复变函数练习题及答案
复变函数考试试题及参考答案
复变函数考试试题及参考答案下面是十道复变函数考试试题(一)的参考试题及答案：1.计算下列复数的幂函数：$z=1+i$,$n=3$。
答案：$(1+i)^3=-2+2i$。
2.计算下列复数的幂函数：$z=-2+i$,$n=4$。
答案：$(-2+i)^4=7-24i$。
3.求解方程：$z^2+4z+5=0$。
答案：可以使用求根公式求解，$(z+2)^2+1=0$，得到两个解：$z_1=-2+i$和$z_2=-2-i$。
4. 计算下列复数的极坐标形式：$z = 3e^{i \pi/6}$。
答案：$z = 3\cos(\pi/6) + 3i\sin(\pi/6) = \frac{3}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2}i$。
5.计算下列复数的共轭复数：$z=2-i$。
答案：$z^*=2+i$。
6. 将下列复数表示为共轭形式：$z = 4e^{i \pi/3}$。
答案：$z = 4\cos(\pi/3) + 4i\sin(\pi/3) = 4(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) = 2 + 2\sqrt{3}i$。
7.计算下列复数的实部和虚部：$z=3+2i$。
答案：实部为3，虚部为28.计算下列复数的模长：$z=-4+3i$。
答案：$，z， = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$。
9.求复数的幂函数：$z=-1-i$,$n=2$。
答案：$(-1-i)^2=1-2i-1=-2i$。
10. 求复数的幂函数：$z = \sqrt{3} + i$, $n = 3$。
答案：$(\sqrt{3} + i)^3 = -2\sqrt{3} + 2i$。
《复变函数》考试试题与答案各种总结.docx
---《复变函数》考试试题（一）一、判断题（ 20 分）：1. 若 f(z) 在 z 0 的某个邻域内可导，则函数f(z) 在 z 0 解析 .2. 有界整函数必在整个复平面为常数.3. 若{ z n }收敛，则{Re z n } 与{Im z n }都收敛 .4. 若 f(z) 在区域 D 内解析，且f '( z)，则f ( z) C（常数） 5. 若函数 f(z) 在 z 0 处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数6. 若 z 0 是 f ( z)的 m 阶零点，则 z 0 是 1/f (z)的 m 阶极点 .lim f ( z)7. 若 zz 0存在且有限，则 z 0 是函数 f(z) 的可去奇点 .( ) ( ) ( ). ( ).( )()()8. 若函数 f(z) 在是区域 D 内的单叶函数，则f ' (z) 0( zD ).()9. 若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线Cf z dz.( )C( )10. 若函数 f(z) 在区域 D 内的某个圆内恒等于常数，则 f(z)在区域 D 内恒等于常数 . （）二. 填空题（ 20 分）1、|z z 0 |dz__________. （ n 为自然数）1 ( z z )n2.sin 2zcos 2z_________.3. 函数sin z的周期为 ___________.f (z)z 2 11，则f ( z)的孤立奇点有 __________.4.设5. 幂级数nz n 的收敛半径为 __________.n 06. 若函数 f(z) 在整个平面上处处解析，则称它是__________.lim z nlimz 1z 2 ...z n7. 若 n，则 nn______________.Res(e z8.n,0)________，其中 n 为自然数 .z---9.sin z的孤立奇点为 ________ .z若z 0 是 f (z)lim f (z)___10. 的极点，则z z.三. 计算题（ 40 分）：f (z)11. 设(z 1)( z 2) ，求 f ( z) 在 D { z : 0 | z | 1} 内的罗朗展式 .1dz.|z| 1cos z2.3. 设f ( z)3 271d{ z :| z | 3} ，试求 f ' (1 i ).Cz，其中 Cz 1w1 的实部与虚部 .4.求复数z四 . 证明题 .(20 分 )1. 函数f (z)在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2. 试证 : f ( z) z(1 z) 在割去线段 0Re z 1 的 z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0 Re z 1上岸取正值的那支在 z 1的值 .《复变函数》考试试题（一）参考答案一． 判断题1．× 2．√ ３．√ ４．√５．√6．√ ７．×８．×９．× 10．×二．填空题2 in1 2.1 ；3. 2k ， ( k z) ；4.z i ； 5.11.n；16. 整函数；7. ； 1 ； 9. 0； 10..8.(n 1)!三．计算题 .1. 解因为 0 z 1, 所以 0 z 1f ( z)1 1 1 z zn1 ( z )n.( z 1)(z 2) 1 z 2(1 )n 02 n 0 22---2.解因为z21Re s f (z)lim lim,cosz sin z1 z z z222Re s f (z)lim z2lim1 1 . cosz sin zz z z2 22所以1dz2i(Re s f (z)Re s f (z)0. z2 cosz z2z23.解令 ()3271,则它在 z 平面解析,由柯西公式有在z 3内,f (z)c ()dz2i(z) . z所以 f (1i )2i( z) z 1 i2i (136i )2(613i ) .4.解令 z a bi ,则w z 11212( a1bi )12( a1)2b2. z 1z 1222b22b( a 1) b( a 1)(a 1)z12(a1)z12bb2 .故 Re( z1)1( a1)2b2,Im(z1)(a1)2四. 证明题 .1.证明设在 D 内 f (z) C .令 f ( z) u iv ,2u2v2c2.则 f ( z)两边分别对 x, y 求偏导数,得uu x vv x0(1) uu y vv y0(2)因为函数在 D 内解析,所以 u x v y ,u y v x.代入 (2)则上述方程组变为uu x vv x0 .