, em}, 令
1 , mij 0 ，
1 0 0 1 0 0 1 0
给出了图G的邻接矩阵，就等于给出了图G的全部
信息。图的性质可以由矩阵 A通过运算而获得。
9
有向图的邻接矩阵
定义 设有向图D=<V,E>, V={v1, v2, …, vn}, E={e1,
e2,
…,
em},
令
a(1) ij
为顶点vi邻接到顶点vj边的条数，
称a(i(j1) )mn为D的邻接矩阵, 记作A(D), 简记为A.
7.3 图的矩阵表示
▪ 无向图的关联矩阵 ▪ 有向图的关联矩阵 ▪ 有向图的邻接矩阵 ▪ 有向图的可达矩阵
1
无向图的关联矩阵
定义 设无向图G=<V,E>, V={v1, v2, …, vn}, E={e1, e2, …, em}, 令mij为vi与ej的关联次数，称(mij)nm为G 的关联矩阵，记为M(G).
注 无向图也有相应的邻接矩阵，一般只考 虑简单图，无向图的邻接矩阵是对称的， 其性质基本与有向图邻接矩阵的性质相同。
16
例如:下图邻接矩阵为：
0 1 0 1
A(G)
1 0 1
0 1 1
1 0 1
1
1 0
17
有向图的可达矩阵
定义 设D=<V,E>为有向图, V={v1, v2, …, vn}, 令
1,
pij
0,
vi可达v j 否则
称(pij)nn为D的可达矩阵, 记作P(D), 简记为P.
性质: P(D)主对角线上的元素全为1. D强连通当且仅当P(D)的元素全为1.
18
有向图的可达矩阵(续)
例 右图所示的有向图D的可达矩阵为
1 0 0 0 P 1 1 1 1
1 0 1 1 1 0 1 1
2
例:求下图G的关联矩阵
e1
4 1
e2
e3
e5
2
上图G的关联矩阵:
e4
3
e1 e2 e3 e4 e5
1 2 1 0 0 0
M (G) 2 0 1 Biblioteka 1 03 0 0 1 1 1
4 0 0 0 0 1
3
无向图的关联矩阵
性质：
(1)
m n
i1 ij
2
( j 1,2,...,m)
(2)
m m
19
设 G=V,E 是 n 阶 简 单 有 向 图 ， V={v1,v2,…,vn} ， 由可达性矩阵的定义知，当i≠j时，如果vi到vj有路， 则pij=1；如果vi到vj无通路，则pij=0；又如果vi到vj 有通路，则必存在长度小于等于n–1的通路。又n
4
0
0
0 1 1 1
6
5 0 0 0 0 0 0
有向图的关联矩阵(续)
性质
(1)
m n
i1 ij
0
( j 1,2,...,m)
(2)
m j 1
(
mij
1)
d (vi ),
m j 1
(
mij
1)
d (vi ),
i 1,2,...,n
(3) mij 0
i, j
(4) 平行边对应的列相同
vi为e
的
j
始
点
vi与e
不
j
关
联
1，
vi为e
的
j
终
点
则称(mij)nm为D的关联矩阵，记为M(D).
5
例: 求图G的关联矩阵。
e2
2
3
e3
e1
e5
e6
e4
5
1
4
上图G的关联矩阵: e1 e2 e3 e4 e5 e6
1 1 0 0 0 0 0
2 1 1 1 1
0
0
M (G) 3 0 1 1 0 1 1
性质
(1)
a n (1)
j1 ij
d (vi ),
i 1,2,...,n
(2)
a n (1)
i1 ij
d(vj ),
j 1,2,...,n
(3)
a(1) ij
m
D中 长 度 为1的 通 路 数
i, j
(4)
a n (1)
i1 ii
D中 长 度 为1的 回 路 数
10
D中的通路及回路数
3 2 2 2
A3 1 2 1 0 2 2 2 1 1 2 1 0
5 6 4 2
A4 2 2 2 1 4 4 3 2 2 2 2 1
15
所以，由v1到v3长度为1、2、3、4的通路 分别有0、2、2、4条，G中共有长度为4的 通路43条，其中回路11条，长度小于等于4 的通路共有87条，其中回路22条。
4 0 0 1
13
在下图中v1到v3长度为1、2、3、4的通路分别有 多少条，G中共有长度为4的通路多少条，其中回 路多少条，长度小于等于4的通路共有多少条，其 中回路多少条。
1
4
2
3
14
解:因为
1 2 0 0 1 2 0 0 1 2 2 0
A2 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1
定理 设A为n阶有向图D的邻接矩阵, 则Al(l1)中
元素
a(l ij
)
为D中vi到vj长度为
l
的通路数，
a(l ii
)为vi到自身长度为
l
的回路数，
nn
a( l ) ij
为D中长度为
l
的通路总数，
i1 j1
n
a(l ) ii
为D中长度为
l
的回路总数.
