离散数学 图的矩阵表示

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有向图的可达矩阵(续)
例 右图所示的有向图D的可达矩阵为
1 1 P 1 1
0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1
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设G=V,E是n阶简单有向图，V={v1,v2,…,vn}， 由可达性矩阵的定义知，当i≠j时，如果vi 到vj 有路， 则pij=1；如果vi 到vj 无通路，则pij=0；又如果vi 到vj 有通路，则必存在长度小于等于n–1的通路。又n 阶图中，任何回路的长度不大于n ，如下计算图G 的可达性矩阵P： B=E+A+A2+…+A n-1 =(b ij ) n×n 其中 E 是单位矩阵。则
1 4
2
3

解 上图G的邻接矩阵。
1 0 A(G ) 1 0 2 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0
给出了图G的邻接矩阵，就等于给出了图G的全部
信息。图的性质可以由矩阵 A通过运算而获得。
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有向图的邻接矩阵
定义 设有向图D=<V,E>, V={v1, v2, …, vn}, E={e1, ( e2, …, em}, 令 aij1) 为顶点vi邻接到顶点vj边的条数， 称(ij1) )mn为D的邻接矩阵, 记作A(D), 简记为A. a( 性质
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D中的通路及回路数
定理 设A为n阶有向图D的邻接矩阵, 则Al(l1)中
元素
( aijl ) 为D中vi到vj长度为 l 的通路数，
a
(l ) ii 为vi到自身长度为
n
l 的回路数，
( aijl ) 为D中长度为 l 的通路总数， i 1 j 1 n (l) ii i 1
n
a 为D中长度为 l 的回路总数.
1 bij 0 pij 0 bij 0
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图9.24邻接矩阵A和A2，A3，A4如下：
0 1 A 0 0 0
1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0
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1 0 A2 1 0 0
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D中的通路及回路数(续)
推论 设Bl=A+A2+…+Al(l1), 则Bl中元素
( bijl ) 为D中长度小于或等于l 的通路数， n n
b
i 1 j 1 n (l) ii i 1
为D中长度小于或等于l 的回路数.
例 有向图D如图所示, 求A, A2, A3, A4, 并回答诸问题： (1) D中长度为1, 2, 3, 4的通路各有多 少条？其中回路分别为多少条？ (2) D中长度小于或等于4的通路为多 少条？其中有多少条回路？
(1)
n i 1 m ij j 1 ij i ij i, j
( 4) 平行边的列相同
（5） j 1 mij 0, 当且仅当vi为孤立点。
m
4
有向图的关联矩阵
定义 设无环有向图D=<V,E>, V={v1, v2, …, vn}, E={e1, e2, …, em}, 令
1 , vi为e j的始点 mij 0 ， vi与e j 不关联 1 ， v 为e 的终点 i j
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例(续)
1 2 A 1 1 1 4 A3 3 3 0 0 0 1 0 3 0 0 1 0 A2 2 0 0 0 1 0 1 0 2 0 0 0 0 1 0 5 0 0 1 0 A4 4 0 0 0 1 0 1 0 4 0 0 0 长度 通路 0 1 1 1 0 2 0 1 3 0 0 4 0 1 合计 1 0 0 1
(4) 平行边对应的列相同
7
有向图的邻接矩阵
定义 设有向图D=<V,E>, V={v1, v2, …, vn}, E={e1,
( e2, …, em}, 令 aij1) 为顶点vi邻接到顶点vj边的条数，
称(ij1) a(
)mn为D的邻接矩阵, 记作A(D), 简记为A.
8
求下图G的邻接矩阵。
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4 3 0＋A＋A2＋A3＋A4 = B= A 3 0 0
3 7 3 0 0
3 3 4 0 0
0 0 0 3 1
0 0 0 1 3
则图G的可达性矩阵
1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1
1 0 A2 1 0 3 1 A3 2 1
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所以，由v1到v3长度为1、2、3、4的通路 分别有0、2、2、4条，G中共有长度为4的 通路43条，其中回路11条，长度小于等于4 的通路共有87条，其中回路22条。 注 无向图也有相应的邻接矩阵，一般只考 虑简单图，无向图的邻接矩阵是对称的， 其性质基本与有向图邻接矩阵的性质相同。
2
例:求下图G的关联矩阵
e1
4 1
e2
2
e3 e4
e5
3