消去 u x得,(u2v2 )v x0 .vu x uv x01)若 u2v20 ,则 f (z)0 为常数.2)若 v x0,由方程(1) (2) 及C.R.方程有u x0,u y0 , v y0 .所以 u c1, v c2. ( c1 ,c2为常数).---所以 f ( z) c 1 ic 2 为常数 .2. 证明 f ( z)z(1 z) 的支点为 z 0,1 . 于是割去线段 0 Re z 1 的 z 平面内变点就不可能单绕 0 或 1 转一周 , 故能分出两个单值解析分支 .由于当 z 从支割线上岸一点出发 ,连续变动到 z0,1 时 , 只有 z 的幅角增加. 所以f ( z)z(1 z) 的幅角共增加. 由已知所取分支在支割线上岸取正值 , 于是可认为该分2z1的幅角为, 故 f ( 1)i2i .支在上岸之幅角为 0,因而此分支在2e22《复变函数》考试试题（二）一. 判断题 . （20 分）1. 若函数 f ( z)u( x, y) iv ( x, y) 在 D 内连续，则 u(x,y)与 v(x,y)都在 D 内连续 .( ) 2. cos z 与 sin z 在复平面内有界 .()3.若函数 f(z)在 z 解析，则 f(z)在 z 连续 .()0 04. 有界整函数必为常数 .一定不存在 .()5. 如 0是函数f(z)的本性奇点，则 lim f ( z) ()zz z 06. 若函数 f(z)在 z 0 可导，则 f(z)在 z 0 解析 .()7.若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线 Cf (z)dz0 .C( ) 8. 若数列 { z n } 收敛，则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .() 9. 若 f(z)在区域 D 内解析，则 |f(z)|也在 D 内解析 .()10. 存在一个在零点解析的函数1 ) 0 1 1 1,2,... .f(z) 使 f (且 f ( ) ,nn 1 2n 2n( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 zi ，则 | z | __,arg z__, z __2.设 f (z) ( x 22xy) i(1 sin( x 2y 2 ), z x iy C ，则 limf ( z) ________.z 1i3.|z z 0| 1(zdz_________.z )n（ n 为自然数）---4.幂级数 nz n的收敛半径为__________ .n05.若 z0是 f(z)的 m 阶零点且 m>0，则 z0是f '( z)的 _____零点 .6.函数 e z的周期为 __________.7.方程 2z5z33z 8 0 在单位圆内的零点个数为________.8.设 f ( z)1，则 f (z) 的孤立奇点有_________.21z9.函数 f ( z) | z | 的不解析点之集为________.10. Res(z41,1) ____ . z三. 计算题 . (40 分)1.求函数sin( 2z3)的幂级数展开式 .2.在复平面上取上半虚轴作割线 . 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点 z i 处的值.i3.计算积分： I| z | dz，积分路径为（1）单位圆（ | z | 1）i的右半圆 .sin z dzz 2(z) 24.求2.四. 证明题 . (20 分)1. 设函数 f(z)在区域 D 内解析，试证： f(z)在 D 内为常数的充要条件是 f (z) 在D内解析 .2.试用儒歇定理证明代数基本定理 .《复变函数》考试试题（二）参考答案一.判断题 .1．√２．×３．√４．√ ５．× 6．×７．×８．√９．× 10．× .二.填空题---1.1 ，， i ；2. 3(1sin 2)i ；3.2 i n14. 1；5. m 1 . 0n；216.2k i ，( k z) .7. 0；8. i；9.R ；10. 0.三.计算题1.解 sin(2 z3 )( 1)n (2 z3 )2 n 1(1)n 22n 1 z6n3.n 0(2 n1)!n 0(2n1)!2.解令 z re i.2 ki则 f ( z)z re2,(k0,1).又因为在正实轴去正实值，所以k0 .所以 f (i)ie 4.3.单位圆的右半圆周为z e i,ide i e i 所以 zdz22i22 4.解.2 2 2i .即 u, v 满足 C.R.,且u x , v y , u y ,v x连续 , 故f ( z)在D内解析 .( 充分性 ) 令f ( z)u iv, 则 f ( z)u iv ,因为 f ( z) 与 f ( z) 在D内解析,所以u x v y , u y v x,且 u x ( v) y v y , u y( v x )v x.比较等式两边得u x v y u y v x0 .从而在 D 内 u, v 均为常数,故f ( z)在 D 内为常数.2. 即要证“任一n次方程a0 z n a1z n1a n 1z a n0(a00) 有且只有n 个根”.证明令 f (z)a0 z n a1z n 1a n1za n0 ,取 R max a1a n,1 ,当 za0在 C : z R 上时,有(z)a1 R n 1an 1R a n( a1a n )R n 1a0R n.f ( z) .由儒歇定理知在圆z R 内,方程 a0 z n a1z n 1a n 1z a n0与 a0 z n0有相---同个数的根 . 而 a 0 z n 0 在 z R 内有一个 n 重根 z 0 . 因此 n 次方程在 z R 内有 n 个根 .《复变函数》考试试题（三）一 . 判断题 . (20 分).1. cos z 与 sin z 的周期均为 2k .( )2. 若 f ( z) 在 z 0 处满足柯西 - 黎曼条件 , 则 f ( z) 在 z 0 解析 . ( )3. 若函数 f ( z) 在 z 0 处解析，则 f ( z) 在 z 0 连续 . ( )4. 若数列 { z n } 收敛，则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .( )5.若函数 f ( z) 是区域 D 内解析且在 D 内的某个圆内恒为常数，则数 f ( z) 在区域 D 内为常数 . ( )6. 若函数 f ( z) 在 z 0 解析，则 f ( z) 在 z 0 的某个邻域内可导 . ()7.