i1
11
D中的通路及回路数(续)
推论 设Bl=A+A2+…+Al(l1), 则Bl中元素 nn
bi(jl)为D中长度小于或等于l 的通路数，
i1 j1
n
b(l) ii
为D中长度小于或等于l
的回路数.
i1
例 有向图D如图所示, 求A, A2, A3, A4, 并回答诸问题：
(1) D中长度为1, 2, 3, 4的通路各有多 少条？其中回路分别为多少条？
(2) D中长度小于或等于4的通路为多 少条？其中有多少条回路？
7
有向图的邻接矩阵
定义 设有向图D=<V,E>, V={v1, v2, …, vn}, E={e1,
e2,
…,
em},
令
a(1) ij
为顶点vi邻接到顶点vj边的条数，
称a(i(j1) )mn为D的邻接矩阵, 记作A(D), 简记为A.
8
求下图G的邻接矩阵。
1
4
2
3
解 上图G的邻接矩阵。
1 2 0 0 A(G) 0 0 1 0
12
例(续)
1 0 0 0
1 0 0 0
A 2 1
0 0
1 0
0 1
A2 3 2
0 0
0 1
1长度 0
通路
1
回路
8
1
1 0 1 0
2 0 0 1
2 3
11 3 14 1
1 A3 4
0 0
0 1
0 0
1 A4 5
0 0
0 0
0 1
4 合计
17 50
3 8
3 0 0 1
4 0 1 0
3 0 1 0
d(vi )
(i 1,2,...,n)
(3) mij 2m
i, j
(4) 平行边的列相同
（5）
m m
j1 ij
0,
当且仅当vi为孤立点。
4
有向图的关联矩阵
定义 设无环有向图D=<V,E>, V={v1, v2, …, vn}, E={e1, e2, …, em}, 令
1 , mij 0 ，
1 0 0 1 0 0 1 0
给出了图G的邻接矩阵，就等于给出了图G的全部
信息。图的性质可以由矩阵 A通过运算而获得。
9
有向图的邻接矩阵
定义 设有向图D=<V,E>, V={v1, v2, …, vn}, E={e1,
e2,
…,
em},
令
a(1) ij
为顶点vi邻接到顶点vj边的条数，
称a(i(j1) )mn为D的邻接矩阵, 记作A(D), 简记为A.
7.3 图的矩阵表示
▪ 无向图的关联矩阵 ▪ 有向图的关联矩阵 ▪ 有向图的邻接矩阵 ▪ 有向图的可达矩阵
1
无向图的关联矩阵
定义 设无向图G=<V,E>, V={v1, v2, …, vn}, E={e1, e2, …, em}, 令mij为vi与ej的关联次数，称(mij)nm为G 的关联矩阵，记为M(G).
注 无向图也有相应的邻接矩阵，一般只考 虑简单图，无向图的邻接矩阵是对称的， 其性质基本与有向图邻接矩阵的性质相同。
16
例如:下图邻接矩阵为：
0 1 0 1
A(G)
1 0 1
0 1 1
1 0 1
1
1 0
17
有向图的可达矩阵
定义 设D=<V,E>为有向图, V={v1, v2, …, vn}, 令
1,
pij
0,
vi可达v j 否则
称(pij)nn为D的可达矩阵, 记作P(D), 简记为P.
性质: P(D)主对角线上的元素全为1. D强连通当且仅当P(D)的元素全为1.
