离散数学图矩阵表示

bi(jl)为D中长度小于或等于l 的通路数，
i1 j1
n
b(l) ii
为D中长度小于或等于l
的回路数.
i1
例 有向图D如图所示, 求A, A2, A3, A4, 并回答诸问题：
(1) D中长度为1, 2, 3, 4的通路各有多 少条？其中回路分别为多少条？
(2) D中长度小于或等于4的通路为多 少条？其中有多少条回路？
1 0 0 1 0 0 1 0
给出了图G的邻接矩阵，就等于给出了图G的全部
信息。图的性质可以由矩阵 A通过运算而获得。
9
有向图的邻接矩阵
定义 设有向图D=<V,E>, V={v1, v2, …, vn}, E={e1,
e2,
…,
em},
令
a(1) ij
为顶点vi邻接到顶点vj边的条数，
称a(i(j1) )mn为D的邻接矩阵, 记作A(D), 简记为A.
3 2 2 2
A3 1 2 1 0 2 2 2 1 1 2 1 0
5 6 4 2
A4 2 2 2 1 4 4 3 2 2 2 2 1
15
所以，由v1到v3长度为1、2、3、4的通路 分别有0、2、2、4条，G中共有长度为4的 通路43条，其中回路11条，长度小于等于4 的通路共有87条，其中回路22条。
定理 设A为n阶有向图D的邻接矩阵, 则Al(l1)中
元素
a(l ij
)
为D中vi到vj长度为
l
的通路数，
a(l ii
)为vi到自身长度为
l
的回路数，
nn
a( l ) ij
为D中长度为
l
的通路总数，
i1 j1
n
a(l ) ii
为D中长度为
l
的回路总数.
i1
11
D中的通路及回路数(续)
推论 设Bl=A+A2+…+Al(l1), 则Bl中元素 nn
注 无向图也有相应的邻接矩阵，一般只考 虑简单图，无向图的邻接矩阵是对称的， 其性质基本与有向图邻接矩阵的性质相同。
16
例如:下图邻接矩阵为：
0 1 0 1
A(G)
1 0 1
0 1 1
1 0 1
1
1 0
17
有向图的可达矩阵
定义 设D=<V,E>为有向图, V={v1, v2, …, vn}, 令
19
设 G=V,E 是 n 阶 简 单 有 向 图 ， V={v1,v2,…,vn} ， 由可达性矩阵的定义知，当i≠j时，如果vi到vj有路， 则pij=1；如果vi到vj无通路，则pij=0；又如果vi到vj 有通路，则必存在长度小于等于n–1的通路。又n
1,
pij
0,
vi可达v j 否则
称(pij)nn为D的可达矩阵, 记作P(D), 简记为P.
性质: P(D)主对角线上的元素全为1. D强连通当且仅当P(D)的元素全为1.
18
有向图的可达矩阵(续)
例 右图所示的有向图D的可达矩阵为
1 0 0 0 P 1 1 1 1
1 0 1 1 1 0 1 1
4 0 0 1
13
在下图中v1到v3长度为1、2、3、4的通路分别有 多少条，G中共有长度为4的通路多少条，其中回 路多少条，长度小于等于4的通路共有多少条，其 中回路多少条。
1
4
2
3
14
解:因为
1 2 0 0 1 2 0 0 1 2 2 0
A2 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1
7
有向图的邻接矩阵
定义 设有向图D=<V,E>, V={v1, v2, …, vn}, E={e1,
e2,
…,
em},
令
a(1) ij
为顶点vi邻接到顶点vj边的条数，
称a(i(j1) )mn为D的邻接矩阵, 记作A(D), 简记为A.
8
求下图G的邻接矩阵。
1
4
2
3
解 上图G的邻接矩阵。
1 2 0 0 A(G) 0 0 1 0
j1 ij
d(vi )
(i 1,2,...,n)
(3) mij 2m
i, j
(4) 平行边的列相同
（5）
m m
j1 ij
0,
当且仅当vi为孤立点。
4
有向图的关联矩阵
定义 设无环有向图D=<V,E>, V={v1, v2, …, vn}, E={e1, e2, …, em}, 令
1 , mij 0 ，
4
0
0
0 1 1 1
6
5 0 0 0 0 0 0
有向图的关联矩阵(续)
性质
(1)
m n
i1 ij
0
( j 1,2,...,m)
(2)
m j 1
(
mij
1)
d (vi ),
m j 1
(
mij
1)
d (vi ),
i 1,2,...,n
(3) mij 0
i, j
(4) 平行边对应的列相同
12
例(续)
1 0 0 0
1 0 0 0
A 2 1
Fra Baidu bibliotek
0 0
1 0
0 1
A2 3 2
0 0
0 1
1长度 0
通路
1
回路
8
1
1 0 1 0
2 0 0 1
2 3
11 3 14 1
1 A3 4
0 0
0 1
0 0
1 A4 5
0 0
0 0
0 1
4 合计
17 50
3 8
3 0 0 1
4 0 1 0
3 0 1 0
vi为e
的
j
始
点
vi与e
不
j
关
联
1，
vi为e
的
j
终
点
则称(mij)nm为D的关联矩阵，记为M(D).
5
例: 求图G的关联矩阵。
e2
2
3
e3
e1
e5
e6
e4
5
1
4
上图G的关联矩阵: e1 e2 e3 e4 e5 e6
1 1 0 0 0 0 0
2 1 1 1 1
0
0
M (G) 3 0 1 1 0 1 1
7.3 图的矩阵表示
▪ 无向图的关联矩阵 ▪ 有向图的关联矩阵 ▪ 有向图的邻接矩阵 ▪ 有向图的可达矩阵
1
无向图的关联矩阵
定义 设无向图G=<V,E>, V={v1, v2, …, vn}, E={e1, e2, …, em}, 令mij为vi与ej的关联次数，称(mij)nm为G 的关联矩阵，记为M(G).
2
例:求下图G的关联矩阵
e1
4 1
e2
e3
e5
2
上图G的关联矩阵:
e4
3
e1 e2 e3 e4 e5
1 2 1 0 0 0
M (G) 2 0 1 1 1 0
3 0 0 1 1 1
4 0 0 0 0 1
3
无向图的关联矩阵
性质：
(1)
m n
i1 ij
2
( j 1,2,...,m)
(2)
m m
性质
(1)
a n (1)
j1 ij
d (vi ),
i 1,2,...,n
(2)
a n (1)
i1 ij
d(vj ),
j 1,2,...,n
(3)
a(1) ij
m
D中 长 度 为1的 通 路 数
i, j
(4)
a n (1)
i1 ii
D中 长 度 为1的 回 路 数
10
D中的通路及回路数