如果函数 f ( z) 在 D{ z :| z | 1} 上解析 , 且 | f (z) | 1(| z | 1) , 则| f ( z) | 1(| z | 1) .（ ）8.若函数 f ( z) 在 z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( ) 9. 若 z 0 是 f ( z) 的 m 阶零点 , 则 z 0 是 1/ f ( z) 的 m 阶极点 . ( )10.若z 0 是 f (z)的可去奇点，则 Res( f ( z), z 0 ) 0. ( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 f ( z)1 ，则 f ( z) 的定义域为 ___________.2 z 12. 函数 e z 的周期为 _________.3. 若 z nn 2 i (1 1) n ，则 lim z n__________.1 nnn4. sin 2 z cos 2 z___________.dz5.|z z 0 | 1(z z )n（ n 为自然数）_________.6. 幂级数nx n 的收敛半径为 __________.n设 f (z) 1f z 的孤立奇点有z 2 1，则7.( ) __________.ez---9.若 z 是 f (z)的极点，则 lim f (z) ___ .z z 0z10.Res(en ,0) ____ .z三 . 计算题 . (40 分)11. 将函数 f ( z) z 2e z 在圆环域 0 z内展为 Laurent 级数 .2. 试求幂级数n!z n的收敛半径 .n nn3. 算下列积分：e zdz，其中 C是| z |1.Cz 2 (z29)4. 求 z92z6z 28z 2 0 在| z|<1内根的个数 .四 . 证明题 . (20 分)1.函数 f (z) 在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2.设 f (z) 是一整函数，并且假定存在着一个正整数 n ，以及两个正数 R 及 M ，使得当 | z|R 时| f ( z) |M | z |n，证明 f (z) 是一个至多 n 次的多项式或一常数。
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完整版)复变函数测试题及答案复变函数测验题第一章复数与复变函数一、选择题1.当 $z=\frac{1+i}{1-i}$ 时，$z+z+z$ 的值等于（）A) $i$ (B) $-i$ (C) $1$ (D) $-1$2.设复数 $z$ 满足 $\operatorname{arc}(z+2)=\frac{\pi}{3}$，$\operatorname{arc}(z-2)=\frac{5\pi}{6}$，那么 $z$ 等于（）A) $-1+3i$ (B) $-3+i$ (C) $-\frac{2}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}i$ (D) $\frac{1}{3}+2\sqrt{3}i$3.复数 $z=\tan\theta-i\left(\frac{1}{2}\right)$，$0<\theta<\pi$，则 $[0<\theta<\frac{\pi}{2}$ 时，$z$ 的三角表示式是（）A) $\sec\theta[\cos(\pi+\theta)+i\sin(\pi+\theta)]$ (B)$\sec\theta[\cos\theta+i\sin\theta]$ (C) $-\sec\theta[\cos(\pi+\theta)+i\sin(\pi+\theta)]$ (D) $-\sec\theta[\cos\theta+i\sin\theta]$4.若 $z$ 为非零复数，则 $z^2-\bar{z}^2$ 与$2\operatorname{Re}(z)$ 的关系是（）A) $z^2-\bar{z}^2\geq 2\operatorname{Re}(z)$ (B) $z^2-\bar{z}^2=2\operatorname{Re}(z)$ (C) $z^2-\bar{z}^2\leq2\operatorname{Re}(z)$ (D) 不能比较大小5.设 $x,y$ 为实数，$z_1=x+1+\mathrm{i}y,z_2=x-1+\mathrm{i}y$ 且有 $z_1+z_2=12$，则动点 $(x,y)$ 的轨迹是（）A) 圆 (B) 椭圆 (C) 双曲线 (D) 抛物线6.一个向量顺时针旋转 $\frac{\pi}{3}$，向右平移 $3$ 个单位，再向下平移 $1$ 个单位后对应的复数为 $1-3\mathrm{i}$，则原向量对应的复数是（）A) $2$ (B) $1+3\mathrm{i}$ (C) $3-\mathrm{i}$ (D)$3+\mathrm{i}$7.使得 $z=\bar{z}$ 成立的复数 $z$ 是（）A) 不存在的 (B) 唯一的 (C) 纯虚数 (D) 实数8.设 $z$ 为复数，则方程 $z+\bar{z}=2+\mathrm{i}$ 的解是（）A) $-\frac{3}{3}+\mathrm{i}$ (B) $-\mathrm{i}$ (C)$\mathrm{i}$ (D) $-\mathrm{i}+4$9.满足不等式$|z+i|\leq 2$ 的所有点$z$ 构成的集合是（）A) 有界区域 (B) 无界区域 (C) 有界闭区域 (D) 无界闭区域10.方程 $z+2-3\mathrm{i}=2$ 所代表的曲线是（）A) 中心为 $2-3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周 (B) 中心为 $-2+3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周 (C) 中心为 $-2+3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周 (D) 中心为 $2-3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周11.下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）A) $\frac{z-1}{z+2}=2$ (B) $z+3-\bar{z}-3=4$ (C) $|z-a|=1$ ($a0$)12.设 $f(z)=1-z$，$z_1=2+3\mathrm{i}$，$z_2=5-\mathrm{i}$，则 $f(z_1-z_2)$ 等于（）A) $-2-2\mathrm{i}$ (B) $-2+2\mathrm{i}$ (C)$2+2\mathrm{i}$ (D) $2-2\mathrm{i}$1.设 $f(z)=1$，$f'(z)=1+i$，则 $\lim_{z\to 0}\frac{f(z)-1}{z}=$ $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析，且 $u+v$ 是实常数，则$f(z)$ 在 $D$ 内是常数。