18
有向图的可达矩阵(续)
例 右图所示的有向图D的可达矩阵为
1 0 0 0 P 1 1 1 1
1 0 1 1 1 0 1 1
2
例:求下图G的关联矩阵
e1
4 1
e2
e3
e5
2
上图G的关联矩阵:
e4
3
e1 e2 e3 e4 e5
1 2 1 0 0 0
M (G) 2 0 1 Biblioteka 1 03 0 0 1 1 1
4 0 0 0 0 1
3
无向图的关联矩阵
性质：
(1)
m n
i1 ij
2
( j 1,2,...,m)
(2)
m m
19
设 G=V,E 是 n 阶 简 单 有 向 图 ， V={v1,v2,…,vn} ， 由可达性矩阵的定义知，当i≠j时，如果vi到vj有路， 则pij=1；如果vi到vj无通路，则pij=0；又如果vi到vj 有通路，则必存在长度小于等于n–1的通路。又n
4
0
0
0 1 1 1
6
5 0 0 0 0 0 0
有向图的关联矩阵(续)
性质
(1)
m n
i1 ij
0
( j 1,2,...,m)
(2)
m j 1
(
mij
1)
d (vi ),
m j 1
(
mij
1)
d (vi ),
i 1,2,...,n
(3) mij 0
i, j
(4) 平行边对应的列相同
vi为e
的
j
始
点
vi与e
不
j
关
联
1，
vi为e
的
j
终
点
则称(mij)nm为D的关联矩阵，记为M(D).
5
例: 求图G的关联矩阵。
e2
2
3
e3
e1
e5
e6
e4
5
1
4
上图G的关联矩阵: e1 e2 e3 e4 e5 e6
1 1 0 0 0 0 0
2 1 1 1 1
0
0
M (G) 3 0 1 1 0 1 1
性质
(1)
a n (1)
j1 ij
d (vi ),
i 1,2,...,n
(2)
a n (1)
i1 ij
d(vj ),
j 1,2,...,n
(3)
a(1) ij
m
D中 长 度 为1的 通 路 数
i, j
(4)
a n (1)
i1 ii
D中 长 度 为1的 回 路 数
10
D中的通路及回路数
3 2 2 2
A3 1 2 1 0 2 2 2 1 1 2 1 0
5 6 4 2
A4 2 2 2 1 4 4 3 2 2 2 2 1
15
所以，由v1到v3长度为1、2、3、4的通路 分别有0、2、2、4条，G中共有长度为4的 通路43条，其中回路11条，长度小于等于4 的通路共有87条，其中回路22条。
4 0 0 1
13
在下图中v1到v3长度为1、2、3、4的通路分别有 多少条，G中共有长度为4的通路多少条，其中回 路多少条，长度小于等于4的通路共有多少条，其 中回路多少条。
1
4
2
3
14
解:因为
1 2 0 0 1 2 0 0 1 2 2 0
A2 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1
定理 设A为n阶有向图D的邻接矩阵, 则Al(l1)中
元素
a(l ij
)
为D中vi到vj长度为
l
的通路数，
a(l ii
)为vi到自身长度为
l
的回路数，
nn
a( l ) ij
为D中长度为
l
的通路总数，
i1 j1
n
a(l ) ii
为D中长度为
l
的回路总数.
i1
11
D中的通路及回路数(续)
推论 设Bl=A+A2+…+Al(l1), 则Bl中元素 nn
bi(jl)为D中长度小于或等于l 的通路数，
i1 j1
n
b(l) ii
为D中长度小于或等于l
的回路数.
i1
例 有向图D如图所示, 求A, A2, A3, A4, 并回答诸问题：
(1) D中长度为1, 2, 3, 4的通路各有多 少条？其中回路分别为多少条？
(2) D中长度小于或等于4的通路为多 少条？其中有多少条回路？
7
有向图的邻接矩阵
定义 设有向图D=<V,E>, V={v1, v2, …, vn}, E={e1,
e2,
…,
em},
令
a(1) ij
为顶点vi邻接到顶点vj边的条数，
称a(i(j1) )mn为D的邻接矩阵, 记作A(D), 简记为A.
8
求下图G的邻接矩阵。
1
4
2
3
解 上图G的邻接矩阵。
1 2 0 0 A(G) 0 0 1 0
12
例(续)
1 0 0 0
1 0 0 0
A 2 1
0 0
1 0
0 1
A2 3 2
0 0
0 1
1长度 0
通路
1
回路
8
1
1 0 1 0
2 0 0 1
2 3
11 3 14 1
1 A3 4
0 0
0 1
0 0
1 A4 5
0 0
0 0
0 1
4 合计
17 50
3 8
3 0 0 1
4 0 1 0
3 0 1 0