上图G的关联矩阵:
1 2 M (G ) 3 4
e1 e2 e3 e4 e5
2 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1
3
无向图的关联矩阵
性质：
m 2 ( j 1,2,..., m ) ( 2) m d ( v ) ( i 1, 2,..., n) ( 3) m 2m
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例如:下图邻接矩阵为：
0 1 A(G ) 0 1
1 0 1 1
0 1 0 1
1 1 1 0
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有向图的可达矩阵
定义 设D=<V,E>为有向图, V={v1, v2, …, vn}, 令
1, vi可达v j pij 0, 否则
称(pij)nn为D的可达矩阵, 记作P(D), 简记为P. 性质: P(D)主对角线上的元素全为1. D强连通当且仅当P(D)的元素全为1.
回路
8 11 14 17 50
1 3 1 3 8
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在下图中v1到v3长度为1、2、3、4的通路分别有 多少条，G中共有长度为4的通路多少条，其中回 路多少条，长度小于等于4的通路共有多少条，其 中回路多少条。
1
4
2
3
14

解:因为
2 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 2 2 2 2 1 0 A4 2 2 1 2 1 0 2 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 5 6 4 2 2 2 2 1 4 4 3 2 2 2 2 1 2 2 0 0 0 1 2 1 0 0 0 1
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P(G)=( pij) n×n
vi 与v j 连通 1 其中： pij vi 与v j 不连通 0
i,j=1,…,n 称P(G)为G的连通矩阵。简记为P。 无向图的邻接矩阵是对称阵，无向图的连通矩
阵也是对称阵。求连通矩阵的方法与可达性矩阵类
似。
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则称(mij)nm为D的关联矩阵，记为M(D).
5
例:
求图G的关联矩阵。
e2
2
e3 e1
1
3
e5
e6
5 4
e4
上图G的关联矩阵:
1 2 M (G ) 3 4 5
e1 e2 e3 e4 e5 e6
1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0
0 2 0 0 0
1 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
0 2 A3 0 0 0
2 0 0 0 0 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0
2 0 4 A 2 0 0
0 2 0 0 4 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
(1) ( 2) ( 3) (4)
( aij1 ) d ( vi ), j 1 n ( aij1 ) d ( v j ), i 1 n
i 1, 2,..., n j 1, 2,..., n
( aij1 ) m D中长度为 1 的通路数 i, j ( aii1 ) D中长度为 1 的回路数 i 1 n
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P=
可达性矩阵用来描述有向图的一个结点到另 一个结点是否有路，即是否可达。无向图也 可以用矩阵描述一个结点到另一个结点是否 有路。在无向图中，如果结点之间有路，称 这两个结点连通，不叫可达。所以把描述一 个结点到另一个结点是否有路的矩阵叫连通 矩阵，而不叫可达性矩阵。
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定义 设G=V,E是简单无向图，V={v1,v2,…,vn}
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有向图的关联矩阵(续)
性质
m 0 ( j 1,2,..., m ) ( 2) ( m 1) d ( v ), ( m 1) d ( v ), i 1,2,..., n ( 3) m 0
(1)
n i 1 m ij j 1 ij i m j 1 ij i ij i, j
7.3 图的矩阵表示
无向图的关联矩阵 有向图的关联矩阵 有向图的邻接矩阵 有向图的可达矩阵
1
无向图的关联矩阵
定义 设无向图G=<V,E>, V={v1, v2, …, vn}, E={e1,
e2, …, em}, 令mij为vi与ej的关联次数，称(mij)nm为G
的关联矩阵，记为M(G).