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-5四123456五1一二三四2、、、、、、、、5、、、填（1611-计求将计计求设证使单判计B计证空e算函函算算将函明符选断算i1算明题n）9积数数积实单数：合题题题2题题（解，2分分积位在D条（（（，（（每不析fff2分圆件每每每z7每每小存zzz函CC3e小小小小小在题在zL数CIxz0=2题题题2题题区解的z221zzd1k402y321域2析z零226，共(Di分1k6a7，点分分分=1iD形0，x分z分80z且是zd，，，2，5内,c映,视））1满doC孤本共共共A±1解射iL答zs:足立质，2在…1析成题2134在的6的，x006C），z单情：2C所分分分(证，位a况f9有1i）））i y明圆的可23孤2711n：去)酌01C1立+w函52心情，1z奇iy数的邻给8点41D直域21的（2i，1线内n1f，分包9u，段分展zA式括，1，成也f0线15共洛在2性01n9朗）A变D21z0级处换内分数2的解1n）w留（析,数并nL指z1出,2 收敛）的域函数____________________________________________________________________________________________________________ f z
1 解： C 的参数方程为： z=i+t, 0 t 1 dz=dt
x
y
ix 2
dz ＝
1
t
1
it 2 dt =
1
i
C
0
23
2 解: z 1为 f z 一阶极点
z 1 为 f z 二阶极点
2
2k
1, 2 ) ， 4 ei ln 2 e 4
(k=0, 1, 2 )
5
i , 6 0, 7
复变函数综合练习题及答案
1复变函数综合练习题及答案第一部分 习题一. 判断下列命题是否正确,如正确, 在题后括号内填√,否则填⨯.(共20题) 1. 在复数范围内31有唯一值1.( ) 2. 设z=x+iy , 则=z z 22y x +.()3. 设,2321i z -=则.32arg π=z ( ) 4. z cos =ω是有界函数.( ) 5. 方程1=ze 有唯一解z=0.( ) 6.设函数z g z f (),()在0z 处可导,则)()(z g z f 在点0z 处必可导.()7.设函数),(),()(y x iv y x u z f +=在00iy x z +=处可导,则)(00,0)()(y x yui y v z f ∂∂-∂∂='.( )8. 设函数)(z f 在区域D 内一阶可导,则)(z f 在D 内二阶导数必存在. ( ) 9.设函数)(z f 在0z 处可导, 则)(z f 在0z 处必解析.( ) 10. 设函数)(z f 在区域D 内可导, 则)(z f 在D 内必解析.()11. 设),(),,(y x v y x u 都是区域D 内的调和函数,则),(),()(y x iv y x u z f +=是D 内的解析函数.( ) 12. 设n 为自然数,r 为正实数,则0)(00=-⎰=-r z z n z z dz.()13. 设)(z f 为连续函数,则⎰⎰'=1)()]([)(t t cdt t z t z f dz z f ,其中10,),(t t t z z =分别为曲线c 的起点,终点对应的t 值.( )214. 设函数)(z f 在区域D 内解析,c 是D 内的任意闭曲线,则0)(=⎰cdz z f .( )15. 设函数)(z f 在单连通区域D 内解析, c 是D 内的闭曲线,则对于c D z ∈0有)(2)(00z if dz z z z f cπ=-⎰. ( )16. 设幂级数∑+∞=0n n nz c在R z ≤(R 为正实数)内收敛,则R 为此级数的收敛半径. ( )17. 设函数)(z f 在区域D 内解析,D z ∈0,则n n n z z n z fz f )(!)()(000)(-=∑+∞=. ( )18. 设级数n n nz z c)(0-∑+∞-∞=在园环域)(0R r R z z r <<-<内收敛于函数)(z f ,则它是)(z f 在此环域内的罗朗级数.( ) 19. 设0z 是)(z f 的孤立奇点,如果∞=→)(lim 0z f z z ,则0z 是)(z f 的极点.()20. 设函数)(z f 在圆周1<z 内解析,0=z 为其唯一零点,则⎰==1].0),([Re 2)(z z f s i z f dzπ ( )二. 单项选择题.(请把题后结果中唯一正确的答案题号填入空白处,共20题)1. 设复数3)22(i z -=,则z 的模和幅角的主值分别为____________.A. 45,8πB. 4,24πC. 47,22π2.)Re(1z z -<是__________区域.A. 有界区域B. 单连通区域C. 多连通区域3.下列命题中, 正确的是_____________. A. 零的幅角为零B. 仅存在一个z 使z z-=1C.iz z i=14.在复数域内,下列数中为实数的是__________.A. i cosB. 2)1(i -C.38-35.设i z +=1,则=)Im(sin z _________.A. sin1ch1B. cos1sh1C. cos1ch16.函数)(z f =2z 将区域Re(z)<1映射成___________.A. 412v u -<B. 412v u -≤C. 214v u -<7.函数)(z f =z 在0=z 处____________. A. 连续 B. 可导C. 解析8. 下列函数中为解析函数的是_____________.A. )(z f =iy x -2B.)(z f =xshy i xchy cos sin + C.)(z f =3332y i x -9. 设函数),(),()(y x iv y x u z f +=且),(y x u 是区域D 内的调和函数,则当),(y x v 在D 内是_____________时, )(z f 在D 内解析.A. 可导函数B. 调和函数C. 共轭调和函数10. 设0z 是闭曲线c 内一点, n 为自然数,则⎰-cn z z dz)(0=________________. A. 0B. i π2C. 0或i π211. 积分dz z zz ⎰=-22)1(sin =_______________. A. 1cos B. i π21cos C. i π2sin112. 下列积分中,其积分值不为零的是___________________. A.⎰=-23z dz z zB. 1sin z zdz z =⎰C.⎰=15z zdz ze 13. 复数项级数∑+∞=13n nnz 的收敛范围是________________.A. 1≤zB.1<zC.1>z14. 设函数)(z f 在多连域D 内解析,210,,c c c 均为D 内闭曲线且210c c c ⋃⋃组成4复合闭路Γ且D D ⊂Γ,则___________________. A. 0)()()(21=++⎰⎰⎰c c c dz z f dz z f dz z fB. 0)(=⎰Γdz z fC.⎰⎰⎰-=21)()()(c c c dz z f dz z f dz z f15.函数)(z f =221ze z-在z=0的展开式是_______________________. A. 泰勒级数B. 罗朗级数C. 都不是16. 0=z 是4)(zshzz f =的极点的阶数是_____________. A. 1B. 3C. 417. 0=z 是411)(zez f z-=的____________________. A. 本性奇点B. 极点C. 可去奇点18. 设)(z f 在环域)0(0R r R z z r <<<-<内解析,则n n nz z cz f )()(0∑+∞-∞=-=,其中系数n c =______________________.A.!)(0)(n z fn , ,2,1,0=nB.!)(0)(n z fn ,,2,1,0±±=nC.,,2,1,0,)()(2110 ±±=-⎰+n d z f i c n ζζζπc 为环域内绕0z 的任意闭曲线. 19. 设函数)(z f =1-ze z,则]2),([Re i z f s π=__________________. A. 0B. 1C. i π2 20. 设函数)(z f =)1(cos -z e z z,则积分⎰=1)(z dz z f =________________.5A. i π2B. ]0),([Re 2z f s i πC. .2,0,]),([231i z zz f ik k kππ±=∑=三. 填空题 (共14题)1. 复数方程31i e z-=的解为____________________________________. 2. 设i z 22-=,则z arg =_____________,z ln =___________________________. 3.411<++-z z 表示的区域是___________________________________.4. 设,sin )(z z z f =则由)(z f 所确定的 ),(y x u =____________________,),(y x v =_______________________.5. 设函数)(z f =⎩⎨⎧=≠+-0,00,sin z z A e z z 在0=z 处连续,则常数A=____________.6. 设函数)(z f =ζζζζd z z ⎰=-++22173,则)1(+'i f =________________________.若)(z f =ζζζζd z z ⎰=-+2353,则)(i f ''=________________________. 7. 设函数)(z f 在单连域D 内解析,G(z )是它的一个原函数,且D z z ∈10,,则⎰1)(z z dz z f =_______________________.8. 当a =________时,xyiarctgy x a z f ++=)ln()(22在区域x>0内解析. 9. 若z=a 为f(z )的m 阶极点,为g(z)的n 阶极点(m>n ),则z=a 为f(z)g(z)的__________阶极点,为)()(z g z f 的____________阶极点. 10. 函数)(z f =tgz 在z=0处的泰勒展开式的收敛半经为_________________. 11. 函数)(z f =zzsin 在z=0处的罗朗展开式的最小成立范围为_____________.612. 设∑+∞-∞==n nn z c z z 3sin ,则______________________,02==-c c .13. 积分dz zez z⎰=11=________________________.14. 留数__________]0,1[Re _,__________]0,1[Re 2sin sin =-=-z e s z e s z z . 四. 求解下列各题(共6题)1. 设函数)(z f =)(2323lxy x i y nx my +++在复平面可导,试确定常数l n m ,,并求)(z f '.2. 已知,33),(22y x y x u -=试求),(y x v 使),(),()(y x iv y x u z f +=为解析函数且满足i f =)0(.3. 试讨论定义于复平面内的函数2)(z z f =的可导性. 4. 试证22),(y x yy x u +=是在不包含原点的复平面内的调和函数, 并求),(y x v 使),(),()(y x iv y x u z f +=为解析函数且满足1)(=i f .5. 证明z e z f =)(在复平面内可导且zz e e =')(.6. 证明⎰⎩⎨⎧>==-c n n n i z z dz1,01,2)(0π,其中n 为正整数,c 是以0z 为圆心,半径为r 的圆周.五. 求下列积分 (共24题)1. 计算dz z c⎰sin ,其中c 是从原点沿x 轴至)0,1(0z ,然后由0z 沿直线x=1至)1,1(1z 的折线段.2.⎰+cdz z z )]Re(2[,其中c 是从点A(1,0)到点B(-1,0)的上半个圆周.73.⎰+-cdz z z)652(2, 其中c 为连接A(1,-1),B(0,0)的任意曲线.4.dz ze iz ⎰+π11. 5.dz z z i z ⎰=-++21)4)(1(122 6.dz z z zz ⎰=--ππ2)1(cos 2.7.⎰=-232)(sin z dz z zπ. 8.⎰-+=cz z dzI )2()1(2,其中c 为r r z ,=为不等于1,2的正常数. 9.⎰++=cz z dzI )1)(12(2,其中曲线c 分别为1)1=-i z2)23=+i z 10. 设c 为任意不通过z =0和z =1的闭曲线,求dz z z e cz⎰-3)1(. 11. 23cos sin [](2)zzz e z e I dz z z z ==+-⎰. 12.⎰=--2)1(12z dz z z z . 用留数定理计算下列各题.13. dz z z e z z⎰=-1302)(,其中0z 为10≠z 的任意复数.14. dz z e z z⎰=+222)1(π.815.⎰=-24)1(sin z dz z zπ. 16.dz z z zz ⎰=-+12)12)(2(sin π. 17.⎰=1z zdz tg π.18.dz z zz ⎰=22sin . 19.⎰=+-122521z dz z z . 20.dz z z z ⎰=+-14141. 21.dz iz z z ⎰=-+122521.22. dz z z z c ⎰++)4)(1(222,其中c 为实轴与上半圆周)0(3>=y z 所围的闭曲线.23. dz z z c ⎰++1142,其中c 同上.24.⎰++c dz z z )1)(9(122,其中c 为实轴与上半圆周)0(4>=y z 所围的闭曲线. 六. 求下列函数在奇点处的留数 (共8题)1.421)(z e z f z-=.2. 1sin )(-=z z z f .3.3)1(sin )(z zz f +=.94.224)1(1)(++=z z z f . 5.1)(-=z e z z f . 6.2)1()(-=z z e z f z. 7. 11)(23+--=z z z z f .8.z zz f sin 1)(+=. 七. 将下列函数在指定区域内展成泰勒级数或罗朗级数 (共10题)1.)2()1(1)(22z z z z f --=110<-<z2.13232)(2+--=z z zz f231<+z 3.1)(-=z e z f z+∞<-<10z4. 21)(2--=z z z f1)1<z ,2). 1<z <2,3). 2<∞<z5.)1(1)(2z z z f -=110<-<z 6.z z f cos )(=+∞<-πz 7.2)1(1)(z z f +=1<z8.zzz f sin 1)(+=π<<z 0 (写出不为零的前四项)9.)1(cos )(2-=z e z z z f+∞<<z 0 (写出不为零的前三项)1010. zz z f sin )(=π<<z 0 (写出不为零的前三项)11第二部分解答一、判断题.(共20题)1. ×2. √3. ×4. ×5. ×6. ×7. √8. √9. × 10. √ 11. × 12. × 13. √ 14. × 15. √ 16. × 17. × 18. √ 19. √ 20. √二、单项选择题.(共20题)1. A.2. B.3. C.4. A.5. B.6. A.7. A.8. B.9. C. 10. C. 11. B. 12. C. 13. A. 14. B. 15. B. 16. B. 17. A. 18. C. 19. C. 20. B.三、填空题 1.,210)(235(2ln ±±=++，，k k i ππ) 2.47π ，i 472ln 23π+ 3. 13422<+y x 4. xshy y xchy x cos sin - ， xchy y xchy x sin cos +5. 16. i ππ2612+- ，π36-7.)()(01z G z G -8.21 9.n m + ，n m -10.2π 11. π<<z 01212. 1 ，-61 13.i π14. 0 ，1四、求解下列各题1. 由题意得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=2323),(),(lxyx y x v ynx my y x u利用yv nxy x u ∂∂==∂∂2 ，得l n =222233ly x xvnx my y u --=∂∂-=+=∂∂，得3-=n ，3-=l ，1=m 则 )33(6)(22y x i xy xvi x u z f -+-=∂∂+∂∂='23iz =2. 由于x xu y v 6=∂∂=∂∂ 所以 ⎰+==)(66),(x xy xdy y x v ϕ，)(6x y xvϕ'+=∂∂ 又由yux v ∂∂-=∂∂，即y x y 6)(6='+ϕ 所以 0)(='x ϕ，C x =)(ϕ（C 为常数）故 c xy y x v +=6),(，ci z i c xy y x z f +=++-=2223)6(33)(将条件 i f =)0(代入可得1=C ，因此，满足条件i f =)0(的函数i z z f +=23)(3. 由题意知⎩⎨⎧=+=0),(),(22y x v y x y x u ，由于1302=∂∂==∂∂y v x x u ，02=∂∂-==∂∂x v y y u 可得⎩⎨⎧==00y x 由函数可导条件知，2)(z z f =仅在0=z 处可导。
复变函数经典习题及答案
于是 z 2i 9i
3
cos
π 2
2kπ
π i sin 2
2kπ
,
2
2
k 0,1
故z132来自223
2
2
i
,
z2
3 2
2 2 3 2 i. 2
3
例5 满足下列条件的点组成何种图形?是不是区 域?若是区域请指出是单连通区域还是多连通区域.
(1) Im (z) 0;
解 Im (z) 0是实数轴,不是区域.
使C1和C2也在C内,且C1与C2互不相交,互不包含,
据复合闭路定理有
y
ez
C z(1 z)3 dz
C1
ez z(1
z)3dz
ez C2 z(1 z)3 dz
C1
C
•
O 1x C2
30
而积分
C1
ez z(1
z)3dz即为2)的结果2i,
而积分
C2
ez z(1
z)3dz
即为3)的结果
x
y
x
y
由于 f (z) 解析，所以 u v , u v x y y x
即 2bxy 2cxy b c,
3ay2 bx2 3x2 cy2 3a c,b 3 故 a 1, b 3, c 3.
11
例5 研究 f (z) z Re z 的可导性.
解 设 z0 x0 iy0 为 z 平面上任意一定点,
1( x iy), 9
于是 w u iv 1 x 1 iy u 1 x, v 1 y
99
9
9
u2 v2 1 ( x2 y2) 1 表示 w 平面上的圆.
81
9
6
(完整版)复变函数试题及答案
2、下列命题正确的是（）
A B零的辐角是零
C仅存在一个数z,使得 D
3、下列命题正确的是（）
A函数 在 平面上处处连续
B 如果 存在,那么 在 解析
C每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛
D如果v是u的共轭调和函数,则u也是v的共轭调和函数
4、根式 的值之一是（）
1、 的指数形式是
2、 =
3、若0<r<1，则积分
4、若 是 的共轭调和函数，那么 的共轭调和函数是
5、设 为函数 = 的m阶零点，则m =
6、设 为函数 的n阶极点，那么 =
7、幂级数 的收敛半径R=
8、 是函数 的奇点
9、方程 的根全在圆环内
10、将点 ,i,0分别变成0,i, 的分式线性变换
二、单选题（每小题2分）
1 2 3 4 5
四 计算题（每小题6分，共36分）
1解： , 分
…5分
解得: 分
2解：被积函数在圆周的 内部只有一阶极点z=0
及二阶极点z=1 分
= 2i(-2+2)=0 分
3解：
= …4分
（ <2）…6分
4解: 被积函数为偶函数在上半z平面有两个
一阶极点i,2i…1分
I= …2分
= …3分
= …5分
A可去奇点B一阶极点C一阶零点D本质奇点
6、函数 ，在以 为中心的圆环内的洛朗展式
有m个，则m=( )
A 1 B2C3 D 4
7、下列函数是解析函数的为（）
A B
C D
8、在下列函数中， 的是（）
A B
C D
9、设a ，C： =1，则 （）
复变函数考试题及答案
复变函数考试题及答案一、选择题（每题2分，共40分）1. 下列哪个不是复数的实部？A. 2B. -3iC. -4D. 5i答案：B2. 设z = x + yi，其中x和y都是实数，若z和z*的虚部相等，则x和y满足的关系是：A. x = yB. x = -yC. x = 0D. y = 0答案：C3. 设复函数f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中u(x, y)和v(x, y)是光滑函数，若f(z)满足Cauchy-Riemann方程，则u和v满足的关系是：A. ∂u/∂x = ∂v/∂y，∂u/∂y = -∂v/∂xB. ∂u/∂x = ∂v/∂y，∂u/∂y = ∂v/∂xC. ∂u/∂y = -∂v/∂x，∂u/∂x = ∂v/∂yD. ∂u/∂y = ∂v/∂x，∂u/∂x = -∂v/∂y答案：A4. 设f(z)是复平面上的解析函数，若f(z)的实部为2x^2 + 3y，则f(z)的虚部为：A. 2x^2 - 3yB. 3yC. 2x^2D. 2x^3 + 3y答案：C5. 若f(z) = z^3，其中z为复数，则f(z)的导数为：A. 3z^2B. z^2C. 2zD. 0答案：A......二、计算题（共60分）1. 计算下列复数的模和辐角：（1）z1 = 3 + 4i（2）z2 = -2 + 2i（3）z3 = -4 - 3i答案：（1）|z1| = sqrt(3^2 + 4^2) = 5，arg(z1) = arctan(4/3)（2）|z2| = sqrt((-2)^2 + 2^2) = 2sqrt(2)，arg(z2) = arctan(2/(-2)) + π = -π/4（3）|z3| = sqrt((-4)^2 + (-3)^2) = 5，arg(z3) = arctan((-3)/(-4)) + π = π/42. 设复数z满足|z-2| = 3，且arg(z-2) = π/3，求z的值答案：由题意得，z-2的模为3，即|z-2| = 3，且z-2的辐角为π/3，即arg(z-2) = π/3根据复数的模和辐角定义，可以得到：3 = |z-2| = sqrt((Re(z-2))^2 + (Im(z-2))^2)π/3 = arg(z-2) = arctan((Im(z-2))/(Re(z-2)))解方程组可以得到：Re(z-2) = 3/2Im(z-2) = 3sqrt(3)/2再加上z-2 = Re(z-2) + Im(z-2)i，可以计算得到：z = 3/2 + 3sqrt(3)/2 + 2 = 2 + 3sqrt(3)/23. 将复数z = 1 + i转化为极坐标形式，并计算z^3的值。
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复变函数卷答案与评分标准
一、填空题：
1．叙述区域内解析函数的四个等价定理。
定理1 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件：
（1）(,)u x y ，(,)v x y 在D 内可微，
（2）(,)u x y ，(,)v x y 满足C R -条件。
（3分）
定理2 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件：
（1）,,,x y x y u u v v 在D 内连续，
（2）(,)u x y ，(,)v x y 满足C R -条件。
（3分）
定理3 函数()f z 在区域D 内解析的充要条件：()f z 在区域D 内连续，若闭曲线C 及内部包含于D ，则()0C f z dz =⎰。
（3分） 定理4 函数()f z 在区域D 内解析的充要条件：()f z 在区域D 内每一点a ，都能展成x a -的幂级数。
（3分）
2．叙述刘维尔定理：复平面上的有界整函数必为常数。
（3分）
3、方程2z e i =+的解为：11ln 5arctan 222
i k i π++，其中k 为整数。
（3分） 4、设()2010sin z f z z
+=，则()0Re z s f z ==2010。
（3分） 二、验证计算题（共16分）。
1、验证()22,2u x y x y x =-+为复平面上的调和函数，并求一满足条件
()12f i i =-+的解析函数()()(),,f z u x y iv x y =+。
（8分） 解：（1）22u x x
∂=+∂，222u x ∂=∂；2u y y ∂=-∂，222u y ∂=-∂。
由于22220u u y x
∂∂+=∂∂，所以(,)u x y 为复平面上的调和函数。
（4分） （2）因为()f z 为解析函数，则(),u x y 与(),v x y 满足C.-R.方程，则有
22v u x y x
∂∂==+∂∂，所以(,)2222()v x y x dy xy y C x =+=++⎰ 2,v u y x y ∂∂=-=∂∂又2()v y C x x
∂'=+∂ ，所以 ()0C x '=，即()C x 为常数。
所以22
()2(22)f z x y x xy y C i =-++++。
（8分）
由于()12f i i =-+，所以0C =。
即()222()2222f z x y x xy y i z z =-+++=+。
（8分） 2、方程201020092920092109100z z z -++=在单位圆1z <内有几个根？为什么？（8分）
解：有29个根，因为在圆周1z =上，20102009292009102109z z z -+<，由儒歇定理知 在1z <由201020092920092109100z z z -++=有29个根。
（8分）
三、计算题（每题6分，共18分，用复变函数论的方法，并指出计算的理论根据）。
1、()()2434
12z z dz z z =+--⎰。
解：原式=2211213434(1)(2)(1)(2)z z z z dz dz z z z z -=-=+++
----⎰⎰ 2342701z z i z π=⎛⎫'+⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
（6分） 2．2054cos d π
θθ
-⎰ 解：原式=1(21)(2)z i dz z z =--⎰（3分）1
2222(2)3
z i i z ππ==⋅=
-。
（6分） 3．2220(1)(9)
x dx x x +∞
++⎰ 解：原式=2
2212(1)(9)
x dx x x +∞-∞++⎰ （1分）
2
22Im 0
Re (1)(9)k k z a a z i s z z π=>=++∑ （3分） 22
223()(9)(1)(3)z i z i z z i z i z z z i π==⎛⎫=+ ⎪ ⎪++++⎝
⎭（5分） 8π
=。
（6分）
四、罗朗级数与奇点（15分）
1、设()()()1
23f z z z =--，试求
（1）()f z 在圆环23z <<内的罗郎展式；（5分）
（2）()f z 在3z =为中心的去心邻域内的罗郎展式，并指出收敛圆环。
（5分） 解：（1）111111()2323113f z z z z z z
-=-=⋅-⋅----（2分） 0011233n n n n z z z ∞∞==-⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∑∑（5分） 1100
123n n n n n n z z ∞∞
--+==-=⋅+-⋅∑∑
1
110123n n n n n n z z ∞---+==-∞
-=⋅+-⋅∑∑ 23z <<
（2）1111()32313
f z z z z z =-=----+-（2分） ()0
11(3)3n n n z z ∞==--⋅--∑ 31z -<。
（5分） 2、试判断函数()631
11cos 2z z --在奇点0z =的类型。
（5分） 解由于61218
3cos 12246!z z z z =-+-+，（2分）
所以 61218
21cos 2246!z z z z --=-++（3分）
因此 0z =为函数4
2
1
1cos 2z z --的12级极点。
（5分）
五、求一分式线性变换()f z ω=将上半平面()0Im z >共形映射成单位圆
1ω<使得()20f i =，()20f i '>。
（10分） 解：由题意知
(2)0,(2)f i f i =-=∞ ，(0)1f =（3分） 所以可设2()2i z i f z e z i θ
ω-==+， （5分）求导得24()(2)i ie f z z i θ'=+。
由于(2)04i ie f i θ-'=>，所以122
k θππ=
+。
此处 k 是整数。
因此2()2z i f z i z i ω-==+。
（10分） 六、证明题：
1、设()f z 在区域D 内解析；（2）在D 内一点a 处有()()0k f a =，1,2,3,,k =⋅⋅⋅，则()f z 在区域D 内必为常数。
证明：设a 到区域D 的边界的距离为12d 。
由于()f z 在区域D 内解析，1z a d D -<⊂，所以在1z a d -<内，()f z 可展成z a -的幂级数
()0()()()()!
n n n f a f z z a f a n ∞==⋅-=∑ 即()f z 在1z a d -<内为常数。
（5分）
设b 为区域D 内任意一点，设连接a 和b 的包含与区域D 内的折线的分点依次为12,,n a b b b b ==，设折线到区域D 的边界的距离为22d ，令12min{,}d d d =。
考虑折线2ab ，在折线2ab 上依次取分点122,,m a b ξξξ==，使得相邻两分点间的距离小于d ，作圆:,1,2,k k C z d k m ξ-<=。
由于()f z 在z a d -<内为常数，由唯一性定理知()f z 在2z d ξ-<内为常数，同样可得，()f z 在3z d ξ-<内为常数，于是可得知()f z 在2z b d -<内为常数，类似地考虑折线231,
,n b b b b -，可得()f z 在b 的某领域内为常数，
即有
()()f b f a =。
由b 的任意性知()f z 在区域D 内为常数。
第二步只要讲出由唯一性定理得到结论即可。
（10分）
2、如果函数()f z 在单位圆1z <内解析，并且满足条件()00f =，且对于单位圆1z <内的任意点z 有()1f z <，则在单位圆1z <内恒有()f z z ≤，且有()01f '≤。
证明：由题意可得
()23123f z c z c z c z =+++⋅⋅⋅ 1z <
令
()()2123f z z c c z c z z
ϕ==+++⋅⋅⋅ 1z < 由()z ϕ的构造知()z ϕ在1z <内解析，且()()100c f ϕ'==。
考虑()z ϕ在去心单位圆01z <<内任意一点0z 处的值，取r 满足1z r <<，由最大模定理，有()()()01max max z r z r f z z z z r
ϕϕ==≤=≤；令1r →，得()01z ϕ≤。
所以()()001f ϕ'=≤。
当0z =时，显然有()000f =≤。
当01z <<时，有()()1f z z z
ϕ=≤，即()f z z ≤。
综上所述，即在单位圆1z <内恒有()f z z ≤，且有()01f '≤。
证毕。
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